线面垂直的判定

结论. 结论
内容结构 线面垂直的定义 线线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直
小结： 小结： 1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 入手指南：碰到证明线面垂直的问题， 线面垂直的问题 化为证明线线垂直 反之亦然. 线线垂直； 化为证明线线垂直；反之亦然. 相交； 2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交； 小心提醒：平面内的这两条直线应该相交 3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ 重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ 勾股定理的逆定理（已知长度） ①勾股定理的逆定理（已知长度） 等腰三角形的三线合一 ②等腰三角形的三线合一 利用线面垂直 线面垂直的性质 ③利用线面垂直的性质 平行移动不改变夹角大小 利用平行移动 ④利用平行移动不改变夹角大小 正方体（长方体）中的线线垂直、 ⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直 菱形(正方形） ⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直 ⑦相似
例4.
如图， 如图，直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD（侧棱与底 B C D - ABCD（ 面垂直的棱柱称为直棱柱） 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边 形 ABCD满足什么条件时 满足什么条件时， C⊥B ？ C⊥B’D A' ABCD满足什么条件时， A’C⊥B D’？ D'
B' C' A D B C 结论： 结论： 提示：为了求ABCD满足的条件，不妨把 满足的条件， 提示：为了求 满足的条件 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， ABCD的两条对角线互相垂直时 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， A’C⊥B’D’看成一个条件，看可以求出什么 看成一个条件， ⊥ 看成一个条件 C⊥B’D A’C⊥B D’ C⊥B
简记： 简记：线面垂直
线线垂直
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时,要把直线画 画直线与水平平面垂直时, 成和表示平面的平行四边形横边垂直。 成和表示平面的平行四边形横边垂直。
怎样判断线面垂直呢？ 怎样判断线面垂直呢？
问题
如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能 否判断这条直线和这个平面垂直？ 否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能 如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 否判断这条直线和这个平面垂直？ 否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 能否判断这条直线和这个平面垂直？
作业： 作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 P66－探究题， 条件，然后用你的这个条件来证明A C 条件，然后用你的这个条件来证明A’C⊥B’D’ D 2、（如图）在正方体AC1中， 、（如图）在正方体AC 如图 求证： 求证：(1)AC⊥平面 1DB ⊥平面D
(2)D1B⊥平面ACB1 B⊥平面ACB A1 D C A B D1 B1 C1
2.直线 垂直于△ABC 直线PA垂直于 直线 垂直于△ 所在的平面,则 与 所在的平面 则PA与BC 的位置关系是_____. 的位置关系是 垂直 3·如右图， ⊥ 平面ABC， 如右图， 如右图 PA ∆ABC中，BC ⊥ AB 则图中直角三角形的个 数是（ 数是（ A ） A 4 B 3 C 2 D 1
三、巩固练习 1.判断题 判断题 （1）如果一条直线垂直于平面内的无数条 ） 直线，那么这条直线和这个平面垂直. 直线，那么这条直线和这个平面垂直 (×) 垂直于直线a的所有直线都在 （2）过点 垂直于直线 的所有直线都在 ）过点A垂直于直线 过点A垂直于 的平面内. 垂直于a的平面内 (√ ) 过点 垂直于 的平面内 （3）如果三条共点的直线两两垂直，那 ）如果三条共点的直线两两垂直， 么其中一条直线垂直于另外两条直线所 在的平面. (√ ) 在的平面 a A
p
线面垂直的定义：
P
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α 互相垂直，记作l ⊥ α 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点P叫做垂足
线面垂直的条件常这样使用 线面垂直的条件常这样使用
l
α
a
a ⊂α
源自文库l ⊥α
a⊥l
P C A B
p
A B
C
有一根旗杆AB AB高 m，它的顶端A 例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子 的绳子， 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) 如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， A 和地面垂直，为什么？ 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？
线面垂直判定定理： 线面垂直判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。 都垂直，则该直线与此平面垂直。 l
即：m ⊂ α n⊂α m∩n=B l⊥m l⊥n
5个条件 个条件 B
⇒
α
n m
A
l ⊥α
简记：线线垂直， 简记：线线垂直，则线面垂直 关键：线不在多，相交则行 关键：线不在多，相交则行
a
b
例3.如图所示,
n
已知a//b,a ⊥ α α 求证:b ⊥ α 证明 : 在平面α内作两条相交直线m,n.
m
？
3.如图：已知点M是菱形 如图：已知点 是菱形 是菱形ABCD所在的平面 如图 所在的平面 的一点， 求证:AC ⊥ 平面 平面BDM. 求证 外的一点，且MA=MC,求证 M D O A B C
α
B C D
为下底面的中心, 例2、在正方体AC1中,O为下底面的中心, 在正方体AC ,O为下底面的中心 (1)求证 AC⊥面 求证： (1)求证：AC⊥面D1B1BD D1 C1 (2)求证： (2)求证：AC⊥D1O 求证
A1 B1
D A
C
O
B
反思： 反思： 1、入手指南：碰到证明线线垂直线面垂直的问 、入手指南：碰到证明线线垂直线面垂直的问 线线垂直线面垂直 题，也可转化为先证明线面垂直； 也可转化为先证明线面垂直； 线面垂直 2、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ 、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ ①勾股定理的逆定理（已知长度） 勾股定理的逆定理（已知长度） ②等腰三角形的三线合一 等腰三角形的三线合一 ③利用线面垂直的性质 利用线面垂直 线面垂直的性质 ④正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直 正方体（长方体）中的线线垂直、