指派问题

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指派问题实例研究报告

指派问题实例研究报告指派问题是一种在组织或团队中分配资源或任务的决策问题。

指派问题的目标是在给定的约束条件下，找到最佳的分配策略，以最大化整体效益或满足特定的目标。

以下是一个指派问题实例的研究报告：标题：某医院护士调班指派问题研究报告一、背景介绍某医院的护士人员经常需要调整工作班次，以适应不同的工作需要和员工的个人需求。

然而，手动调整班次非常耗时且容易出错。

为解决这个问题，研究团队决定使用指派问题的方法来自动化调班过程，提高整体效率和员工满意度。

二、问题描述该医院有10个护士，每天有3个班次，分别为早班、中班和晚班。

每个班次需要不同数量的护士进行工作，早班需要4个护士，中班需要3个护士，晚班需要3个护士。

护士们的个人需求不同，包括对班次的偏好和工作时长的限制。

研究团队的目标是找到一种最佳的调班指派策略，使得整体的工作需求得到满足，同时最大限度地满足护士的个人需求。

三、问题建模研究团队将这个指派问题建模为一个二部图匹配问题，其中：- 每个护士是一个节点，表示第一部分。

- 每个班次是一个节点，表示第二部分。

- 然后建立起两部分节点之间的边。

根据班次的需求量和护士的个人需求进行边的权重赋值。

四、算法实现研究团队选择使用匈牙利算法来解决这个指派问题。

该算法能够在多项式时间内找到最大匹配，以满足所有的需求。

该算法的具体实现过程如下：1. 初始化所有边的权重。

2. 选取一条边进行匹配。

3. 如果找到了一条可行路径，将匹配进行调整。

4. 如果找不到可行路径，将权重进行调整并回到第二步。

5. 重复前面几步，直到找到最优解或无法找到新的匹配。

五、结果分析通过实际测试和模拟实验，研究团队发现，使用匈牙利算法可以高效地解决护士调班指派问题。

该算法能够在合理的时间内找到最佳的调班方案，满足医院的工作需求，并且最大程度地满足护士的个人需求，提高员工满意度和工作效率。

六、结论本研究报告基于指派问题实例，研究了某医院护士调班指派问题。

第4章整数规划——指派问题

4 指派问题
解：可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称为独立零元素；｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线，即得到覆盖当前0元素的最少直线数。第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个数，返回第二步。【例5】求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。匈牙利法的理论基础定义2 独立零元素组在效率矩阵中，有一组在不同行不同列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不指派 Ai 承建商店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指派 Ai 承建商店 B j

三类指派问题

三类指派问题1. 简介三类指派问题是运筹学中的一类经典问题，它的目标是找到一种最优分配方案，将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本或效益达到最小或最大。

这类问题通常可以用线性规划模型来描述和求解。

三类指派问题包括： - 任务分配问题：将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本最小或效益最大。

- 作业调度问题：将若干个作业安排在若干台机器上进行处理，使得总体完成时间最短或机器利用率最高。

- 设备调度问题：将若干个任务安排在若干台设备上进行处理，使得总体完成时间最短或设备利用率最高。

2. 任务分配问题2.1 模型描述假设有n个任务和n个执行者，每个任务只能由一个执行者完成，并且每个执行者只能处理一个任务。

每个任务与每个执行者之间都有一个成本或效益值。

我们的目标是找到一种分配方案，使得总体成本最小或效益最大。

可以使用二维数组C表示各任务与各执行者之间的成本或效益值，其中C[i][j]表示第i个任务分配给第j个执行者的成本或效益值。

定义一个二进制变量X[i][j]，如果第i个任务分配给第j个执行者，则X[i][j]=1，否则X[i][j]=0。

任务分配问题可以用下面的线性规划模型来描述：minimize ∑(i=1 to n)∑(j=1 to n) C[i][j] * X[i][j]subject to∑(i=1 to n) X[i][j] = 1, for j = 1,2,...,n∑(j=1 to n) X[i][j] = 1, for i = 1,2,...,nX[i][j] ∈ {0, 1}, for i,j = 1,2,...,n2.2 求解方法常用的求解任务分配问题的方法有匈牙利算法和线性规划方法。

