数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 命题逻辑
数理逻辑第一章命题逻辑
解： (1) p ：怕困难， q ：战胜困难，
该命题符号化为： q → ┐ p (2) p ：天下雨， q ：我有时间，r ：我进城。
该命题符号化为： ┐ p ∧ q →r
(3) p ：小王在图书馆看书， q ：小王病了， r ：图 书馆开门。 该命题符号化为： ┐（ q ∨ ┐ r ） → p
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(1) 雪是白的。 (2) 2是奇数。 (3) x＋y＞5。
(4) 你是谁？ (5) 北京是中国的首都。
5
(6) 二十一世纪时有人住在月球上。
真值集合: {0,1} ，0和1为真值。 假命题的真值为0，真命题的真值为1。 简单命题（原子命题）： 简单陈述句表达的命题。 一般用小写英文字母p,q,r,s,t等表示简单命题。 例1.2 考察下面的命题： (1) 8不是奇数。 (2) 2和3都是偶数。 (3) 2或3是偶数。 联结词：真值函数，即自变量是真值，函数值也是 真值的函数。
复合命题：由命题和联结词构成，其中的命题称为 该复合命题的支命题。 复合命题的真值由支命题的真值和联结词共同决定。
6
真值表：把真值函数在自变量所有可能取值下的函数 值列成的表，称为真值表。
一元真值函数只有一个自变量，其真值表有两行。 共有四个真值不同的一元真值函数，它们的真值表如 下。 表1.1 一元真值函数的真值表 p 0 1 F1(p) F2(p) F3(p) F4(p) 0 0 0 1 1 0 1 1
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∨（析取）：复合命题“p或 者q”称为p与q的析取式，记 为 p ∨ q。 ∨相当于汉语中的“或者” （相容或 ）。 p∨q＝0当且仅当p＝q＝0。
p 0 0
q 0 1
p∨q
0 1
1
1
0
第一章_命题逻辑1-4节
q” ）称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q，∧称作合取联结词，
并规定 p∧q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真. 使用合取联结词时要注意两点： (1) 描述合取式的灵活性与多样性 (2) 分清简单命题与复合命题
例 将下列命题符号化. 1. （1）吴颖既用功又聪明. （2）吴颖不仅用功而且聪明. （3）吴颖虽然聪明，但不用功. 2. （1）张辉与王丽都是三好生. （2）张辉与王丽是同学. 1 题说明描述合取式的灵活性与多样性 2 题要求分清联结词“与”联结的复合命题与简单命题 将各命题符号化
4. 蕴涵式与蕴涵联结词“→” 定义 1.4 设 p, q 为二命题，复合命题“如果 p, 则 q”称作 p 与 q 的 蕴涵式，记作 p→q，并称 p 是蕴涵式的前件，q 为蕴涵式的后件， →称作蕴涵联结词，并规定，p→q 为假当且仅当 p 为真 q 为假. 说明： （1）p→q 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 （2） “如果 p, 则 q 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p （如果 p，则有 q） 除非 q, 才 p 或除非 q，否则非 p，…． （¬q→¬p） （3）当 p 为假时，p→q 为真，可称为空证明 （4) 常出现的错误：不分充分与必要条件
解：1. 设 p：吴颖用功；q：吴颖聪明 则 (1)、(2)p∧ q；(3) p∧ (¬ q) 2.p:张辉是三好生；q:王丽是三好生 (1)p∧ q (2)p：张辉与王丽是同学
3. 析取式与析取联结词“∨” 定义 1.3 设 p, q 为二命题，复合命题“p 或 q”称作 p 与 q 的析 取式，记作 p∨q，∨称作析取联结词，并规定 p∨q 为假当且仅 当 p 与 q 同时为假. 例 将下列命题符号化 （1）2 或 4 是素数. （2）2 或 3 是素数. （3）4 或 6 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. （5）王小红生于 1975 年或 1976 年. （1）—（3）为相容或 （4）—（5）为排斥或
数理逻辑与集合论精要与题解
数理逻辑与集合论精要与题解第一部分内容精要
第1章命题逻辑的基本概念1
11命题1
12命题联结词及真值表1
13合式公式2
14重言式2
15命题形式化3第2章命题逻辑的等值和推理演算4
21等值定理4
22等值公式4
23命题公式与真值表的关系6
24联结词的完备集6
25对偶式6
26范式7
27推理形式8
28基本的推理公式8
29推理演算9
210归结推理法9第3章命题逻辑的公理化11
31公理系统的结构11
32命题逻辑的公理系统11
33公理系统的完备性和演绎定理12
34命题逻辑的另一公理系统——王浩算法12
35命题逻辑的自然演绎系统13
36非标准逻辑13第4章谓词逻辑的基本概念15
41谓词和个体词15
42函数和量词15
43合式公式16
44自然语句的形式化16
45有限域下公式的表示法17
