正弦稳态响应的叠加
正弦稳态响应
当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
9
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
Am sin(t ) Re( Ame j(t) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
T0
15
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指
的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
20
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
4.4正弦稳态响应
4.4
正弦稳态响应
一、正弦稳态的功率
i + u –
I
•
无源 网络
•
U
•
+ –
无源 网络
=U Ψu U
•
u = 2Ucosωt √ ω
I = I Ψi
•
U =Z ϕ Z= • I i= 2Icos( ωt– ϕ) √ ° • U 0° I –ϕ • ϕ 0° I = ° = U =U Z ϕ
• I1 ϕ • I ϕ1
=11×0.866 －6.04×0.415 =7.02 A × ×
IC = 101.57 µF C= ωU
4.4
正弦稳态响应
7、最大功率传输
NS
ZL
+ –
Zin .
ZL
UOC
ZL= Z* in
4.4
正弦稳态响应
最大功率传输定理 工作于正弦稳态的单口网络， 工作于正弦稳态的单口网络，在负 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 * 轭复数（ 轭复数（即 Z L = Z o ）时，负载可以获得 最大平均功率
• •
•
•
4.4
正弦稳态响应
谐振电路呈现电阻性 电源供给电路的能量全部被电阻所消耗， 电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发 生在电感线圈和电容器之间。
I
• U
•
R jωL ω ∩∩ ∩ ∩∩ ∩ • • + U – + UL– + R
UL
电 源 P1=UI1cosϕ1 ϕ cosϕ1 =0.5 ϕ 1.21×103=220×11× cosϕ1 × × × ϕ
同济电路理论期末总复习
iCR +UC = 0
由于 1 +
t=0 K 2
iC R C
du C iC dt
U
-
uC
十二、一阶电路的三要素法 稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的 三要素，通过三要素可以直接写出一阶电路的全 响应。这种方法称为三要素法。 若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
九、最大功率传输定理：
含源线性电阻单口网络(Ro>0)向可变电阻负载 RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单口网 络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时，称为最 大功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为
u pmax 4Ro
2 oc
(4 14)
十、一阶电路的零状态响应
零状态响应：在所有储能元件的储能为零的情况下，仅 由外加电源输入引起的响应。
功率守恒
P Pk
p(t ) pk (t )
十六、正弦稳态最大功率传递功率
负载获得最大功率的条件为
. I . US ＋ － ZS ZL
XL XS RL RS
Z L Z S Rs jX s
最大功率为
U Pmax 4 RS
2 S
十七、正弦稳态的叠加
叠加原理 可以计算多个正弦电源作用于网络的稳态响应。 根据叠加原理，需先求出各正弦电源单独作用下的 正弦稳态分量。
六、叠加定理 以上表明，由两个独立电源共同产生的响应，
等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线
性电路的这种叠加性称为叠加定理。
叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻
电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立 电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
对叠加定理几点感悟
对叠加定理的几点感悟一、叠加定理（superposition theorem ）的定义 在线性系统或线性电路中，如果有两个或两个以上的激励同时作用，则响应等于诸激励分别单独作用下产生的诸响应分量之和。
推论（齐性定理）：在线性电路中，当所有的激励源（电压源和电流源）都同时增大或缩小K 倍（K 为常数）时，响应（电压源和电流源）也将同样增大或缩小K 倍。
