第八章多元函数PPT课件
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大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念
性质
连续函数具有局部有界性、局部保号 性、可积性等性质。
多元函数连续性的性质
局部有界性
对于任意给定的正数ε,存在正数δ,使得当 所有自变量满足|x-x0|<δ时,|f(x)-f(x0)|<ε 。
局部保号性
如果函数在某点的极限值大于0,则存在一个正数δ ,使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时,f(x)>0。
多元函数可微性的定义
如果函数在某点的偏导数都存在,则该函数在该点可微。
偏导数的定义
对于多元函数,在某点的某个自变量变化时,其他自变量保持不变,得到的导数称为偏 导数。
多元函数可微性的性质
可微函数的偏导数连续
如果一个多元函数在某点可微,那么它的偏导数在该点 连续。
可微函数的偏导数存在
如果一个多元函数在某点可微,那么它的偏导数在该点 都存在。
学中一个重要的概念。
02
多元函数的极限
一元函数极限的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$,若在点$x_0$的某一 去心邻域内,当$x$无限趋近于$x_0$ 时,函数值$f(x)$无限趋近于某一常 数$A$,则称$A$为函数$f(x)$在点 $x_0$处的极限。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部有界 性、局部保号性、四则运算法则等。
大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概 念
目录 Contents
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限 • 多元函数的连续性 • 多元函数的可微性
01
多元函数的定义与表示
定义
多元函数
设D是一个非空实数集合,P是实 数集合中的一个非空子集,若对 于每一个x∈D,P中有一个确定 的数值y与之对应,则称y是x的函 数,记作y=f(x),其中x是自变量 ,y是因变量,P称为定义域,D 称为值域。
连续函数具有局部有界性、局部保号 性、可积性等性质。
多元函数连续性的性质
局部有界性
对于任意给定的正数ε,存在正数δ,使得当 所有自变量满足|x-x0|<δ时,|f(x)-f(x0)|<ε 。
局部保号性
如果函数在某点的极限值大于0,则存在一个正数δ ,使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时,f(x)>0。
多元函数可微性的定义
如果函数在某点的偏导数都存在,则该函数在该点可微。
偏导数的定义
对于多元函数,在某点的某个自变量变化时,其他自变量保持不变,得到的导数称为偏 导数。
多元函数可微性的性质
可微函数的偏导数连续
如果一个多元函数在某点可微,那么它的偏导数在该点 连续。
可微函数的偏导数存在
如果一个多元函数在某点可微,那么它的偏导数在该点 都存在。
学中一个重要的概念。
02
多元函数的极限
一元函数极限的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$,若在点$x_0$的某一 去心邻域内,当$x$无限趋近于$x_0$ 时,函数值$f(x)$无限趋近于某一常 数$A$,则称$A$为函数$f(x)$在点 $x_0$处的极限。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部有界 性、局部保号性、四则运算法则等。
大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概 念
目录 Contents
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限 • 多元函数的连续性 • 多元函数的可微性
01
多元函数的定义与表示
定义
多元函数
设D是一个非空实数集合,P是实 数集合中的一个非空子集,若对 于每一个x∈D,P中有一个确定 的数值y与之对应,则称y是x的函 数,记作y=f(x),其中x是自变量 ,y是因变量,P称为定义域,D 称为值域。
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数,则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ;
当 z2 6 时 , A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤:
第八章多元函数微分学课件
四.多元函数的连续性
习题
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点,δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域,记为U (P0, ),即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时,n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
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三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数,记作
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多元函数的基本概念课件
曲线积分的计算公式为:∫L f(x,y,z) ds, 其中L是积分曲线。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具,分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用,如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程,如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如,三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点, 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中,最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值;无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为: ∫∫D f(x,y) dxdy,其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具,分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用,如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程,如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如,三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点, 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中,最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值;无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为: ∫∫D f(x,y) dxdy,其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
高等数学8.1多元函数的基本概念ppt课件
函数的间断点: 若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则P0 称为函数f(x,y)的
间断点. 注:间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.
例
f(x,y)
xy
x2
y
2
,
x2
y2
0,
点(0,0)是f(x,y)的间断点;
0 , x2 y2 0.
z
sin
x2
1 y2
1
,
x2y21上的点是其间断点.
E的边界点的全体称为E的边 界.
