湖南省长沙市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

长沙市第一中学2019-2020学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题1.已知集合{|0}A x x a =-„，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ）A. (,2]-∞-B. (,2]-∞C. [2,)+∞D. [2,)-+∞【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数．【详解】解：因为集合{|0}A x x a =-„，所以{}|A x x a =„，又因为2A ∈， 则2a …，即[2,)a ∈+∞ 故选：C ．【点睛】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题．2.函数1()2x f x a+=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过的点为（ ） A. (1,1)--B. (1,0)-C. (0,1)-D. (1,2)-- 【答案】A【解析】【分析】令指数为0，即可求得函数1()2x f x a +=-恒过点．【详解】解：令10x +=，可得1x =-，则(1)121f -=-=-∴不论a 取何正实数，函数1()2x f x a +=-恒过点(1,1)--故选：A ．【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题．3.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC BB ===，则线段1BD 的长是（ ）B. C. 28 D. 【答案】A【解析】【分析】 利用体对角线公式直接计算即可.【详解】1BD === A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.4.方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ）A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)【答案】B【解析】【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解.【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数，由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5). 故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( )A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°【答案】D【解析】【分析】通过证明AC ⊥平面11BB D D ，可证得直线1BD 与直线AC 垂直，即所成的角为90o .【详解】画出图像如下图所示，连接11,BD B D ，由于几何体为正方体，故1,AC BD AC DD ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥,即所成的角为90o .所以选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.6.已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ） A. 外切B. 内切C. 相交D. 相离【答案】A【解析】【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4，5=，等于半径之和， ∴两个圆相外切.故选A.【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．7.已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题：①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ；③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b以上命题正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【解析】【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误；③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确；④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．8.已知直线10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是( )A. 1B. 54C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】12mm=⇒=10y+-=可化为220y+-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.10y+-=与直线30my++=12mm=⇒=，即230y++=10y+-=可化为220y+-=，所以两直线之间的距离为54d==，故选B.【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知幂函数()y f x=的图象过点⎛⎝⎭，则21log2f f⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.C. D.12【答案】B【解析】【分析】设()af x x=，将点3,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x=的解析式，求出a的值，然后再计算出21log2f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值.【详解】设()af x x=，由题意可的()333af==，即1233a-=，12a∴=-，则()12f x x-=，所以，112211222f-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11122222111log log22222f f f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩„，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A. （﹣1，+∞）B. （﹣1，1]C. （﹣∞，1）D. [﹣1，1）【答案】B【解析】【分析】 由方程f （x ）＝a ，得到x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，且x 3x 4＝1；化简()31232343112x x x x x x x ++=-+，利用数形结合进行求解即可．【详解】作函数f （x ）图象如图所示，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4， ∴x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，即x 1+x 2＝﹣2，0＜x 3＜1＜x 4，则|log 2x 3|＝|log 2x 4|，即﹣log 2x 3＝log 2x 4，则log 2x 3+log 2x 4＝0，即log 2x 3x 4＝0，则x 3x 4＝1；当|log 2x|＝1得x ＝2或12，则1＜x 4≤2；12≤x 3＜1； 故()3123323431112,12x x x x x x x x ++=-+<„； 则函数y ＝﹣2x 3+31x ，在12≤x 3＜1上为减函数，则故当x 3＝12取得y 取最大值y ＝1， 当x 3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选B ．【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关的键，属于中档题．11.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 16πB. 654πC. 6516πD. 494π 【答案】B【解析】【分析】取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上，过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O ，使得PO OC =， O 点即为球心，通过三棱锥的性质以及三棱锥的外接球的相关性质列方程，求出球的半径，从而可得出结果. 