最新高考数学解题方法探讨+数学破题36计(19-27计)-高中生家园优秀名师资料

第19计 模式开门

请君入瓮

●计名释义

数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.

如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力. 数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.

第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.

● 典例示范

【例1】 实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 （ ） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C .( 2-

+1，2-1) D .(-∞，2--1)

【分析】 容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？ 【解答】 如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ， 交y 轴于M ，N .连AB ， 则AB 过圆心C （1，0）.

等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ）， 必-c =1-2，得M （0，1-2）.

当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图 上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选B .

【例2】 正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++2222

222

22433

1531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 .

【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.

【解答】 将原方程组改写如下：⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=︒∙-+=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=︒∙∙-⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222

222

2

24120cos 23315150cos 31231xz z x z y y x y x ，

构造如图的直角三角形ABC ，使AB =5， AC =4，BC =3.又在△ABC 内取一点P ， 使∠APB =150°，∠APC =120°， ∠BPC =90°.显然符合题设条件. ∵S △APB +S △BPC +S △CPA =S △ABC ， 而S △APB =

21x ·3

1y ·sin150=341xy ， S △APC =

21xz ·sin120°=43xz ， 例2题解图 S △BPC =

21z ·31y =3

21yz ，S △ABC =6.∴341xy +43xz +321yz =6， ∴xy +2yz +3xz =24.3.

【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a 个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x 个标段的新路和n 个道路交叉口，n 与x 满足关系n=ax+b ，其中b 为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k 万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n 越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=

)

1(21

β+.

(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x

的函数关系式；

（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的 25％，求新建的x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p 的取值范围.

(Ⅲ)当b =4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p 最高时，问原有道路标段为多少个？ 【解答】 （Ⅰ）新建x 个标段，则应建n=ax+b 个道口，建x 个标段需kx 万元，建（ax+b ）个道口需 y=k β(ax+b )(万元). (Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］, ∴0.05≤

)

1(21

β+≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,

又p =y kx =)4()

4

1(41

)(2b a a b a a a b ax x +=

+∙=+βββ.

∵p >0,β>0，∴

b a a 42

+>0，当β∈［4,9］时，β

1

∈［91，41］，所求p 的范围是： )

4(4)4(922b a a

p b a a +≤

≤+. (Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大， 故β=9，又b =4. ∴p =

721

162911691)16(92=

⨯≤⎪

⎭⎫ ⎝

⎛+=+a a a a ，当且仅当a =a 16. a >0，即a =4时，造价比p =721为最高.∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.

【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n 、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.

【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小?

【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来. 【解答】 设扇形OAB 的半径为R ，中心角为2α. (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，

则S □CDEF ＝DE ·EF =Rsin θ·α

αθα2sin 22sin )2sin(2

R R =-·［cos2(α-θ)-cos2α］

当2(α-θ)=0，即θ=α时，S □CDEF 有最大值2

2

R tan α.

（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF ＝OE ＝R cos θ，

则S □CDEO =DE · EF =R sin θ·R cos θ=22R sin2θ，当2θ=2π即θ=4π=α，S □CDEO 有最大值2

2

R .

(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF 为扇形的内接矩形，取B A

的中点M ，连结OM ，则∠BOM =α,∠D E O =π-α，令∠D O M =θ，则矩形面积S =C D ·D E =2R ·s i n θ

α

αθαθαθαsin sin )sin(sin 2sin )sin(2

2R R R =-=-［c o s (2θ-α)-c o s α］，当c o s (2θ-α)=

1.

即θ=2α时，S max =

2

tan sin )cos 1(22α

θαR R =-.

此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF ，再沿其周界切开即可.