46公式的普遍有效性和判定问题17第5章谓词逻辑的等值和推理演算18
51否定型等值式18
52量词分配等值式18
53范式18
54基本推理公式19
55推理演算20
56谓词逻辑的归结推理法21第6章谓词逻辑的公理化22
61谓词逻辑的公理系统22
62谓词逻辑的自然演绎系统23
63递归函数24第7章一阶形式理论及模型25 71一阶语言及一阶理论25
72结构、赋值及模型26...。
面向计算机科学的数理逻辑复习文档
绪论一、数理逻辑研究什么？★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的二、数理逻辑如何研究？★形式语言第一章预备知识第一节集合一、集合1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素）2、有序偶和笛卡儿集二、关系1、概念：集合S上的n元关系R2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R）三、函数（映射）1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f）2、概念：f（x）（函数f在x处的值）3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射四、等价1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递）2、概念：元素x的R等价类3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S）五、基数1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的）2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数）3、概念：可数无限集第二节归纳定义和归纳证明一、归纳定义1、集合的归纳定义⑴、直接生成某些元素⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了2、典例：自然数集N的两个归纳定义二、归纳证明1、归纳定理：设R是一个性质，如果⑴、R（0）⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’）那么，对于任何n∈N，都有R（n）2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明3、概念：串值归纳法及其变形三、递归定义1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数）在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数f（0）＝g（0）f（n’）＝h（f（n））2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）第二章经典命题逻辑第一节联结词一、基本概念1、概念：命题（陈述句+确定值）（要么是真，要么是假）2、概念：简单命题和复合命题（区分的关键）3、小结：只考虑复合命题的真假是如何确定的二、联结词1、非A：2、A与B：A为真并且B为真3、A或B：A为真或B为真（A为真或B为真或AB同时为真）4、A蕴涵B：如果A真，则B真（并非A假B真）5、A等值于B：如果A蕴涵B，同时B蕴涵A第二节命题语言一、基本概念1、概念：命题语言（命题逻辑使用的形式语言）2、归纳：命题语言的三类符号（命题符号＋联结符号＋标点符号）3、概念：表达式、长度、空表达式、两个表达式相等4、概念：段、真段、初始段、结尾段二、基本概念1、定义：原子公式，记为Atom（L P）（单独一个命题符号）2、定义：公式，记为Form（L P）（经典归纳定义及其两种变形）★经典定义容易理解，然而两种变形更容易使用3、定理：如何证明L P的所有公式都满足R性质？★关键：假设S={A∈Form（L P）| R（A）}4、概念：对公式的结构做归纳（上述归纳证明）三、习题解析1、关键：利用二叉树表示公式的生成过程2、关键：蕴涵有多种不同的叙述方式（关键：分清楚充分条件和必要条件）⑴、◆如果p，则q⑵、◆只要p，则q⑶、◆p仅当q⑷、◆只有p，才q⑸、◆除非p，否则q（思路：想方设法转化为上述情形）第三节公式的结构一、引理1、引理1：L P的公式是非空的表达式2、引理2：在L P的每个公式中，左括号和右括号出现的数目相同3、引理3：真初始段不是公式（在L P的公式的任何非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多。
第一章 命题逻辑
注： 1.虽然上例的P、Q之间并无实际联系，但只要P、Q可 分别确定真值，即可用“→”联结。 2.Q→P称为P→Q的逆命题； ┐P→┐Q称为P→Q的否命题； ┐Q→┐P称为P→Q的逆否命题。 3.前项P为F时，无论后项Q取何真值,P→Q的真值均为 T，这是所谓的“善意推定”。
定义5：给定两个命题P和Q，复合命题P↔Q称作 双条件命题，读作“P当且仅当Q”，当P和Q的真 值相同时，P↔Q的真值为T，否则P↔Q的真值为F。 注：双条件↔的其他表示法。 例： P： 1+1=3。 Q： 雪是白的。 P↔Q： 1+1=3当且仅当雪是白的。
