4圆周运动的角量描述
质点运动学
ω 2 − ω02 = 2βθ
6
例：一质点圆运动，半径 r 运动方程为 θ =-t2+4t， 求：质点的 v (t ) a (t ) 解：θ = −t 2 + 4t
rad
ω = −2t + 4
β = −2
rad/s
rad/s 2
∴ v = rω = r (−2t + 4) aτ = r β = −2r
d2r v2 =a= 2 dt r
d2r =0 2 dt
19
5. 质点的运动方程： x =x(t) y =y(t) 在求质点速度和加速度时，有人采用如下方法：
dr 先从 r = x + y 求出 r = r (t ) ，再由 v = dt d2r 和 a = 2 求出质点的 v 和 a 的大小。此法错在何处？ dt
一矢量等于二矢量之和，作矢量图
vPK vK′K
vPK′
利用三角形知识求解
上式再对t求导，可得：aPK = aPK′ + aK′K
加速度的变换定理
求相对运动问题的一般方法： 1. 确定研究对象 3. 分析 vPK P
2. 确定定参考系 K，动参考系 K/
vPK ′ vK ′K 的大小、方向
4. 依据 v PK = v PK ′ + v K ′K 画矢量图，从已知边、角，求未知 边、角（解三角形），问题得到解决。
2 v 2 − v0 = 2a( x − x0 )
ω 2 − ω02 = 2β (θ − θ 0 )
例：质点作匀角加速圆运动，t =0 时 θ0 ， ω0 ，β =恒量 求：θ ( t )=? ω ( t )=? ω (θ )=? 解： 从 β→ ω→ θ 积分法
大学物理课件-圆周运动的角量描述 角量与线量的关系
解 由题意得 v 32 m/s ω 4t2
k ω v 4 s3 t 2 Rt 2
v Rω 4Rt2
当t =0.5 s 时
v 4Rt2 2.0 m/s
an
v 2 2.0 m/s2
R θ
arctan(an
)
aτ
dv dt
8Rt
a an2 a 2
13.6
8.0 m/s2 8.25 m/s2
dt
d
dt
k
d 2
dt 2
k
k 和初始条件
求 ω, (t)
(t)
t
d dt
0
t1
(t)
t
d dt
0
t1
若为 β 常量，则
(t) 0 t
(t)
0
0t
1 2
t
2
例 一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为
求
(1) 当t =2s
2 4t3
时，质点运动的an
解： 本题涉及：
岸、水、船、船上人
岸、水、船，以船为动点： V船对岸 V船对水 V水对岸
岸、船、船上人，以人 为动点：
V人对岸 V人对船 V船对岸
V人对船 V船对水 V水对岸
结果：
0
V3
V1
V2
V1 V2 V3 0
例2 某人骑自行车以速率V 向正西方行驶，遇到由 北向南刮的风设风速大小也为V），则他感到风 是从何方向吹来？
天花板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74 m 。
求 螺母自天花板落到底板所需的时间. O 解 取螺母刚松落为计时零点.
a
O'
动点为螺母,取二个坐标系如图
刚体力学
理想化的模型： 刚体性质（1）具有质量 （2）占有空间位置 （3）大小、形状 不具有性质： 则力变形
突出主要因素 主要因素
忽略次要因素 次要因素
2.2 刚体转动定律与转动惯量
一、转轴 定轴转动
当刚体上所有的点都绕一条固定直线矩圆周运动时， 这种运动就叫定轴转动，这条固定直线就叫转轴。
东北农业大学 Northeast Agricultural University
刚体力学
物理教研室
2.1 变速圆周运动和角量描述 一、匀速圆周运动
圆周运动 质点曲线运动 圆周运动：质点运动的轨迹是一对圆。 圆周运动：质点运动的轨迹是一对圆。 质点的匀速圆周运动：质点在任何相同的时间 质点的匀速圆周运动： 匀速圆周运动 间隔所行经的弧长相等 弧长相等。 间隔所行经的弧长相等。
0
mg − T = ma LL( 1 ) TR = Iβ 2 LLL( 2 )
mgR β2 = mR 2 + m0 R 2 / 2 mg mg a = β2R = = I m + 2 m + m0 / 2 R
T
mg
例题
两对匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一对组合轮。
小圆盘的半径为r，质量为 ；大圆盘的半径r’=2r，质量 = 2m。 小圆盘的半径为 ，质量为m；大圆盘的半径 ，质量m’ 。 组合轮可以绕通过其中心且垂直对盘面的光滑水平固定轴o转动 转动， 组合轮可以绕通过其中心且垂直对盘面的光滑水平固定轴 转动， 轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 对o轴的转动惯量 轴的转动惯量 细绳下端各悬挂质量为m的物体 的物体A和 ，这一系统从静止开始运动, 细绳下端各悬挂质量为 的物体 和B，这一系统从静止开始运动 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：（1）组合轮 绳与盘无相对滑动且长度不变。已知 的角加速度； 当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。 的角加速度；（2）当物体上升 时 组合轮的角速度。
第3讲 圆周运动的角量描述