开集: E{(x,y)|1<x2 +y2<4}
E
P
边界 :x2 +y2 1和x2y24
连通性:
设D是开集.如果对于D 内
任何两点,都可用属于D的折线
连结起来,则称开集D 是连通
的区域:
.
连通的开集称为区域或开区 域.
闭区域:
开区域连同它的边界称为闭 区域.
E1 P1
时,总有
|(x2y2)sin 1 0|<e
x2 y2 成立,所以 lim f (x, y) 0 .
x0 y0
必须注意: (1) 二重极限存在,是指P以任何方式趋于P0时,函数都无
限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,
则函数的极限不存在.
例
函数f(x,y)
xy x2 y2
z=f(x,y)(或z=f(P))
其中D称为定义域,x,y 称为自变量,z 称为因变量.
例 函数z=ln(x+y)的定义域为
y x2y21
{(x,y)|x+y>0}(无界开区域);
函数zarcsin(x2y2)的定义域为
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
邻域U(P, ), 使U(P, ) E为空集,则
称点P为E的 外点。
边界点的定义:
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义:
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义:
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点,
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义:
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义: 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下:
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
称点P为E的 外点。
边界点的定义:
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义:
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义:
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点,
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义:
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义: 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下:
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
多元函数的概念ppt课件
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如,{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ,
即 AP K
对一切 P E 成立,则称 E 为有界点集,否 则称为无界点集. 例如,
(2)区域
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的 一个点.如果存在点P 的某一邻域U(P) E , 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点,
则称 E 为开集.
P
例如,E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集.
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点,
当P P0时的极限,记为 lim f (P) A.
P P0
三、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
,如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点,如果 f (P )在点P0 处不连续,则称P0 是函数 f (P )的
(2)找两种不同趋近方式,使lim f ( x, y) 存在, x x0 y y0 但两者不相等,此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在.
利用点函数的形式有n元函数的极限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点,如果对于任意给定的正数 , 总 存 在 正 数 , 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D , 都 有 | f ( P ) A | 成立,则称 A 为n 元函数f (P )
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明,如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零, 并且这个点的海森矩阵(Hessian matrix)是正定的或负定的,那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域,对D 中的任意点P,若存在实数x、y、 z...与之对应,则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...),如果当 其他变量保持不变时,函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在,则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明,如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零, 并且这个点的海森矩阵(Hessian matrix)是正定的或负定的,那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域,对D 中的任意点P,若存在实数x、y、 z...与之对应,则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...),如果当 其他变量保持不变时,函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在,则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
多元函数微分基本概念ppt课件
n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.
10
Rn中两点x (x1,, xn ), y ( y1,, yn ) 的距离定义为
记作
特别, 点 x (x1, x2,, xn )与零元 0 的距离为
x x12 x22 xn2 当n 1,2,3时, x 通常记作 x .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
5
(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
6
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点,则称 E 为开集;
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
若点集 E E , 则称 E 为闭集;
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
趋于不同值或有的极限不存在,则可以断定函数极限
不存在 .
例3. 讨论函数
f
(x,
y)
x2
xy y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
x0
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
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z=f(x,y)
二元函数
independent variable ,dependent variable.
functional value :
z0
f
( x0 ,
y0 )
z
x x0 y y0
domain of definition :
在xOy平面上使函数 z=f(x,y) 有定义的一切点
的集合. 12
第八章 多元函数 18-21学时
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数与全微分 复合函数的微分法与隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分
1
第一节
空间解析几何简介
(一)
空间直角坐标系
z
按右手法则规定坐标轴的
正方向,构成空间直角坐标系.
4
(三)曲面与方程
例1.求与两定点P(1,1,0)和Q(2,1,3)等距离的点的轨 迹.
解:由 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 0)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2
得 2x 2 y 6z 9 0 , 为平面.
z
6
一次方程 Ax By Cz D 0 3x 2y z 6 0
U ( P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 } U ( P0 )
•
•
U ( P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 } U ( P0 )
2
(二)空间任意两点间的距离
空间直角坐标系下,点 P 的坐标为 P(x , y , z) 在空间直角坐标系下,任意一点 P 与一个
三元有序数组(x , y , z)一一对应,即: 点 P 的坐标为 P(x , y , z)
空间直角坐标系下,两点 P1 (x1 , y1 , z1) 和 P2 (x2 , y2 , z2) 之间的距离为
(一)多元函数的定义
类似可定义: 三元函数 u = f(x,y,z)
n 元函数 y f ( x1 , x2 , , xn )
自变量多于一个的函数统称为多元函数 (multivariate function).
