高中数学必修一 零点存在性定理及典例
人教版高中数学必修一《函数零点的存在性定理》教案
3.1.2函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间 .2．过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节教学内容1．函数零点的概念复习回顾2．函数零点与方程根的关系3．实例探究提出问题已知函数 y= x2+4 x–5，则其零点有几个？分别为多少？2–51．探究函数 y = x + 4 x的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系示例探究引入课题师生互动设计意图生：口答零点的定义，零点与根的关系回顾旧知，师：回顾零点的求法引入新知生：函数 y= x2 +4x–5 的零点有 2 个，分别为–5， 1师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数 .由特殊到一生：零点–5∈( –6，–4)般，归纳一零点 1∈ (0， 2)般结论，引且 f (–6)· f (–4)＜ 0入零点存在f (0)· f (2)＜ 0性定理师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间 .零点存在性定理如果函数y = f (x) 在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) ·f (b)发现定理＜ 0 那么，函数 y = f (x)在区间 [a，b]内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f (c) = 0 这个c 也就是方程 f (x) = 0 的根定理的理解（1）函数在区间 [ a，b] 上的图象连续不断，又它在区间[ a， b] 端点的函数值异号，①f (x) = 2x –1，②f (x) = log 2(x –1)生：函数 f (x) = 2x – 1 的零点为1(0,1) 且f (0) f (1)＜0.2函数 f (x) = log 2(x –1)的零点为2∈(1 ，3)且 f (1) f (3) ＜ 0师生合作分析，并剖析定理中的关键词①连续不断形成定理，② f (a)· f (b)＜ 0分析关键师：由于图象连续不断，词，了解定若 f (a) ＞ 0， f (b)＜ 0，则 y = f (x) 的理.图象将从 x 轴上方变化到下方，这样必通过 x 轴，即与 x 轴有交点师：函数 y = f (x) = x2–ax + 2 在 (0，3)内，①有 2 个零点 .②有 1 个零点，分别求 a 的取值范围 .则函数在 [ a， b] 上一定存在零点（ 2）函数值在区间 [ a ， b]上连续且存在零点，则它在区间 [ a， b] 端点的函数值可能异号也可能同号深化理解（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数生：① f(x)在 (0， 1)内有 2 个零点，则其图象如下yO 3 xf (0)0f (3)0则0a0 32b a 2 2通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理 .②f(x)在 (0， 3)内有 1 个零点f (0)011则af (3)3师生合作探求解题思路，老师板书例 1 求函数 f (x) = ln x + 2x –解答过程6 的零点的个数 .例 1解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象 .师生合作交应用举例流，体会定x12345f (x)–4–1.0369 1.0986理的应用3.3863 5.6094x6789f (x) 7.79189.945912.0794 14.1972由表和图可知， f(2)＜ 0， f (3) ＞ 0，则 f (2)· f (3)＜ 0，这说明函数 f (x)在区间 (2，3)内有零点 .由于函数 f (x)在定义域 (0,) 内是增函数，所以它仅有一个零点 .学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题 .练习 1. 利用信息技术作出练习 1 解：（ 1）作出函数图象，因函数的图象，并指出下列函为 f (1) = 1 ＞ 0， f (1,5 ) =–2.875＜ 0数零点所在的大致区间：所以 f (x) = –x3–3x+ 5 在区间 (1，（ 1） f (x) = –x3–3x + 5； 1.5)上有一个零点 .（ 2）f (x) = 2x·ln(x –2) –3；又因为 f(x)是 (,) 上的减函数，（ 3） f (x) =e x–1 + 4x –4；所以 f(x) = –x3–3x+ 5 在区间 (1 ，1.5)尝试学生动（ 4）f (x) = 3 ( x + 2) ( x –3) (x上有且只有一个零点 .手模仿练+ 4) + x.（ 2）作出函数图象，因为f(3) ＜0，习，老师引f(4)＞ 0，所以 f(x)=2 x·ln(x–2) –3在导、启发，区间 (3， 4)上有一个零点 .师生合作完练习巩固又因为 f( x)=2 x·ln(x–2) –3在 (2,)成问题求上是增函数，所以f(x) 在 (2,) 上解，从而固有且仅有一个 (3， 4)上的零点化知识与方（ 3）作出函数图象，因为f(0) ＜0，法，提升思x–1f(1)＞ 0，所以 f (x) = e + 4 x –4维能力 .在区间 (0， 1)上有一个零点又因为 f(x) =e x–1 + 4x –4 在 (,)上是增函数，所以 f(x)在 (,) 上有且仅有一个零点 .（ 4）作出函数图象，因为 f (–4)＜ 0，f(–3)＞ 0， f (–2)＜ 0，f (2) ＜0， f (3)＞ 0，所以 f (x) = 3 ( x + 2) ( x –3) (x +4) + x 在 (–4，–3)， (–3, –2)， (2， 3)上各有一个零点.1．数形结合探究函数零点学会整理知2．应用定理探究零点及存在识，培养自归纳总结区间 .学生总结师生完善补充3．定理应用的题型：判定零我归纳知识的能力点的存在性及存在区间 .课后练习 3.1 第二课时习案整合知识，学生自主完成提升能力备选例题例 1已知集合 A = { x∈R|x2–4ax + 2 a + 6 = 0} ，B = { x∈R|x＜0} ，若 A∩ B≠，求实数 a 的取值范围 .【解析】设全集U = { a|△ = ( –4a)2–4 (2a + 6) ≥0}={ a | (a1)(a 3) 0} 2={ a | a 1或a3}2若方程 x2–4ax + 2a + 6 = 0的两根 x1， x2均非负，则a U3 .x1x24a0,ax1x22a 60.2因为在全集 U 中集合{ a | a3} 的补集为{ a|a≤ –1}，所以实数a的取值范围是{ a|a≤–1}.2例 2设集合 A = { x | x2 + 4x = 0 ， x∈R} ， B = { x | x2 + 2 ( a + 1) x + a2–1 = 0， x∈R} ，若 A∪ B = A，求实数 a 的值 .【解析】∵ A = { x | x2 + 4x = 0 ， x∈R} ，∴ A = { –4， 0}.∵ A∪ B=A，∴ B A.1°当 B = A，即 B = { –4，0} 时，由一元二次方程根与系数的关系得2( a 1)4a2 1 0,解之得 , a 1.222°当 B=，即方程x + 2 ( a + 1)x + a –1 = 0 无实解 .解得， a＜–1.3°当 B = {0} ，即方程22–1 = 0 有两个相等的实数根且为零时，x+ 2(a + 1)x + a8a 8 0,a2 1 0.解得 , a 1.4°当 B = { –4} 时，即需8a 8 0,无解 .16 8(a 1) a2 1 0.综上所述，若A∪ B=A，则 a≤–1 或 a = 1.。