第四节圆周运动及其描述上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。
1 圆周运动的线量描述回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。
这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。
由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。
所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。
位置：s＝s(t)速度：dsdt v=τ加速度：22d sdtτ=aτ(1a)2nvR=a n(1b)(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。
质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。
2 圆周运动的角量描述极坐标系2.1 角位移除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。
如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。
在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。
注意：1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。
其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向1矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。
即为d θ的正方向。
2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y －>90，最后z －>90得到的结果，与先x->90，再z －>90，最后y －>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t ． ．0．时，角位移．．．．．d ．θ．才是矢量．．．．。
3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。
圆周运动的角量表示
四、牛顿定律应用举例
两类力学问题：
•已知力求运动 •已知运动求力
桥梁是加速度
G a
解题步骤：十六字诀
隔离物体——明确研究对象
具体分析——研究对象的运动情况和受力情
况，作出受力图
选定坐标——参考系、坐标系、正方向
建立方程——分量式
Fx
= max
= m d vx dt
=
d2 x m
dt2
Fy
= may
பைடு நூலகம்
= m dvy dt
Fn
= man
G
=
m
v2
ρG
F = ma = maτ eτ + manen
三、牛顿第三定律
对于每一个作用,总有一
个相等的反作用与之相反;或 者说,两个物体对各自的对方
F21
2
的作用总是相等的,而且指向
相反的方向。
F12 1
第三定律的数学表达式: GG F12 = −F21
注意:1.作用力与反作用力同生同灭。
１.２.２圆周运动中的 切向加速度和法向加速度
一、圆周运动的角量表示
1、角位置
θ = θ (t)
2、角位移
K
K
v2 B v1
R Δs A
Δθ
θ
O
X
Δθ
3、角速度
ω = dθ dt
单位：rad/s
4、角加速度
α = dω = d 2θ dt dt 2
单位：rad/s2
ds = rdθ
dθ
ωG vvG==ωRGω× RG
=
m
d2 dt
y
2
Fz
= maz
= m d vz dt
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
力学1-4复习和习题讲解
坐标原点，则该质点任意时刻的位矢是＿＿＿＿.
解： 依题意，有 a F t i 4ti dv
m 0.25
dt
分离积
分变量
v
dv
2j
t
4t i
dt
v 2t 2 i 2 j
0
再由 v dr dr vdt dt
量大小为_m__v_d____。
分析： L r mv L rmv sin(r ,v )
mvr sin
mθ v
d θ•
r
o
mvd
11. (学习指导p27. 35 ) 质点P的质量为2kg,位移矢量为r ,
速度为v ，它受到力 F 的作用，这三个矢量均在Oxy面内，
且r =3.0m , v=4.0m/s , F=2N , 则该质点对原点O的角动
1
v5 m
5
5m(5
2t )dt
（25 5t 2）5
0
0
0
5.（学习指导p24. 16） 如图所示，光滑平面上有一个运动物体P，在P的 正前方有一个连有弹簧和挡板M的静止物体Q， 弹簧和挡板的质量不计， P与Q质量相同。物体P 与Q碰撞后P停止， Q以碰前P的速度运动。在此 碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（ ）
（1）串联后总的劲度系数k满足： （2）并联后总的劲度系数k满足：
11 1
k k1 k2 k k1 k2
k1
k2
F
（1）
k1
k2
F
（2）
解（1） 串联时，两弹簧受力相等，均为F；伸长分 别为x1、x2.则总伸长x=x1+x2.
