线面垂直的判定
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中得垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直得判定定理:如果,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直得性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。
2.面面垂直两个平面垂直得定义:相交成得两个平面叫做互相垂直得平面。
两平面垂直得判定定理:(线面垂直面面垂直)如果,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直得性质定理:(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们得得直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直.这三者之间得关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级得垂直关系中蕴含着低一级得垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB就是圆O得直径,C就是圆周上一点,PA⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若D也就是圆周上一点,且与C分居直径AB得两侧,试写出图中所有互相垂直得各对平面.2、如图,棱柱得侧面就是菱形,证明:平面平面3、如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA1=2,M就是棱CC1得中点(Ⅰ)求异面直线A1M与C1D1所成得角得正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1 M14、如图,就是圆Ｏ得直径,Ｃ就是圆周上一点,平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC.5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您得结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VADVDC B A SAB8、如图,平行四边形中,,,将沿折起到得位置,使平面平面、求证:9、如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别就是AP、AD得中点求证:(1)直线EF‖平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD10、如图,在三棱锥中,平面平面,、过作,垂足为,点分别就是棱得中点。
线面垂直的7种判定方法
线面垂直的7种判定方法
1.看线面的夹角：如果线面的夹角为90度，则可以判定为线面垂直。
2. 使用直角三角形定理：如果一条线与一面相交，且与该面的垂线长度为a，线的长度为b，面的长度为c，则如果a+b=c，则可以判定该线面垂直。
3. 使用垂线的特性：通过绘制垂线来判定线面的垂直关系。
如果垂线与面相交，且垂线与线垂直，则可以判定该线面垂直。
4. 使用水平仪：使用水平仪来测量线面的倾斜角度，如果倾斜角度为0度，则可以判定该线面垂直。
5. 使用测量工具：使用测量工具来测量线面的高度和长度，如果高度和长度相等，则可以判定该线面垂直。
6. 观察图形：观察线面的图形形状，如果线面呈现出一个直角，则可以判定该线面垂直。
7. 使用数学公式：如果线面的斜率相乘为-1，则可以判定该线面垂直。
例如，如果线的斜率为2，面的斜率为-1/2，则2*(-1/2)=-1，因此可以判定该线面垂直。
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线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
2.3线面垂直面面垂直的判定
2.3线面垂直、面面垂直的判定知识点:1.定义:如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记α⊥l .直线l 叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线l 的垂面. 2.线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 符合表示:3.面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个屏幕垂直. 符合表示: 例题解析:例1. 已知a ∥b,a ⊥α,求证: α⊥b .练习1:)(,,,则下列命题正确的是是一个平面是两条不同的直线设αm l,.B ,,.A ααα⊥⊥⊂⊥l l m m l 若则若l ∥m,则α⊥mC.若l ∥α,α⊂m ,则l ∥mD. 若l ∥α,若m ∥α,则若l ∥m , 例2:如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VC,AB=BC,求证:VB AC ⊥练习2: .在正四面体P-ABC 中,E 是BC 的中点,求证:平面PAE ⊥平面ABC例3.如图,在∆ABC 中,ABC ,AC ,90ABC 0∆=∠是的中点为S D 所在平面外一点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD ⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD ⊥平面SAC练习3:过∆ABC 所在平面α外一点P,作PO α⊥,垂足为O,连接PA,PB,PC (1)若PA=PB=PC,则点O 为∆ABC 的 心(2)AB C O ,,,∆⊥⊥⊥为则若PA PC PC PB PB PA 的心巩固练习一.选择题1．在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线有A．无数条 B.2条 C.1条 D.0条2．a与直线ｂ垂直，ｂ又垂直于平面α，则a与α的位置关系是( )A. a⊥αB. a∥αC. a⊂αD. a⊂α或a∥α3.直线ａ与直线ｂ垂直，ａ平行于平面α，则ｂ与α的位置关系是( )A.ｂ∥αB.ｂ⊂αC.ｂ与α相交D.不确定4.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）（A）平行（B）斜交（C）垂直相交（D）异面垂直5.若平面α⊥平面β，直线nα⊂，直线m⊂β，m⊥n，则（）A．n⊥βB．n⊥β且m⊥αC．m⊥αD．n⊥β与m⊥α中至少有一个成立6．若直线l、m与平面α、β、γ满足：β∩γ=l，l∥α，mα⊂，m⊥γ，则有（）A．α⊥γ，l⊥m B．α⊥γ，m∥βC．m∥β，l⊥m D．α∥β，α⊥γ二.填空题7．已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,①两条平行直线;②两条相互垂直的直线；③同一条直线;④一条直线及其外一点. 则a,b在上的射影有可能是8. 如图,BC是Rｔ△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，则图中共有直角三角形个.三.解答题9. 如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE ⊥PC 于点E.求证：AE⊥平面PBC.10.已知△ABC 中，∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SB 于D.求证：AD ⊥平面SBC.11、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 求证：平面A 1BD ⊥平面A 1C 1CA ．12.如图,已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD 为正方形,SA ,AB CD 平面⊥平面AEFG SC ⊥,分别交SB/SC/SD 于E 、F 、G,求证:SB ⊥AEABCDA 1B 1C 1D1。