5.只有睡觉才能恢复疲劳。 解：这个命题的实际含义是，能恢复疲劳必定是睡觉了， 令P:恢复疲劳，Q:睡觉，则此命题符号化为P→Q。 6.只要我还有口气，我就要战斗。 解：令P:我还有口气，Q:我要战斗，则此命题符号化为 P→Q。
二、合式公式的翻译成自然语言（略）
作业：P42 T3,T4
1-4真值表与等价公式
注：重言式一定是可满足式。
永真式也称重言式；永假式也称矛盾式。
关于重言式，有如下性质：
定理1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是 重言式。 证明：设A、B为两个重言式，则A∧B和A∨B的真 值分别等于T∧T和T∨T。
定理2：对一个重言式的同一分量都用任何一个 命题公式置换，所得命题公式仍为一个重言式。 （即代入规则） 证明：由于重言式的真值与分量的真值指派无关， 故对同一分量以任何一个命题公式置换后，重言 式的真值不变。
例：符号化下列命题。 1.张明正在睡觉或游泳。 解：令P:张明在睡觉，Q:张明在游泳， 则此命题符号化为：(P∧┐Q)∨( Q∧┐P)。 2.他可能是100米或400米赛跑的冠军。 解：令P: 他可能是100米赛跑的冠军，Q: 他可能是100米 赛跑的冠军 ，则此命题符号化为：P∨Q。
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 谓词逻辑
为了避免理解上的混乱，因此引入量词。
※三、量词
全称量词 存在量词 定义：P(x)的全称量化是命题“P(x)对x在其
论域的所有值为真”。记作：∀xP(x)。其中 ∀ 称为全称量词。 “对所有x，P(x)” “对每个x，P(x)”
Q(x,y,z)：“x+y=z” Q(1,2,3)：“1+2=3” 真 Q(1,3,2)：“1+3=2” 假
二、谓词
逻辑联结词┐、∧、∨、→、的意义与 命题逻辑中的解释完全类同。
例：用H(x,y)表示“x比y长得高”。 H(张三，李四): “张三比李四长得高” ┐H(张三，李四): “张三不比李四长得高” ┐H(张三，李四)∧┐H(李四，张三)： “张三不比李四长得高并且李四不比张 三长得高”，即“张三与李四一样高”。
▲四、自然语句的形式化
“有的实数是有理数”的形式化
∃x(Q(x)∧P(x)) ∃x(Q(x)→P(x)) ？ 不符合人们的常规理解了，因为凡对于不是
实数的事物，该命题都为T，这是不对的。 “有的…是…”，通常使用∧，而不使用→ 。
▲四、自然语句的形式化
“没有无理数是有理数”的形式化
其意思是：对任一x而言，如果x是无理数， 那么x不是有理数。
二、谓词
“张三是学生。” “李四是学生。” 在命题逻辑中，这是两个不同的命题，
可以分别用p、q来表示。 共同点：都有主词和谓词，并且谓词都
是“是学生”。 若用大写符号P表示“是学生”，需要将
主词区分开。P（张三）、P（李四）。
二、谓词
引入变量x表示主词，P(x)就表示 “x是学生”；
1第一章 命题逻辑基本概念
如何将语句符号化, 以及如何理解符号化了的语句。 语句符号化要注意:
1. 要善于确定简单命题, 不要把一个概念硬拆成几个 概念。 例如“我和他是同学”是一个简单命题。 2. 要善于识别自然语言中的联结词 (有时它们被省略)。 例 1.11 狗急跳墙。
解 应理解为: p: 狗急了, q: 狗才跳墙
解 令 p: odd是奇数, q: odd2是奇数，
上述语句可表示为 p q。 6. 异或(exclusive or)连结词“” 【定义】 对于“排斥或”, 在数理逻辑中用联结词 “”表示, 称作“异或”。 当且仅当命题p和q的真值相异时, p q便取值为 真。
p q的真值表如表1.1.6所示。
1. 否定(negation)词“” 【定义 1.1】 设p是一个命题, 复合命题“非P‖(P的否 定)称为命题p的否定式, 记作“P‖, (读作“非p‖)。 命题p取值为真, 当且仅当命题P取值为假。 p的真值表如表1.1.1所示。 表.1.1 P 0 1 P 1 0
例 1.3 P：地球是圆的。 P：地球不是圆的。
p
0 0 1 1
表 1.6 q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
从定义可知联结词“”有以下性质： (1) p q = q p (2) (p q) r = p (q r) (3) p∧(q r) = (p∧q) (p∧r) (4) p q (p∧q)∨(p∧q) (5) p q (p q) (6) p p 0，p F P, p T P。
但不完全等同。
p∧q的真值表如表1.1.2所示。
表 1.2 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
第一章命题逻辑(1,2,3)
1.2 联 结 词
联结词：确定复合命题的逻辑形式。
❖ 原子命题和联结词可以组合成复合命题。 ❖ 联结词确定复合命题的逻辑形式，它来源于自然语言中的联结词，
但与自然语言中的联结词有一定的差别； ❖ 从本质上讲，这里讨论的联结词只注重“真值”，而不顾及具体
内容，故亦称“真值联结词”。
1.2.1 否定联结词
❖ 命题P Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。
P
Q
PQ
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1.2.4 蕴涵联结词
