层次分析法介绍

2 层次分析法

2.1层次分析法的简单介绍

层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。

在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。

2.2层次分析法的基本层次结构

第一类：最高层，又称顶层、目标层。

第二类：中间层，又称准则层。

第三类：最底层，又称措施层、方案层。

层次结构图

（一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层

(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型

2.3 判断矩阵

设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ⨯=A 显然，判断矩阵具有性质：

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=A nn n n n n a a a

a a a a a a

212222111211 ,0>ij a ,1

ij

ji a a =

1=ii a )...,2,1,(n j i =

所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。 现在，来看看如何确定ij a 的取值？T.L.Satty 的做法是用数字1～9及其倒数作为标度

（见表2-1）。选择1～9方法是基与下述根据：

（1）在估计事物质的区别时，人们常用五种判断表示，即相等、较强、强、很强、绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较，这样，总共有九个等级，它们有连贯性，便于在实践中应用。

（2）心理学家认为，人们同时在比较若干个对象时，能够区别差异的心理学极限为27±个对象，这样它们之间的差异正好可以用九个数字表示出来。Satty 还将1～9标度方法同另外一种26标度方法进行过比较，结果表明1～9标度是可行的，并且能够地将思维判断数量化。

表2-1

判断值 比较关系 强烈程度 1 j

i

Y Y =

相等 3 j i Y Y ∞> i Y 稍好于j Y 5 j i Y Y >> i Y 明显好于j Y 7 j i Y Y >>> i Y 比j Y 好得多 9 j i Y Y >

i Y 极端好于j Y 1/3 j i Y Y < i Y 稍次于j Y 1/5 j i Y Y << i Y 明显次于j Y 1/7 j i Y Y <<< i Y 比j Y 次得多 1/9

j i Y Y ∞<

i Y 绝对次于j Y

2，4 ，6 ，8及 1/2 ， 1/4 ， 1/6 ， 1/8 表示强烈程度在相应相邻等级之间

2.4一致性检验

虽然通过两两成对比较得到的判断矩阵不一定满足一致性，但人们还是希望能找到一个数量标准，用它来衡量矩阵A 不一致的程度。假如，把一块单位重量的分成块，其重量分别为),,2,1(n i w i =,则n y y y ,,,21 在z 中所占的比重可

按其重量排序，即为

T ),,,21n w w w （，i y 与j y 的相对重量为j

i

ij w w a =，这样就能得到判断矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡=A n n

n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w

212

221212111

显然，矩阵A 是满足一致性的互反矩阵，并且有[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A T n n w w w w w w 1,,1,1,,,2121 记T

=),,,(21n w w w w ，

则 []w n w w w w w w w w n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=A T

,,,1,1,12

121 即对于一致的判断矩阵而言，排序向量w

就是A 的特征向量。反之，若A 是一致性的正互反矩阵，则有性质：

1=ii a ， ji

ij a a 1

=

， ik ik ij a a a =⋅ 因此j ij i a a a 11=⋅ ，即 j i ij a a a 111=，这样的话，就有()()n n n n ij a a a a a a a 1121111211,,,1,,1,1 T

⨯⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==A

类似地可以证明T

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧='n a a a w 112

111,,1,1 是A 的属于特征根n 的特征向量，并且由于A 是相对变量w 关于目标的判断阵，故w '为诸对象的一个排序。 除了以上性质外，一致的正互反矩阵A 还具有性质：A 的转置T A 也是一致的；的每一行均为任意指定的一行的倍数，从而1)(=A rank A 的最大特征根

n =max λ，其余的特征根为0；设A 的最大特征根m ax λ对应有特征向量

T =),,,(21n w w w w

，则⋅=j

i ij w w a

由上面的性质有，当A 是一致阵时，n =max λ，将m ax λ对应特征向量标准化后，

仍记为T =),,,(21n w w w w ，即w

满足

∑==n

i i w 1

1

称w 为权向量。权向量w 在层次分析法中有很重要的作用，他表示n y y y ,,,21 在目标z 中的比重。