线面垂直性质
符号语言：a b
a // b
ab
图形语言：
O
简述为：线面垂直 线线平行
已知：直线l∥平面a 则有：直线l上各点到平面a的距离相等。
直线和平面的距离：
b A lB
如果一条直线和一个平面平
行，这条直线上任意一点到
这个平面的距离，叫做这条
A’
B’
直线和这个平面的距离．
例：如图，P是△ABC所在平面外的一 点，PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是 △ABC的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
线面垂直的性质
复习
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
符号表示：
m ,n
l
m nP
l
l m,l n
P
mn
简记为：线线垂直
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
符号语言：a b
a
b
ab
图形语言：
O
简述为：线面垂直 线线垂直
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
符号语言：a / /b
a
b a b
图形语言： O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
如果两条直线同时垂直于一个平面，
那么这两条直线直
C EH D
B
线线垂直
练习
12.如图,在三棱锥V ABC中,VA VC, AB BC 求证VB AC
V
.D
C
A
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
高中数学必修二4.线面垂直的性质及判定
αO A B CαOAB授课内容 线面垂直的判定及性质教学内容知识梳理1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4、斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。
直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角【同步练习】1、下列命题中正确的个数是（ ）①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l ； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l ；③如果直线l 不垂直于α，则α内也没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也有无数条直线与l 垂直。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若直线l ⊥平面α，直线α⊂m ，则（ ）A 、m l ⊥B 、l 可能和m 平行C 、l 和m 相交D 、l 和m 不相交3、直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ） A 、β⊥a B 、a ∥β C 、β⊂a D 、β⊂a 或a ∥β4、给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；③互相平行的两条直线，在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ④过点P 有且仅有一条直线与异面直线l ，m 都垂直。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
证明线面垂直的三种途径
证明线面垂直问题是高考数学试题中的常见题型之一，主要考查同学们的空间想象能力和数学运算能力.对于简单的证明线面垂直问题，通常可直接运用直线与平面垂直的定义进行证明，对于一些较为复杂的证明线面垂直问题，利用定义法无法证明结论，此时需利用转化思想，把线面垂直问题转化为线线垂直问题、面面垂直问题、空间向量问题来求解.下面重点探讨一下如何证明线面垂直.一、利用线面垂直的判定定理进行证明线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与此平面垂直.运用线面垂直的判定定理，需通过证明线线垂直来推出线面垂直.而证明线线垂直的常用手段有：（1）利用等腰三角形的三线合一性质（或等腰梯形上下底的中点连线与上下底垂直）；（2）利用菱形的对角线互相垂直；（3）利用勾股定理；（4）利用圆的性质：圆的直径所对的圆周角是直角.例1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.求证：BM⊥平面ACC1A1.证明：∵点M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，∵AA1⋂AC=A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1.要证BM⊥平面ACC1A1，需要在平面ACC1A1内找到两条与BM垂直的相交直线，即AC与AA1.再利用线面垂直的判定定理加以证明.在证明BM⊥AC时，需要用到等腰三角形的三线合一性质，而证明AA1⊥BM 时，需用到直棱柱的侧棱与底面垂直的性质.例2.如图1，六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1//BB1//CC1//DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1=CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1()0＜λ≤1，平面BEF 与平面ABCD的交线为l.求证：直线l⊥平面B1BDD1.