正弦稳态响应的叠加

+ 1.761E-02Cos( 1.900E+04t +93.01) + 1.442E-02Cos( 2.100E+04t -87.27)
必作习题：第449~449页 第十章：10 – 61 、10 – 62 2002年春节摄于成都人民公园
例10-27 图(a)所示电路中，已知
100t 10 )V 电压源电压 uS (t ) 20cos(

电流源电流 iS (t )
2 cos(200 t 50 )A
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
u ( t ) 20 cos( 100 t 10 )V 单独作用时产生 解：1.计算 S
20 4 20 5 cos( ω 1t ) cos(3 ω 1t ) cos(5 ω 1t ) V 3
(1) 5V直流电压源作用时，由 于=0，在直流稳态条件下，电感 相当于短路，所以
u0 (t ) U 0 5V
(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相 应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量
到电阻上稳态电压的瞬时值
u (t ) u 0 (t ) u1 (t ) u 3 (t ) u 5 (t ) [5 4.5 cos(103 t 45 ) 0.67 cos(3 103 t 71.6 ) 0.25cos(5 103 t 78.7 ) ]V
相量电压分量
U 3
R U S3 R j3ω1 L
10 20 0.475 71.6 V 10 j30 3π 2
瞬时值表达式为
u3 (t ) 0.671cos(3 10 t 71.6 )V
3
(4) 五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时， 51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量
例10-28 图10-56(a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电 压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电 压u(t)。
图 10－56
uS (t )
A 2A 1 1 cos( ω t ) cos( 3 ω t ) cos( 5 ω t ) 1 1 1 2 3 5
Cos( 7.000E+03t +98.13) + 7.811E-02Cos( 9.000E+03t -83.66)
+ 5.240E-02Cos( 1.100E+04t +95.19) + 3.756E-02Cos( 1.300E+04t -85.60) + 2.823E-02Cos( 1.500E+04t +93.81) + 2.199E-02Cos( 1.700E+04t -86.63)
u (t ) u ' (t ) u " (t ) 10 2 cos(100t 55 )V 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
u (t ) u ' (t ) u " (t ) 10 2 cos(100t 55 )V 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
电压分量
U 5
R U S5 R j5ω 1 L
10 4 0.1766 78.7 V 10 j50 π 2
瞬时值表达式为
u5 (t ) 0.25cos(5 10 t 78.7 )V
3
(5)其余谐波分量的计算方法相同 最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得
正弦稳态响应的叠加
本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路
中引起的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的
稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦
激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加 求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。 在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时， 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电 压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。
图(a),(b),(c)所 示三种非正弦 周期信号的傅 里叶级数分别 为：
4A 1 1 f (t ) sin(1t ) sin(31t ) sin(51t ) 3 5 A A 1 1 g (t ) sin(1t ) sin(21t ) sin(31t ) 2 2 3 4A 1 1 1 1 h(t ) cos( t ) cos( 2 t ) cos( 3 t ) 1 1 1 2 3 15 35
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将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型， 由此求得
j10 5 j50 “ U IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
由相量写出相应的瞬时值表达式
u" (t ) 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
3.根据叠加定理求稳态电压u(t) 将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
' " u ' (t ) 和 u " (t ) 的波形如图(a)所示。 u(t ) u (t ) u (t ) 的
波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳 态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应 的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信 号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。
注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。
本题用计算机程序ACAP求得输出电压前12项的结果
以及波形如下所示：
u 3(t)= 5.00 + .671 + .129 Cos( .000 t +.00) + 4.50 Cos( 1000. t -45.00) Cos( 3.000E+03t+108.43) + .250 Cos( 5.000E+03t -78.69)
U 1
R 10 20 U S1 3.183 45 V R jω1L 10 j10 π 2
相应的瞬时值表达式为
u1 (t ) 4.5 cos(10 t 45 )V

3
(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时， 31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的
的电压 u ' (t )
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
j5 j5 ' U US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5
由相量写出相应的瞬时值表达式
u' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2.计算 iS (t ) 2 cos(200t 50 )A 单独作用时产生的 电压 u " (t ) 。