二、运用叠加定理的注意点1、叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。
2、叠加时，电路的联接方式以及电路中的有电阻和受控源都不能变动。
电压源不作用以短路代替；电流源不作用以开路代替。
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向，即各个电源单独作用时产生的分电流或分电压的参考方向，与电路中全部电源共同作用时对应的电流或电压的参考方向相同时取正号，反之取负号。
4、叠加定理不能用于计算功率。
三、叠加定理的应用1、电路如图所示，若已知：V2sin 15,V cos 20 )3(V5,V 10 )2(V 10,V 5 )1(2S 1S 2S 1S 2S 1S t u t u u u u u ωω======试用叠加定理计算电压u 。
解：①画出uS1和uS2单独作用的电路，如图(b)和(c)所示，分别求出：V) 2sin(15,V ) cos(20 )3(V5,V 10 )2(V 10,V 5 )1(2S 1S 2S 1S 2S 1S t u t u u u u u ωω======②根据叠加定理：2S 1S "'2.04.0u u uu u +=+=③代入uS1和uS2数据，分别得到：V)]2sin(3)cos(8[V )]2sin(152.0)cos(200.4[ )3(V5V 52.0V 100.4 )2(V 4V 102.0V 50.4 )1(t t t t u u u ωωωω+=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=2、用叠加定理求图 (a)电路中电压u。
(完整版)电路分析基础知识点概要(仅供参考)
电路分析基础知识点概要请同学们注意：复习时不需要做很多题，但是在做题时，一定要把相关的知识点联系起来进行整理复习，参看以下内容：1、书上的例题2、课件上的例题3、各章布置的作业题4、测试题第1、2、3章电阻电路分析1、功率P的计算、功率守恒：一个完整电路，电源提供的功率和电阻吸收的功率相等关联参考方向：ui=P-P=；非关联参考方向：ui<P吸收功率0P提供（产生）功率>注意：若计算出功率P=-20W，则可以说，吸收-20W功率，或提供20W功率2、网孔分析法的应用：理论依据---KVL和支路的VCR关系1）标出网孔电流的变量符号和参考方向，且参考方向一致；2）按标准形式列写方程：自电阻为正，互电阻为负；等式右边是顺着网孔方向电压（包括电压源、电流源、受控源提供的电压）升的代数和。
3）特殊情况：①有电流源支路：电流源处于网孔边界：设网孔电流=±电流源值电流源处于网孔之间：增设电流源的端电压u并增补方程②有受控源支路：受控源暂时当独立电源对待，要添加控制量的辅助方程3、节点分析法的应用：理论依据---KCL和支路的伏安关系1）选择参考节点，对其余的独立节点编号；2）按标准形式列写方程：自电导为正，互电导为负；等式右边是流入节点的电流（包括电流源、电压源、受控源提供的电流）的代数和。
3）特殊情况：①与电流源串联的电阻不参与电导的组成；②有电压源支路：位于独立节点与参考节点之间：设节点电压=±电压源值位于两个独立节点之间：增设流过电压源的电流i 并增补方程③有受控源支路：受控源暂时当独立电源对待，要添加控制量的辅助方程4、求取无源单口网络的输入电阻i R （注：含受控源，外施电源法，端口处电压与电流关联参考方向时，iu R i =） 5、叠加原理的应用当一个独立电源单独作用时，其它的独立电源应置零，即：独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替；但受控源要保留。
注意：每个独立源单独作用时，要画出相应的电路图；计算功率时用叠加后的电压或电流变量求取。
ANSYSWorkbench正弦响应分析之详细版
ANSYSWorkbench正弦响应分析之详细版这是 ANSYS 工程实战第 42 篇文章问题描述：正弦分析选用的项目模块为谐响应分析（Harmonic Response），这里对谐响应分析的关键知识点和正弦分析具体分析步骤和方法进行了详细介绍。
1. 谐响应分析理论介绍1.1 谐响应分析的定义谐响应分析是用于确定线性结构在承受一个或多个随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的一种技术。
1.2 谐响应分析的目的谐响应分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值对频率的曲线（如位移对频率曲线），从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步考察频率对应的应力。
1.3 谐响应分析的输入条件谐响应分析的输入条件：相同频率的多种载荷。
1.4 谐响应分析的运算求解方法谐响应分析的运算求解方法包括完全法（Full）和模态叠加法(Mode Superposition)。
完全法是一种最简单的方法，不需要先进行模态分析，但求解更耗时，对于复杂结构，8核并行运算，一般计算时间在3h以上。