证明：如图1所示，连接AC、BD，∵AA1=CC1，AA1//CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1(0＜λ≤1)，∴ AE= CF，∴AE=CF，AE//CF，∴四边形AEFC为平行四边形，∴AC//EF，∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF，∵平面BEF⋂平面ABCD=l，AC⊂平面ABCD，∴AC//l，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，∵BD⋂BB1=B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC//l，∴l⊥平面B1BDD1.要证明l⊥平面B1BDD1，需先根据菱形的对角线互相垂直的性质证明AC⊥BD，以及线面垂直的性质证明AC⊥BB1，从而根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面B1BDD1；最后根据平行线的性质证明结论.例3.如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面PAB为等边三角形，AB=BC=4，CD=PD=2，求证：PD⊥平面PAB.证明：如图2所示，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵AB//CD，BC⊥CD，∴四边形BEDC为矩形，在RtΔAED中，DE=BC=4，AE=2，∴AD=AE2+DE2=25，∵ΔPAB为等边三角形，∴PA=PB=AB=4，∵在ΔPAD中，PD=2，∴PA2+PD2=20=AD2，∴PD⊥PA，在RtΔBCD中，BC=4，CD=2，∴BD=BC2+CD2=25，∴在ΔPBD中，PB2+PD2=20=BD2，∴PD⊥PB，而PA⋂PB=P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.我们利用勾股定理、等边三角形的性质、矩形的性质，在平面PAB中找到与PD垂直的两条相交直线PA、PB，证明PD⊥PA、PD⊥PB，便可根据线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PAB.图2解题宝典图1 36二、利用面面垂直的性质定理进行证明面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在解题时，往往要先根据面面垂直的定义证明两个平面互相垂直；然后确定两个平面的交线，运用面面垂直的性质定理证明线面垂直.例4.如图3，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E，H分别是棱AD，PB的中点，求证：BC⊥平面PCE.证明：如图3所示，在棱AB上取点F，使得AF=2BF=2，连接CF，BE，∵AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2=AF，∴四边形AFCD是正方形，∴∠BAE=∠CDE=∠CFB=90°，且CF=AD=2，∵E是棱AD的中点，∴AE=DE=1，∵AB=3，∴BC=CF2+BF2=5，CE=CD2+DE2=5，BE=AE2+AB2=10，∴BE2=BC2+CE2，∴BC⊥CE，∵PA=PD，E是棱AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，∵PE⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，PE⋂CE=E，∴BC⊥平面PCE．先结合图形确定平面PAD与平面ABCD的交线，根据等腰三角形三项合一的性质证明PE⊥AD，进而证明PE⊥平面ABCD，便可根据面面垂直的性质定理证明PE⊥BC；然后由勾股定理和正方形的性质可证明BC⊥CE，即可根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCE.三、利用空间向量法进行证明当几何体中出现（或可以构造）两两互相垂直的三条线时，可以考虑建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，通过空间向量运算，来证明直线的方向向量与平面的法向量平行，即可证明直线与平面垂直.例5.如图4，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.解：存在.理由如下：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为ABCD为正方形，所以CD⊥DA.PA⋂DA=A，PA⊂平面ADP，DA⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP.以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图4所示.则D()0,0,0，A()0,2,0，B()0,2,2，C()0,0,2，P(2,2,0)，则DB=()0,2,2，而E为PA中点，所以E()1,2,0，DE=()1,2,0，设PF=λPC()0≤λ≤1，而PC=()-2,-2,2，则PF=()-2λ,-2λ,2λ，所以F()2-2λ,2-2λ,2λ，得AF=()2-2λ,-2λ,2λ，设平面BDE的法向量为n =()x,y,z，则ìíîn ∙DB=2y+2z=0，n ∙DE=x+2y=0，取y=1，则{x=-2，z=-1，得n =()-2,1,-1，当AF⊥平面BDE时，AF//n ，则2-2λ-2=-2λ，解得λ=13，所以Fæèöø23，23，23，故PF=.首先根据线面垂直的性质定理、正方形的性质及线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ADP，即可确定两两互相垂直的三条线，据此建立空间直角坐标系；然后求出所需的各点的坐标、直线的方向向量AF、平面BDE的法向量n ；再根据AF//n ，计算出λ的值，最终求出PF的长度.在证明线面垂直时，通常要用到线面垂直的判定定理来寻找垂直关系，即便是采用空间向量法，也需要根据线面垂直的判定定理证明几何体中存在两两互相垂直的三条线，才能建立空间直角坐标系.同学们在解题受阻时，要学会灵活运用转化思想，将问题进行合理的转化，以拓宽解题的思路.本文系黑龙江省教育科学“十四五”规划教研专项重点课题《信息技术环境下的高中数学直观想象核心素养的培养研究》（课题编号：JYB1422308）研究成果.（作者单位：黑龙江省大庆铁人中学）图3F图4解题宝典37。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
α
发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
又a
a// b
b
性质
a //
a
面面垂直性质
变式：
思考：已 ， 知 ，平 直 a,且 面 线 ,A,B a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
a⊥β
α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ 交于b， 因为直线a//，所以a//b
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系Βιβλιοθήκη 空间问题平面化 面面平行线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