匈牙利算法是一种经典的图论算法，它通过构建增广路径来找到最优分配方案。

该算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于小规模问题。

线性规划方法则通过将任务分配问题转化为线性规划模型，并利用线性规划求解器进行求解。

指派问题的最优解法

指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。

指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。

匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。

其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。

KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。

它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。

KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。

无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。

这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。

除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。

这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。

总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。

指派问题的四个计算步骤

指派问题的四个计算步骤
指派问题是一种优化问题，旨在找到最佳的分配方式。

解决指派问题通常有四个计算步骤：
1. 创建代价矩阵：将问题抽象为一个二维矩阵，其中每个元素表示将某个任务分配给某个工人的成本或者效益。

代价矩阵的大小为n行m列，其中n表示任务的数量，m表示工人的数量。

2. 匹配行和列：通过在代价矩阵中查找每一行和列的最小元素，将其标记为零。

如果需要，通过减去每一行和列的最小元素，可以使矩阵中至少有n个零。

3. 寻找最佳分配方案：通过选择代价矩阵中的一个零，并将其标记为星号，然后将与该零所在行或列相交的所有其他零标记为井号。

如果井号的数量等于n，则找到了一个最佳分配方案。

如果不是，请执行第4步。

4. 修改代价矩阵：通过选择未被标记的最小元素，并从该元素中减去所有未被标记的行和列的最小值，可以修改代价矩阵。

然后，返回第2步继续迭代，直到找到一个最佳分配方案。

这些计算步骤被称为匈牙利算法或者KM算法。

通过依次执
行这些步骤，可以找到指派问题的最优解。

运筹学__指派问题

•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元素个数≥ r，这些0元素至少有r个位
于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上
j1 j2
的0元素个数≥c ，且这些0元素至
少有c个位于不同
i1 i2
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故有m≤M，故可得M=m.
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
（二）算法的基本原理匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]，若其中bij=cij-ui-vj，
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7：有一份中文说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁四个人去完成. 因个人专长不同，他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
任务人员
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 ❖ 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。

指派问题详解

第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配，所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)，对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖，定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。

指派问题

2 15 13
(cij)= 10 4 14
4
15 13
2
4 9 7 0 13 11 6 0 0 5 1 10 7 4 4 2 11 4 2 2
9 14 16
7
8 11
9
0 13 6 0 0 5
7 6 3
0 9 2
0
0
1
0
0
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
从只有一个0元素的行（或列）开始，给这个0元素加圈，记，然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。给只有一个0元素的列（或行）的0元素加圈，记，然后划去所在的行（或列）的其他0元素，记作Ø。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n) xij 0或1 (i=1,2…..m; j=1,2……n)
xij =1 (j=1,2……n)表示
第j 项任务只能由一人去完成。
xij =1 (i=1,2……n)
指派问题 (Assignment Problem)
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高? （一）、指派问题的数学模型设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第I 个人去做第j 件工作的的效率（时间或费用）为 Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应如何分配才能使总效率（时间或费用）最高？

指派问题

指派问题（Assignment Problem ）1. 标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人做第j 件事的费用为cij （i ，j=1，2，…，n ），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总费用最小。

设n2个0-1变量1,i j 0,i j ij x ⎧=⎨⎩若指派第个人做第件事若不指派第个人做第件事(i,j=1,2,…, n) 数学模型为:1111min 1.101,,1,2,,n nij iji j nij i n ij j ijZ c x x s t x x or i j n =====⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 其中矩阵C 称为是效率矩阵或系数矩阵。