❖ 说明：
▪ 1）蕴涵联结词也称为条件联结词。“如果P，则Q”也称为P与Q 的条件式。
▪ 2）蕴涵式的真值关系不太符合自然语言中的习惯，这一点请读者 务必注意。
1.1.3 命题标识符
❖ 命题标识符
▪ 为了能用数学的方法来研究命题之间的逻辑关系和推理，需要将 命题符号化。
▪ 通常使用大写字母P, Q, …或用带下标的大写字母或用数字，如Ai， [12]等表示命题。
• 例如：
P：今天下雨
• 意味着P表示“今天下雨”这个命题的名。
• 也可用数字表示此命题
• 例如：
❖ 定义1.1 设P为任一命题，复合命题“非P”（或“P的否定”）称为P 的否定式，记作﹁P，读作“非P”。﹁称为否定联结词。
❖ ﹁P的逻辑关系为P不成立，﹁P为真当且仅当P为假。 ❖ 命题P的真值与其否定﹁P的真值之间的关系
P
﹁P
0
1
1
0
1.2.1 否定联结词
例1.2 设 P：这是一个三角形 ﹁P：这不是一个三角形
数理逻辑命题逻辑一阶谓词逻辑集合论集合及其运算二元关系与函数代数结构代数系统的基本概念群环域格与布尔代数图论数理逻辑和集合论作为两块基石奠定了离散数学乃至整个数学理论的基础在上面生长着代数结构序结构拓扑结构和混合结构这四大结构涵盖与生长出许多数学分支同时各分支间交叉融合又形成了许多新的数学分支形成了庞大的数学体系
第一章 命题逻辑
┐ (PQ)
F T
F F
T F
T F
F T
T F
举例
将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值： (1) 如果3+3＝6，则雪是白的。 (2) 如果3+3≠6，则雪是白的。 (3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。 (4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。 令p：3+3＝6， p的真值为1。 q：雪是白色的，q的真值也为1。 (1)到(4)的符号化形式分别为 p→q，┐p→q，p→┐q，┐p→┐q 这四个复合命题的真值分别为1，1，0，1。 以上四个蕴涵式的前件p与后件q没有什么内在的联系。
思维能力、归纳构造能力，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态
度的培养。使学生掌握一种证明问题的方法。整个课程由：数理逻辑、 集合论、抽象代数和图论四大部分组成。数理逻辑部分主要包括命题逻
辑、谓词逻辑；集合论部分包括集合代数、二元关系、函数；图论主要
包括图的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图、树和平面图；抽象代数主要 包括代数系统、群、环、域、格与布尔代数。要求学生掌握数理逻辑、
设p1,p2,…,pn是出现在公式A中的全部命题变元， 给p1,p2,…,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值 或解释。若指定的一组值使A的真值为1，则称这组 值为A的成真赋值；若使A的真值为0，则称这组值为 A的成假赋值。 不难看出，含n(n≥1)个命题变项的公式共有2n 个不同的赋值。
定义1-3.1 命题演算的合式公式（wff），规定为：
将下列命题符号化，并讨论它们的真值。 (1) 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 (2) 2+3＝5的充要条件是 是无理数。 (3) 若两圆A，B的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然。
第1章 数理逻辑-命题逻辑
题 例：“张三学英语和李四学日语”
两个特殊的命题词
命题常量
T：永远表示真命题 F：永远表示假命题
T和F的两种含义
命题常量 命题的真值
数理逻辑不关心内容
具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境
下是真还是假
数理逻辑只关心形式
命题可以被赋予真或假这样的可能性，以及规
一个陈述语句
命题
命题是一个非真即假(不可兼)的断言 如果命题是真
命题的真值（Truth Values）为真 真命题 大写字母“T”(1)表示
如果命题是假
命题的真值是假 假命题 大写字母“F”(0)表示
例1:
今天下雪
3+3=6
是偶数而 3 是奇数 1+101=110 明年的今天会下雨 较大的偶数都可表为两个质数之和
命题变元（命题词）
P表示任一命题时，P就称为命题变元（命题词）
命题词不是命题
命题指具体的陈述句，是有确定的真值 命题变元的真值不定，只当将某个具体命题代入命题
变元时，命题变元化为命题，方可确定其真值
复合命题(Compound proposition)
一个或几个简单命题用联结词联结所构成的命
设P表示命题, 那么“P不真”是另一命题, 表示为┐P, 叫做 P的否定, 读做“非P”。 如果P是假, 则┐P是真, 反之亦然。
P
F T
┐P
T F
真值表（Truth Table)
与自然语言中的“不”，“否”，“非”，“没有”，“未必 类似
例4
数理逻辑1
命题(proposition)
• 举例说明
– 你知道命题逻辑吗？
• 非陈述句，故非命题
– 请安静！
• 非陈述句，故非命题
– 今天我多么高兴呀!
