指派问题

x11 x12 x13 x14 1 x x x x 1 21 22 23 24 x31 x32 x33 x34 1 x 41 x 42 x 43 x 44 1
甲
A
乙
B
x11 x 12 x13 x14
m
m
m
m
ij
ui v j ) xij
m m m m
cij xij ui xij v j xij
i 1 m j 1 j 1 i 1 m
cij xij ui v j cij xij u v
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
5.4.2 指派问题的匈牙利算法 匈牙利法的条件是：问题求最小值、人数与工作数相等及效率 非负
【定理5.4】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去（或加上）一个常数ui（被称为该行的位势），从每一列 分别减去（或加上）一个常数vj（称为该列的位势），得到一 个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于 [cij]的最优解，这里cij、bij均非负．
第四步：这里直线数等于3（等于4时停 止运算），要进行下一轮计算． 从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个 最小数k并且减去k，矩阵中k＝5． 直线相交处的元素加上k，被直线覆盖而 没有相交的元素不变，得到下列矩阵
第四步等价于第2、3行减去5，同时第1列加上5得到的结果
5.4 指派问题 assignment problem
或
5.4 指派问题 assignment problem
得到两个最优解
1 1 1 1 ，X ( 2)＝ X (1)＝ 1 1 1 1
有两个最优方案 第一种方案：第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品3， 第三个工厂加工产品4，第四个工厂加工产品2； 第二种方案：第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品4， 第三个工厂加工产品3，第四个工厂加工产品2； 单件产品总成本 Z＝58＋150＋250＋55＝513 当人数与工作数较多时，用直观的方法进行画线及找独立的零 元素比较困难，具体方法请参看教材p115。

2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9

min 2 4 9 7
行变换 0 min 0
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4
1 4
0 4
2 2
列变换

0 13 7 6 0 0 0 5 1 6 3 0
0 9 2 0
θ=5
0 6 17 17 30 0 0 0 0 0 0 0 32 0 45 45
1 0 0 0
5.4 指派问题 assignment problem
下面就m〈n的情况进行讨论：
58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200
min 260 58 50 230 250 65 280 55
行变换
min
列变换
min(max) Z cij xij
i 1 j 1 m m
m xij 1 j 1 m xij 1 i 1 xij 0或1
i 1, , m j 1, , m i, j 1, m
5.4 指派问题 assignment problem
5.4 指派问题 assignment problem
第三步：用最少的直线覆盖所有“0”，得
0 11 22 22 25 0 0 0 0 5 5 5 27 0 45 45
0 30 0 32
6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
5.4 指派问题 assignment problem
数学模型为：
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
5.4 指派问题 assignment problem
10 效率矩阵为 9 7
2
15 13 4 8 14 11 14 16
15 13 9
4
本题求最小值,下面用匈牙利解法求解
一、行列变换（找出每一行（每一列）的最小值， 然后让每一行（每一列）的元素都减去这个数）
5.4 指派问题 assignment problem
cij xij ui v j cij xij u v
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
m
m
5.4 指派问题 assignment problem
【证】
b x (c
i 1 j 1 ij ij i 1 j 1 m m i 1 j 1 m m
5.4 指派问题 assignment problem
【例5.15】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如表5-35所示．求最优生产配 置方案．
表5-35 产品1 工厂1 工厂2 58 75 产品2 69 50 产品3 180 150 产品4 260 230
【证】
b x (c
i 1 j 1 ij ij i 1 j 1 m m i 1 j 1 m m
m
m
m
m
ij
ui v j ) xij
m m m m
cij xij ui xij v j xij
i 1 m j 1 j 1 i 1 m
0 30 0 32
6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
第五步：覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在4个 不同行不同列的零元素．容易看出4个“0”的位置
0 30 × 0 32 6 17 17 × 0 0 0 × 0 0 0 0 45 45 0 30 × 0 32 6 17 17 × 0 0 0 × 0 0 0 0 45 45
x 21 x31 x 41 1 x 22 x32 x 42 1 x 23 x33 x 43 1 x 24 x34 x 44 1
丙
C
丁
D
图5. 3
5.4 指派问题 assignment problem
假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij≥0， 效率矩阵为[cij]（如表5-34），如何分配工作使效率最佳（min或 max）的数学模型为
0 11 122 202 25 0 100 180 0 5 105 185 27 0 145 225
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
0 11 122 202 0 11 22 22 25 0 100 180 25 0 0 0 0 5 105 185 0 5 5 5 27 0 145 225 27 0 45 45 min 0 0 100 180
C 73 78 79 80
D 90 95 90 88
x11 x X 21 x31 x41
x12 x22 x32 x42
x13 x23 x33 x43
x14 x24 x34 x44
【解】
1 xij 0
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
m
m
两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条不变,因此最优解不变。 【定理5.5】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则 覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元 素（称为独立元素）的最大个数． 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零 元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零， 得到最优解．
Leabharlann Baidu

