计算材料学

Monte Carlo方法模拟及其应用

沈合平

（上海大学材料学院学院，上海200072）

摘要：扫描电子显微学中使用二次电子和背散射电子作为成像信号时遇到了一些问题，通过计算机模拟可以很好地解决这些问题.本文首先介绍了Monte Carlo方法，再介绍了Monte Carlo方法在扫描电镜模拟中的应用，并且总结了计算机模拟的发展方向。

关键词：扫描电子显微镜；衬度；Monte Carlo；计算机；模拟

Abstract:Scanning electron microscopy using the secondary electron and backscattered electron imaging signal as many problems encountered,which can be solved by computer simulation.This paper describes the Monte Carlo method, and then introduced the Monte Carlo method in the simulation of a scanning electron microscope, and summed up the direction of the computer simulation.

Keywords:SEM;Contrast;Monte Carlo;computer;simulation

1. 引言

扫描电子显微学中使用二次电子和背散射电子作为成像信号。对于研究材料的表面形貌非常重要。低能二次电子主要反映试样的表面形貌特征,而较高能量的背散射电子既可在一定程度上反映试样的表面特征,也可表征试样的内部成分和结构差异。

多数二次电子的能量很小,从表面发射时的峰值能量仅为数eV,故其在材料内部的运动范围有限,只有那些在表面附近产生的二次电子才能从试样表面发射出来。二次电子主要用于表征试样的表面形貌特征。而具有较高能量的背散射电子则是入射电子在深入试样的内部后由于多次散射效应再从表面发射出来的那些电子,它们既包含试样的表面信息,也含有试样结构差异和内部成分的信息。

当用场发射扫描电镜观察数十纳米尺度以下的小颗粒时,衬度与大尺度颗粒的情形相差很大,二次电子图像仅仅呈现出一些亮点和较弱的光点,而背散射电子图像则显示大量的亮点,因此难以判定颗粒在基底表面的分布情况。由于该颗粒/基底体系的扫描电镜图像衬度的形成机制较为复杂[1,2],尚未得到理解,因而限制了从SEM图像中提取出有用信息。

如果能模拟计算二次电子和背散射电子信号产生的过程,将有助于理解扫描电子显微镜的成像和图像衬度机理。因此,研究者们利用电子散射轨迹模拟的Monte Carlo方法已做了一些研究,如Gauvin[3]模拟了一个嵌入到均匀基底内的球的背散射电子像和X射线像;Radzimski和Russ[4]基于利用Rutherford散射截面和Bethe阻止本领的单散射模型,模拟了多层多元素试样在二维方向上表面形貌的背散射电子像;而Yan和Gomati[5]则开发了一个三维的Monte Carlo程序用来模拟一些比较复杂试样的背散射电子和Auger电子像,但这个程序也要求试样的几何结构必须能被解析地表达出来,所以能模拟的情形仍然有限。特别是这些研究中还不能得到二次电子像,主要原因是因为计算二次电子发射的产额相当困难。

因此,无论从计算方法还是从应用前景,模拟成分非均匀和形貌特殊的试样成像(特别是二次电子像)均成为有重要意义的研究工作。

2.Monte Carlo方法

Monte Carlo 方法是在二战期间产生和发展起来的。他的奠基者是美籍匈牙利人数学家冯诺伊曼（J.Von Neumann 1903-1957）。作为Monte Carlo 方法的最初应用，是解决蒲丰氏

问题。1777 年，法国数学家Buffon 提出利用投针实验求解的问题。

Monte Carlo 方法，又名随机模拟法（stochastic sim－ulation）或统计实验法[6]。它是以概率统计理论为基础，依据大数定律（样本均值替代总体均值），利用电子计算机数字模拟技术，解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。

2.1 Monte Carlo 方法基本原理

Monte Carlo方法是一种通过产生一系列的随机数来模拟物理过程的计算模拟方法,特别适用于基于统计力学和量子力学等领域内的复杂问题。在电子显微学中,它可用来有效地模拟电子在试样内部和表面附近的散射和输运过程,从而得到二次电子和背散射电子的信号。用这种方法进行电子散射轨迹模拟时,需要计算运动电子在散射时的散射角、方位角、能量损失及步长等,这些物理量均可通过对相应的散射截面或分布函数进行随机抽样而得到。

电子散射分为弹性散射和非弹性散射两种,其中弹性散射的角分布等可以用Mott截面来求得。电子在固体中运动时由于与固体原子和电子的碰撞会发生多次散射,按照电子在散射时是否有能量损失可区分为两种散射机制:没有能量损失的为弹性散射,有能量损失的为非弹性散射。总散射截面为弹性散射截面和非弹性散射截面之和,它与平均自由程成反比。对于弹性散射事件,根据散射角分布的微分散射截面,可抽样得到该次散射事件中的散射角,以此确定电子在碰撞后运动方向的偏转。对于非弹性散射事件,根据能量损失的微分散射截面,抽样得到该次散射事件中的能量损失,从而确定电子在经过非弹性散射事件后能量的降低,进而由能量损失和散射角的双重微分散射截面,确定与能量损失相对应的该次散射事件中的散射角。

单个电子经历的散射事件在空间中的连线形成单条电子轨迹,而Monte Carlo方法要求对每个给定的实验条件(电子束能量、角度等)计算大量电子轨迹,降低随机性造成的结果不确定性,以求得统计上具有真正物理意义的计算结果。基本思想是通过模拟电子在样品中的运动轨迹而研究入射电子束与样品的相互作用和信号的产生过程,每条轨迹由空间中多次离散的散射事件相联而成。在应用于扫描电子显微学时，需对样品表面选定的区域逐点计算一定数目的入射电子轨迹,以求得对应象素的背散射电子或二次电子信号强度,由此得到像衬度。

2.2 弹性散射截面

电子与原子间的碰撞是弹性相互作用,散射时电子仅仅有运动方向的变化,不存在能量损失。高能情况下Rutherford截面是个很好的近似,但对于keV量级或更低能的电子,需用相对论性的量子力学微分散射截面即Mott散射截面[7]:

上试中：

其中,P l(cosθ)和P11(cosθ)分别是Legendre函数和一阶联带Legendre函数。δ+l和δ1-分别是l阶自旋向上和向下的相移,它们是通过数值求解散射电子在原子势场中的径向狄拉克方程而得到[8]。

2.3 非弹性散射截面

对于固体中电子态激发的非弹性散射，非弹性散射为电子与电子间的相互作用,主要机