• 非陈述句，故非命题
命题(proposition)
• 举例说明
– 3-x=5
• 陈述句 • 但真假随x 的变化而变化 • 非命题 ,命题公式
– 我正在说谎
联结词(Connectives)
• 合取式和合取联结词∧ ( conjunction)
– 与日常语言的区别:
• 允许相互无关的两个原子命题联接起来 例1： P: 我们在北112. Q: 今天是星期三. P∧Q :我们在北112且今天是星期三. • 不要见到“与”或“和”就使用联结词∧ ！ 例2： 李敏和李华是姐妹。 李敏和张华是朋友。 李敏与张华都是三好生。 他打开箱子，并拿出一件衣服
• P→Q 的逻辑关系为P是Q的充分条件， Q 是P的必要条件
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当Q”、 “只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否则非P”
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当 Q”、“只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否 则非P” 例 设p：a能被4整除，q：a能被2整除 将下列命题符号化 （1）只要a能被4整除， 则a一定能被2整除. （2）因为a能被4整除，所以a一定能被2整除. （3） a能被4整除，仅当a能被2整除. （4）除非a能被2整除， a才能被4整除. （5）除非a能被2整除，否则a不能被4整除. （6）只有a能被2整除， a才能被4整除. （7）只有a能被4整除， a才能被2整除.
第一章 命题逻辑
第一章命题逻辑逻辑学是研究推理过程规律一门科学。
数理逻辑则是用数学的方法研究思维规律的一门学科。
由于它使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此数理逻辑又称为符号逻辑或理论逻辑。
数理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等计算机应用和理论研究提供必要的理论基础。
数理逻辑的主要分支包括公理化集合论、证明论、递归函数论、模型论等。
从本章开始，我们用三章的篇幅介绍数理逻辑的基本内容：命题逻辑、谓词逻辑和非经典逻辑简介。
命题逻辑研究的是以原子命题为基本单位的推理演算，其特征在于，研究和考查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到其中所含的原子命题成分为止。
通过这样的分析可以显示出一些重要的逻辑形式，这种形式和有关的逻辑规律就是命题逻辑。
1.1 命题与联结词1.1.1 命题与命题变元语言的单位是句子。
句子可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假。
定义1.1能够分辨真假的陈述句叫做命题（Proposition）。
从这个定义可以看出命题有两层含义：(1)命题是陈述句。
其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题；(2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假。
作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
凡是与事实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈述句是假命题。
通常用1（或大写字母T）表示真，用0（或大写字母F）表示假。
例1.1判断下列语句是否为命题，并指出其真值。
(1) 北京是中国的首都。
（2）5可以被2整除。
（3）2+2=5。
（4）请勿吸烟。
（5）乌鸦是黑色的吗？（6）这个小男孩多勇敢啊！（7）地球外的星球上存在生物。
（8）我正在说谎。
解（1）～（3）是命题，其中（1）是真命题，（2），（3）是假命题。
值得注意的是，像2+2=5这样的数学公式也是一个命题，事实上，一个完整的数学公式与一个完整的陈述句并没有什么本质的差异。
2-1.1 命题逻辑
六、模糊逻辑
命题的真值是介于0和1之间的数。 “张三是幸福的” 真值为0.8； “李四是幸福的” 真值为0.4； 命题的否定：1减去该命题的真值。 “张三不幸福” 真值为1-0.8=0.2
六、模糊逻辑