其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即 (xij)n ⨯n 。

标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。

1955年W. W. Kuhn 利用匈牙利数学家D. Konig 关于矩阵中独立零元素的定理, 提出了解指派问题的一种算法, 习惯上称之为匈牙利解法。

2. 匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij ）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k ，得到一个新的矩阵C ’=（c ’ij)，则以C 和C ’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。

（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k ，所以，最优解并不改变。

）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n 个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。

匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。

对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。

若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。

步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。

指派问题

其它方面的运用
指派问题运输问题
1. 指派问题（Assignment Problem）
有n项任务由n个人完成，每项任务交给一个人，每人都有一项任务。由i个人完成j项任务的成本（或效益）为cij。求使总成本最小（或总效益最大）的分配方案。
设：
0 第i个人不从事第j项任务 x ij 1 第i个人被指派完成第j项任务
1
8 7
2
10 8
3
9Hale Waihona Puke 1143 25
6 9
船
3
4 5
2
7 10
4
7 8
6
5 10
4
2 3
4
7 11
匈牙利法（Hungarian Method）
1.写出行数和列数相同的成本矩阵； 2.压缩成本矩阵：每一行的所有成本均减去行里面最小的成本，然后每一列的所有成本均减去列里面最小的成本，使新的成本矩阵每一行每一列至少有一个为0； 3.以最少的直线（水平或者垂直）划掉所有的0，若所用直线数与行数相同，则已经找到最优解，可以跳到第5步，否则就进行第4步； 4.找到没有被划掉的最小的数值，从所有没有被划掉的数值中减去这一数值，而所有被划掉2次的划线数值加上这一数值。返回第3步； 5.根据0的位置确定最佳指派方案。
销售人员
指派问题3 （Assignment Problem）
7项工作分别分派给7个设备的成本若下表所示，应如何分派？
成本 1 2 3 1 68 14 54 2 48 64 10 3 57 71 54 设备 4 48 50 13 5 84 24 8 6 10 10 9 7 77 84 8
任务
4 5 6 7
一个销售经理要分派6个销售人员负责不同地区的销售，这些销售人员有不同的关系和能力，他们的期望销售额如下表所示，应如何分派？

指派问题

第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
0 11 122 202 0 11 22 22 25 0 100 180 25 0 0 0 ⇒ 0 5 105 185 0 5 5 5 27 0 145 225 27 0 45 45
表5-34 工作人员甲乙丙丁 A 85 95 82 86 B 92 87 83 90 C 73 78 79 80 D 90 95 90 88
x11 x X = 21 x31 x41
x12 x22 x32 x42
x13 x23 x33 x43
x14 x24 x34 x44
指派问题 assignment problem
min 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 58 230 50 ⇒ 250 65 280 55
0 11 122 202 25 0 100 180 0 5 105 185 27 0 145 225
6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
第五步：覆盖所有零最少需要条直线表明矩阵中存在4个条直线，第五步：覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在个不同行不同列的零元素．容易看出4个不同行不同列的零元素．容易看出个“0”的位置的位置
( 0 ) 30 0 × 32 6 17 17 × ( 0) 0 0 × 0 ( 0) 0 ( 0) 45 45 ( 0 ) 30 × 0 32 6 17 17 × 0 ( 0) 0 × ( 0) 0 0 ( 0) 45 45

指派问题

7 0 2 0 2
4
3 0 0 0
0 8 3 5 0
11 8 0 0 4
0 4 1 4 3
7 0 2 0 2
4
3 0 0 0
0 8 3 5 0
11 8 0 0 4
0 4 1 4 3
0 1 0 0 0
0
xij
0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0 0 0
Z*=7+6+9+4=32
0; （2）如果人多事少，增加一些虚拟“事”，虚拟“事”做事的费用系数也取为0； 3）一个人可做几件事的指派问题可将某个人化作同样几个“人”接受指派，这几个“人”做同一件事的费用系数一样。 4）某事一定不能由某人做的指派问题
可将相应的费用系数取为足够大的数M。
指派问题 assignment problem
定理2 若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最小直线数等于位于不同行不同列的 “0”元素（独立零元素）的最大个数.
匈牙利法的条件是：问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负
匈牙利算法的步骤：
第一步：变换系数矩阵，使其每行每列都出现0元素。首先每行减去该行最小数，再每列减去该列最小数。
0
0 8 3 5 0
11 8
0
0
4
0 4 1 4 3
7 0 2 0 2
4
3
0
0
0
0 8 3 5 0
11 8
0
0
4
0 4 1 4 3
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
解为： 0 0 0 0 1