∴有 F=k1x1=k2x2
2运动学2四个物理量的应用
例如：圆的曲率半径 就是其半径R。 圆周运动的法向加速 度就是向心加速度。
av R
2
a n v 反映速度速度方向的变化
5
小结： v dr dt
直角坐标系中：
dx dy v i j dt dt
r ( t ) x( t )i y( t ) j
1 2 4 c t R
16
7、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10 cos5 t i 10 sin 5 t j
50( sin 5t i cos5t ) （SI）。则t时刻其速度 v j ______________；
其切向加速度的大小
m/s
at
18
4、
加速度
dr v dt
1） 平均加速度 v a t
y
.
O
vA
A
B
vB
a
与 v 同方向
2）（瞬时）加速度
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
x
vA
v
vB
19
直角坐标系中：
2 dv d r 2 加速度 a dt dt
at an
a
aa
a t 2 a n 2
2
tg a t / a n
2
dv dt
v
2
a t dv / dt
当 当
表示速度大小的变化
v2 an
反映速度 方向的变化
21
at at
与 与
v 同号时速度加快 v 反号时速度减慢
2 自然坐标系 圆周运动 相对运动
(3) 匀变速率圆周运动基本公 式的角量表示
0 t
1 2 2 2 0 2 0
(1) 一般圆周运动
0 0 t t 2
dv at dt
at 0
v2 an R
(2) 匀速圆周运动
与匀变速直线运动基本公式 的数学形式相同.
总加速度
a a t an
改变 改变 速度方向
速度大小
dv et 切向加速度 at at et dt
法向加速度 总加速度
v2 an en
at
an
et
a a t an
改变
讨论: (1) at = 0 匀速率运动; at≠ 0 变速运动. (2) an = 0 直线运动; an≠ 0 曲线运动 例1-7. 抛体运动 y u0
y = u0 sina t -
自然坐标:
du at dt a a a
2 2 t 2 n
1 2 gt 2 u2 an
a at
an
A g
g sin g cos
2 v0 gcos
B g
C
g
0 g
2 v0 cos2 g
g sin g cos
2 v0 gcos
ag
相对速度 牵连速度 注意: 暗含两个参考系时间与空 绝对速度 （风对地） （风对人） （人对地） 间测量的绝对性(绝对时空观).
aOP aOP aOO
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北偏 西 30方向吹来.问: 人感到风是 从那个方向吹来？
a
vax vab v xb
圆周运动的角量描述 角量与线量的关系
计算公式
角动量 = 物体的质量 × 物体的线 速度 × 到旋转轴的距离。
方向
角动量的方向与物体旋转的方向一 致。
03 角量与线量的关系
线速度与角速度的关系
线速度是物体在单位时间内通过的弧 长，用符号v表示，单位为米/秒(m/s)。
线速度与角速度的关系为：v = ωr， 其中r为物体转动半径，表示线速度与 角速度成正比，与转动半径成正比。
圆周运动的角量描述 - 角量与线量 的关系
目录
• 引言 • 角量描述 • 角量与线量的关系 • 实例分析 • 总结与展望
01 引言
圆周运动的定义
01
圆周运动是指物体绕着某一点做 圆周轨迹的旋转运动。
02
圆周运动的角量描述是研究物体 旋转的物理量，包括角速度、角 加速度等。
角量与线量的基本概念
VS
角加速度
描述圆周运动加速或减速的快慢，单位为 弧度/秒²。非匀速圆周运动中，角加速度 不为零。
角量与线量的具体应用场景
角速度的应用
角加速度的应用
在机械、航空航天、航海等领域，角速度 被广泛应用于陀螺仪、惯导系统、风力发 电机等设备的控用于 控制车辆的稳定性和机器人的运动轨迹。
线动量与角动量的关系
1
线动量是物体运动时的动量，用符号P表示，单 位为千克·米/秒(kg·m/s)。
2
角动量是物体转动时的动量，用符号L表示，单 位为千克·米²/秒(kg·m²/s)。
