马尔科夫过程
随机过程马氏过程
Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,, t n ) P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 ,, X (t n ) xn }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 , X (t n2 ) xn2 ,,
一、马尔可夫过程的数学定义
二、满足马氏性的随机过程
三、马氏过程的分类 四、马氏过程的有限维分布族
1
一、马尔可夫过程的数学定义
马尔可夫过程是具有所谓马尔可夫性 的一类特殊的随机过程.
1 马尔可夫特性
若当某随机过程{X(t),t ∈ T}在某时刻tk 所处的状态已知的条件下，过程在时刻t(t>tk) 处的状态只会与过程在tk时刻的状态有关，而与 过程在tk以前所处的状态无关。这种特性即称为 马尔可夫性,亦称之为无后效性。
19
例1.5 若每隔一分钟观察噪声电压，以X(n) 表示第n分钟观察噪声电压所得结果，则X(n) 为一随机变量，{X(n),n≥1}为一随机过程， 此过程是马氏过程吗？ 实际上,每隔一分钟观察所得噪声电压值 相互并不影响,且X(n)为一连续型随机变量, 因而{X(n),n≥1}是独立同分布的连续型随 机变量列,故知它为离散参数集,连续状态集的 马尔可夫过程.
X (t 2 ) x2 , X (t1 ) x1 }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t 2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 }
F ( x1 , t1 )F ( x2 , t2 | x1 , t1 )F ( xn , tn | xn1 , tn1 )
《马尔可夫过程 》课件
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
马尔可夫过程简介
1第七章 马尔可夫过程简介§7.1 马尔可夫过程定义对于一个随机过程，如果它具有以下特性：即当过程在现在时刻k t 所处的状态为已知的条件下，过程在将来时刻k t t >处的状态，只与过程在k t 时刻的状态有关，而与过程在k t 时刻以前所处的状态无关，则具具有此种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
上述随机过程所具有的特性又称为无后效应。
无后效应也理解为：过程)(t X 在现在时刻k t 的状态，k k i t X =)(已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
严格定义如下：定义马尔可夫过程：考虑随机过程)(t X ，并设1110+<<<<k k t t t t t ，如果它的条件概率密度函数满足)]()([)](,),(),()([1011k k k k k t x t x f t x t x t x t x f +-+= 则称为)(t X 为马尔可夫过程。
定义表明，)1(+k t x 的概率密度函数只取决于)(k t x 的状态，而与前)(,),(01t x t x k -个状态无关。
也就是“现在”的状态)(k t x 才对“将来”的状态)(1+k t x 有影响，而“过去”的状态)(,),(),(021t x t x t x k k --对“将来”没有影响。
由马尔要夫定义再根据条件密度函数公式，可写出马乐可夫过程的联合概率密度。
∵ ])(,),()([01t x t x t x f k k +)](,),(),([)](,),(),(),([01011t x t x t x f t x t x t x t x f k k k k k --+=)](,),(),(),([011t x t x t x t x f k k k -+2)](,),(),([)](,),(|)([0101t x t x t x f t x t x t x f k k k k -+= )](,),(),([)](|)([011t x t x t x f t x t x f k k k k -+=∏=+=ki i i t f t x t x f 01)()](|)([由上式要知，马尔可夫过程的联合概率密度函数等于各个转移概率密度和初始概率密度的乘积。
马尔可夫决策过程的定义
马尔可夫决策过程的定义
马尔可夫决策过程(Markov Decision Process, MDP)是一种表示机器
学习系统可以自主探索环境并学习如何在未来期望获得最大奖励的数学框架，也称为状态动作行为(state–action–reward)。
它是一种将完全可
观察环境和多阶段决策问题结合起来的框架。
马尔可夫决策过程由一组由实数或整数序列组成的状态集S、一组动
作集A、一组从一个状态到另一个状态的转移概率P、一组状态行为价值