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β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β ，∩β =AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
符号语言：
β
线面垂直知识点总结
一、线面垂直概念及性质1.1 线面垂直的定义及基本概念线面垂直是指两条直线或者一条直线与一个平面之间的特定关系。
当一条直线与一个平面相交，并且相交形成的两个角相互垂直的时候，我们称这条直线与该平面垂直。
线面垂直是几何中非常重要的一个概念，它涉及到了平面几何和立体几何两个方面的知识。
线面垂直在现实生活和数学问题中都有广泛的应用，因此对线面垂直的概念和性质的理解是非常重要的。
1.2 线面垂直的性质线面垂直的性质包括以下几点：（1）垂直直线的特点：两条垂直的直线所形成的两对相邻角互为补角。
（2）垂直平面的性质：一个平面上的两条直线如果与另一个平面相交，且这两条直线分别与另一个平面垂直，则这两条直线在原平面上相交的直线垂直。
（3）垂直平面的性质：一个平面内任意一条直线与另一平面垂直，则这条直线与另一平面垂直。
二、线面垂直的判定方法2.1 使用直线方程进行线面垂直的判定在平面直角坐标系中，通过直线的斜率来判定直线与坐标平面的垂直关系。
如果两条直线的斜率之积为-1，那么这两条直线相互垂直。
2.2 使用向量进行线面垂直的判定在向量的运算中，可以通过两条直线的方向向量的点积来判断两条直线的垂直关系。
如果两条直线的方向向量的点积为0，那么这两条直线相互垂直。
2.3 使用距离或者坐标进行线面垂直的判定通过直线的距离公式或者坐标的关系来判定直线与平面的垂直关系。
如果直线上某点到平面的距离等于这条直线在平面上的高度，那么这条直线与平面垂直。
2.4 使用角度进行线面垂直的判定通过角度的关系来判定两条直线或者直线与平面的垂直关系。
如果两条直线所形成的两对相邻角相互垂直，则这两条直线垂直。
同样，如果一条直线与一个平面所形成的角为90度，则这条直线与该平面垂直。
3.1 平行线垂直平面交角的性质线面垂直的性质在平行线与垂直平面的交角问题中有非常重要的应用。
例如，在平行线与平面相交的问题中，我们可以利用线线平行的条件来求得角的关系，从而应用线面垂直的性质判断角的大小。
线面垂直判定课件
B1
C1
M
A
B
C •线面垂直判定
例 6 如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB1⊥BC1， 求证：AB1⊥A1C．
A
C
B
A1
C1
B1
•线面垂直判定
定义：如果一条直线 a 与一个平面 α 内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线 a 与平面 α 互相垂直，记 作 a⊥α． 直线 a 叫做平面 α 的垂线；平面 α 叫做直线 a 的垂面；垂线和平面的交点叫做垂足．
•线面垂直判定
例3.（如图）在正方体AC1中， 求证：(1)AC⊥平面D1DB
(2)D1B⊥平面ACB1 D1
A1 D
A
•线面垂直判定
C1 B1
C B
练习1.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：（1）AC1⊥BD （2）AC1⊥平面BC1D
C1 D1
B1 A1
C
B
D
A
•线面垂直判定
2. 已知E、F分别是正方形ABCD边
3、证明线面垂直
(1)由线面垂直得到线线垂直；
(2)由线线垂直得到线面垂直；
•线面垂直判定
体现了转化的思想
例1 已知P是△ABC所在平面外的一点， PA、PB、PC两两互相垂直，
１、 H是△ABC的垂心， 求证：(1)PA⊥BC； (2)PH⊥面ABC
２、ＰＨ⊥面ＡＢＣ。
P
求证：Ｈ是△ABC的垂心。
S
A
D
C
B
•线面垂直判定
三. 练习:
1. 如图，若 C ,P D ,P A ,
A为垂足，A⊥CD于O ，则________,理由______
P
D
线面垂直的判定与性质
线面垂直线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的上的 射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC . 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例1题图题图【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB . 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c Þb ⊥c ;(2)a ⊥α,b ÌαÞa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1. 【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理自然想到题断AB 1与A 1C垂直用同法（对称原理）例3题图解(1) 转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 . 【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6, AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3, ∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 例4题图题图●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ^Þþýü^// ②b a M b M a //Þþýü^^ ③Þþýü^^b a M a b ∥M ④Þþýü^b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.①②①② B.①②③①②③ C.②③④②③④ D.①②④①②④ 2.下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m Ìα和m ⊥γ,那么必有那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为的距离为 ( ) A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题：有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直都不垂直 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图题图A.α与β必相交且交线m∥d 或m 与d 重合重合 B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合不重合 C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行一定不平行 D.α与β不一定相交不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是的序号是 ( ) A.