命题的合取：两个命题真值的最小值。 “张三和李四都幸福” 真值为0.4 命题的析取：两个命题真值的最大值。 “张三或李四幸福” 真值为0.8
七、规范一致
如果能给一组命题表达式中的每个变 量一个真值，使各表达式均为真，则 这一组命题表达式是一致的。 在给出系统规范时，必须使这些规范 一致。
思考题：
在古西西里的传说中有一个住在边远小镇上的剃头匠， 只有穿过一条危险的山路才能找到他。这个剃头匠给 且只给那些不自己剃须的人刮胡子。这样的剃头匠存 在吗？ 边远村庄的每个人要么总说真话，要么总说谎话。对 旅游者的问题，村民要么回答“是”，要么回答 “不”。假定你在这一地区旅游，走到一个岔路口， 一条岔路通向你想去的遗址，另一岔路通向丛林深处。 此时恰有一村民站在岔路口，问村民什么样一个问题 就能决定走哪条路？
三、翻译语言的句子
“除非你已满16周岁，否则只要你 身高不足4英尺就不能玩过山车。” p: 你能玩过山车。 r: 你身高不足4英尺。 s: 你已满16周岁。 (﹁s∧r)→﹁p
三、翻译语言的句子
“只要暖天能持续一周，苹果树就 会开花。” p: 暖天持续一周。 q: 苹果树开花。 p→q
三、翻译语言的句子
四、布尔检索
运用布尔逻辑运算符对检索词进行逻辑组配,表 达两个概念之间的逻辑关系。 与（AND）：用于匹配包含两个检索项的记录 或（OR）：用于匹配两个检索项之一或两项 均匹配的记录 非（NOT）：用于排除某个特定的检索项
数理逻辑__命题逻辑_1
第一部分数理逻辑王剑A或B A或BA或B岛被问A岛居民被问B岛居民A是是B否否被问战士是诚实人被问战士回答“是”另一战士回答“是”这扇门是死亡门是是是否是否否是否是否否？？形式逻辑⏹形式逻辑的一般格式就是三段论。
⏹例：苏格拉底三段论：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以，苏格拉底是要死的。
微积分——力学、机械工程——人类体力劳动自动化数理逻辑——人工智能、知识工程——脑力劳动自动化什么是数理逻辑⏹数理逻辑：以数学的方法研究思维规律和推理过程的科学。
⏹它首先引进一套符号体系，规定一些规则，导出一些定律，然后借助于这些符号、规则、定律，将逻辑推理的过程在形式上变得像代数演算一样，因此数理逻辑又称符号逻辑。
数理逻辑⏹命题逻辑（数理逻辑的基础，以命题为研究对象，研究基于命题的符号逻辑体系及推理规律，也称命题演算）。
主要内容：１、命题与联结词２、命题公式、翻译和真值表３、重言式４、命题联结词的扩充５、范式６、命题演算的推理规则和证明方法⏹谓词逻辑（对命题逻辑的深入研究）。
第一章命题逻辑§1 命题与联结词一、命题1、什么是命题？➢命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。
➢命题或为真或为假的陈述句。
特征：✓陈述句✓真假必居其一，且只居其一。
①中国是一个发展中国家。
②人是由猴进化而来的。
③早上好！④王侯将相，宁有种乎？⑤己所不欲，勿施于人！⑥宇宙是大爆炸形成的。
⑦我正在说谎。
⑧这道题太难。
2、命题的真值。
➢一个命题的真或假称为命题的真值，简称值。
➢由于命题只有真假两个值，所以命题逻辑也称二值逻辑。
➢以T （或1）表示命题的真值为真，F （或0）表示命题的真值为假√√√悖论模糊逻辑EX1：3、命题的分类与表示➢分类根据其真值分类：•真命题。
•假命题。
根据其复杂程度分类：•简单命题或原子命题。
•复合命题。
➢命题的抽象表示•在数理逻辑中，通常用大写字母表示命题，P、Q、R…，或用带下标的大写字母Pi 、Qi、Ri或者数字（1）、（2）、…。
第1章 命题逻辑的基本概念
第1章
例题3
例3、一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就 一 定给你买本《儿童画报》。”问：什么情况 下父亲食言？ 解：可能有四种情况： (1)父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。 (2)父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。 (3)父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。 (4)父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
第1章
等价