函数R组成，其中状态集S代表环境中的所有可能状态，动作集A代表机
器可以控制的所有可能行动，转移概率P表示每一个动作对环境状态的影响，状态行为价值函数R表示每一个状态的价值，并且根据未来的状态作
出决策。
马尔可夫决策过程的目标是要找到最佳的策略，也就是每个状态最优
的行为，以便有最大的收益。
这种策略通常是通过求解一个期望收益最大
化问题来实现的。
值函数(Value Function)是衡量状态对应的价值的函数，用来估算在当前状态执行一些行为可以获得的最大期望收益，而策略函数(Policy Function)则根据值函数来进行行为的选择。
MDP通常用两类方法来求解，一类是蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)，另一类是动态规划方法(Dynamic Programming Method)。
通信系统的马尔可夫过程建模
通信系统的马尔可夫过程建模马尔可夫过程是一类重要的随机过程，被广泛应用于通信系统的建模与分析中。
本文将介绍通信系统中常用的马尔可夫过程建模方法，并分析其在系统性能评估和优化中的应用。
一、马尔可夫过程基础知识马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，其状态在离散时间间隔内发生转移。
马尔可夫过程的状态转移满足马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
二、马尔可夫链模型马尔可夫链是马尔可夫过程的一种最简单形式，常用于描述离散状态系统。
通信系统中的马尔可夫链模型可以用于描述状态转移过程，比如无线信道中的状态转移、网络中的流量变化等。
三、连续时间马尔可夫链模型对于一些需要考虑时间连续性的通信系统，常使用连续时间马尔可夫链模型。
该模型中，状态可以在任意时刻改变，并且满足马尔可夫性质。
在实际应用中，连续时间马尔可夫链模型常用于描述通信信道的变化过程、流量的持续性等。
四、隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种常用的马尔可夫链模型扩展形式，用于描述系统状态的观测过程。
在通信系统中，隐马尔可夫模型可以应用于信道环境的建模与估计、多用户检测等方面。
五、马尔可夫过程在系统性能评估中的应用马尔可夫过程在通信系统性能评估中起到重要作用。
通过建立合适的马尔可夫模型，可以对系统状态转移、传输延迟、丢包率等性能指标进行分析和优化。
六、马尔可夫过程在系统优化中的应用马尔可夫过程在通信系统优化中也有广泛应用。
通过对系统状态的建模与分析，可以针对性地设计和优化系统参数，提高系统性能和资源利用率。
七、结论通过对通信系统的马尔可夫过程建模，可以更好地理解和分析系统的行为和性能。
马尔可夫过程为通信系统的建模与分析提供了一种灵活有效的方法，对于系统性能的评估和优化具有重要意义。
通过马尔可夫过程的建模，我们可以对通信系统的行为和性能有更深入的了解，从而更好地设计和优化系统。
相信在未来的通信系统研究中，马尔可夫过程的应用将会得到更广泛的推广和应用。
工程随机过程_3_马尔可夫过程(Markov)
College of Science, Hohai University
Stochastic Processes
定理2 若随机变量序列{X(n)，n0}对任何n 均满足下式，则该序列为马氏链。
P{ X (0) i0 , X (1) i1 ,, X ( n) in }
P { X ( 0) i 0 } P{ X (1) i1 | X (0) i0 } P{ X ( 2) i2 | X (1) i1 } P { X ( 3 ) i 3 | X ( 2) i 2 } P{ X ( n) in | X ( n 1) in1 }
Pn ( P1 )
n
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Stochastic Processes
初始概率分布： 马氏链在初始时刻（即零时刻）取各状态 的概率分布 p0 ( i0 ) P{ X (0) i0 } i E 0 称为它的初始概率分布。 绝对概率分布： 马氏链在第n时刻（n 0）取各状态的概 率分布 p ( j ) P{ X (n) j } j E
第三章
马尔可夫过程 (Markov)
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Stochastic Processes
Markov过程是一个具有无后效性的随机过程. 无后效性: 当过程在时刻tm所处的状态为已知时, 过程在 大于tm的时刻t所处状态的概率特性只与过程在 tm时刻所处的状态有关, 而与过程在tm时刻之前 的状态无关. (1)参数和状态都离散 -----马氏链 (2)参数离散, 状态连续 -----马氏序列 (3)其余皆为马氏过程.