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件1.1利用函数性质判定方程解的存在性
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
高中数学必修一零点存在性定理与典例
零点存在性定理x 在区间 a ，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a ·f b ＜ 那么， 如果函数 y = f ( [0 函数 y f ) ] c ∈ a ，b ，使得 f c ( ) ( )fx = x 在区间 a ，b ] 内有零点，即存在 ( ) = 0 这个 c 也就是方程 () ( ) [ ( ) =0 的根 定理的理解a ，b 端点的函数值异号，则函数在 a ， （ ）函数在区间 [ a ，b 上的图象连续不断，又它在区间[ [ 1 ] ]b 上一定存在零点] [ a ，b 上连续且存在零点，则它在区间 [ a ，b 端点的函数值可能异号也可能同（ ）函数值在区间2 ] ] 号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数2例：函数 y = f ( x) = x – ax + 2 在(0 ， 3) 内，①有 2 个零点 .解析：① f ( x) 在(0 ，1) 内有 2 个零点，则其图象如下yO 3 xf(0) 0 f(3) 0则 0a 0 32b a 2 2② f ( x) 在(0 ，3) 内有 1 个零点f(0) 0 11 f (3) 0 a 3例 1 已知集合 A = { x ∈R x 2– 4 ax + 2 a +6=0} ， B = { x ∈R x ＜ 0} ，若 A ∩B ≠ ，求实数| | a 的取值范围 .a| △= ( –4a) 2【解析】设全集 U = { –4(2 a + 6) ≥0}= { a | (a 1)(a 3 ) 0} 2= { a | a 1或a 3}若方程 x 2– 4 2ax + 2 a + 6 = 0 的两根 x1 ，x2 均非负，则 a U 3x1 x 2 4a 0, a.x 1x 2 2a 6 0. 2因为在全集 U 中集合 { a | a 3} 的补集为 { a| a ≤– 1} ，所以实数 a 的取值范围是 { a| a ≤– 1}. A x x 2 2 x x ∈R ， B x x 2a x a 2 – ， x例 2 设集合 = { | + 4 = 0 ， = { | + 2 ( + 1) + 1 = 0 }∈R} ，若 A ∪B= A ，求实数 a 的值 .，x ∈R ，∴ A – ，【解析】∵ A = { x | x 2+ 4 x = 0= { 0}. } 4 ∵A ∪B=A ，∴ B A.1°当 B= A ，即 B= { –4，0} 时，由一元二次方程根与系数的关系得2( a 1) 4 1. a 21 0 ,解之得 , a，即方程 x 2 a x a 2– 无实解°当 B + 2 ( + 1) + 1 = 0 . 2 =∴△ = 4 ( a + 1) 2 – 4 ( a 2– 1) = 8 a + 8 ＜ 0.解得， a ＜– 1. x 2 a x a 2–有两个相等的实数根且为零时， °当 B = {0} ，即方程 + 2( + 1) + 1 = 0 38a 8 0,a 21 0.解得 , a 1.4°当 B = { –4} 时，即需8a 8 0, 无解 .16 8(a 1) a 21 0.综上所述，若 A ∪B=A ，则 a ≤– 1 或 a = 1.。
零点定理高等数学例题
零点定理高等数学例题零点定理是高等数学中非常重要的一条定理，该定理有着广泛的应用。
这篇文章主要介绍关于零点定理高等数学例题的一些基本知识和应用。
首先，我们来了解一下零点定理的定义。
零点定理就是如果一个连续函数f(x)在区间[a,b]上取到两个不同的符号，那么在这个区间内至少有一个零点。
接下来我们结合一些例题来加深理解。
例题一：证明函数f(x)=x^3-5x^2+3x+15在区间[1,4]内有且仅有一个零点。
解：首先，我们需要判断f(x)在区间[1,4]的取值。
我们可以使用寻找函数极值点法：f'(x)=3x^2-10x+3f'(1)=-4<0,f'(2)>0,f'(4)<0由于导数在区间[1,2]上大于0，在区间[2,4]上小于0，所以f(x)在点x=2处取得极值。
设f(2)=k，则轮换成(x,0)、(2,-k)两个点，可以得出f(x)=(x-2)(x-a)(x-b)其中a、b均在[1,4]中，即f(x)在[1,4]中至少存在三个零点，与题目不符合。
因此，我们可以得出结论：函数f(x)=x^3-5x^2+3x+15在区间[1,4]内有且仅有一个零点。
例题二：证明函数f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)在区间[0,2]和[-3,0]不存在零点。
解：由于f(x)是一个三次函数，因此存在三个零点。
我们可以用反证法来证明。
首先，我们假设f(x)在区间[0,2]存在至少一个零点，即存在一个x0∈[0,2]，使得f(x0)=0。
由于f(x)是一个连续函数，而且区间[0,2]上f(x)的取值为正负负，所以根据零点定理，在区间[0,2]上f(x)至少存在一个零点，且零点个数为奇数，矛盾！因此，f(x)在区间[0,2]不存在零点。
同理，我们可以证明f(x)在区间[-3,0]也不存在零点。
综上所述，这两道例题都依据了零点定理，通过张贴轮换和反证法的方式来证明结论的正确性。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
高一数学人必修教学课件函数的零点
复合函数中内层外层关系剖析
复合函数构成
01
复合函数是由内层函数和外层函数复合而成，内层函数的值作
为外层函数的自变量。
内层函数对零点影响
02
内层函数的值域决定了外层函数的定义域，内层函数的零点也