【详解】如图所示，取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上，过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O ，使得PO OC =，因为三棱锥底面是一个边长为E 为三角形的中心，,OA OB OC ∴== O ∴点即为球心，因为,PA PB D =为AB 中点，所以PD AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面,ABCPD ∴⊥平面ABC ，则//OE PD ，23,2,13CD CE CD DE CD CE ======-=，2PD ==，设球的半径为r ,则有,PO OC r OE ===作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，222()PD DG OG PO -+=，即(22221r +=,解得26516r =， 故表面积为26544S r ππ==，故选B . 【点睛】本题考查三棱锥的相关性质,主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考査如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，是难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出（或设出）球心和半径.12.已知1()22ln 20191x x x f x x-+=-++-，若()(1)4038f a f a ++>，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】【分析】 设1()22ln 1x x x g x x-+=-+-，则()()2019f x g x =+，则可证()g x 为奇函数，且在定义域上单调递增，则()(1)4038f a f a ++>等价于()(1)g a g a >--，再根据函数的单调性及定义域得到不等式即可解得. 【详解】解：设1()22ln 1x x x g x x -+=-+-，则()()2019f x g x =+. 由1()22ln ()1x x x g x g x x ---=-+=-+，所以()g x 为奇函数， 又12()22ln 22ln 1(11)11x x x x x g x x x x --+⎛⎫=-+=-+--<< ⎪--⎝⎭， 易知22,2,ln 11x xy y y x -⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭为增函数，故()g x 为增函数， 所以()(1)4038f a f a ++>，即()2019(1)20194038g a g a ++++>()(1)g a g a ∴>-+，即()(1)g a g a >--，故1,11,111,a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<， 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题.二、填空题13.已知直线l20y -+=，则直线l 的倾斜角为__________.【答案】60°【解析】【分析】设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=【详解】解：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=[)0,θπ∈Q则60θ=︒．故答案为：60︒．【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.在三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，且AB ，AC ，AD 两两垂直，点E 为CD 的中点，则直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值是__________．【解析】【分析】由AB ，AC ，AD 两两垂直可知AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在三角形ABE 中计算即可.【详解】∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在RT△ABE 中，AB=2，，∴sin∠AEB=AB BE 3=，∴直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值3，故答案为3【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15.已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径 ∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．16.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B 的距离始终等于P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．【解析】【详解】设动点P 在三棱锥表面形成曲线是EFGH ，如图所示．则BE BH ==BAH 中，cosHBA ∠==∴6HBA π∠=，4612HBG πππ∠=-=,∴¼12HGπ=，同理»EF；在直角三角形HAE 中，2HAE π∠=，AH AE ===∴»2HEπ==，在等边三角形BCD 中，3CBD π∠=，∴¼33GHπ==，则这条曲线的长度为+++66232=，故答案为2. 【点睛】本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题17.已知集合{}2|450A x x x =--…，集合{|22}B x a x a =+剟. （1）若1a =-，求A B U ；（2）若A B B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x „或5}x …；（2）2a >或3a -„【解析】 【分析】（1）由此能求出集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-厔或5}x …，从而能求出A B U ． （2）由A B B =I ，得B A ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．详解】解：（1）1a =-时，集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-厔或5}x …， 集合{|22}{|21}B x a x a x x =+=-剟剟， {|1A B x x =U „或5}x …．（2）因为A B B =I ，∴B A ⊆， 若B =∅，则22a a >+，∴2a >； 若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩„„或2,25,a a ⎧⎨⎩„…∴3a -„.综上，2a >或3a -„. 即(](),32,a ∈-∞-+∞U【点睛】本题考查交集和并集的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，属于基础题．18.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程. （2）直线1l 过点(2,3)P -，且A B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 【答案】(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --=【解析】【【分析】（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；（2）按照点A B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出．【详解】（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624823AB k --==-- ∴AB垂直平分线斜率为34，所以由点斜式32(5)4y x +=-，得AB中垂线方程为34230x y --=（2）当1//l AB 时，由点斜式43(2)3y x +=--得4310x y ++= 当1l 过AB 中点时，由两点式322352y x +-=-+-得3110x y --=所以，直线1l 的方程为4310x y ++=或3110x y --=【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力． 19.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，的∵PA =4OP ==，∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==∴APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题20.