我们重点讨论二元函数,所得的结果可直接 推广到多元函数.
13
(二)二元函数的定义域
二元函数的定义域在几何上表示xoy平面上一 个平面区域.包括边界在内的平面区域叫做闭区 域,不包括边界在内的平面区域叫做开区域.以 某点为中心的一个圆形开区域叫做该点的邻域.
表示顶点在原点的圆锥面.
z2
x2
y 2 是平面 z
1上的圆(曲线 ).
z 1
z2
x2
y2
z2
y2
1是平面x
1上的双曲线.
x 1
x 1z
(曲线)
z2 y2 1
x 1
o
y
x x1
z2 x2 y2
z 1
9
(三)曲面与方程
z2 x2 y2
x 0
z2 y2 x 0
0
z x
y 0
0
或
z y 0
x
0
z
x
y 0
0和
z x
y 0
0
是平面x
0上的直线.
z
z y 0
x
0
z y 0
o
x
0
y
x
10
(三)曲面与方程
例6. 二次方程 z y2 x2 在空间直角坐标系下
表示 双曲抛物面(鞍面). 当c0时 平面zc与曲面zy2x2的截痕为双曲线
y2x2c zc 当c0时平面zc与曲面
表示顶点在原点,开口向上的旋上的圆(曲线).
椭圆抛物面
z 1
z x2 y 1
y2是平面y 1上的抛物线(曲线).
z
z
x2 a2
y2 b2
z x2 y2 z 1
z x2 y2 y 1
z x2 y2
o
y
x
8
(三)曲面与方程
例5. 二次方程 z2 x2 y2 在空间直角坐标系下
在空间直角坐标系下表示平面.
2o
3y
x
其中,A、B、C、D为常数,A、B、C 不全为零.
平行于 xOy 平面 (垂直于 z 轴)的 z z2
平面方程为 z G (G为常数)
2
o
y
5
x
(三)曲面与方程
例2. 二次方程
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
在空间直角坐标系下表示球面. 其中,点 M0 (x0 , y0 , z0) 为球心,R 为半径.
zy2x2的截痕为两条相交于原点
的直线 yx0 z0 yx0 z0
平面 yc 与曲面 zy2x2 的
截痕为抛物线 zc2x2 yc
平面 xc 与曲面 zy2x2 的截痕为抛物线
zy2c2 xc
11
第二节 多元函数的概念
(一)多元函数的定义 定义 8.2 设D为一个非空的二元有序数组的集合
f (x, y) D
当球心在原点时,球面方程为 x2 y2 z2 R2
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
R x2 y2 z2 R2
o
R
R
x
y
6
(三)曲面与方程
例3. 二次方程 x2 y2 R2 在空间直角坐标系下
表示圆心在原点,母线平行于z 轴的圆柱面.
x2
y2
R 2 是平面 z
1上的园(曲线).
包括:一个坐标原点O,
o
y
x
三个坐标轴:x 轴 (横轴)、y 轴 (纵轴)、 z 轴 (竖
轴) ,三个坐标平面: xOy 、yOz 、 zOx ,
八个卦限 :在xOy平面上方,含有 x 、 y 、z 正方 向的那个卦限称为第一卦限,其余三个卦限,按 逆时针方向,依次称为第二、三、四卦限.在xOy 平面下方,与第一、二、三、四卦限对称的卦限, 依次称为第五、六、七、八卦限.
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
3
(三)曲面与方程
定义81(曲面方程) 如果曲面 S 上任意一点的坐标都满足方程
F(x, y, z)0, 而不在曲面 S 上的点的坐标都不满足 方程 F(x, y, z)0,那么方程 F(x, y, z)0 称为曲面 S 的方程,而曲面 S 称为方程 F(x, y, z)0 的图形
z 1
x2 y2 y 1(1
R2
R)
z
x y
R2 1(1
1是直线(两平面的交线).
R)
z
x2 y2 R2 z 1
x2 y2 R2
x R2 1
y
1(1
R)
o
Ry
o
x R2 1
Ry
y1
x
x
7
(三)曲面与方程
例4. 二次方程 z x2 y2 在空间直角坐标系下