第2章5_用整体坐标表示单元刚度矩阵
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for(j=0; j<6; j++) { ke[i*6+j]=0; for(m=0; m<6; m++) ke[i*6+j]+= k[i][ m]* T[m*6+j] ;
} }
[例 2-3] 平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1×107kN/m2, A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。
int i, j,m; double k[6][6]； for(i=0; i<6; i++) {
for(j=0; j<6; j++) { k[i][j]=0; for(m=0; m<6; m++) k[i][j]+=T[m*6+i]*ke[m*i+j] ;
} } for(i=0; i<6; i++) {
2 12i 2
BC Y
2 l
Cx
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
2 12i 2 BCx 2 Cy
l
1 2i (B 2 )CxCy
l 6i l Cy 2 12i 2 BCx 2 Cy
l
1 2i (B 2 )CxCy
l
2 12i 2 BCy 2 Cx
l 6i l Cx 1 2i (B 2 )CxCy
0
K (2)
0.5
0
0.866 0
0
0
0
0 0.866 0.5 1 0
0 1
0
EA
0.5
0.866
0
0 2 0
0 0.866
0
0.5
0
0
0.5
0.866
0
0
0
0
0
0 0.5 0.866
0.75
0.433
0.75
0.433
0.433 0.25 0.433 0.25
向量 F (e) 均应进行坐标变换，换成按整体坐标表示 δ (、e) F 。 (e)
单元刚度矩阵 K (e) 也应作相应的坐标变换，换成用整体坐标
表示的单元刚度矩阵 K (e) 。
整体坐标表示的单元刚度方程：
F (e) K δ (e) (e)
先推导整体坐标表示的单元刚度矩阵 K (e) 与单元坐标表示的单元
单元（1）的单元坐标和整体坐标一致，所以
1 0 1 0
K (1)
K (1)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 1.732
0
0
0
0
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
Cx2 K (e) 对称
CxCy
C
2 y
Cx2 CxCy
Cx2
CxCy
第五节 用整体坐标表示 单元刚度矩阵
❖ 前面我们已经得到单元坐标下的刚度矩阵，在装配 结构总刚度矩阵时，必须把单元坐标表示的单元刚 度矩阵变换到整体坐标下，本节将给出二者之间的 关系，并得到各种杆单元用整体坐标表示的单元刚 度矩阵。
1.公式推导
单元刚度方程：F (e) K δ (e) (e) 中的杆端位移向量 δ (e) 和杆端力
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
3.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
F (e) T K (e)T T δ (e) (e) (e)
❖ 得整体坐标表示的单元刚度矩阵： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.平面桁架单元整体坐标
表示的单元刚度矩阵
由前面求得的平面桁架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵
1 0 1 0
K (e)
0
0
0
0 EA
1 0 1 0 l
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
C
2 y
y
E
A
CxCy
C
2 y
l
— 上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵
[例2-1]平面桁架如图所示，各杆截面 EA均为常数。已知P1=15kN,P2= 20kN，试桁架各杆轴力。
1.对结点和单元编号如图示; 2. 列表表示各单元参数;
单元 ① ②
单元坐标 x轴方向
1→2
3→2
α
0
0
0.24 0
105
0.12
0.48
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
6EI
2
l
4EI
l
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
K (3) K (1)
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
2.8285
2 1 2i 2
BC Y
2 l
Cx
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l 6i l Cy 2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l
2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l 6i l Cx 1 2i (B 2 )CxC y
0
0
0
0
cosa sin a
0
T (e) sin a cosa
cosa sin a
0
sin a cosa
令： Cx=cosα,Cy=sinα，且把上式代入 K (e) T (e)TK T (e) (e) 得：
Cx2
K (e)
对称
CxCy
C
2 y
Cx2 CxCy
Cx2
CxC
q = 20 KN/m
1
1
11
q=20KN/m =20KN/m
3
3
3
44
3
6m
6m 6m
2
2
6m
6m
2
2 6m
6m
[解] 1.对应结点及各单元编号如图所示;
2.列出单元参数表;
单元 单元坐标x轴 α
Cx
Cy
B
EA l
① 1→3
0° 1
0
4×105
② 2→3
45° 0.7071 0.7071 2.8285×105
0
01 0
0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0 sin a cosa 0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0
0
1
0
00 0
0 1
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
得单元（2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：
1.4213
K (2)
对
1.4072 1.4213
0 30°
cosα 即Cx
1
0.866
sinα 即Cy
0
0.5
单元长度 l(m) 1.732
2.00
y x
3.列出各单元刚度矩阵
1 0 1 0
K (1)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 1.732
0
0
0
0
1 0 1 0
K (2)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 2
0
0
0
0
4.列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵;
0.866
T
(2)
0.5
0
0.5 0.866
0.866 0.5
0
0.5 0.866
1 0 1 0
K (2)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 2
0
0
0
0
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
0.866 0.5 0
0 1 0 1 0 0.866 0.5 0
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
cosa sin a 0
sin a cosa 0
0
T
(e)
0
01
cosa sin a 0
0 sina cosa 0