5、等价 由p、q和等价符号↔组成的式子(p↔q)称为p和q 的等价式。 p↔q为真当且仅当p、q真值相同。 真值表描述如下： 例：p：两圆面积相等 p↔q p q
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
q：两圆半径相等 两圆的面积相等当且仅当它 们的半径相当。 (p↔q)
第1章
第1章
例题4
例4、p：天下雨 q：我骑车上班 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 ┐p→q (2)只要天不下雨，我就骑车上班。 ┐p→q (3)只有天不下雨，我才骑车上班。 q→┐p 或 p→┐q (4)除非天下雨，否则我就骑车上班。 ┐p→q (5)如果天下雨，我就不骑车上班。 p→┐q
第1章
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
q：小明学过法语 则小明学过英语或法语 表示为： (p∨q)
第1章
相容性或与排斥或
例、小明学过英语或法语 p：小明学过英语 q：小明学过法语 相容性或 表示为：p∨q 例、小明只能挑选计算机专业或物联网工程专业 p：小明选计算机专业 q：小明选物联网专业 排斥或 表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q) 例、小明是安徽人或河南人 p：小明是安徽人 q：小明是河南人 排斥或 表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q) p∨q
例5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
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1.1 命题逻辑 Propositional Logic
三、翻译语言的句子
把自然语言的句子翻译成由命题 变量和逻辑联结词组成的表达式。 （1）消除歧义 （2）便于做推理分析
三、翻译语言的句子
把下面的句子翻译成逻辑表达式： “气温在零度以下且正在下雪。”
令p表示“气温在零度以下”，q表 示“正在下雪”。上述句子可以译 为： p∧q
XOR：
信息一般用位串来表示，也就是0和1的 序列表示。 对位串的运算即可用来处理信息。
五、逻辑运算和位运算
x
y
x∨y
x∧y
x y
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
五、逻辑运算和位运算
1000 1110 ：长度为8的位串 在长度相同的两个位串上定义按位 运算（每个字位分别运算）：
Bitwise (按位) OR Bitwise (按位) AND Bitwise (按位) XOR
七、规范一致
P14 – 35：下列规范一致吗？ “当且仅当系统正常操作时，系统处于 多用户状态。如果系统正常操作，则它 的核心程序正在运行。核心程序不能正 常运行，或者系统处于中断模式。如果 系统不处于多用户状态，它就处于中断 模式。系统不处在中断模式。”
七、规范一致
p：系统正常操作； q：系统处于多用户状态； r ：核心程序正在运行； s：系统处于中断模式；
五、逻辑运算和位运算
求位串01 1011 0110和位串11 0001 1101 的按位OR、按位AND和按位XOR。
01 1011 0110 11 0001 1101 11 1011 1111 按位OR 01 0001 0100 按位AND 10 1010 1011 按位XOR
六、模糊逻辑
命题的真值是介于0和1之间的数。 “张三是幸福的” 真值为0.8； “李四是幸福的” 真值为0.4； 命题的否定：1减去该命题的真值。 “张三不幸福” 真值为1-0.8=0.2
与（AND）：提高查准率 或（OR） ：提高查全率 非（NOT）：提高查准率
四、布尔检索
具体的搜索引擎有具体的符号规定，以 google为例。 与（AND）：+ 或（OR） ：or 非（NOT）： “在哈尔滨的大学但不包含医科大学”
五、逻辑运算和位运算
计算机用字位表示信息，每个字位有两个可 能的值，即0或1。 字位、字节、英文字母、汉字
六、模糊逻辑
命题的合取：两个命题真值的最小值。 “张三和李四都幸福” 真值为0.4 命题的析取：两个命题真值的最大值。 “张三或李四幸福” 真值为0.8
七、规范一致
如果能给一组命题表达式中的每个变 量一个真值，使各表达式均为真，则 这一组命题表达式是一致的。 在给出系统规范时，必须使这些规范 一致。