3
线动量与角动量的关系为：P = mr^2ω，其中m 为物体的质量，表示线动量与角动量成正比，与 转动半径的平方成正比。
角速度是物体在单位时间内转过的角 度，用符号ω表示，单位为弧度/秒 (rad/s)。
物理(工)
第1章 质点运动学和牛顿运动定律1. 描述质点运动的物理量位置矢量（位矢，运动方程）：)(t r r = 位移矢量：r(t)-t)r(t r ∆+=∆速度：dt drv t ==∆∆=→∆→∆lim lim0t 0t r 加速度：a=lim△t →t v ∆∆=22dtrd dt dv = 在笛卡尔坐标系中上述物理量的表示和计算2. 已知物体的运动方程，求物体的速度和加速度 如果已知物体的运动方程（即位矢），就可以通过运动方程对时间求导数，得到所求物体的速度和加速度。
3. 圆周运动切向加速度dt dv a =τ和法向加速度Rv a n 2=，圆周运动加速度度22n a a a +=τ圆周运动的角量描述：角坐标和角位移，角加速度和角速度角速度 dt d θω=，角加速度22dt d θα=角量与线量的关系：ωR v =，222)(ωωR RR R v a n ===；αR dt d R dt dv a n ===ω 4. 牛顿运动定律牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。
牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。
5. 物理学中常见的力 万有引力221rm m GF =，重力mg P =，弹力kx F =，最大静摩擦力 N s F F μ=max ，滑动摩擦力N F F μ=第2章 守恒定律1. 动量与冲量 质点的动量定理质点的动量定理：12122121mv mv p p dp Fdt I p p t t -=-===⎰⎰平均冲力的计算：tmv mv F ∆-=122. 质点系的动量定理 质点系的动量定理：∑∑⎰∑-=iii it t iipp dt F 0213. 质点系的动量守恒定律 当合外力为零时，常矢量==∑∑iii ii vm p 。
圆周运动的角量描述 角量与线量的关系
A
反映 反映 的方向变化 因素
的大小变化 因素
无限趋近法向
无限趋近切向
法向加速度
切向加速度
要点归纳法向加速度Fra bibliotek切向加速度
线量描述
切向加速度
0, , v 增大 at dv 0, , v 常量 dt 0, , v 减小
一般曲线运动（自然坐标）
y
a
o a x a
et
en
第三节
圆周运动
线量描述
1、自然坐标系：
切向：质点前进的方向 法向：与切向垂直，指向曲线 凹的一面。
et
en
2、圆周运动的切向加速度和法向加速度（自然
坐标系分析） S =S (t )
v v(t ),a a (t ) ds v et vet dt
线量描述
加速度问题
C
D B
截取 AD = AB 作矢量 和
v et
v ds et vet dt 2 d v d v v a et en dt dt
ds 其中 d 为曲率半径 .
en
例
角位置
角位移
角速度
角加速度
匀变速圆周运动
角线量关系
物理量小结
物理量小结2
角线简例
《大学物理》圆周运动
得切向加速度与角加速度的关系为a r
dt
而法向加速度an
v2 r
dt r 2
质点作匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式
为：
ω ω0 t
θ θ0 ω0t t 2 / 2
ω2 ω02 2 (θ θ0 )
v v0 at
x
x0
v0t
at2 / 2
v2
v02
2a( x
(R
sin
ti
R
c
ostj )
a(t)
dv(dtt)
2 (R
costi
R 2
sin tj)
dt
速度、加速度也可以用其在x、y方向上的分量来表示
二、自然坐标系下的描述
自然坐标系：以动点为坐标原点，以动点所在轨道处的切线和 法线为坐标轴（切向指向前进方向，法向指向曲率中心），、n 为切、法向的单位矢量。
1-16.飞轮作匀减速转动 , 在 5 秒内角速度由 40πrad/s 减到 10πrad/s , 则飞轮在这 5秒内总共转过了多少圈?飞轮再经过多 少时间才能停止转动?
