IIR模拟低通滤波器设计Word版

信息科学与工程学院综合性实验报告
姓名：学号
班级：
实验项目名称： IIR模拟低通滤波器设计
实验项目性质：设计性实验
实验所属课程：数字信号处理
实验室(中心)：
指导教师：
实验完成时间：年月日
一、实验目的
1、加深对无限冲激响应IIR 滤波器的常用指标和设计过程的理解。

2、学会用冲激响应不变法把模拟滤波器设计成数字滤波器。

3、进一步掌握matlab 在数字信号处理中的应用，以便以后的学习。

二、实验内容及要求
实验内容：要求按照设计指标设计无限冲激响应IIR 巴特沃什模拟低通 滤波器。

实验要求：必须掌握IIR 巴特沃什模拟低通滤波器的各个指标代表的含义，搞清
楚次实验的原理，有可能的话，用冲激响应不变法把模拟滤波器设计成数字滤波器。

三、实验原理
1、低通滤波器的技术要求用图形表示如下：
1
如上图表示了一个频域设计、一维低通滤波器的技术要求图。

和 分别称为通带截止频率和阻带截止频率。

通带频率范围为
，阻带频率范围为 。

从 到 称为过渡带，用 表示，在过渡带里，幅频特性单调下降。

在通带和阻带内的衰减一般用数 dB 表示。

通带内允许最大衰减是 ，阻带内允许最小衰减是 ，定义分别为：
2、 M atlab 信号处理工具箱中提供了设计巴特沃思模拟滤波器的函数buttord 、 buttap 和butter ，格式如下：
[,](,,,,C P S P S N W buttord W W R R s ='')
用于计算巴特沃思模拟低通滤波器的阶N 和3dB 截止频率Wc (即本书中的符号c Ω)。

其中，Wp 和Ws 分别是滤波器的通带截止频率p Ω和阻止截止频率s Ω，单位为rad/s ；Rp 和Rs 分别是通带最大衰减系数p α和阻带最小衰减系数s α，单位为dB 。

[,,]()z p G buttap N =
用于计算N 阶巴特沃思归一化（c Ω=1）模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N 的向量z 和p 分别给出N 个零点和极点，G 是滤波器增益。

得
到的滤波器系统函数形式如下：
1212()()()
()
()()()()
()
a N a a N Q s s z s z s z H s G P s s p s p s p ---=
=---
其中，k z 和k p 分别是向量z 和p 的第k 个元素。

如果要从零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B 和A ，可以调用结构转换函数。

（实验中没有用到）
[,]2(,,)B A zp tf z p G =，结构转换后系统函数的形式为
111111()()()M M M
a N N N
b s b s b B s H s A s a s a s a ----+
++==
+
++
其中，M 是向量B 的长度，N 是向量A 的长度，k k b a 和分别是向量B 和A 的第k 个元素。

（3）[,](,,,)C B A butter N W ftype s =''''
p
ωs ωp 0ωω≤≤s πωω≤≤p ωs ωω∆p αs
α
p
j0
p j (e )20lg
(e
)
H H ωα=s j0
s j (e )20lg
(e )
H H ωα=
用于计算巴特沃什模拟滤波器系统函数中分子和分母多项式系数向量B 和A ，其中N 和C W 分别是滤波器的阶和3dB 截止频率c ，返回向量B 和A 中的元素k a 和k b 分别是上面的()a H s 表示式中的分母和分子系数。

