高考数学总复习 21 平面向量的实际背景及基本概念 新人教版

【优化总结】2013高考数学总复习 2-1 平面向量的实际背景及
基本概念 新人教版
1．下列说法正确的个数是( )
①零向量的模都相等；②模为1的向量都是相等向量；③相等向量的模都相等 A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：①、③的说法正确． 答案：C
2．下列说法不．
正确的是( ) A ．方向相同或相反的非零向量是平行向量 B ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量 C ．有公共起点的向量叫共线向量 D ．零向量与任一向量共线 答案：C 3．下列命题：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；
③四边形ABCD 是平行四边形，则必有AB →＝DC →； ④向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3 解析：对于①，显然为假命题；对于②，是假命题．两个非零向量共线说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等说这两个向量大小相等，方向相同．因而共线向量不一定是相等向量，而相等向量却一定是共线向量；
对于③，是真命题，这是因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，且AB ＝DC ，即AB
→
＝DC
→
；
对于④，是假命题，这是因为若a为零向量，则a与b平行，但零向量的方向可以是任意的．
答案：B
4．下列各量中不是向量的有________．
①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功
解析：由向量的定义知，②③④⑤为向量．
答案：①⑥⑦⑧
5．把平面上所有单位向量都平移到共同的起点，那么这些向量的终点构成的图形是________．
答案：一个单位圆
6.如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量
中，
(1)写出与AF
→
、AE
→
相等的向量；
(2)写出与AD
→
模相等的向量．
解：(1)与AF
→
相等的向量为BE
→
、CD
→
，与AE
→
相等的向量为BD
→
.
(2)DA
→
，CF
→
，FC
→
.
(时间：30分钟满分：60分)
知识点及角度
难易度及题号
基础中档
稍
难向量的有关概念1、25、7、8
向量的表示方法910 相等向量与共线向量3、4、68
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、
O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →
共
线的向量共有( )
A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
解析：如题中图，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →
，共9个．
答案：D
2．设O 为△ABC 的外心，则AO →、BO →、CO →
是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量
D ．起点相同的向量
解析：∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO →|＝|BO →|＝|CO →
|. 答案：C
3．如下图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
A ．|A
B →|＝|EF →| B.AB →与FH →
共线 C.BD →＝EH → D.DC →与EC →
共线
解析：线段BD 与EH 不一定平行，也不相等． 答案：C
4．如图在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )
A ．与A
B →相等的向量只有一个(不含AB →)
B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →
的模的3倍 D.CB →与DA →
不共线
解析：CB →，DA →
为平行向量，因此共线． 答案：D
二、填空题(每小题4分，共12分)
5.如图所示，已知边长为a 的等边三角形ABC 中，H 为边AB 的中点，则|CH →
|＝________.
解析：在Rt △AHC 中，|CH →
|＝ |AC |sin 60 °＝32
a . 答案：
32
a 6．给出以下4个条件：①a ＝
b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．
解析：|a |＝|b |并不能一定推出a ∥b ，其余选项均可以． 答案：①③④
7．已知菱形ABCD 的边长为1，∠A ＝60°，对角线交于点O ，以O 及四个顶点为端点的所有向量中，模最大的向量是________；模最小的向量是______，模的最大值为________．
解析：|AC →|＝|CA →|＝3，|OB →|＝|BO →|＝|OD →|＝|DO →
|＝12.
答案：AC →与CA → OB →，BO →，OD →，DO → 3
三、解答题
8.(10分)如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →
相等的向量有哪些？ (2)若|AB →|＝2，求向量EC →
的模．
解：(1)由题意，结合图知，与ED →相等的向量有AB →，DC →
.
(2)由题意知，EC ＝2 AB ，所以向量EC →
的模为4.
9．(10分)在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O . (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 解：所求向量如图所示：
10．(12分)已知飞机从甲地按北偏东30 °的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30 °的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地向西南方向飞行1 000 2 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
解：如图所示，A ，B ，C ，D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，△ABC 为正三角形，所以| AC →
|＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，
|CD →|＝1 000 2 km ，所以△ACD 为直角三角形，所以| AD →
|＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°. 即丁地在甲地的东南方向，距甲地1 000 2 km.。