马尔可夫过程 鞅过程 通俗
马尔可夫过程鞅过程通俗
马尔可夫过程和鞅过程是概率论和随机过程中两个重要的概念，以下是它们的通俗解释：
1. 马尔可夫过程：
马尔可夫过程是一种随机过程，它的未来状态只取决于当前状态，而与过去的历史无关。
换句话说，给定当前时刻的状态，未来的状态是独立于过去的状态的。
这就像是一个“健忘”的过程，它不记得过去发生了什么，只根据当前的情况来决定未来。
举个例子，考虑一个人在城市中行走的过程。
假设他当前所在的位置决定了他下一步可能去的地方，而他过去的位置对他的未来路径没有影响。
那么这个行走过程可以被建模为马尔可夫过程。
2. 鞅过程：
鞅过程是一种特殊的马尔可夫过程，它满足“鞅性”，即在任何时刻，过程的期望等于其当前值。
这意味着，从长远来看，过程的平均变化是零。
再举个例子，假设你在玩一个抛硬币的游戏，每次抛硬币都有一半的概率正面朝上，一半的概率反面朝上。
如果你把每次抛硬币的结果加起来，那么从长远来看，你的总和应该接近于零，因为正面和反面出现的次数大致相等。
这个游戏的过程可以被建模为鞅过程。
总的来说，马尔可夫过程和鞅过程是随机过程的两种重要类型，它们在金融、统计、物理等领域都有广泛的应用。
马尔可夫决策过程 马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes
马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes，MDP)马尔可夫决策过程概述马尔可夫决策过程是基于马尔可夫过程理论的随机动态系统的最优决策过程。
马尔可夫决策过程是序贯决策的主要研究领域。
它是马尔可夫过程与确定性的动态规划相结合的产物，故又称马尔可夫型随机动态规划，属于运筹学中数学规划的一个分支。
马尔可夫决策过程是指决策者周期地或连续地观察具有马尔可夫性的随机动态系统，序贯地作出决策。
即根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统下一步（未来）的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。
决策者根据新观察到的状态，再作新的决策，依此反复地进行。
马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律与观察之前的历史无关的性质。
马尔可夫性又可简单叙述为状态转移概率的无后效性。
状态转移概率具有马尔可夫性的随机过程即为马尔可夫过程。
马尔可夫决策过程又可看作随机对策的特殊情形，在这种随机对策中对策的一方是无意志的。
马尔可夫决策过程还可作为马尔可夫型随机最优控制，其决策变量就是控制变量。
马尔可夫决策过程的发展概况50年代R.贝尔曼研究动态规划时和L.S.沙普利研究随机对策时已出现马尔可夫决策过程的基本思想。
R.A.霍华德(1960)和D.布莱克韦尔(1962)等人的研究工作奠定了马尔可夫决策过程的理论基础。
1965年，布莱克韦尔关于一般状态空间的研究和E.B.丁金关于非时齐（非时间平稳性）的研究，推动了这一理论的发展。
1960年以来，马尔可夫决策过程理论得到迅速发展，应用领域不断扩大。
凡是以马尔可夫过程作为数学模型的问题，只要能引入决策和效用结构，均可应用这种理论。
马尔可夫决策过程的数学描述周期地进行观察的马尔可夫决策过程可用如下五元组来描述：{S，(A(i)，i∈S，q，γ，V},其中S 为系统的状态空间（见状态空间法）；A(i)为状态i(i∈S)的可用行动（措施，控制）集；q为时齐的马尔可夫转移律族，族的参数是可用的行动；γ是定义在Γ(Г呏{(i，ɑ):a∈A(i)，i∈S}上的单值实函数；若观察到的状态为i，选用行动a，则下一步转移到状态j的概率为q(j│i，ɑ)，而且获得报酬γ(j，ɑ),它们均与系统的历史无关；V是衡量策略优劣的指标（准则）。
马尔可夫过程 状态序列
马尔可夫过程状态序列1.引言1.1 概述马尔可夫过程是一种重要的数学模型，用来描述随机变量的演化过程。
它是以俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫的名字命名的，用来描述一系列连续的随机事件或状态之间的转移。
马尔可夫过程具有无记忆性，即当前的状态只与前一个状态有关，与更早的状态无关。
马尔可夫过程的定义包括状态空间和状态转移概率。
状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合，每个状态都有一个与之对应的概率。
状态转移概率描述了状态之间的转移规律，它表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫过程的应用非常广泛。
在物理学中，马尔可夫过程可以用来描述粒子的运动；在生物学中，可以用来研究基因的变异；在经济学中，可以用来分析股票价格的波动等。
马尔可夫过程的状态序列生成是指根据给定的初始状态和状态转移概率，通过不断进行状态转移，生成一系列状态的过程。
本文将对马尔可夫过程的定义和特点进行详细介绍，探讨马尔可夫过程的状态序列生成方法，并讨论马尔可夫过程在不同领域中的应用和意义。
通过对马尔可夫过程的研究，我们可以更好地理解和预测随机事件的变化规律，为实际问题的解决提供有效的数学工具和方法。
1.2文章结构1.2 文章结构本篇文章旨在探讨马尔可夫过程中的状态序列生成和其重要性。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分介绍了马尔可夫过程的概念和特点，同时给出了本文的目的。
在概述中，我们将简要介绍马尔可夫过程的基本概念和背景知识，以帮助读者更好地理解后续内容。
