第八章多元函数PPT课件

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表示顶点在原点,开口向上的旋转抛物面方程 .
z
x2
y 2 是平面 z
1上的圆(曲线).
椭圆抛物面
z 1
z x2 y 1
y2是平面y 1上的抛物线(曲线).
z
z
x2 a2
y2 b2
z x2 y2 z 1
z x2 y2 y 1
z x2 y2
o
y
x
8
(三)曲面与方程
例5. 二次方程 z2 x2 y2 在空间直角坐标系下
U ( P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 } U ( P0 )


U ( P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 } U ( P0 )
z 1
x2 y2 y 1(1
R2
R)
z
x y
R2 1(1
1是直线(两平面的交线).
R)
z
x2 y2 R2 z 1
x2 y2 R2
x R2 1
y
1(1
R)
o
Ry
o
x R2 1
Ry
y1
x
x
7
(三)曲面与方程
例4. 二次方程 z x2 y2 在空间直角坐标系下
2
(二)空间任意两点间的距离
空间直角坐标系下,点 P 的坐标为 P(x , y , z) 在空间直角坐标系下,任意一点 P 与一个
三元有序数组(x , y , z)一一对应,即: 点 P 的坐标为 P(x , y , z)
空间直角坐标系下,两点 P1 (x1 , y1 , z1) 和 P2 (x2 , y2 , z2) 之间的距离为
表示顶点在原点的圆锥面.
z2
x2
y 2 是平面 z
1上的圆(曲线 ).
z 1
z2
x2
y2
z2
y2
1是平面x
1上的双曲线.
x 1
x 1z
(曲线)
z2 y2 1
x 1
o
y
x x1
z2 x2 y2
z 1
9
(三)曲面与方程
z2 x2 y2
x 0
z2 y2 x 0
0
z x
y 0
0

z y 0
x
0
z
x
y 0
0和
z x
y 0
0
是平面x
0上的直线.
z
z y 0
x
0
z y 0
o
x
0
y
x
10
(三)曲面与方程
例6. 二次方程 z y2 x2 在空间直角坐标系下
表示 双曲抛物面(鞍面). 当c0时 平面zc与曲面zy2x2的截痕为双曲线
y2x2c zc 当c0时平面zc与曲面
当球心在原点时,球面方程为 x2 y2 z2 R2
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
R x2 y2 z2 R2
o
R
R
x
y
6
(三)曲面与方程
例3. 二次方程 x2 y2 R2 在空间直角坐标系下
表示圆心在原点,母线平行于z 轴的圆柱面.
x2
y2
R 2 是平面 z
1上的园(曲线).
zy2x2的截痕为两条相交于原点
的直线 yx0 z0 yx0 z0
平面 yc 与曲面 zy2x2 的
截痕为抛物线 zc2x2 yc
平面 xc 与曲面 zy2x2 的截痕为抛物线
zy2c2 xc
11
第二节 多元函数的概念
(一)多元函数的定义 定义 8.2 设D为一个非空的二元有序数组的集合
f (x, y) D
第八章 多元函数 18-21学时
源自文库
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数与全微分 复合函数的微分法与隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分
1
第一节
空间解析几何简介
(一)
空间直角坐标系
z
按右手法则规定坐标轴的
正方向,构成空间直角坐标系.
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
3
(三)曲面与方程
定义81(曲面方程) 如果曲面 S 上任意一点的坐标都满足方程
F(x, y, z)0, 而不在曲面 S 上的点的坐标都不满足 方程 F(x, y, z)0,那么方程 F(x, y, z)0 称为曲面 S 的方程,而曲面 S 称为方程 F(x, y, z)0 的图形
在空间直角坐标系下表示平面.
2o
3y
x
其中,A、B、C、D为常数,A、B、C 不全为零.
平行于 xOy 平面 (垂直于 z 轴)的 z z2
平面方程为 z G (G为常数)
2
o
y
5
x
(三)曲面与方程
例2. 二次方程
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
在空间直角坐标系下表示球面. 其中,点 M0 (x0 , y0 , z0) 为球心,R 为半径.
4
(三)曲面与方程
例1.求与两定点P(1,1,0)和Q(2,1,3)等距离的点的轨 迹.
解:由 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 0)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2
得 2x 2 y 6z 9 0 , 为平面.
z
6
一次方程 Ax By Cz D 0 3x 2y z 6 0
z=f(x,y)
二元函数
independent variable ,dependent variable.
functional value :
z0
f
( x0 ,
y0 )
z
x x0 y y0
domain of definition :
在xOy平面上使函数 z=f(x,y) 有定义的一切点
的集合. 12
(一)多元函数的定义
类似可定义: 三元函数 u = f(x,y,z)
n 元函数 y f ( x1 , x2 , , xn )
自变量多于一个的函数统称为多元函数 (multivariate function).
我们重点讨论二元函数,所得的结果可直接 推广到多元函数.
13
(二)二元函数的定义域
二元函数的定义域在几何上表示xoy平面上一 个平面区域.包括边界在内的平面区域叫做闭区 域,不包括边界在内的平面区域叫做开区域.以 某点为中心的一个圆形开区域叫做该点的邻域.
包括:一个坐标原点O,
o
y
x
三个坐标轴:x 轴 (横轴)、y 轴 (纵轴)、 z 轴 (竖
轴) ,三个坐标平面: xOy 、yOz 、 zOx ,
八个卦限 :在xOy平面上方,含有 x 、 y 、z 正方 向的那个卦限称为第一卦限,其余三个卦限,按 逆时针方向,依次称为第二、三、四卦限.在xOy 平面下方,与第一、二、三、四卦限对称的卦限, 依次称为第五、六、七、八卦限.
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