课后习题 1-8 1-9 1-10
（2）如
匀变速直线运动
（3）如 a 0,a；则0 质点作
n
t
匀速直线运动
（4）如
a n
0,
a t
0；, 质 点 c作
一般曲线运动
（5）如 a 0, a 0；, 质点c作
n
t
变速圆周运动
（6）如
a n
0,
a t
c；, 质点c作
匀变速圆周运动
（7）如 a 0, a 0；, 质点c作
dt dt
dt dt
程守洙《普通物理学》【教材精讲+考研真题解析】-第1~9章【圣才出品】
第1章力和运动[视频讲解]1.1 本章要点详解█质点运动状态的描述█圆周运动和一般曲线运动█相对运动，常见力与基本力█牛顿运动定律█伽利略相对性原理，非惯性系与惯性力1.2 重难点导学一、质点运动描述1．质点（1）概念当物体的大小和形状忽略不计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点——质点。
（2）说明质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想化的力学模型。
一个物体能否当做质点，取决于研究问题的性质。
2．参考系和坐标系（1）参考系的概念为描述物体的运动而选择的标准物称为参考系。
（2）参考系的说明①为描述物体的运动而选择的标准物称为参考系； ②参考系的选择是任意的；③在描述物体的运动时，必须指明参考系，若不指明参考系，则认为以地面为参考系； ④参考系不同，则对运动的描述是不同的。
（3）坐标系的意义坐标系用于定量地描述物体相对于参照系的运动。
（4）坐标系的分类 ①直角坐标系（一般应用） ②球坐标系 ③柱坐标系 ④自然坐标系 3．空间和时间 4．运动学方程在选定的参考系中，运动质点的位置P （x ，y ，z ）是t 的函数，即x ＝x （t ），y ＝y （t ），z ＝z （t ）5．位矢（1）位矢是用来确定某时刻质点位置的矢量，用r r表示．（2）特点①矢量性（有大小和方向）；②瞬时性；③相对性；④单位：米（m）。
6．位移位移表示质点在一段时间内位置改变的矢量，用r 表示．7．速度（1）平均速度：物体在一个时间段内的平均快慢程度。
（2）瞬时速度（速度）：物体在某一时刻的速度。
8．加速度（1）平均加速度平均加速度是指速度的增量与所用时间的比值。
（2）瞬时加速度瞬时加速度是指平均加速度的极限值。
（3）注意①加速度为矢量，有大小和方向；②与速度具有相同的特点；③匀变速运动加速度为恒量；④非匀变速运动加速度为变量。
二、圆周运动和一般曲线运动1．切向加速度和法向加速度（1）切向加速度a t和法向加速度a n的公式（2）切向加速度和法向加速的说明①切向加速度改变线速度的大小；②法向加速度只改变运动方向，法向加速度方向始终指向圆心，R为曲率半径。
【精品】4圆周运动的角量描述
【精品】4圆周运动的角量描述
圆周运动是一种以固定半径绕着固定中心点做圆周运动的运动方式。
这种运动方式在自然界和科学实验中广泛存在。
在数学和物理中，我们可以通过描述旋转物体的角度来量化圆周运动。
本文将详细介绍角量描述圆周运动的方法。
1. 角度
角度是圆周运动中最基本的角量。
角度用度（°）作单位，360°为一整圆。
在圆周运动中，我们可以用角度来描述一个物体所绕的圆周长度。
例如，一个舞蹈者以150°的角度绕着中心点转了一圈，则这个圆的圆周长就是360°，这位舞蹈者绕了3/4的圆周长度。
2. 弧度
弧度是圆周运动中更为准确的角量。
弧度用弧长与半径之比表示，用弧度符号rad表示。
一个弧度恰好对应圆周上点的一弧长，也就是说，一个完整的圆周上有2π个弧度。
因为圆周长度为2πr，所以一个弧度的圆弧长度就是r，这个比值就是1弧度。
因此，如果一个物体以1弧度每秒（rad/s）的速度旋转，它就震荡了整个圆周长度的1/6。
角速度是圆周运动中衡量旋转速度的角量。
角速度是指旋转物体单位时间内的角位移量，用弧度每秒（rad/s）表示。
角速度的物理意义类似于线速度，当物体位于半径为r的圆周上旋转时，线速度和角速度的关系为v=rω。
其中，v是线速度，r是半径，ω是角速度。
角速度越快，圆周上物体的转速越快。
总之，在圆周运动中，角度、弧度、角速度和角加速度是四个最基本的角量。
通过这些角量的定义，我们可以更全面地了解圆周运动并预测相应的运动规律。
自然坐标系圆周运动的角量描述
角加速度与向心加速度关系
在圆周运动中，向心加速度是描 述物体向圆心方向加速或减速的
物理量，其单位为米/秒²。
向心加速度的大小等于角加速度 与半径的乘积，即 a_n = α × r。
当角加速度的方向与半径垂直时， 向心加速度的大小达到最大值。
04
转动动能与势能
转动动能公式
定义
意义
转动动能为物体因转动而具有的动能， 与转动惯量和角速度的平方成正比。
意义
转动势能反映了物体转 动的静态特性，是描述 物体转动状态的重要物 理量。
动能与势能关系
动能与势能之和为常数
01
在保守力场中，物体转动的动能与势能之和保持不变，即 $E_{k}