0 0 1
单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性，仅有单元的E, I, l, a有关。利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵。
刚度矩阵 K (e) 之间的关系：
单元坐标下的杆端力、杆端位移 ：
F (e) T F (e) (e)
(e) T (e)δ (e)
单元坐标下的刚度方程 F (e) K δ (e) (e) 化为： T F (e) (e) K (e)T (e)δ (e)
上式两边分别左乘 T ， (e)T 且由 ：T (e)T T (e)1
0.75 0.433
0.75 0.433
0.433
0.25
EA
0.433 2
0.25
3.平面刚架单元整体坐标
表示的单元刚度矩阵
由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0
0
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
6E
2
I
l
4EI
l
l 2 12i 2 BCy 2 Cx
l
6i l Cy
6i l Cx
2i
6i
l Cy 6i l Cx 4i
— 上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵。一般不需专门记忆， 只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系。
平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计
void change(double *ke, double *T) {
称
0.04243 0.04243
0.3394
1.4213 1.4072 0.04243 1.4213
1.4072 1.4213 0.04243 1.4072 1.4213
0.04243
0.04243
0.1697 0.04243
105
0.04243
0.3394
返回目录
C
2 y
EA
CxCy
C
2 y
l
0.75
K (2)
0.433
0.75
0.433
0.433 0.25 0.433 0.25
0.75 0.433
0.75 0.433
0.433
0.25
EA
0.433 2
0.25
第二种方法： 利用坐标变换公式： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.1698
0
105
0.060
0.3396
cosa sin a 0
0.7071 0.7071 0 0
0 0
sin a cosa 0
0
0.7071 0.7071 0
0
0 0
T (2)
0
01
0
cosa
sin a
0
l 2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l
6i l Cy
6i l Cx
2i
6i
l Cy 6i l Cx 4i
第二种方法： 利用坐标变换公式： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.8285
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
K (e) T K T (e)T (e) (e)
3.平面刚架单元整体坐标
表示的单元刚度矩阵
令：B 得：
EA，i
l
E l
I
，Cx=cosα,Cy=sinα，且把上式代入
K
(e)
T K T (e)T (e) (e)
2 12i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxCy
6m
6m
i
EI l
0.12×105
0.0849×105
③ 3→4ຫໍສະໝຸດ Baidu
0° 1
0
4×105
0.12×105
3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵
将以上参数代入公式：
4 0 0 4 0
0
0.04 0.12
0
0.04
K
(1)
0
0.48 0 0.12 40
对 称
0.04
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0 0.12
} }
[例 2-3] 平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1×107kN/m2, A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。
int i, j,m; double k[6][6]； for(i=0; i<6; i++) {
for(j=0; j<6; j++) { k[i][j]=0; for(m=0; m<6; m++) k[i][j]+=T[m*6+i]*ke[m*i+j] ;
} } for(i=0; i<6; i++) {
2 12i 2
BC Y
2 l
Cx
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
2 12i 2 BCx 2 Cy
l
1 2i (B 2 )CxCy
l 6i l Cy 2 12i 2 BCx 2 Cy
l
1 2i (B 2 )CxCy
l
2 12i 2 BCy 2 Cx
l 6i l Cx 1 2i (B 2 )CxCy
0
K (2)
0.5
0
0.866 0
0
0
0
0 0.866 0.5 1 0
0 1
0
EA
0.5
0.866
0
0 2 0
0 0.866
0
0.5
0
0
0.5
0.866
0
0
0
0
0
0 0.5 0.866
0.75
0.433
0.75
0.433
0.433 0.25 0.433 0.25
向量 F (e) 均应进行坐标变换，换成按整体坐标表示 δ (、e) F 。 (e)
单元刚度矩阵 K (e) 也应作相应的坐标变换，换成用整体坐标
表示的单元刚度矩阵 K (e) 。
整体坐标表示的单元刚度方程：
F (e) K δ (e) (e)
先推导整体坐标表示的单元刚度矩阵 K (e) 与单元坐标表示的单元
单元（1）的单元坐标和整体坐标一致，所以
1 0 1 0
K (1)
K (1)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 1.732
0
0
0
0
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
Cx2 K (e) 对称
CxCy
C
2 y
Cx2 CxCy
Cx2
CxCy
第五节 用整体坐标表示 单元刚度矩阵
❖ 前面我们已经得到单元坐标下的刚度矩阵，在装配 结构总刚度矩阵时，必须把单元坐标表示的单元刚 度矩阵变换到整体坐标下，本节将给出二者之间的 关系，并得到各种杆单元用整体坐标表示的单元刚 度矩阵。
1.公式推导
单元刚度方程：F (e) K δ (e) (e) 中的杆端位移向量 δ (e) 和杆端力
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
3.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
F (e) T K (e)T T δ (e) (e) (e)
❖ 得整体坐标表示的单元刚度矩阵： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.平面桁架单元整体坐标
表示的单元刚度矩阵
由前面求得的平面桁架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵
1 0 1 0
K (e)
0
0
0
0 EA
1 0 1 0 l
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
C
2 y
y
E
A
CxCy
C
2 y
l
— 上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵
[例2-1]平面桁架如图所示，各杆截面 EA均为常数。已知P1=15kN,P2= 20kN，试桁架各杆轴力。