ftype 缺省时，设计低通滤波器，S 缺省时，设计数字滤波器。

四、实验仪器、材料
PC 机一台、MATLAB 软件实验平台 五、实验过程及原始记录
1、巴特沃什模拟低通 滤波器设计指标如下：
实验所用到的程序如下：
wp=0.4*pi ;ws=0.45*pi ;Rp=5;Rs=10; [N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); w=0:0.001:6; [H,W]=freqs(B,A,w); H=20*log10(abs(H)); plot(w,H),grid on ;
xlabel(‘频率/(rad/s)');ylabel('幅度/dB')
经MATLAB 仿真以后得到的滤波器如下图所示：
-60
-50
-40
-30
-20
-10
10
幅度/d B
巴特沃什模拟低通滤波器
运行后在matlab 控制窗口上显示如下结果： 2、为了方便观察故设计了不同阶次N 的滤波器，即Butterworth 模拟原型低通滤波器，其程序代码如下： n=0:0.01:2; for ii=1:4 switch ii
case 1,N=2; case 2,N=5; case 3,N=10; case 4,N=20; end
[z,p,k]=buttap(N); [b,a]=zp2tf(z,p,k); [H,w]=freqs(b,a,n);
magH2=(abs(H)).^2; hold on ;
plot(w,magH2); end
xlabel('w/wc'); ylabel('|H(jw)|^2');
title('Butterworth 模拟原型低通滤波器'); text(1.5,0.18,'n=2') text(1.3,0.08,'n=5') text(1.16,0.08,'n=10') text(0.93,0.98,'n=20') grid on ;
仿真后结果图形如图：
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
|H (j w )|2
Butterworth 模拟原型滤波器
3、利用冲激响应不变法，把系统函数为6
51
)(2
+++=s s s s H a 的模拟滤波器变换成等价的数字滤波器，采样间隔T=1S 。

先经过计算得到：2
1
32651)(2
+++=+++=
s s s s s s H a ，则有如下式子 2
11
12130067.01851.012209.00000.1112)(-------+---=---==z
z z z e T z e T z H T T Matlab 实验参考程序如下:
B=[1,1]; A=[1,5,6]; T=1; Fs=1/T;
[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs); %用冲激响应不变法将模拟滤波器变换成数字滤波器
运行结果：
Bz =1.0000 -0.2209
Az = 1.0000 -0.1851 0.0067
得到的数据和先前计算得到的数据相同，故利用冲激响应不变化法把模拟滤波器设计成数字滤波器正确。

六、实验结果及分析
1、步骤1 中产生的低通模拟滤波器的系统函数，经计算为：
）
）（）（（（1893.1s 4144.152.024144.1483.12s 1.4144)2.143S s23625.3)(+++++++=
s s s s H a
经过仿真后的结果，与上式对比，所得结果进分析相同。

此处为N=7的低通模拟滤波器
2、在Butterworth 模拟原型低通滤波器中，可以看到，滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的增加而变得越来越好。

3、步骤3中，利用冲激响应不变法，把系统函数为6
51
)(2
+++=
s s s s H a 的模拟滤波器变换成等价的数字滤波器，在matlab 仿真软件中验证了冲激响应不变法的正确性。

七、实验体会
1、在此实验中，把在课堂上一些没搞懂的内容进行了细致的分析，得到冲激响应不变法设计数字滤波器的过程如下：
确定模拟滤波器的系统函数
的技术指标； 根据技术指标设计 ，并将其写为 形式；
获得冲激响应不变法设计的数字滤波器的系统函数 为
2、根据采样定理可知，只有当模拟滤波器是带限时，即当 ，
时才有
如果模拟信号的频带不是限于 之间，则会在 的奇数倍附近产生频 率混叠，即冲激响应不变法的频率混叠现象。

3、此次对matlab 的滤波器设计运用，对以后的通信原理仿真和理论知识有了进一步的了解，对此次通信原理课程设计做了提前预习。

在设计滤波器时中，收获最大的是，掌握了冲激响应不变法设计数字滤波器的用法，可以很好的熟练掌握滤波器的各种设计，对以后的编程有了很大的帮助，同时也对matlab 产生了极大的兴趣。

4
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
a ()H s a ()H s k a 1k
()N
k A
H s s s ==-∑k k
1
1()1e
N s T k A H z z -==-∑
π
||T
Ω≥a (j )0H Ω=a 1()()
H z H s T
=π/T ±π/T ±。