+ U = E_{k0}$。
动能与势能相互转化
02
在非保守力场中，物体转动的动能与势能可以相互转化，但总
和保持不变。
动能与势能的物理意义
圆周运动的周期与频率
周期
圆周运动的周期是指完成一个完整的圆周运动所需的时间，用符号$T$表示。对于匀速 圆周运动，周期的大小为$T = frac{2pi}{omega}$。
频率
圆周运动的频率是指单位时间内完成的圆周运动圈数，用符号$f$表示。频率与周期的 关系为$f = frac{1}{T}$。
06
线速度和线加速度
在自然坐标系中，线速度和线加速度 可以通过角速度和角加速度与半径的 乘积得到。线速度的大小等于质点在 单位时间内沿圆周运动的弧长，单位 为米/秒。线加速度的大小等于质点 在单位时间内沿圆周运动的弧长的变 化量，单位为米/秒²。
展望
更深入的理论研究
随着物理学的发展，对圆周运动的研究可以更加深入，例如研究更高阶的角量和线量描述，以及它们在不同坐标 系下的变换关系等。
《大学物理》上册复习资料
胤熙说明：本资料纯属个人总结，只是提供给大家一些复习方面，题目均来自课件如有不足望谅解。
（若要打印，打印时请删去此行）第一章质点运动学1.描述运动的主要物理量位置矢量：位移矢量：速度矢量：加速度矢量：速度的大小：加速度的大小：2.平面曲线运动的描述切向加速度：法相加速度：（圆周运动半径为R，则a n= ）3.圆周运动的角量描述角位置：角速度：角加速度：圆周运动的运动方程：4.匀角加速运动角量间的关系ω= θ=5.角量与线量间的关系ΔS= V= a t= a n=6.运动的相对性速度相加原理: 加速度相加关系:7. 以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为m 的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？8.一飞轮以n=1500r/min的转速转动，受到制动而均匀地减速，经t=50s后静止。
（1）求角加速度β和从制动开始到静止时飞轮的转数N为多少？(2）求制动开始t=25s时飞轮的角速度ω(3）设飞轮的半径R=1m时，求t=25s时，飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度9.一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以15 km/h 速率沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内，求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。
x x 'yy 'z z 'O O 'S S 'u∙P ),,(),,(z y x z y x '''第二章 牛顿运动定律 1.经典力学的时空观（1） （2） （3） 2.伽利略变换 (Galilean transformation ) （1）伽利略坐标变换X ’= Y ’= Z ’= t ’=(2)伽利略速度变换V ’= （3）加速度变换关系 a ’=3.光滑桌面上放置一固定圆环，半径为R ，一物体贴着环带内侧运动，如图所示。
物体与环带间的滑动摩擦系数为μ。
物理-圆周运动的角量描述 相对运动
二、相对运动
1、绝对时空观
B
时间间隔 空间间隔
地面参考系
υ
A 车厢参考系
时间间隔、空间间隔与质量的测量与观测者所在的参考系无
关，是绝对的。
——绝对时空观
二、相对运动
2、速度变换与加速度变换
设S′系相对于S系以速度 作直线运动。
并以两坐标原点重合瞬间作为共同的计时起点。
(牵连速度)
S
S
二、相对运动
B(t+Δt 时刻）
A(t 时刻）
s(t )
0
R (t 0) x
(2) 国际单位制中角坐标与角位移的单位：弧度
一、圆周运动的角量描述
3、角速度
3、角加速度
d
dt
d 2
dt 2
（单位：rad/s 2）
讨论
(1) 线量与角量之间的关系
（单位：rad/s）
0
B(t+Δt 时刻） s A(t 时刻）
t时刻
运动质点P在S系中的位置矢量为： 质点P在S′系中的位置矢量为： S′的坐标原点O′在S系中的位矢为：
S r r0
S
r
x
(牵连速度)
r
r0
r
二、相对运动
由：
质点相对于S系 的运动速度
S′系相对于S系 的运动速度
质点相对于S′系 的运动速度
运动质点在两个作相对运动的参考系中的速度变换式。
二、相对运动
由：
质点相对于S系的 S′系相对于S 质点相对于S′
加速度
系的加速度 系的加速度
运动质点在两个作相对运动的参考系中的加速 度变换式。
二、相对运动
讨论
(1) 相对速度公式
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
这时加速度可以表示为 a aτ t an n
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3