①②③①②③ B.①②④①②④ C.②③④②③④ D.①③④①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.③与④③与④B.①与③①与③C.②与④②与④D.①与②①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是′的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. (1)求证:VC ⊥AB ; (2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小. 第11题图题图第12题图题图第13题图题图第14题图题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3. (1)求证：BD ⊥平面P AD . (2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小. 17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P . 第15题图题图第16题图题图522+BC AC 52×5354122++CD PC 333定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC , ∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC . ∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD . ∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE , ∴∠CED =90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面ABC 所成角为60°. 15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE . ∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB . 又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD . (3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点. ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD . 16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，°，即AD ⊥BD 在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD . (2)由BD ⊥平面P AD，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD所成的角. 第15题图解题图解第16题图解题图解∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=´. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M . 点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD . (2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知中可知∠MCD ＝arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131=¢×，6 1。
线面垂直判定定理证明
线面垂直判定定理证明一、引言线面垂直判定定理是几何学中的一个重要原理，用于判断一条线与一个面的垂直关系。
本文将详细介绍线面垂直判定定理的证明过程，并探讨其在几何学中的应用。
二、线面垂直判定定理的表述线面垂直判定定理的表述如下：“如果一条线与一个平面垂直，则该线上的任意一条垂直线都在该平面上”。
三、证明过程1. 基本概念和定义在开始正式证明之前，我们先了解几个基本概念和定义。
•线：在几何学中，线是由一系列点组成的几何图形，它没有宽度和厚度，只有长度。
线可以由两个点确定。
•面：面是由无数个点组成的平面图形，它有长度和宽度，但没有厚度。
面可以由三个点确定。
•垂直：两个几何图形垂直意味着它们之间存在一个角度为90°的关系。
2. 证明过程现在，我们来证明线面垂直判定定理。
步骤一：假设线与平面垂直我们先假设一条线与一个平面垂直，即线l与平面P垂直。
步骤二：建立一个垂直于线l的平面由于线l与平面P垂直，我们可以在线l上建立一个垂直于线l的平面Q。
步骤三：任取线l上一点A在线l上任取一点A。
步骤四：通过点A绘制一条垂直线通过点A绘制一条与线l垂直的线段AB。
步骤五：点B必定位于平面Q上根据步骤二的建立，线段AB是线l上的一条垂直线，而线l和线段AB在点A相交，根据垂直的性质可知，线段AB必定位于平面Q上。
步骤六：结论由于线段AB是线l上的一条垂直线，且位于平面Q上，根据线面垂直判定定理的定义，我们可以得出结论：线l与平面P垂直，即线上的任意一条垂直线都在该平面上。
四、线面垂直判定定理的应用线面垂直判定定理在几何学中有着广泛的应用。
以下是该定理的一些常见应用。
1. 判断直线与平面的垂直关系可以利用线面垂直判定定理来判断一条直线与一个平面是否垂直。
2. 解题方法在线面垂直的性质中，可以根据已知条件利用线面垂直判定定理进行证明或推导，帮助解决与线和面相关的几何问题。
3. 推导其他定理线面垂直判定定理是许多其他几何定理的基础，通过线面垂直判定定理，我们可以推导出其他关于线和面的定理。
线面垂直的判定及性质
线面垂直、线面夹角1.线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 推论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.4.线面角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；求线面角：“一作，二证，三计算”。
①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。
线线垂直⇒线面垂直 （线面垂直⇒线线垂直） 例1.如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥例 2. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱1A A 垂直于底面ABC ，12A A =，1AC CB ==，90BCA ︒∠=，M 、N 分别是AB 、1A A 的中点．（1）求BN 的长；（2）求证：1A B CM ⊥．例3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE. 线面角例4. 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为 ．例5. 如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为 _________ ．例6. 在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ________例7.a 是平面α的斜线，b α⊂，a 与b 成3π角，b 与a 在α内的射影成4π角，则a 与α所成角的大小为 。
