高中数学必修一 零点存在性定理及典例

零点存在性定理

如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解

（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点

（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.

②有1个零点，分别求a 的取值范围.

解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下

则(0)0(3)00032

f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点

(0)011(3)0

3f a f >⎧⇒>⎨<⎩

例1 已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.

【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0} = 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或

若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则

1212340,.2260.a U x x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩ 因为在全集U 中集合3{|}2

a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}.

例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x

∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.

【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}.

∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .

1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得

22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解.

∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0.

解得，a ＜–1.

3°当B = {0}，即方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，

2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩

解得 4°当B = {–4}时，即需

2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩

无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.