指派问题

13 0 5 1
7 6 3 0
0 9 ( b ij ) 2 0
第二步：进行试指派，以寻求最优解。为此，按以下步骤进行。经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了0元素；但需找出n个独立的0 元素。若能找出，就以这些独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。当n较小时，可用观察法、试探法去找出n个独立0元素。若n较大时，就必须按一定的步骤去找，常用的步骤为：
•减数得零—求初始匹配 •圈零划线—查是否最大匹配 •找数调整—求新的最优匹配运筹学
指派问题的解法
第一步：使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素。 (1) 从系数矩阵每行元素减去该行的最小元素； (2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。

④
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
运筹学
已具有n个独立0元素。这就得到了最优解，相应的解矩阵为：由解矩阵得最优指派方案甲—B，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A

0 0 0 0 1
想想看！
运筹学
指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务，使总的效率最高？
运筹学
指派问题的假设
被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成
表1
任人员甲乙丙丁务

《指派问题》课件

指派问题的扩展研究
多目标指派问题
应用场景：生产调度、资源分配等

解决方法：线性规划、启发式算法等
定义：指派问题在多个目标下的扩展
挑战：如何在多个目标之间找到最优解
动态指派问题
动态指派问题的定义
动态指派问题的应用场景
动态指派问题的求解方法
动态指派问题的优化策略
大规模指派问题
问题定义：大规模指派问题是指在给定一组任务和一组资源，如何将任务分配给资源，使得总成本最小化或总收益最大化。
混合算法
混合算法的概念：将多种算法进行组合，以获得更好的优化效果
混合算法的优点：能够充分利用各种算法的优点，提高优化效果
混合算法的应用：在指派问题中，混合算法可以结合多种算法，如遗传算法、模拟退火算法等，以提高优化效果
混合算法的挑战：如何合理选择和组合各种算法，以获得最佳的优化效果
应用场景：大规模指派问题广泛应用于物流、供应链、生产调度等领域。
研究方法：大规模指派问题的研究方法包括启发式算法、遗传算法、神经网络等。
挑战与展望：大规模指派问题的挑战在于如何设计高效的算法，以及如何解决大规模问题中的优化问题。未来的研究方向包括分布式计算、并行计算等。
禁忌搜索法：在搜索过程中引入禁忌表，避免重复搜索已搜索过的解
元启发式方法
基本概念：元启发式方法，也称为元启发式算法，是一种基于启发式策略的优化方法。
特点：元启发式方法具有自适应性、鲁棒性和易于实现等特点。
应用：元启发式方法在指派问题、路径规划、调度等问题中都有广泛的应用。
实例：遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等都是元启发式方法的典型代表。

指派问题

x11 x12 ... x1n 1 ... xn1 xn 2 ... xnn 1 x11 x21 ... xn1 1 ... x1n x2 n ... xnn 1
与模型1相比：
1. 约束相同；
2 寻找独立0元素
若看作第三列上的惟一0元素
用一直线覆盖所在行
0 0 0 0 0
3 1 2 0 2
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 3 4 0
只圈出4个0，即：只有4个独立的0元素，少于系数矩阵的阶数5。
第二列只有惟一0元素
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k，得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k c C ' 21 cn1 c12 k ... c1n k c22 ... c2 n ... ... cn 2 ... cnn
效率矩阵C’
练习有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄法五种文字。分别记作E、J、G、R、F。现有甲、乙、丙、丁、戊五人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？
任务人
E 12 8 7
J 7 9 17
G 9 6 12
R 7 6 14
F 9 6 9
第五节指派问题
assignment problem
• • • • 指派问题的数学模型指派问题解的特点指派问题的求解方法——匈牙利法非标准形式的指派问题
一、指派问题的数学模型
例、有四项任务需分派给甲、乙、丙、丁四个人去做，这四个人都能承担上述四项任务，但完成各项任务所需时间如下表所示。问应如何分派任务可使完成任务的总工时最少？