线面垂直的判定
2、如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA AC, PA AB,求证： （1）PA BC （2）BC 平面PAC P
A C
O
B
3、如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平 面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且 PA =PC， PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作： l
l
垂足
平面
的垂线
直线 l 的垂面
P
加深理解：
判断题：
1、若一条直线垂直于平面内无数条直 线，则这条直线垂直于此平面。 2、若 l ， ，则 m
×
∨
l m
线面垂直则线线 垂直
容易发现：当且仅当折痕AD为BC边上的高时， AD与桌面所在平面α垂直
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． 数学语言表达： l
n o
m
l m l n nm o n m
l
记忆：线线垂直，则线面垂直
10
课堂训练
1、如图，空间中直线L和三角形的两边AC,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ B ） L A 平行 B 垂直 C C 相交 B A D 不确定
P
A
D O B
C
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 利用判定定理：
线线垂直
线面垂直
作业
状元之路：P73 5,6
第二章第三节
直线与平面垂直的判定
学习目标
《线面垂直的判定》
A
B
课堂小结
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定
（1）利用定义；垂直于平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
线线垂直 线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 空间问题
平面问题
作业:课本P67练习1
课外练习：优化探 究P26练一练3,4,5 P27题组冲关：1---4
直的基本性质. 2.要证明线面垂直,只要在该平面内找到两条相交直线与已 知直线垂直就行.
三:探究性学习篇
P
探究1：如图PA⊥⊙o 所在
平面，AB 是⊙o 的直径，C 是 圆周上一点，则图中有几个直 角三角形?由此你认为三棱锥中 最多有几个直角三角形？
A
C O P
B
探究2.如图,在四棱锥P
ABCD中,底面ABCD是矩 形,PA ⊥底面ABCD,则在这 个四棱锥的四个侧面中有几 个直角三角形呢?
B
A
D
C
三棱锥中最多有4个直角三角形,四 棱锥中最多也有4个直角三角形.
l
探究3. (1)过一点有几条直线与已知平面垂直？
(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?
l
P
（3）
（1）
l
P
过空间一点P作 的垂线有且只有 一条；如图(1)(2)
过空间一点P作直线l的垂面有且只有一个, 如图(3)(4)
§2.3.1直线与平面垂直的判定
牟定一中 和菊仙
高一310班
我们热爱祖国, 我们热爱五星红旗!
旗杆与地面垂直
科学技术是第一生产 力
杭州湾跨海大桥的桥 墩与水面垂直
一:基础知识学习篇
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l
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结论. 结论
内容结构 线面垂直的定义 线线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直
小结： 小结： 1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 入手指南：碰到证明线面垂直的问题， 线面垂直的问题 化为证明线线垂直 反之亦然. 线线垂直； 化为证明线线垂直；反之亦然. 相交； 2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交； 小心提醒：平面内的这两条直线应该相交 3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ 重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ 勾股定理的逆定理（已知长度） ①勾股定理的逆定理（已知长度） 等腰三角形的三线合一 ②等腰三角形的三线合一 利用线面垂直 线面垂直的性质 ③利用线面垂直的性质 平行移动不改变夹角大小 利用平行移动 ④利用平行移动不改变夹角大小 正方体（长方体）中的线线垂直、 ⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直 菱形(正方形） ⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直 ⑦相似
线面垂直判定定理： 线面垂直判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。 都垂直，则该直线与此平面垂直。 l
即：m ⊂ α n⊂α m∩n=B l⊥m l⊥n
5个条件 个条件 B
⇒
α
n m
A
l ⊥α
简记：线线垂直， 简记：线线垂直，则线面垂直 关键：线不在多，相交则行 关键：线不在多，相交则行
α
ห้องสมุดไป่ตู้
B C D
为下底面的中心, 例2、在正方体AC1中,O为下底面的中心, 在正方体AC ,O为下底面的中心 (1)求证 AC⊥面 求证： (1)求证：AC⊥面D1B1BD D1 C1 (2)求证： (2)求证：AC⊥D1O 求证
A1 B1
D A
C
O
B
反思： 反思： 1、入手指南：碰到证明线线垂直线面垂直的问 、入手指南：碰到证明线线垂直线面垂直的问 线线垂直线面垂直 题，也可转化为先证明线面垂直； 也可转化为先证明线面垂直； 线面垂直 2、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ 、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ ①勾股定理的逆定理（已知长度） 勾股定理的逆定理（已知长度） ②等腰三角形的三线合一 等腰三角形的三线合一 ③利用线面垂直的性质 利用线面垂直 线面垂直的性质 ④正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直 正方体（长方体）中的线线垂直、
例4.
