微分方程部分计算题

微分方程部分：

1．求微分方程

x dy y e dx -+=的通解． 解：

()

()

()

dx dx x x x y e e e dx C e dx C e x C ----⎰⎰=+=+=+⎰⎰． 2．求微分方程011x y dx dy y x

-=++满足条件(0)1y =的特解． 解：将微分方程分离变量，得：

(1)(1)x x dx y y dy +=+ 两边积分得2323

(1)(1)2323

x x dx y y dy x x y y C +=++=++⎰⎰ 所以332211()()32

x y x y C -+-= 代入(0)1y =得56

C =-， 原方程特解为：33222()3()5y x y x -+-=．

3．求解微分方程'31xy y x -=+． 解：将原方程整理得'211y y x x x

-=+ 为一阶线性齐次微分方程，此时211(),()p x q x x x x =-

=+，代入公式，得： 11(()2ln 2ln ln 22

2

()

1(())1[()]1[()]1()2

12dx dx x dx dx x

x x x x y e e e dx C e x e dx C x

e x e dx C x e x dx C x

x x C x x Cx ------⎰⎰=+⎰⎰=++=++=++=-++=-+⎰⎰⎰⎰．

4．求微分方程221(1)

dy y dx y x +=-的通解． 解：对原方程进行分离变量，得2211

ydy dx y x ∞=+-，两边积分得2211ydy dx y x =+-⎰⎰ 即有2111

x y C x -+=+（C 为任意常数）． 5．求微分方程y xdy e dx dx --=满足初始条件1|0x y ==的特解． 解：将原方程分离变量，得1y y e dy dx e x

=+ 两边积分，得1y y e dy dx e x

=+⎰⎰，有ln(1)ln ln x e x C +=+ 即1x

e Cx +=，代入初始条件1|0x y ==，得2C =，于是，所求得特解为ln(21)y x =-． 6.微分方程'

210y y x x

--=的通解． 解：将原方程写为'21y y x x -= 11

23

[][]

2dx dx x x y e x e dx C x xdx C x Cx -⎰⎰=+=+=+⎰⎰．

7．求微分方程(ln ln )dy x

y y x dx

=-的通解． 解：将方程变形为ln dy y y dx x x

= 可见方程为一个齐次方程。令y u x =，则,dy du y xu u x du dx

==+ 代入变形后的方程，有ln du u x u u dx +=， 分离变量，得(ln 1)du dx u u x

=- 两边积分，得ln(1)ln ln u x C -=+

即有1cx u e +=，将y u x =

代回，得到所求通解为：1cx y xe += 8．求微分方程'(1)x x e yy e +=满足初始条件1|1x y ==的特解．

解：原方程是可分离变量型的微分方程，得

1

x

x e ydy dx e =+ 两边积分，得

21ln(1)2x y e C =++ 即22ln(1)2x y e C =++

将1|1x y ==代入上式，得1ln(1)2C e =-++，从而所求特解为22ln(1)2ln(1)1x y e e =+-++

9．求微分方程'12ln y y x x =+-

满足初始条件1|2x y ==的特解． 解：将原方程变形为'12ln y y x x

+=+ 可见该方程为一阶非线性齐次方程，1,12ln P Q x x =

=+， 故其通解为

11

ln ln 2

222

2()

((12ln ))((12ln ))

1((12ln ))1(2ln )2

11(ln )21(ln )22

ln pdx pdx dx dx x x x x y e Qe dx C e x e dx C e x e dx C x xdx C x x x xdx C x x x x x dx C x x

x x x x C x C x x x ---⎰⎰=+⎰⎰=++=++=

++=++=+-+=+-+=+⎰⎰⎰⎰

⎰⎰ 将1|2x y ==代入上式得2C =，所以原方程的特解为：2ln y x x x =+