指派问题

9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始，给这个0元素加圈，记
5 2

3 10 8
2 0 5 0
0 0 7 0
2 0 2 4

9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø。
5 2

3 10 8
2 0 5 0
Ø
0 7 0
2 0 2 4

9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始，给这个0元素加圈，记
对没有打行画横线，有打列画纵线，就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
的个数m=4,而n=5, m<n，转下一步。
第四步：在没有被直线覆盖的部分中找出最小元素，然后在打行各元素都减去这最小元素，而在打列中各元素都加上这最小元素，以保证原来0元素不变，这样得到新的系数矩阵（它的最优解和原问题相同）。若得到n个独立的0元素，则已经得到最优解。否则回到第三步重复进行。
5 2

3 10 8
2 0 5 0
Ø
0 7 0
2

2 4

9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø。
5 2

3 10 8
2
Ø Ø
7 0
2
Ø
5 0

2 4

9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始，给这个0元素加圈，记
5 2

3 10 8
2
Ø Ø

指派问题

指派问题
指派问题数学试验
§4 指派问题
指派问题是整数规划的一类重要问题。也是在实际生活中经常遇到的一种问题：由n项不同的工作或任务，需要n个人去完成（每人只能完成一项工作）。由于每人的知识、能力、经验等不同，故各人完成不同任务所需的时间（或其它资源）不同。问应只排哪个人完成何项工作所消耗的总资源最少？一。指派问题的数学模型引进0-1变量
-4 -7 -6 -6 -6
0 0 → 0 0 0
4 3 11 8 2 10 7 3 3 6 2 1 1 8 0 4 3 6 4 0
-1 -3
✓
0 0 → C1 = 0 0 0
3 0 11 8 1 7 7 3 ✓ 2 3 2 1 ✓ 0 5 0 4 2 3 4 0
在只有一个0元素的行（或列）加圈，表示此人只能做该事（或此事只能由该人来做），每圈一个“0”，同时把位于同列（或同行）的其他零元素划去。表示此时已不能再由他人来做（或此人已不能做其它事）。如此反复，直到矩阵中所有零元素都被圈去或划去为至。在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中一个加圈，然后划去同行、同列其他未被标记的零元素。例
-7 -6 -6 -7
1 0 X * = 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
从而导出匈牙利解法的思想：
二。匈牙利解法匈牙利法是1955年由库恩（W.W.Kuhn）根据匈牙利数学家狄·考尼格（d.konig)关于矩阵中独立零元素的定理发明的。匈牙利法的基本原理：定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去同一个常数t (t可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最优值比原最优值减少t 。解：设效率矩阵C为

指派问题

0 1 X＝ 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 、丁做第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357
人数和工作数不相等的指派问题
• 像处理不平衡运输问题那样，根据情况，虚设人，或者虚设工作任务。虚设人完成工作的费用以及任何人完成虚设工作的费用取零（理解为这些费用实际不会发生）。这样一来，便可将人数和工作数不相等的指派问题转化为标准形式的指派问题。
2 2 0 0
0 1 2 1
0 0 0 1
• 步骤三：找出独立零元素。
4 ◎ 0 2 0 Φ
2 ◎ 0 Φ 0 2 1 Φ 0 0 2 ◎ 0 Φ 0 1 1 ◎
4 Φ 0 2 0 ◎
2 ◎ 0 Φ 0 2 1 ◎ 0 0 2 Φ 0 ◎ Φ 0 1 1
' M cij ，其中 M max cij ，则令 cij
1i , j n
n
n
i 1 j 1
' ' z cij xij (M cij xij ) M xij cij xij Mn z ' i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
• 找独立0元素，常用的步骤为：
从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎ 。
然后划去◎ 所在列的其它0元素，记作Ø ；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。
从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0
元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。