思考题：
在古西西里的传说中有一个住在边远小镇上的剃头匠， 只有穿过一条危险的山路才能找到他。这个剃头匠给 且只给那些不自己剃须的人刮胡子。这样的剃头匠存 在吗？ 边远村庄的每个人要么总说真话，要么总说谎话。对 旅游者的问题，村民要么回答“是”，要么回答 “不”。假定你在这一地区旅游，走到一个岔路口， 一条岔路通向你想去的遗址，另一岔路通向丛林深处。 此时恰有一村民站在岔路口，问村民什么样一个问题 就能决定走哪条路？
“只有年满18岁才有选举权。” p: 年满18岁。 q: 有选举权。 q→p
三、翻译语言的句子
“只有你主修计算机科学或不是新生， 才可以从校园内访问因特网。” a: 你可以从校园内访问因特网。 c: 你主修计算机科学。 f: 你是个新生。 a→(c∨﹁f)
三、翻译语言的句子
只有 …p 才 …q （必要条件） q→p 只要 …p 就 …q （充分条件） p→q
1byte=8bits 一个英文字母一个字节，一个汉字两个字节； Bit意为"位"或"比特"，是计算机运算的基础； Byte意为“字节”，是计算机文件大小的基本计算单位； 1字节=8位，1KB=1024字节，1MG=1024KB， 1GB=1024MB，1TB=1024GB；
五、逻辑运算和位运算
字位运算对应于逻辑联结词 AND：∧ OR：∨
三、翻译语言的句子
“除非你已满16周岁，否则只要你 身高不足4英尺就不能玩过山车。” p: 你能玩过山车。 r: 你身高不足4英尺。 s: 你已满16周岁。 (﹁s∧r)→﹁p
三、翻译语言的句子
“只要暖天能持续一周，苹果树就 会开花。” p: 暖天持续一周。 q: 苹果树开花。 p→q
三、翻译语言的句子
三、翻译语言的句子
“张三与李四是表兄弟。” p: 张三是表兄弟。 q: 李四是表兄弟。
p∧q ×
三、翻译语言的句子
“张三或李四都能做这件事。” p: 张三能做这件事。 q: 李四能做这件事。 p∧q
三、翻译语言的句子
“今天我上班，除非今天我病了。” p: 今天我病了。 q: 今天我上班。 ﹁p→q
p q, p r, r s, q s, s
Байду номын сангаас
小结
•翻译语言的句子 •“只要… 就 …” •“只有… 才 …”
•布尔检索 •逻辑运算和位运算
•按位运算 •规范一致
练习题：
计算下列表达式： 1 1000 ∧ (0 1011 ∨ 1 1011) (0 1111 ∧ 1 0101) ∨ 0 1000
四、布尔检索
运用布尔逻辑运算符对检索词进行逻辑组配,表 达两个概念之间的逻辑关系。
与（AND）：用于匹配包含两个检索项的记录 或（OR）：用于匹配两个检索项之一或两项
均匹配的记录 非（NOT）：用于排除某个特定的检索项
四、布尔检索
运用布尔逻辑运算符对检索词进行逻辑组配,表 达两个概念之间的逻辑关系。
数理逻辑
Mathematical Logic
第一章 逻辑、集合和函数
Chapter 1 Logic、set and function
复习
命题
命题是一个非真即假（不可兼）的陈述句
简单命题和复合命题 联结词真值表
否定、合取、析取、异或、蕴含、双蕴含
逆命题、倒置命题 运算顺序：﹁、∧、∨、→、
三、翻译语言的句子
•例：p:你的车速超过每小时65英里 q:你接到一张超速罚单
1)你的车速没有超过每小时65英里 ﹁p 2)你的车速超过每小时65英里，但没接到超速罚单 p∧﹁q 3)你的车速若超过每小时65英里，将将接到一张超速罚单 p→q 4)你的车速不超过每小时65英里，就不会接到超速罚单 ﹁ p→﹁q 5)你车速超过每小时65英里足以接到超速罚单 p→q 6)你接到一张超速罚单，但你的车速没超过每小时65英里 q∧﹁p 7)只要你接到一张超速罚单，你的车速就超过每小时65英里 q→p
练习题：
侦探调查了罪案的四位证人。从证人的话侦探得 出的结论是：如果男管家说的是真话，厨师说的 也是真话；厨师和园丁说的不可能都是真话；园 丁和杂役不可能都说慌；如果杂役说的是真话， 那么厨师说的就是假话。 g：管家说的是真话；c：厨师说的是真话； y：园丁说的是真话；z：杂役说的是真话；
g c, (c y), y z, z c
三、翻译语言的句子
•这台机器质量很好，但是很贵。 •张三与李四是表兄弟。 •张三或李四都能做这件事。 •今天我上班，除非今天我病了。 •只要暖天能持续一周，苹果树就会开花。 •只有年满18岁才有选举权。
三、翻译语言的句子
“这台机器质量很好，但是很贵。” p: 这台机器质量很好。 q: 这台机器很贵。 p∧q