5.4 指派问题 assignment problem
步骤二、试指派(找独立的0元素)
(记独立0元素个数为m,矩阵阶数为n.当m=n 时,问题到此结束.m<n的情况下一题讨论)
6 0 0
0 13 7 0 0 5 1 6 3 0
9 2 0
0 0 0 0 1 0 所以：最优值为 1 0 0 0 0 1 最优值为 4 4 9 11 28
5.4 指派问题 assignment problem
0 11 22 22 √ 25 0 0 0 0 5 5 5√ 27 0 45 45 √
此时L=m<n，进行第四步：划线以 外的数字之中记最小值为θ，没有被 直线覆盖的行减去θ.直线交叉处的数 字加上θ。变换后再回到步骤二。
0 25 0 27
11 22 22 0 0 0 5 5 5 0 45 45
试指派
0 25 0 27
√
11 0 5 0
22 22 √ 0 0 5 5 √ 45 45
此时m(3)<n(4),则应转入第三步:即用最少的直线覆盖 所有的0.找最少直线的步骤:1、无 0 行右边划√,在已 经划√的行中找0所在的列,在列下面划√,在这列中找到 0 所在行,在行右边划√,重复直至不能划√为止. 2、无√行划一横线，在有√的列划一纵线，此时找到 最少的直线数记为L，当L=m<n时,转入第四步;当 L>m时,试指派.
0 25 0 27
0
11 0
5 0
122 100
105 145
202 180
185 225
0 100 180

0 25 0 27
11 22 22 0 0 0 5 5 5 0 45 45
5.4 指派问题 assignment problem
5.4 指派问题 Assignment Problem
一.内容概述 二.数学模型 三.指派问题的匈牙利算法 四.例5-15 五.经典例题分析 六.特殊问题的模型转化
5.4 指派问题 Assignment Problem
1．指派模型的特征 2．匈牙利法求解指派问题的条件 3．匈牙利法的两个基本定理 4．指派问题也是一个特殊的运输问题. 5．将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别加上一个数后 最优解不变.
工厂3
工厂4
65
82
70
55
170
200
250
280
【解】问题求最小值。 第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减 去最小元素，有
5.4 指派问题 assignment problem
min 58 75 65 82 69 180 260 58 50 150 230 50 70 170 250 65 55 200 280 55
5.4 指派问题 assignment problem
数学模型
【例5.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗 位一个人．经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表5-34所 示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
表5-34 工作
人员
甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
B 92 87 83 90
5.4 指派问题 assignment problem
一份说明书需翻译成英日德俄四种文字(E,J,G,R), 甲乙丙丁四人翻译四种文字所需时间如下图所示, 如何安排才能使完成工作所需时间最短?
E 甲 乙 丙 丁 2 10 9 7
J 15 4 14 8
G 13 14 16 11
R 4 15 13 9