模态叠加法是 Workbench 谐响应计算的默认求解方法，从模态分析中叠加模态振型。
采用模态叠加法进行谐响应分析时，首先需要自动进行一次模态分析，虽然首先进行的是模态分析，但谐响应部分的求解仍然比完全法快的多。
一般对于复杂结构，8核并行运算，谐响应部分的计算时间小于0.5h。
2. 用完全法进行正弦分析的分析步骤及设置2.1 插入响应模块完全法进行正弦分析时直接将 Analysis Systems 下的 Harmonic Response 谐响应模块拉到项目管理区中或者直接引用项目管理区中模态分析的模型（Model），如图 1 所示。
图 1 插入响应模块2.2 三维模型导入及处理在 Inventor 软件中对行波管进行建模，经过模型干涉检查合格后，将建立好的模型生成stp 格式，导入到有限元软件ANSYS Workbench 中，行波管模型如图 2 所示，包括底板、包装件、电子枪、收集极和高频等组件。
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
电路分析基础自测题(含大纲)-推荐下载
《电路分析》考试大纲（专科，专升本，本科）一.课程性质和目的本课程是高等学校工科（特别是电子类专业）的重要基础课，它具有较强的理论性，而对指导后续课程的学习具有普遍性。
通过学习，使学生掌握电路的基本概念，基本定律，基本定理，分析方法等，提高解题的灵活性。
培养学生分析问题解决问题的能力，为以后课程的学习打好基础。
本课程前修课程为“大学物理”及“高等数学”。
二.主要教材：《电路分析》胡翔骏编高等教育出版社三.内容及考核重点按教材章节列出，有*号的内容对专科不要求。
上篇电阻电路分析第1章电路的基本概念和定律1-1. 电路和电路模型: 集总参数, 电路模型。
1-2.电路的基本物理量：电流，电压，电功率，电位，关联参考方向。
1-3. 基尔霍夫定律：KCL , KVL及其推广。
1-4. 电阻元件：定义，线性非时变电阻的欧姆定律（VCR），功率，开路，短路的概念。
电阻器的额定值。
1-5. 独立电压源及独立电流源：定义及其性质。
1-6. 两类约束及电路方程。
1-7. 支路电流法和支路电压法。
1-8. 分压电路和分流电路：熟记分压分流公式。
第2章线性电阻电路分析2-1.电阻单口网络：线性电阻串联、并联、混联的等效电阻。
独立电压源串联，独立电流源并联。
含独立源电阻单口网络的两种等效电路及等效互换。
*2-2.电阻星形联接与三角形联接：相互等效变换的公式。
2-3.网孔分析法：列写方程的方法和规律，含独立电流源电路网孔方程列写。
2-4.结点分析法：列写方程的方法和规律，含独立电压源电路结点方程列写。
*2-5.含受控源电路分析：四种受控源的描述方程及符号。
含受控源单口网络的等效。
含受控源电路的网孔方程列写及结点方程列写。
2-6.电路分析的基本方法：对本章的总结。
第4章网络定理4-1.叠加定理：线性电路及其性质。
叠加定理解题。
4-2.戴维宁定理：用戴维宁定理解题的步骤方法。
4-3.诺顿定理和含源单口网络的等效电路：用诺顿定理解题的步骤方法。
第9节 正弦稳态电路的叠加
例4-9-1 试用叠加定理求图4-9-1(a)所示电 路的电压 uC.已知:u s = 50 2 sin t , is = 10 2 sin(t + 300 ),
L = 5H , C = 1 F 3
二,多个不同频率正弦激励的电路
对于不同频率正弦激励的电路,整体不符合单一频 率的条件,不能采用相量法. 在运用叠加定理求每一激励单独作用的响应时, 在运用叠加定理求每一激励单独作用的响应时,则 可作出不同频率下的相量模型运用相量法求解.在 可作出不同频率下的相量模型运用相量法求解 求得各激励单独作用的分响应相量后,将其转换成 转换成 对应的正弦函数形式,然后叠加得出总响应. 对应的正弦函数形式 注意:在作不同频率下的相量模型时,对于同一个L,C 元件在各个相量模型中的感抗和容抗是不相同的, 例如,设有频率分别为ω1,ω2的两个激励,则其感 抗和容抗分别为 : 1 1 ω1 L , ω 2 L , ω C ω C 1 2
所以i 的有效值为
1 05 0 45 2 2 + = 0 808 A I = I1 + I 3 = 2 2
2 2
平均值 一个非正弦周期量的平均值为
1 A0 = T
∫ f (t ) d t
0
T
实际中,常把周期量的绝对值在一个周期内平均值定义为
1 Aav = T
∫
T
f (t ) = A0 + ∑ AKm sin( Kωt +ψ k )
k =1
∞
f (t ) = A0 + ∑ AKm sin( Kωt +ψ k )
k =1
∞
式中k=1,2,3……; A0称为直流分量 直流分量; 直流分量 A1msin(ωt+Ψ1)的频率与非正弦周期量f(t)的频率相同,称 为基波分量或一次谐波 基波分量或一次谐波; 基波分量或一次谐波 其余各相的频率为非正弦周期量f(t)的频率的整数倍,统 称为高次谐波 高次谐波. 高次谐波 在工程上,一般只需要取前几项之和,近似表征非正弦 周期函数.