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=o ,2AB =,AC BD O =I ,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值. 【答案】（1）见证明；（2【解析】 【分析】方法一：（1）由题意，得出PO AC ⊥，再由菱形的性质，求得AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理，证得AC ⊥面PBD ，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面ACE ⊥面PBD ；（2）连接OE,证得OE PD ⊥，得到POE ∠是二面角P AC E --的平面角，在POE ∆中，即可求解. 法二：（1）以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PBD 的一个法向量为n r ，根据AC n u u u r r∥，得AC ⊥面PBD ，在面面垂直的判定定理，证得面ACE ⊥面PBD ；（2）分别求得平面PAC 和平面ACE 的法向量为,u v r r，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：∵PO ⊥面ABCD ∴PO AC ⊥∵在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ∴AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ∵CE PD ⊥ ∴OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=o∴BD =OD =又2PO = 所以PD ==故OE ==∴cos OE POE OP ∠==即二面角P AC E -- 法二：（1）菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 又PO ⊥面ABCD 故可以以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 由2,60AB ABC o=∠= 可知相关点坐标如下：())()()()0,0,2,,,0,1,0,0,1,0P BD A C -则平面PBD 的一个法向量为()0,1,0n v=因为()0,1,0AC =u u u v 所以AC n u u u P v v故AC ⊥面PBD从而面ACE ⊥面PBD（2）设PE ED λ=u u u v u u u v，则21E λ⎫⎪⎪+⎝⎭因为CE PD ⊥所以34011CE PD λλλ⋅=-=++u u u v u u u v 故43λ=可得：67E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 平面PAC 的一个法向量为()1,0,0u =v设平面ACE 的一个法向量(),,v x y z v=则20607v AC y v AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v故)v v=∴cos ,u v ==v v即二面角P AC E --的余弦值为7【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ，当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）()[)[)2140250,0,803100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100.【解析】 【分析】（1）利用利润=总售价-总成本，根据x 的范围分段考虑()L x 关于x 的解析式，注意每一段函数对应的定义域；（2）求解()L x 中的每段函数的最大值，然后两段函数的最大值作比较得到较大值，即为最大利润. 【详解】（1）当[)0,80x ∈时，()()22110.051000102504025033L x x x x x x ⎛⎫=⨯-++=-+-⎪⎝⎭，当[)80,x ∈+∞时，()()10000100000.0510005114502501200L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)[)2140250,0,803100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当[)0,80x ∈时，()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+， 所以当60x =时，()max 950L x =（万元）； 当[)80,x ∈+∞时，()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 取等号时10000x x=即100x =，所以()max 1000L x =（万元）950>（万元）， 所以年产量为100千件时，所获利润最大.【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式在实际问题中应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，一定要注意函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时要注意取等号的条件.22.已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦（1）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（2）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,23⎛ ⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）对k 分类讨论，当0k ≠时，令1()4(1)22xxg x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得； （2）令2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++，即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，可转化为函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ，即21log 4(1)212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根，即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组，即可解得. 【详解】解：（1）当0k =时，2211()log 2log 122xf x ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，不合题意； 0k ≠时，令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++.①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意；②当k 0<时，且此时对称轴102k t k-=>，函数()f x 的最大值是1-， 所以2max11111()(1)22222k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1k =-或13k =（舍）， 所以1k =-..（2）当01k <<时，设2(1)x t t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<， 所以当1t >时()g t 为增函数，即()f x 为增函数.所以函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++， 可转化为函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ， 即21log 4(1)212x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根. 即114(1)222x xx k k k +⋅--++=，设2(1)x t t =>， 所以21(1)22k t k t k t ⋅--++=， 即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根. 所以201,1(1)40,211,211(1)10.2k k k k k kk k k <<⎧⎪⎛⎫⎪∆=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+>⎪⎪⎪⋅-+⋅++>⎪⎩解得123k <<，所以实数k的取值范围是1,23⎛ ⎝⎭.【点睛】本题指数函数，对数函数以及二次函数有关性质的综合运用，考查了转化思想及化归能力，属于中档题．。