在文章结构中，我们将明确介绍本文的组织结构，为读者提供一个整体的框架。
正文部分将详细讨论马尔可夫过程的定义和特点，以及如何生成状态序列。
在2.1节中，我们将阐述马尔可夫过程的定义，包括状态空间和状态转移概率。
同时，我们将介绍马尔可夫链的特点，例如无后效性和马尔可夫性质。
在2.2节中，我们将深入研究如何根据已知的马尔可夫链模型生成状态序列。
我们将介绍马尔可夫链的迭代算法、马尔可夫链的平稳分布以及马尔可夫链的随机游走等相关概念和方法。
第五章马尔可夫过程
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
k为转移步长。显然， 0≤ pij (m,k) ≤ 1 。
5.2 马尔可夫链
5.2.1 பைடு நூலகம்尔可夫链的概念
马尔可夫链的转移概率及其矩阵：
对于有限状态空间E={1,2,…,N},由马尔可夫链 {X(n), n=0,1,2,…}在时刻m的k步转移概率pij (m,k)形成的下列矩阵
p11(m, k)
P(m,
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率 绝对概率 极限分布 平稳分布 状态空间的性质
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
随机过程马尔可夫性：（物理描述）
当随机过程在时刻 ti 所处的状态为已知的条件下，过 程在时刻 t(>ti)所处的状态，与过程在ti时刻以前的状态无 关，而仅与在ti时刻的状态有关。这种已知“现在”状态的 条件下，“将来”状态与“过去”状态无关的性质，称为 马尔可夫性或无后效性。
或 F{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= F{xn; tn| xn-1 ; tn-1} 或 f{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= f{xn; tn| xn-1 ; tn-1}
马尔可夫过程的概念
设 I : 随机过程 { X (t ), t T } 的状态空间,
如果对时间t的任意n个数值,
tX t2 t n , X n ( T, 恰有 1 (tn )在条件 ti 3 ) ,tix 下的条件分布函数 i P{ X ( tn ) xn | X ( t1 ) x1 , X ( t2 ) x2 ,, X ( tn1 ) xn1 } X (tn )在条件X (tn1 ) xn1下的条件分布函数 P{ X ( tn ) xn | X ( tn1 ) xn1 }, xn R
3. 马尔可夫链的定义
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔 可夫链,简记为 { X n X ( n) , n 0 , 1 , 2 ,} .
马尔可夫过程的概念
1. 马尔可夫性(无后效性)
过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的
条件下, 过程在时刻t t0所处状态的条件分布与 与过程在时刻t0之前所处的状态无关的特性称为
马尔可夫性或无后效性.
即: 过程“将来”的情况与“过去”的情况是无 关的.
2. 可夫过程.
或写成
Ftn |t1tn1 ( xn , tn | x1 , x2 ,, xn1; t1 , t2 ,, tn1 ) Ftn |tn1 ( xn , t n | xn1 , t n1 ),
这时称过程 { X (t ) , t T } 具马尔可夫性或无后效性 .
并称此过程为马尔可夫过程.
马尔可夫决策过程简介(六)
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种用于描述随机决策过程的数学框架。
它是由前苏联数学家安德列·马尔可夫提出的，被广泛应用于控制论、人工智能、运筹学等领域。
马尔可夫决策过程可以用来建模和解决由随机性和不完全信息引起的决策问题，例如机器人的路径规划、股票交易策略、医疗诊断等。
状态空间和动作空间在马尔可夫决策过程中，系统的演变可以用一组状态和一组动作来描述。
状态空间是系统可能处于的所有状态的集合，通常用S表示。
动作空间是系统可以采取的所有动作的集合，通常用A表示。
状态空间和动作空间可以是有限的，也可以是无限的。
转移概率和奖励函数在马尔可夫决策过程中，系统的状态会随着时间的推移而发生变化。
状态之间的转移是随机的，可以用转移概率来描述。
转移概率表示系统处于某个状态时，采取某个动作后转移到下一个状态的概率。
转移概率可以用P表示，P(s'|s,a)表示在状态s下采取动作a后转移到状态s'的概率。
此外，马尔可夫决策过程还涉及奖励函数。
奖励函数可以看作是对系统在某个状态下采取某个动作所获得的即时奖励的评价。
奖励函数通常用R表示，R(s,a)表示在状态s下采取动作a所获得的即时奖励。
策略和值函数在马尔可夫决策过程中，决策的目标是找到一种策略，使得系统在长期内能够获得最大的回报。
策略可以看作是对系统在每个状态下采取哪个动作的决定规则。
策略可以用π表示，π(a|s)表示在状态s下采取动作a的概率。
值函数是对每个状态的价值的评估。
值函数可以分为状态值函数（V函数）和动作值函数（Q函数）。
状态值函数表示在某个状态下采取某个策略后长期回报的期望值，通常用Vπ(s)表示。
动作值函数表示在某个状态下采取某个动作后长期回报的期望值，通常用Qπ(s,a)表示。
强化学习和马尔可夫决策过程强化学习是一种通过与环境的交互来学习最优决策策略的机器学习方法。