第十章(频率响应 多频正弦稳态电路 )
§3-3 有效值
10-18
根据有效值的定义, 根据有效值的定义,周期性电流的有效值是一与直流 电流数值相等的常数,它与周期性电流在R上的平均功率 电流数值相等的常数,它与周期性电流在 上的平均功率 相等, 表示该电流 表示该电流, 相等,以I表示该电流,则
I R = I0 R + I R + I 2 R + ...+ I N R
∫
T
0
1 T T cos ωtdt = ∫ (1+ cos 2ωt)dt = ≠ 0 2 0 2
2
∴多个同频率正弦激励下的稳态电路不能用叠加原理求P. 多个同频率正弦激励下的稳态电路不能用叠加原理求 . 若 i1 = cos ωt , i2 = cos2ωt , 则
∫
T
0
1 T cosωt cos 2ωtdt = ∫ (cos 3ωt + cosωt)dt = 0 2 0
(3)转移函数— 响应,激励不在同一端口 转移函数— 响应, 例题 求图所示电路的转移函数
解
10-8
U2 U1
利用分压关系, 利用分压关系,由相量模型 可得
U2 1 Hu = = U1 1+ jωRC
与上节例题所得Z仅有常数 的差别.故幅频特性, 与上节例题所得 仅有常数R的差别.故幅频特性, 相频特性在数学,图形表示上是类似的, 相频特性在数学,图形表示上是类似的,同样具有低通 和滞后性质. 和滞后性质. (4)以上所述电路的 滤波特性与理想情况相差较大, 以上所述电路的LP滤波特性与理想情况相差较大 滤波特性与理想情况相差较大, 只是最简单的LP滤波电路 滤波电路. 只是最简单的 滤波电路.
10-13
不是常数,输出u的波形肯定与输入 由于 H( jω) 不是常数,输出 的波形肯定与输入 方波不同,但仍为周期波,其周期仍为1 . 方波不同,但仍为周期波,其周期仍为1ms. 特别注意: 特别注意: 运用叠加原理的结果只能把各谐波的瞬时值罗列在 一起, 一起,绝不可把各谐波的振幅相量或有效值相量进行复 数相加. 数相加.