会影响到复合函数的零点。
外层函数对零点影响
03
外层函数的性质（如单调性、周期性等）会对复合函数的零点
产生影响。
04 复杂情境下函数零点问题探讨
含参数方程中参数对零点影响分析
参数变化引起函数图像变化
当参数变化时，函数的图像会随之变化，可能导致零点的位置、 数量等发生变化。
参数对函数单调性影响
参数的变化可能会影响函数的单调性，从而改变函数的零点分布。
参数对方程根的影响
含参数方程中，参数的变化可能会导致方程根的变化，进而影响函 数的零点。
分式函数和根式函数零点分析
01
分式函数零点求解
通过令分子为零，解出 $x$ 的值，同时要注意分母不能 为零的条件。
02
根式函数零点求解
将根式方程转化为整式方程进行求解，注意定义域的限 制。
03
复合函数的零点
通过逐步分析复合函数的组成部分，找出使整体函数值 为零的 $x$ 值。
三角函数和指数函数等特殊类型处理
解题技巧归纳提炼
观察法
通过观察函数表达式或 图像，直接找出零点或 判断零点所在区间。
代数法
将函数表达式化简或变 形，以便于求解方程得 到零点。
图像法
利用函数图像判断零点 的个数及所在区间，特 别适用于高次多项式函 数。
数值计算法
借助计算器或计算机程 序，采用逼近法求解方 程的近似根。
拓展延伸：高阶导数在寻找多重根中应用
2021年高一数学《零点存在性定理教学讲义》
5．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
6．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()
C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)
考法(二)已知函数零点所在区间求参数范围
[典例]若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
[题组训练]
1．若函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()
A．(1,3)B．(1,2)
B．在区间 ，(1，e)内均无零点
C．在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解题技法]掌握判断函数零点个数的3种方法
(1)解方程法
若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．
(2)定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
A．(0,1]B．[1，＋∞)
C．(0,1)D．(－∞，1]
9．已知函数f(x)＝ ＋a的零点为1，则实数a的值为______．
10．已知函数f(x)＝ 则f(x)的零点为________．
11．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．
高中新教材数学必修件第章函数的零点
05
思想
对称性在函数零点中体现
函数零点的对称性
对于某些函数，其零点在坐标系上呈现出对称性，如二次函数的两个零点关于对 称轴对称。
对称性的美学价值
对称性在数学中是一种重要的美学特征，它体现了数学中的平衡和和谐，使得函 数图像更加美观。
简洁性在函数零点中体现
函数零点的简洁性
函数零点作为函数与x轴交点的横坐标，具有简洁明了的数学 表达形式，如一次函数的零点即为其斜率和截距的比值。
对于函数$y = f(x)$，若存在$x_0 in D$（D为函数定义域），使得 $f(x_0) = 0$，则称$x_0$为函数 $y = f(x)$的零点。
零点与图像的关系
函数$y = f(x)$的零点即为函数图 像与x轴交点的横坐标。
函数零点存在性定理
零点存在性定理
若函数$y = f(x)$在闭区间[a, b]上连 续，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则函数 $y = f(x)$在区间(a, b)内至少存在一 个零点。
分段函数和复合函数零点问题
分段函数零点求解
针对每一段分别求解，注意端点处的取值情况，以及各段之间的 连续性。
复合函数零点分析
将复合函数分解为若干个基本函数，分别研究各基本函数的零点， 再综合得出复合函数的零点。
零点存在性定理的应用
在求解分段函数和复合函数零点时，可以运用零点存在性定理来判 断零点的存在性。
零点存在性定理的推论
若函数$y = f(x)$在区间(a, b)内单调 ，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则函数$y = f(x)$在区间(a, b)内有且仅有一个零 点。
函数零点与方程根关系
01
函数零点与方程根的关系
零点存在性定理
零点存在性定理前⾔函数的零点对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使得f (x )=0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．简⾔之，零点不是点，是实数；零点是函数对应的⽅程f (x )=0的根。
有关零点的⼏个结论(1).若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )⾄多有⼀个零点，也可能没有零点，⽐如f (x )=2x 单调递增，但没有零点。
(2).连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
⽐如函数f (x )=−(x −1)⋅(x −2)，在1<x <2时，函数值f (x )都是正值。
(3).连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如y =x 3在零点x =0处两侧的函数值不同；也可能不变号，如y =x 2在零点x =0处两侧的函数值相同。
重要转化函数y =f (x )=h (x )−g (x )有零点[数的⾓度]⟺函数y =f (x )与x 轴有交点[形的⾓度]⟺⽅程f (x )=0有实根[数的⾓度]⟺函数y =h (x )与函数y =g (x )的图像有交点[形的⾓度]具体应⽤时务必注意对函数f (x )的有效拆分，⽐如函数f (x )=lnx −x +2，拆分为①h (x )=lnx 和g (x )=x −2，或者拆分为②h (x )=lnx −2和g (x )=x ，都⽐拆分为③h (x )=ln x −x 和g (x )=2要强的多。
当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数h (x )的图像，就需要导数参与。
这时候，我们也就能理解有时候选择⽐努⼒更重要。
拆分原则：尽可能的拆分为我们学过的基本初等函数或初等函数，这样的拆分是上上策。