马尔可夫过程
Ai lim P{Si (t)}
t
式中
Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法 当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
马尔可夫过程简介 一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
马尔可夫特性的直观解释为：
在给定t时刻随机过程的状态为Xn或xn，则该过 程的后续状态及其出现的概率与t之前的状态无关。 也就是说，过程当前的状态包括了过程所有的历史 信息，该过程的进一步发展完全由当前状态所决定， 与当前状态之前的历史无关，这种性质也称为无后 效性或无记忆性。 此特性也可以理解为：随机过程Xn在“现在” 状态已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去” 无关。或者说，过去只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
kE
状态转移图和状态转移率矩阵 马尔可夫模型常使用状态转移图来描述系统的运行情况。 故障（p）
S
1-p 修复（q）
F
1-q
图1 马尔可夫过程的状态转移图
马尔可夫过程
马尔可夫过程马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程在时刻ti 所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti 时刻的状态有关，而与过程在ti 时刻以前所处的状态无关。
此特性称为随机过程的无后效性或马尔可夫性。
此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。
或者说，过去只影响现在，而不影响将来。
P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}马尔科夫过程的分类：按其状态空间I 和时间参数集T 是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。
7.1.1 马尔可夫序列1、马尔可夫序列的定义定义：若对于任意的n ，随机序列{X(n)}的条件分布函数满足()()1X 121X |F ,,,|F --=n n n n X X X X X X则称此随机序列{X(n)}为马尔可夫序列。
条件分布函数FX(xn|xn-1)常被称为转移分布。
对于连续型随机变量，由上式可得(7-2)因此，利用条件概率的性质1211(|,,,)(|)X n n n X n n f x x x x f x x ---=(7-3)结合式(7-2)可得(7-4)所以，X1，X2，…，Xn 的联合概率密度可由转移概率密度fX(xk|xk-1)(k=2, …,n)和初始概率密度fX(x1)所确定。
推广：多重马尔可夫序列。
二重马尔可夫序列满足2、马尔可夫序列的性质1）马尔可夫序列的子序列仍为马尔可夫序列。
给定n 个任意整数k 1<k 2<…<k n ,有2）马尔可夫序列的逆序列仍为马尔可夫序列。
对任意的整数n 和k ，有证：由式(7-4)知3）马尔可夫序列的条件数学期望满足如果马尔可夫序列满足：12121211(,,)(|,,,)(|)()X n X n n n X X f x x x f x x x x f x x f x --=12112211(,,)(|)(|)(|)()X n X n n X n n X X f x x x f x x f x x f x x f x ---=1112(|,,,)(|)n n n n X k k n k X k k f x x x x f x x ---=121212112111221111(|,,,)(,,,,)(,,,)(|)(|)(|)()(|)(|)(|)()(|)()()X n n n n k X n n n n k X n n n k X n k n k X n k n k X n n X n X n k n k X n k n k X n n X n X n n X n X n f x x x x f x x x x f x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f x x f x f x f +++++++++++-+-+-+++-+-+-+++++====111(,)()(|)X n n X n X n n x x f x f x x ++-=则称此随机序列为“鞅”。
马尔科夫过程
一、马尔可夫过程的概念
当已知随机过程在时刻 ti 所处的状态的条件下，过程在时刻 t ( ti ) 所 处的状态与过程在时刻 ti 以前的状态无关，而仅与过程在 ti 所处的状态 有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效 性”或马尔可夫性。
分为四类： 1 T和E都取连续集时，称为马尔可夫过程。 2 若T取连续集而E取离散集时，称为可列马尔可夫过程。 3 若T取离散集而E取连续集时，称为马尔可夫序列。 4 若T和E都取离散集时，称为马尔可夫链。状态可列的马尔可夫链称
为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
马尔可夫序列
一、马尔可夫序列的定义
设 X1, X 2 , , X n , 表示随机过程X (t)在 t 为整数时刻的取样的随机序
列，记为 {X (n), n 1,2,, n （} 简记为 X (n)或 X n ），则可按以下方式定义马 尔可夫序列。