电路原理 正弦稳态电路的计算
j10Ω I
A
A
I1
I2 C1
B
5Ω j5Ω V
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算
(2) 利用相量图分析求解
15
j10Ω I
A
I1
A I2 C1
B
5Ω j5Ω V
已知：I1= 10A、 UAB =100V，
求：A、V 的读数
解法1: 用相量计算
•
US 1
+
•
U s1 -
j
X
L
I2
I3
R
•
US
2
- I1 I2 I3 0
- j2I1 5I3 100
j5I2 5I3 j100
R
•
I3
②
3.6.2图(b)
•
I2 +
•
U s2 -
8
(2)回路电流法
•
I
1
jX C
jX L
+
•
•
U s1
Ia
-
•
Ib
R
•
I3
R - j X C
Ia
RIb
IC2 UC1
IR2 UR1 1
U2C 2 I1 C 1
U2 R2
I1 R1
•
I1
R1
C1
•
IC2
U + +
•
U1
•
-
3
R2
C2
•
+ •
U2
-
I R2
-
3.6.4例5图(a)
•
正弦稳态响应
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
t
uC (t) [uC(0) UCmcosu] eRC UCm cos(t u ) (t 0)
暂态响应
正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
245 6.0880.54
0.329 35.5 V
由此得到电容电压的瞬时值表达式
uCp (t) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电 容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电
压相量
U Cm
230
[0.5( j)2 0.5(j) 1]
230 1 j1
2 105 V
根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t) 2 cos(2t 105 )V
uCp (t) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm e j3t )
代入微分方程中
Re[(j3 2＋1)UCmej3t ] Re(2ej45ej3t )
第9章正弦稳态电路的频率响应
第9章 正弦稳态电路的频率响应9.1 网络函数【网络函数（传递函数）】 网络函数又称为传递函数。
图9-1-1所示正弦稳态下的线性时不变电路，只有一个激励()E j ω 和一个响应()R j ω ，称为单输入――单输出网络，网络函数()H j ω定义为def()()()Rj H j E j ωωω= 由于激励()Ej ω 和响应()R j ω 均可以是端口电压或电流，且可以位于不同端口，也可以位于同一个端口，因此，网络函数有6种类型。
网络函数取决于电路的结构，参数和激励的角频率。
图9-1-1 单输入――单输出网络【频率响应】 正弦稳态电路的响应随激励角频率的变化规律，称为电路的频率响应。
网络函数()H j ω能反映线性时不变电路的频率响应，通常将()H j ω写成极坐标形式，即()()()H j H j j ωωϕω=∠【幅频特性】 ()H j ω表征响应的幅值随激励角频率的变化规律，称为幅频响应，亦称幅频特性。
【相频特性】 ()j ϕω表征响应的相角随激励角频率的变化规律，称为相频响应，亦称相频特性。
【例9-1-1】 试确定图9-1-2所示电路的电流增益()()()o s Ij H j I j ωωω= 。
sI0.5Fo图9-1-2 例9-1-1 图解 由分流关系可得42(1)12420.5s sj I I j I j jωωωω+==++- 因此()(1)arctan 22osI H j j I ωωω==+=9.2 谐振电路的频率响应【谐振】 至少包含一个电感和一个电容元件的无源一端口网络，当其端口等效阻抗（或导纳）呈现纯电阻性时，称电路发出了谐振，或电路工作在揩振状态。
【谐振电路】 谐振电路对信号频率具有选择性，广泛应用于通信系统中。
最简单的揩振电路为RLC 串联谐振电路和RLC 并联揩振电路。
9.2.1 RLC 串联揩振电路【RLC 串联谐振角频率】 图9-2-1所示为RLC 串联电路。
频率响应 多频正弦稳态电路
R
低通
U 0
_
U i
_
U U 0 i
_ _
U 0
_
R1
U i
_
C
R
C
R
C
低通
R2
U 0
_
U i
_
U 0
_
高通
15
§11-4 正弦稳态响应的叠加
11.4.1 正弦稳态叠加原理
几个频率相同或不同的正弦激励在线性时不变电路 中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理求解 —— 先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时 产生的电压电流相量，然后得到电压uk(t)电流和ik(t) ，最后相加求得总的稳态电压u(t)和电流i(t)。
由相量写出相应的时间表达式
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
18
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
3. 叠加求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相 加，得到非正弦稳态电压:
' U
j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5 17
由相量写出相应的时间表达式
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2. 电流源单独作用时,将电压源用短路代替，得图 (c)所示相量模型，则:
'' U
j50 j50 IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
正弦稳态响应
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
将正弦电流用相量表示
iS (t ) 2 cos(3t 45 ) Re(2e
e j3t ) e j3t ) u Cp (t ) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm
代入微分方程中
j3t Re[(j3 2 ＋ 1)UCme ] Re(2e e ) j3t j45
2 2
2
(10 8)