零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f (a )⋅f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内⾄少有⼀个零点，即⾄少存在⼀个c ∈(a ，b )，使得f (c )=0，这个c 也就是⽅程f (x )＝0的根．定理的理解需要注意：①零点存在性定理的使⽤有两个条件必须同时具备，其⼀在区间[a ，b ]上连续，其⼆f (a )⋅f (b )<0，缺⼀不可；⽐如，函数f (x )=1x在区间[−1，1]上满⾜f (−1)⋅f (1)<0，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼀条；再⽐如函数f (x )=2x ，在区间[−1，1]上满⾜连续，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼆条；②零点存在性定理只能判断函数的变号零点，不能判断不变号零点。
高中数学必修一 零点存在性定理及典例
零点存在性定理如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.②有1个零点，分别求a 的取值范围.解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则(0)0(3)00032f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点(0)011(3)03f a f >⎧⇒>⎨<⎩例1 已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0} = 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则1212340,.2260.a U x x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩ 因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}.例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}.∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解.∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0.解得，a ＜–1.3°当B = {0}，即方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时，即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
2020版新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修1
【思考】 能否用二分法求方程的近似解？ 提示：能，方程的根即为函数的零点.
3.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精度ε ，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，
使得|x1-x0|<ε 的一般步骤如下：
第一步，检查|b-a|<2ε 是否成立，如果成立，取
x1=
ab 2
，计算结束，如果不成立转到第二步；
5
【加练·固】 函数f(x)=2- 4 x2(x∈[-1，1])的零点个数为 _______. 【解析】令2- 4 x2 =0，解得x=0，所以函数仅有一个 零点. 答案：1
类型三 二分法的应用
角度1 二分法概念的理解
【典例】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，
不可能求出的零点是 ( )
【解析】设f(x)=x3+x2-2x-1， 则f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0， f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以f(-2)·f(-1)<0，f(-1)·f(0)<0，
Байду номын сангаас
f(1)·f(2)<0，所以∃x1∈(-2，-1)，x2∈(-1，0)， x3∈(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0. 则f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)内均有零点，即 ①②③正确. 答案：①②③
2.选B.f(1)=2-1=1，f(
1
)
1
22
2
2 2 0，
2
即f( 1 )
2
f(1)<0，所以∃x0∈
(
1 2
,1，) f(x0)=0，
零点存在性定理
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新 的视角和途径。
感谢您的观看
THANKS
在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深 化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推 广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更 加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、 向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$， 使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推 动了数学的发展，激发了众多数 学家和学者的研究热情，促进了 数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数 据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需 进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06
高三数学函数零点的判定定理知识点
⾼三数学函数零点的判定定理知识点 函数零点问题是⾼等数学中的重要问题，⾼中数学课程中有基本的介绍，下⾯是店铺给⼤家带来的⾼三数学函数零点的判定定理知识点，希望对你有帮助。
⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼀) 函数零点存在性定理： ⼀般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f(a)。