p11 p12 p1N
P
p21
p22
p2N
p
N1
pN2
p NN
称为一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。
（1） 0 pij 1
N
（2）
pij 1
j 1
（二）n步转移概率
在齐次条件下， k n 时，可得到 n 步转移概率
P{Xn1 j | Xn in}
(i 1,2, , N)
则称 {X n} 为马尔可夫链（简称马氏链）。
2、马尔可夫链的转移概率及性质
（一）
k 1 时，有
pij (1) pij (m, m 1) pij
随机过程-马尔可夫
实际中常常碰到具有下列性质的运动体系 Σ，如果已知它在 t = n 时 的状态，则关于它在 n 时以前所处的状态的补充知识，对预言 Σ 在 n 时 以后所处的状态不起任何作用。或者说， 在已知“现在”的条件下，“将 来”与“过去”是独立的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性” （简称“马氏性”） 或称“无后效性”。具有马氏性的随机过程称为马尔 可夫过程。 马尔可夫过程在理论上和实际应用中都十分重要，在工程、统计、物 理、生物学、数字计算方法、经济管理和市场预测等领域中 都有十分重要 的作用和广泛应用。
(k + l ) (k )
(m) =
证明：
r ∈E
r ∈E (k ) (l ) Pir (m)Prj (m +
Pir (m)Prj (m + k ) k)
(k )
(l )
=
r ∈E
P {X (m + k ) = r|X (m) = i}P {X (m + k + l) = j |X (m + k ) = r}
j1 ,··· ,jk ∈E
即： K -步转移矩阵由 1 步转移矩阵决定。 设P {X (0) = j } = pj , pj ≥ 0,
j ∈I
pj = 1， 称{pj }j ∈E 为 马 氏 链 的 初 始 分 pj n) = 1
(
布。 (n) (n) 称pj = P {X (n) = j }为绝对概率，满足pj ≥ 0,
(n+1) 由pj
j
= P {X (n + 1) = j } =
k
P {X (n + 1) = j |X (0) = k }P {X (0) = k }
马尔可夫过程
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。
关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。
1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Δ.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。
50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。
目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。
离散时间马尔可夫链以上述荷花池中的青蛙跳跃过程为例,荷叶号码的集合E叫做状态空间，马尔可夫性表示为：对任意的0≤n1<<I>n2<…<<I>nln>0,i1,i2,…，il，i,j∈E，有只要其中条件概率（见概率）有意义。
马尔可夫过程稳态分布估计
马尔可夫过程稳态分布估计马尔可夫过程是概率论和随机过程中一类重要的随机模型，具有无后效性和马尔可夫性质。
在实际应用中，我们经常需要对马尔可夫过程的稳态分布进行估计。
1. 简介马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，过去的状态和未来的状态是条件独立的。
这意味着在马尔可夫过程中，当前状态仅依赖于前一状态，而与更早的状态无关。
2. 稳态分布稳态分布是指当时间趋于无穷大时，系统的概率分布不再发生变化。
对于马尔可夫过程而言，稳态分布在长时间尺度上表示系统的平衡状态。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛法马尔可夫链蒙特卡洛法（MCMC）是一种常用的马尔可夫过程稳态分布估计方法。
MCMC基于马尔可夫链的收敛性质，通过构建一个马尔可夫链并模拟其演化过程，最终得到系统的稳态分布。
4. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值计算方法。
在马尔可夫链蒙特卡洛法中，通过抽样得到一组样本，然后基于这些样本计算系统的稳态分布。
5. 马尔可夫链收敛性当马尔可夫链的迭代次数趋向于无穷时，如果马尔可夫链的状态分布收敛于马尔可夫过程的稳态分布，那么称该马尔可夫链具有收敛性。
6. MCMC算法MCMC算法是一种基于马尔可夫链的蒙特卡洛方法。
在MCMC算法中，通过定义一个转移矩阵，以当前状态为基础，按照一定的概率进行状态的转移，最终得到稳态分布的近似值。
7. Gibbs抽样Gibbs抽样是一种常用的MCMC算法。
在Gibbs抽样中，将多维分布的抽样问题转化为一系列较为简单的条件抽样问题，通过依次抽取每个变量的条件分布，实现对多维分布的逐步抽样，从而得到稳态分布的估计。
8. Metropolis-Hastings算法Metropolis-Hastings算法是一种常用的MCMC算法。
该算法通过定义一个接受概率，根据当前状态和建议状态的概率差异来决定是否接受建议状态，从而实现状态的转移。
通过多次迭代，得到系统的稳态分布估计。
马尔可夫过程
