高考概率知识点及例题.pdf

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（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用 ξ、η 分别表示一件甲、乙产品 的利润，在（I）的条件下，求 ξ、η 的分布列及 Eξ、Eη； （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资金 60 万元。设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II） 的条件下，y 为何值时，z=xEξ + yEη x 最大？最大值是多少？（解答时须 给出图示） 考查随机变量概率分布列性质 性质应用
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概率知识要点 3.1．随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件 S 的确定事件。 4、随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件。 5、频数：在相同条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数。
2、考查随机变量概率分布列与数列结合。 例 7 甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则 如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方 接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为 7，且第一次由甲开始射 击。 （1）求前 4 次射击中，甲恰好射击 3 次的概率。 （2）若第 n 次由甲射击的概率为 an ，求数列{ an }的通项公式；求 lim an ，并 说明极 n→∞限值的实际意义。
高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次 的概率的计算方法 和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
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例 4．（2005 湖北卷）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只， 且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯 泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2。从使用之日 起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。 （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡 的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要 更换灯泡的概率；（Ⅲ）当 p1=0.8，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作， 至少需要更换 4 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
3.2.2 （整数值）随机数的产生
如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数？——书上例
题。
3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例的概率模型。 2、几何概型中，事件 A 发生的概率计算公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) = 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
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3.3.2 均匀随机数的产生
常用的是0,1上的均匀随机数，可以用计算器来产生 0~1 之间的均匀随机
数。
本章知识小结
应
随机事件
频率
概率，概率的意
用
义与性质
概
率
解
决
实
古典概型
几何概型
际
问
题
随机数与随机模拟
以下归纳 9 个常见考点： 解析概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以 排列组合和概率 统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及
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其概率的计算和随机变量概率分 布列性质及其应用为目标的中档师，预计 这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。 下面对其常见题型和考点进行解析。 考点 1 考查等可能事件概率计算。
2、概率的几个基本性质 （1） 0 P(A) 1. （2）必然事件的概率为 1. P(E) =1. （3）不可能事件的概率为 0. P(F) = 0 .
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（4）事件 A 与事件 B 互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 （5）若事件 B 与事件 A 互为对立事件，，则 A B 为必然事件， P(A B) =1.
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。 例 8（2005 辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一 和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结 果均有 A、B 两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为 A 级时，产品 为一等品，其余均为二等品。 （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所 示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概 P(甲)、P(乙)；
考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1、考查随机变量概率分布列与函数结合。
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例 6.（2005 湖南卷）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览 这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影 响，设 ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的 绝对值。 （Ⅰ）求 ξ 的分布及数学期望； （Ⅱ）记“函数 f(x)＝x2－3ξx＋1 在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件 A，求 事件 A 的概率。
考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。 不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生
的事件为 A+B，用概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)计算。 事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，则 A、
B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为 AB。用概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)计算。
（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一 步了解概率的意义以及频率与概率的区别。 （2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。 （3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随 机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 （4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行 模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例 3）。 （5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 重难点的归纳： 重点：
3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
1、基本事件：
基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间
的和。
2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式：
P(
A)=
考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算。 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互
独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分 布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变 量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际问题的能力。 例 5．（2005 湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试 者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾 照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止。如果李明决定参 加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9，求 在一年内李明参加驾照考试次数 ξ 的分布列和 ξ 的期望，并求李明在一年内 领到驾照的概率。
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的
概率；
考点 4 考查独立重复试验概率计算。 若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结
果，则此试验叫做 n 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率 为 P，则在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)= Pn ( A) = Cnk pk (1− p)n−k 。
（二）高考概率 概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个 发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．
考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些 等可能性事件的 概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式 与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． （4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 κ 次的概率．
考点 3 考查对立事件概率计算。
必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。用概率的减法
公式
P(A)=1-P(A)计算其概率。
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算
进行考查。
例
3．(2005
福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
1 2
和
2 5
。
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
在一次实验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都 相等。如果事件 A 包含的结果有 m 个，那么 P(A) = m 。这就是等可能事件Fra Baidu bibliotek
n
的判断方法及其概率的计 n 算公式。 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析
和解决实际问题的能力。 例 1（2004 天津）从 4 名男生和 2 名女生中任 3 人参加演讲比赛. (I)求所选 3 人都是男生的概率； (II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率； (III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.
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4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为 70%解释是“明天本地下雨的 机会是 70%”。 5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。
3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 称事件 B 包含事件 A（或事件 A 包含于事件 B），记作 B A(或A B)。 不可能事件记作 。 （2）相等。若 B A且A B ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B。 （3）事件 A 与事件 B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件 A 发 生或事件 B 发生。 （4）事件 A 与事件 B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件 A 发 生且事件 B 发生。 （5）事件 A 与事件 B 互斥： A B 为不可能事件，即 A B= ，即事件 A 与 事件 B 在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件 A 与事件 B 互为对立事件： A B 为不可能事件， A B 为必然事 件，即事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率 的综合计算能力进行考查。 例 2.（2005 全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没
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有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都 需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（Ⅰ）求甲、乙、 丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时 内至少有一台需要照顾的概率。
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1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义． 2、理解古典概型及其概率计算公式． 3、关于几何概型的概率计算 4、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体． 难点： 1、理解频率与概率的关系. 2、设计和运用模拟方法近似计算概率． 3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．
6、频率：事件 A 出现的比例 f (A)= nA 。
n
n
7、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性 中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事 件发生的可能性。 2、游戏的公平性：抽签的公平性。 3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那 么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件