1.对结点和单元编号如图示; 2. 列表表示各单元参数;
单元 ① ②
单元坐标 x轴方向
1→2
3→2
α
0
0
0.24 0
105
0.12
0.48
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
6EI
2
l
4EI
l
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
K (3) K (1)
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
2.8285
2 1 2i 2
BC Y
2 l
Cx
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l 6i l Cy 2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l
2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l 6i l Cx 1 2i (B 2 )CxC y
0
0
0
0
cosa sin a
0
T (e) sin a cosa
cosa sin a
0
sin a cosa
令： Cx=cosα,Cy=sinα，且把上式代入 K (e) T (e)TK T (e) (e) 得：
Cx2
K (e)
对称
CxCy
C
2 y
Cx2 CxCy
Cx2
CxC
q = 20 KN/m
1
1
11
q=20KN/m =20KN/m
3
3
3
44
3
6m
6m 6m
2
2
6m
6m
2
2 6m
6m
[解] 1.对应结点及各单元编号如图所示;
2.列出单元参数表;
单元 单元坐标x轴 α
Cx
Cy
B
EA l
① 1→3
0° 1
0
4×105
② 2→3
45° 0.7071 0.7071 2.8285×105
0
01 0
0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0 sin a cosa 0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0
0
1
0
00 0
0 1
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
得单元（2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：
1.4213
K (2)
对
1.4072 1.4213
0 30°
cosα 即Cx
1
0.866
sinα 即Cy
0
0.5
单元长度 l(m) 1.732
2.00
y x
3.列出各单元刚度矩阵
1 0 1 0
K (1)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 1.732
0
0
0
0
1 0 1 0
K (2)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 2
0
0
0
0
4.列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵;
0.866
T
(2)
0.5
0
0.5 0.866
0.866 0.5
0
0.5 0.866
1 0 1 0
K (2)
0
0
1 0
0 1
0 EA 0 2
0
0
0
0
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
0.866 0.5 0
0 1 0 1 0 0.866 0.5 0
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
cosa sin a 0
sin a cosa 0
0
T
(e)
0
01
cosa sin a 0
0 sina cosa 0
0 0 1
单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性，仅有单元的E, I, l, a有关。利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵。
刚度矩阵 K (e) 之间的关系：
单元坐标下的杆端力、杆端位移 ：
F (e) T F (e) (e)
(e) T (e)δ (e)
单元坐标下的刚度方程 F (e) K δ (e) (e) 化为： T F (e) (e) K (e)T (e)δ (e)
上式两边分别左乘 T ， (e)T 且由 ：T (e)T T (e)1
0.75 0.433
0.75 0.433
0.433
0.25
EA
0.433 2
0.25
3.平面刚架单元整体坐标
表示的单元刚度矩阵
由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0
0
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
6E
2
I
l
4EI
l
l 2 12i 2 BCy 2 Cx
l
6i l Cy
6i l Cx
2i
6i
l Cy 6i l Cx 4i
— 上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵。一般不需专门记忆， 只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系。
平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计
void change(double *ke, double *T) {
称
0.04243 0.04243
0.3394
1.4213 1.4072 0.04243 1.4213
1.4072 1.4213 0.04243 1.4072 1.4213
0.04243
0.04243
0.1697 0.04243
105
0.04243
0.3394
返回目录
C
2 y
EA
CxCy
C
2 y
l
0.75
K (2)
0.433
0.75
0.433
0.433 0.25 0.433 0.25
0.75 0.433
0.75 0.433
0.433
0.25
EA
0.433 2
0.25
第二种方法： 利用坐标变换公式： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.1698
0
105
0.060
0.3396
cosa sin a 0
0.7071 0.7071 0 0
0 0
sin a cosa 0
0
0.7071 0.7071 0
0
0 0
T (2)
0
01
0
cosa
sin a
0
l 2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l
6i l Cy
6i l Cx
2i
6i
l Cy 6i l Cx 4i
第二种方法： 利用坐标变换公式： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.8285
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
K (e) T K T (e)T (e) (e)
3.平面刚架单元整体坐标
表示的单元刚度矩阵
令：B 得：
EA，i
l
E l
I
，Cx=cosα,Cy=sinα，且把上式代入
K
(e)
T K T (e)T (e) (e)
2 12i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxCy
6m
6m
i
EI l
0.12×105
0.0849×105
③ 3→4ຫໍສະໝຸດ Baidu
0° 1
0
4×105
0.12×105
3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵
将以上参数代入公式：
4 0 0 4 0
0
0.04 0.12
0
0.04
K
(1)
0
0.48 0 0.12 40
对 称
0.04
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0 0.12