马尔可夫过程马尔可夫过程是这样一个过程，假设现在时刻的状态是Xn，而在将来某时刻的状态仅仅与现在的状态有关，而与过去时刻的状态无关，马尔可夫过程也称为无后效过程。
马尔可夫过程根据自变量t和状态x 的取值可以分为离散马尔可夫链，连续马尔可夫链，离散马尔可夫过程，连续马尔可夫过程。
对时间离散取值的马尔可夫链，其联合概率完全由条件概率和初始概率确定。
在这里条件概率通常称为转移概率，如果各个状态之间的转移概率不随时间变化，称该离散马尔可夫链是时间齐次的，或简称齐次，也叫平稳的。
如果离散马尔可夫链的状态仅有有限个取值，或说仅有有限个状态，则它所有的转移概率可以组成一个矩阵，称之为转移概率矩阵，通常，也可以讲有限个状态的马尔可夫链形象地用状态图来表示。
k步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的k次方。
连续参数马尔可夫过程的联合概率密度可由其转移概率密度和初始边缘密度完全确定，显然一个独立的随机序列是马尔可夫过程。
如果有一个随机过程，它在任一个时间间隔上过程状态的改变，步影响未来的任意时间间隔上的状态改变，该过程称为独立增量过程。
独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程，且独立增量过程的有限维分布可由她的初始概率分布和所有增量的概率分布唯一确定。
在电子系统应用中往往需要研究这样一类问题：即在一定的时间间隔内某种事件出现次数的统计规律，例如对散弹噪声和脉冲噪声的研究。
实际上这类问题也在其它技术领域中存在。
例如在一定时间间隔内，电话交换台的呼叫次数，船舶甲板“上浪”的次数，通过交叉路口的汽车数等，所有这些过程都可以用泊松过程来模拟。
泊松过程属于具有可列个阶跃的阶跃型马尔可夫过程（或称作存不连续马尔可夫过程）。
同时它也是一个独立增量过程。
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设子序列
{ X r , X r 1 , , X r m } { X n , X n 1 , , X 1 }
则有
f X ( xr , xr 1 , , xr m ) f X ( xr | xr 1 , xr 2 , xr m ) f X ( xr 1 , xr 2 , xr m )
证毕
4、 如果条件概率密度 是齐次的。
f X ( xn | xn1 )
与 n 无关，则称该马尔可夫序列
5、 如果一个马尔可夫序列是齐次的，并且所有的随机变量 X n 具有相同的概率密度，则称该马尔可夫序列是平稳的。
6、 对于 n r s, 马尔可夫序列的转移概率满足
f X ( xn | xs ) f X ( xn |xr ) f X ( xr | xs )dxr
f X ( xr | xr 1 ) f X ( xr 1 | xr 2 ) f X ( xr m1 | x r m ) f X ( xr m )
所以子序列 { X r , X r 1 , , X r m } 也是马尔可夫序列。
2、 一个马尔可夫序列按其相反方向组成的逆序列仍为马尔可夫序 列。即对于任意的整数n和k,有 f X ( xn | xn1 , , xn k ) f X ( xn | xn1 )
iE iE
iE
iE
即:绝对概率 p j (n)由初始概率 { pi (0), i E} 及n步转移概率 { pij (n), i E}唯 利用C-K方程，则n步转移矩阵可由一步转移矩阵唯一确定。 一确定。
5、
马尔科夫链的有限维分布
P{ X 0 ii0 , X 1 ii1 , , X n iin } P{ X 0 ii0 }P{ X n iin , , X 1 ii1 | X 0 ii0 }
由所有n步转移概率 pij (n) 可构成 n步转移概率矩阵
p11 (n) p ( n) P(n) 21 p N 1 ( n) p12 (n) p 22 (n) p1N (n) p 2 N ( n) p NN (n)
4．初始分布与绝对分布
定义 设 {X (n), n 0,1,2, } 为一马氏链，其状态空间
E {0,1,2, }
或为有限子集。令 pi (0) P{ X (0) i}, i E，且对任意的 i E ，均有 （1） pi (0) 0 （2） pi (0) 1
iE
则称 { pi (0), i E} 为该马氏链的初始分布，也称初始概率。初始 概率是马氏链在初始时间 n 0 时处于状态 i的概率。 当 n 1 时，马氏链处于状态i的概率称为绝对概率或绝对分布。 定义36 设 {X (n), n 0,1,2, } 为一马氏链，其状态空间 E {0,1,2, } 或为有限子集。令 pi (n) P{ X (n) i}, i E ，且对任意的 i E （1） pi (n) 0 （2） pi (n) 1
对于 n k l 步转移概率，有如下的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程的 离散形式
pij (n) pij (k l ) pir (l ) p rj (k )
r 1 N
若用概率矩阵表示，有 P(n) P(l )P(k )
2 2 当 n 2 时，有 P(2) P(1)P(1) [P(1)] (P)
p j (n) P{ X (n) j} P{( X (n) j )( X (0) i )}
P{ ( X (n) j, X (0) i)} P{X (n) j, X (0) i}
iE
iE
iE
P{X (0) i}P{X (n) j | X (0) i} pi (0) pij (n)
证：因为
f X ( xn , xn1 , , xn k ) f X ( xn k | xn k 1 ) f X ( xn1 | xn ) f ( x ) X n