f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x)=0的根。
特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不⼀定唯⼀。
(2)并不是所有的零点都可以⽤该定理来确定，也可以说不满⾜该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2-3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点。
(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)。
f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯⼀的零点。
函数零点个数的判断⽅法: (1)⼏何法：对于不能⽤求根公式的⽅程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利⽤函数的性质找出零点。
特别提醒：①“⽅程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为⼀谈，如⽅程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，⽽函数f(x)=x2-2x +1在[0，2]上只有⼀个零点 ②函数的零点是实数⽽不是数轴上的点。
(2)代数法：求⽅程f(x)=0的实数根。
⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼆) 判断函数零点个数的常⽤⽅法 (1)解⽅程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有⼏个解就有⼏个零点。
(2)零点存在性定理法：利⽤定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点。
高中数学《零点定理》 (原卷版)
第九讲 零点定理 【套路秘籍】1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 二、二分法 （1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。
（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。
第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。
第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。
【套路修炼】考向一 零点区间【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝x 3－x －1，x ∈[－1,2]； (3)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．【举一反三】1.函数()21f x xlog x ＝－的零点所在区间是( ) A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．()1,2D ．()2,32.已知函数()21()2x f x lnx -＝－的零点为x 0，则0x 所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内4．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)考向二零点个数【例2】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【举一反三】1. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.2.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}3.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x≤0，2x－6＋ln x，x>0的零点个数是．4.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为．5.函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内零点个数为．考向三利用零点求参数【例3】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，(x－2)2，x>2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝⎛⎭⎪⎫74，2【举一反三】1.已知函数f(x)满足f(x)＝f⎝⎛⎭⎪⎫1x，当x∈[1,3]时，f(x)＝ln x，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax 与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝⎛⎭⎪⎫0，12eC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e2.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c【套路运用】1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )2.已知()23xf x xx x=+-，则()y f x=的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13.已知函数()131,2xf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x零点的是【套路总结】1.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2.在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭4.已知函数()|21,2,{ 3,2,1x x f x x x -<=>-若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()0,3D ．()1,35.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则两零点所在的区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1，＋∞)6.