u i arctan(CR )
(10 9)
微分方程的完全解为
uC (t ) Ke
可以求得
t RC
U Cm cos( t u )
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
uCp (t ) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电
容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知
uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
等，由此得到一个复系数的代数方程
1 (j C )U Cm I Sm R
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
I Sm U Cm u jC 1 / R
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2 C 2 (1 / R) 2
对方程先求导，再取实部
e jt )] RC Re[( j )U e jt )] Re(U e jt ) LC Re[( j ) 2U Cm Cm Cm e jt ) Re(U
电工学I(电路与电子技术)[第二章正弦交流电路]山东大学期末考试知识点复习
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第二章正弦交流电路2．1．1 正弦量的三要素及表示方法(1)正弦交流电路：如果在线性电路中施加正弦激励(正弦交流电压源或正弦交流电流源)，则电路中的所有响应在电路达到稳态时，也都是与激励同频率的正弦量，这样的电路称为正弦交流电路。
(2)正弦交流电压或正弦交流电流等物理量统称为正弦量，它们的特征表现在变化的快慢、大小及初值3个方面，分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以称频率、幅值(或有效值)和初相位为正弦量的三要素。
(3)因为正弦量具有3个要素，它们完全可以表达对应的正弦量的特点和共性。
所以，只要能够反映出正弦的三要素，就可以找到多种表示正弦量的方法，其常见的表示方法如下。
①三角函数表示法和正弦波形图示法，比如正弦电压u=U m sin(ωt+φ)，其正弦波形如图2．1所示，但是正弦量的这两种表示方法都不利于计算。
②旋转矢量表示法，由于复平面上一个逆时针方向旋转的复数能够反映出正弦量的3个要素，因此可用来表示正弦量。
③相量及相量图表示法，由于正弦交流电路中的激励和响应均为同频率的正弦量，故可在已知频率的情况下，只研究幅值和初相位的问题。
这样，不仅可以用旋转矢量表示正弦量，而且也能把正弦量表示成复数(该复数与一个正弦量对应，称为相量)。
图2．1所示正弦电压的幅值相量和有效值相量分别为2．1．2 电路基本定律的相量形式将正弦量用相量表示有利于简化电路的分析和计算，其中电路分析的基本定律在频域中也是成立的，即为表2．1的电路基本定律的相量形式。
当用相量来表示正弦电压与电流，用复阻抗来表示电阻、电感和电容时，正弦交流电路的分析与计算也就类似于直流电路，复阻抗的串并联等效、支路电流法、叠加定理和戴维宁定理等分析方法均可应用。
为了研究复杂正弦交流电路中激励与响应之间的关系，以及研究电路中能量的转换与功率问题，就必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)元件在正弦交流电路中的特性(见表2．2)，以作为分析复杂正弦交流电路的基础。
电子科大《电路分析》第10章 正弦稳态分析
解： 2f 100 rad / s
u1 (t ) 50 cos(100t 30)V u2 (t ) 100 cos(100t 150)V
今后我们所见到的正弦波无非以三种形式来描述：
u2 (t ) 100 cos(100t 150)V I1m 560 A 2. I m I m I cos I sin I1m 6 j 7 A 3. I m m m
§10-4 三种基本电路元件伏安关系的相量形式
电阻:
U m RI m ,
U RI
U RI ,
u i
同相 正交
正交
电感:
U m jLI m ,
U jLI
U LI ,
u i 90
I jCU
电容:
I m jCU m ,
12 90,13 210, 23 120
13 150
规定相位差
二、正弦电压电流的相量表示
由欧拉公式有:
e
j
cos j sin
e
j (t )
cos(t ) j sin( t )
U e j 令U m m
§10-3 基尔霍夫定律的相量形式
虽然相量法将微分方程在正弦激励下的特解化成了
复数方程的求解，但对高阶电路，微分方程的建立仍是
一件很困难的工作。
对正弦激励下的电路，能否象直流激励下的电阻电 路那样，用观察法直接写出复数方程，回答是肯定的. 只要引入KCL, KVL和元件VCL的相量形式及相量模 型，就可以将电阻电路的所有分析方法推广到正弦稳态 电路。
一、简单推导
i1 i2 i3 0
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20 4 20 5 cos( ω 1t ) cos(3 ω 1t ) cos(5 ω 1t ) V 3
(1) 5V直流电压源作用时，由 于=0，在直流稳态条件下，电感 相当于短路，所以
u0 (t ) U 0 5V
(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相 应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量
u (t ) u ' (t ) u " (t ) 10 2 cos(100t 55 )V 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
u (t ) u ' (t ) u " (t ) 10 2 cos(100t 55 )V 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
图(a),(b),(c)所 示三种非正弦 周期信号的傅 里叶级数分别 为：
4A 1 1 f (t ) sin(1t ) sin(31t ) sin(51t ) 3 5 A A 1 1 g (t ) sin(1t ) sin(21t ) sin(31t ) 2 2 3 4A 1 1 1 1 h(t ) cos( t ) cos( 2 t ) cos( 3 t ) 1 1 1 2 3 15 35
正弦稳态响应的叠加