如图， 如图，直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD（侧棱与底 B C D - ABCD（ 面垂直的棱柱称为直棱柱） 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边 形 ABCD满足什么条件时 满足什么条件时， C⊥B ？ C⊥B’D A' ABCD满足什么条件时， A’C⊥B D’？ D'
B' C' A D B C 结论： 结论： 提示：为了求ABCD满足的条件，不妨把 满足的条件， 提示：为了求 满足的条件 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， ABCD的两条对角线互相垂直时 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， A’C⊥B’D’看成一个条件，看可以求出什么 看成一个条件， ⊥ 看成一个条件 C⊥B’D A’C⊥B D’ C⊥B
p
线面垂直的定义：
P
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α 互相垂直，记作l ⊥ α 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点P叫做垂足
线面垂直的条件常这样使用 线面垂直的条件常这样使用
l
α
a
a ⊂α
l ⊥α
a⊥l
a
b
例3.如图所示,
n
已知a//b,a ⊥ α α 求证:b ⊥ α 证明 : 在平面α内作两条相交直线m,n.
m
？
3.如图：已知点M是菱形 如图：已知点 是菱形 是菱形ABCD所在的平面 如图 所在的平面 的一点， 求证:AC ⊥ 平面 平面BDM. 求证 外的一点，且MA=MC,求证 M D O A B C
三、巩固练习 1.判断题 判断题 （1）如果一条直线垂直于平面内的无数条 ） 直线，那么这条直线和这个平面垂直. 直线，那么这条直线和这个平面垂直 (×) 垂直于直线a的所有直线都在 （2）过点 垂直于直线 的所有直线都在 ）过点A垂直于直线 过点A垂直于 的平面内. 垂直于a的平面内 (√ ) 过点 垂直于 的平面内 （3）如果三条共点的直线两两垂直，那 ）如果三条共点的直线两两垂直， 么其中一条直线垂直于另外两条直线所 在的平面. (√ ) 在的平面 a A
2.直线 垂直于△ABC 直线PA垂直于 直线 垂直于△ 所在的平面,则 与 所在的平面 则PA与BC 的位置关系是_____. 的位置关系是 垂直 3·如右图， ⊥ 平面ABC， 如右图， 如右图 PA ∆ABC中，BC ⊥ AB 则图中直角三角形的个 数是（ 数是（ A ） A 4 B 3 C 2 D 1
简记： 简记：线面垂直
线线垂直
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时,要把直线画 画直线与水平平面垂直时, 成和表示平面的平行四边形横边垂直。 成和表示平面的平行四边形横边垂直。
怎样判断线面垂直呢？ 怎样判断线面垂直呢？
问题
如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能 否判断这条直线和这个平面垂直？ 否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能 如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 否判断这条直线和这个平面垂直？ 否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 能否判断这条直线和这个平面垂直？
P C A B
p
A B
C
有一根旗杆AB AB高 m，它的顶端A 例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子 的绳子， 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) 如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， A 和地面垂直，为什么？ 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？
作业： 作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 P66－探究题， 条件，然后用你的这个条件来证明A C 条件，然后用你的这个条件来证明A’C⊥B’D’ D 2、（如图）在正方体AC1中， 、（如图）在正方体AC 如图 求证： 求证：(1)AC⊥平面 1DB ⊥平面D
(2)D1B⊥平面ACB1 B⊥平面ACB A1 D C A B D1 B1 C1