函数f (x )＝2x＋log 2|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－1x，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋19.函数3y x =与3y x =+图象交点的横坐标所在的区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]0,1 C ．[]1,0- D ．[]2,310.命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件11.定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（ ）A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +12．已知函数()231,01,0xx f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若存在()(]120,,,0x x ∈+∞∈-∞，使得()()12f x f x =，则1x 的最小值为（ ）A ．2log 3B ．3log 2C ．1D ．213.已知函数()xf x e =，()lng x x =，若有()()f m g n =，则n 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞14.若a 满足lg 6x x +=，b 满足106xx +=，函数()()22,0{2,0x a b x x f x x +++<=≥，则关于x 的方程()5f x x =的解的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．115.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当03x ≤≤时，()2f x x =-；当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()ln ||y f x x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 16．函数()πsin 25π6x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点的个数为（） A .16B .18C .19D .2017.已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大).18.若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是 ．19.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．20.若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是 ．21．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为 ．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 ．23．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )＋a ，x <0，f (x ＋1)，x ≥0，a ∈R ，当0≤x <1时，f (x )＝1－x ，则f (x )的零点个数为 ．。
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零点存在性定理
如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解
（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点
（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号
（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.
②有1个零点，分别求a 的取值范围.
解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下
则(0)0(3)00032
f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点
(0)011(3)0
3f a f >⎧⇒>⎨<⎩
例1 已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.
【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0} = 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或
若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则
1212340,.2260.a U x x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩ 因为在全集U 中集合3{|}2
a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}.
例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x
∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.
【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}.
∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .
1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得
22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解.
∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0.
解得，a ＜–1.
3°当B = {0}，即方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，
2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩
解得 4°当B = {–4}时，即需
2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩
无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.。