指派问题(含非实用标准指派问题)

第五章整数规划§1 整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。

其模型为：Max(或min)z=∑=nj j jx c1s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=nj nj i ij ij xx x nj x m i b x a ,,,2,10,2,1),(211若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。

§5 指派问题一．指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。

例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。

诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。

由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。

指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为),2,1,(n j i c ij =，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n 件事的总费用最少。

为了建立标准指派问题的数学模型，引入2n 个0-1变量：⎩⎨⎧=10ij x这样，问题的数学模型可写成 ∑∑===ni nj ij ijx cz 11min （5.1）s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑==n j i x n i x n j x ij n j ij n i ij ,2,1,1,0,2,11,2,1111 （5.3）其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。

中部分或全部取整数若指派第i 人作第j 件事若不指派第i 人作第j 事i ，j=1,2,…n（5.2）（5.4）注：○1 指派问题是产量（i a ）、销量（j b ）相等，且i a =j b =1，i ，j=1,2,…n 的运输问题。

○2 有时也称ijc 为第i 个人完成第j 件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。

指派问题的概念

指派问题的概念指派问题，这可不是个陌生的名词，您要是觉得陌生，那可就有点落伍啦！啥是指派问题？简单来说，就是把一些任务或者工作分配给一些人或者资源，让效果达到最好或者成本降到最低。

就好比您家里请客吃饭，您得安排谁去买菜、谁去做饭、谁去洗碗，得让这事儿顺顺当当的，大家都能轻松又高效地完成任务，这其实就是一种简单的指派。

再比如说，一个公司有几个项目要做，有几个团队能接手，那怎么把项目分配给最适合的团队，让项目能顺利完成，质量还高，这也是指派问题。

您想想，要是安排得不好，那会咋样？就像让一个根本不会做饭的人去掌勺，最后大家吃得都不开心，这顿饭不就搞砸啦？在生活中，指派问题无处不在。

学校里安排老师教不同的班级和课程，医院里安排医生值班，这不都是在做指派嘛。

要是能把指派问题解决得好，那可不得了。

能节省时间、节省精力，还能让大家都满意。

比如说一个快递公司，要安排快递员去不同的区域送货，如果安排得合理，就能快速送完，客户满意，快递员也不累。

可要是安排不好呢？快递员跑冤枉路，货物送得慢，客户抱怨，公司也损失。

那怎么才能解决好指派问题呢？这可不是拍拍脑袋就能决定的。

得考虑好多因素呢。

比如说每个人或者每个资源的能力和特点，任务的难度和要求，时间的限制等等。

就像安排一场演出，得知道每个演员擅长啥，节目需要啥样的表演，还有演出的时间安排，这都得考虑清楚，才能把节目安排得精彩。

指派问题可不像表面看起来那么简单，这里面的学问大着呢！您要是不认真对待，可能就会搞得一团糟。

但要是能掌握好这个，那不管是生活还是工作，都能变得更加井井有条，您说是不是？所以啊，弄清楚指派问题，学会解决它，对我们的生活和工作那可是太重要啦！。

指派问题

指派问题实例研究报告

第4章整数规划——指派问题

三类指派问题

指派问题的最优解法

指派问题的四个计算步骤

运筹学__指派问题

指派问题详解

指派问题

指派 问题

指派问题

指派问题

指派问题

指派问题

《指派问题》课件

指派问题

指派问题

指派问题

指派问题

指派问题(含非实用标准指派问题)

指派问题的概念

指派问题