本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路
中引起的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的
稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦
激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加 求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。 在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时， 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电 压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。
Cos( 7.000E+03t +98.13) + 7.811E-02Cos( 9.000E+03t -83.66)
+ 5.240E-02Cos( 1.100E+04t +95.19) + 3.756E-02Cos( 1.300E+04t -85.60) + 2.823E-02Cos( 1.500E+04t +93.81) + 2.199E-02Cos( 1.700E+04t -86.63)
' " u ' (t ) 和 u " (t ) 的波形如图(a)所示。 u(t ) u (t ) u (t ) 的
波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳 态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应 的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信 号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。
例10-27 图(a)所示电路中，已知
100t 10 )V 电压源电压 uS (t ) 20cos(
电流源电流 iS (t )
2 cos(200 t 50 )A
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
u ( t ) 20 cos( 100 t 10 )V 单独作用时产生 解：1.计算 S
的电压 u ' (t )
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
j5 j5 ' U US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5
由相量写出相应的瞬时值表达式
u' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2.计算 iS (t ) 2 cos(200t 50 )A 单独作用时产生的 电压 u " (t ) 。
U 1
R 10 20 U S1 3.183 45 V R jω1L 10 j10 π 2
相应的瞬时值表达式为
u1 (t ) 4.5 cos(10 t 45 )V
3
(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时， 31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的
注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。
本ห้องสมุดไป่ตู้用计算机程序ACAP求得输出电压前12项的结果
以及波形如下所示：
u 3(t)= 5.00 + .671 + .129 Cos( .000 t +.00) + 4.50 Cos( 1000. t -45.00) Cos( 3.000E+03t+108.43) + .250 Cos( 5.000E+03t -78.69)
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型， 由此求得
j10 5 j50 “ U IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
由相量写出相应的瞬时值表达式
u" (t ) 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
3.根据叠加定理求稳态电压u(t) 将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
相量电压分量
U 3
R U S3 R j3ω1 L
10 20 0.475 71.6 V 10 j30 3π 2
瞬时值表达式为
u3 (t ) 0.671cos(3 10 t 71.6 )V
3
(4) 五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时， 51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量
+ 1.761E-02Cos( 1.900E+04t +93.01) + 1.442E-02Cos( 2.100E+04t -87.27)
必作习题：第449~449页 第十章：10 – 61 、10 – 62 2002年春节摄于成都人民公园
到电阻上稳态电压的瞬时值
u (t ) u 0 (t ) u1 (t ) u 3 (t ) u 5 (t ) [5 4.5 cos(103 t 45 ) 0.67 cos(3 103 t 71.6 ) 0.25cos(5 103 t 78.7 ) ]V
电压分量
U 5
R U S5 R j5ω 1 L
10 4 0.1766 78.7 V 10 j50 π 2
瞬时值表达式为
u5 (t ) 0.25cos(5 10 t 78.7 )V
3
(5)其余谐波分量的计算方法相同 最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得
例10-28 图10-56(a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电 压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电 压u(t)。
图 10－56
uS (t )
A 2A 1 1 cos( ω t ) cos( 3 ω t ) cos( 5 ω t ) 1 1 1 2 3 5