同理
f X ( xn1 , xn 2 , , xn k ) f X ( xn k | xn k 1 ) f X ( xn 2 | xn1 ) f X ( xn1 )
称为一步转移概率。由所有一步转移概率 p ij 构成的矩阵
称为一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。 （1） 0 pij 1 （2）
p
j 1
N
ij
1
（二）n步转移概率 在齐次条件下， k n 时，可得到
n 步转移概率
pij (n) pij (m, m n) P{ X m n j | X m im }
定义33：若对于任意的n，有
f X ( xn | xn1 , xn2 , , x1 ) f X ( xn | xn1 )
则称此 X n 为马尔可夫序列。这一概率密度函数称为转移概率密度函数。 可以推出
f X ( x1 , x2 , , xn ) f X ( xn | xn1 ) f X ( xn 1 | xn2 ) f X ( x2 | x1 ) f X ( x1 )
p P 00 p10 p 01 p p11 q q p
于是，两级传输时的概率转移矩阵等效于两步转移概率矩阵为
p P ( 2) P q
2
q p p q
q p2 q2 p 2 pq
2 pq p2 q2
马尔可夫序列
一、马尔可夫序列的定义 设 X 1 , X 2 , , X n , 表示随机过程X (t ) 在 t 为整数时刻的取样的随机序 列，记为 {X (n), n 1,2, , n } 简记为 X (n)或 X n ），则可按以下方式定义马 （ 尔可夫序列。
P{ X n iin | X n 1 iin1 } P{ X 1 ii1 | X 0 ii0 }P{ X 0 ii0 }
iE
均有
则称 { pi (n), i E} 为该马氏链的绝对分布，也称绝对概率。
定理3 马氏链的绝对概率由初始分布和相应的转移概率唯一确定。
证：设 {X (n), n 0,1,2, }为一马氏链， 为状态集，则对任意 E
j E, n 1 时马氏链处于状态 j 的概率为
p j (1) P{ X (1) j} P{( X (1) j )( X (0) i )}
同理可推出，当 n k 时，有
P(k ) P(1)P(k 1) [P(1)] k (P) k
即任意 k 步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵自乘 k 次来得到。
例2-1 在某数字通信系统中多级传输0、1两种数字信号。由于系统中存 在干扰，在任一级输入0、1数字信号后，其输出不产生错误的概率为p， 产生错误的概率为q=1-p ，求两级传输时的概率转移矩阵。 解：系统每一级的输入状态和输出状态构成一个两状态的马氏链， 其一步转移概率矩阵为
此式就是有名的切普曼—柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）。
三、马尔可夫链
1、马尔可夫链的定义 定义：设
{ X n , n 1,2, } 为一随机序列，其状态空间
E {i1 , i2 , , iN }，若对于任意的
n
，满足
P{ X n 1 j | X n in , X n 1 in 1 , X n 2 in 2 , , X 1 i1} P{ X n 1 j | X n in }
马尔可夫过程
一、马尔可夫过程的概念
当已知随机过程在时刻 t i 所处的状态的条件下，过程在时刻 t ( t i ) 所 处的状态与过程在时刻 ti 以前的状态无关，而仅与过程在 t i 所处的状态 有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效 性”或马尔可夫性。 分为四类： 1 T和E都取连续集时，称为马尔可夫过程。 2 若T取连续集而E取离散集时，称为可列马尔可夫过程。 3 若T取离散集而E取连续集时，称为马尔可夫序列。 4 若T和E都取离散集时，称为马尔可夫链。状态可列的马尔可夫链称 为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
根据条件概率定义和以上两式有
f X ( x n | x n 1 , , x n k )
f X ( x n | x n 1 )
f X ( x n , x n 1 , , x n k ) f (x | x ) f (x ) X n 1 n X n f X ( x n 1 , x n 2 , , x n k ) f X ( x n 1 )
iE
P{ ( X (1) j, X (0) i)} P{X (1) j, X (0) i}
iE
P{X (0) i}P{X (1) j | X (0) i} pi (0) pij (1)
iE
即: n 1 时,绝对概率 p j (1) 由初始概率 { pi (0), i E}及一步转移概率 { pij (1), i E}唯一确定。 当 n 2 时，绝对概率由下式确定：
则称 { X n } 为马尔可夫链（简称马氏链）。
(i 1,2, , N )
2、马尔可夫链的转移概率及性质
（一）
k 1 时，有 p ij (1) pij (m, m 1) pij
p11 p P 21 p N1 p12 p 22 pN 2 p1N p2 N p NN
证：因为
f X ( xn , xs | xr ) f X ( xn , xr , xs ) f X ( xn | xr ) f X ( xs | xr ) f X ( xr ) f X ( xr ) f X ( xr )