dr d d v R sin i R cos j R d ( sin i cos j ) dt dt dt dt
Y
V
r
d R [cos( )i sin( ) j ] dt 2 2
X
括号中的项是与r垂直的单位矢量
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
△τ=1× △ θ 当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中 心（即法向）。 d d n dt dt
圆周运动的角量描述角量与线量的关系
O
r
P
v
例 一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为 求 (1) 当t =2s 时，质点运动的an 和 a以及aτ的大小
3 2 4 t rad
dθ 解 (1) 运动学方程得 ω 12 t2 dt
(2) 当 =? 时，质点的加速度与半 2 24 t dt
三. 角加速度
角加速度
角速度对时间的一阶导数
O
r
P
t : t t : 2 d ω d d d k 2 k d t d t d t d t 角加速度的方向与 d 的方向相同 ω
四. 角量与线量的关系
1. 位移与角位移的矢量关系式
1.5 圆周运动的角量描述 角量与线量的关系
y
一. 角位置与角位移
Q
P
θ θ( t)角位置（运动学方程)
t 当
O
x
为质点圆周运动的角位移
按右手法则确定 的正负变化
d k
d P
Q
二. 角速度
质点作圆周运动的角速度为
o
d ω limk k描述质点转动快慢和方向的物理量 t 0 t d t
ω
O
dω
r
P
d r r d
ω d θ k
v
O
r
P
d r d θ k r
O
d θ r d r P
β
dω
2. 速度与角速度的矢量关系式
d r d θ k r d θ v k r ω r d t d t d t r 大小 v (标量式) 方向 ω (由右手法则确定) ω r
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d lim t 0 dt t
讨论
d lim t 0 dt t
物理意义：衡量转动的快慢。 是矢量方向： 与圆周运动的绕向满足右手螺旋定则， 右手握住转动轴，四指与质点运动方向一致， 大拇指所指方向为 方向。
四、角加速度
d d 2 lim 2 dt dt t 0 t
规定：
从坐标轴OX沿着逆时针方向转到质点所在处所得 的 为正，反之为负。 故： 为代数量
y
B：t+t 二、角位移
o
A：t x
定义：位矢在t时间内角坐标的变化，
单位：rad
规定逆时针为正
三、角速度 平均角速度：
t
单位： 弧度/秒(rads-1) 物理意义：单位时间内角坐标的改变量 瞬时角速度：
an
v an R
2
at
a
an
a t2
at
2 n
a
变化
aa
an tg at
变化
at
均匀=不变
变化
掌握常用的积分变量的变换式：
dv dv ds dv v dt ds dt ds
dv dv d ds 1 dv ＝v dt d ds dt R d
角加速度的单位：弧度/平方秒(rads-2)。 讨论：(1) 角加速度对运动的影响： 质点作匀速率圆周运动 质点作匀变速率圆周运动 Nhomakorabea0 C
C
C
质点作变速率圆周运动
五. （1）
线量与角量之间的关系
ds d ＝R R dt dt
dv d a R dt dt
v2 an R
v R
a R
（2 ）
（3 ）
v
an R
2
（4）匀角加速度圆周运动 和 匀变速直线运动 的比较
＝ (t ) x＝x(t )
d dx ＝ v＝ dt dt d dv ＝ a＝ dt dt ＝ 0＋ t v＝v0 vt
0 0 t t 2 / 2 x x0 v0 t at 2 / 2
2 2 02 2 ( 0 ) v 2 v0 2a( x x0 )
结论：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把匀角加速度圆 周运动转化为匀变速直线运动形式，从而简化问题。
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、 a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
§1.4 圆周运动的角量表示
线量描述法
用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法
y A：t o x
角量描述法
用角坐标、角位移、角速度、平均角速度、 角加速度等物理量描写圆周运动的方法
y
一、角坐标
o
A：t x
由于做圆周运动的质点与圆心的距离不 变，因此可用一个角度来确定其位置 设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的 角坐标为