118-6-1迭代法原理
迭代法
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题(一般是解方程或者方程组)的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法(Iterative Method)。
一般可以做如下定义:对于给定的线性方程组x=Bx+f(这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式)，用公式x(k+1)=Bx(k)+f(括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法(或称一阶定常迭代法)。
如果k 趋向无穷大时lim x(k)存在，记为x*，称此迭代法收敛。
显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。
跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性的快速解决问题，例如通过开方解决方程x+3= 4。
一般如果可能，直接解法总是优先考虑的。
但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法(例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理)，这时候或许可以通过迭代法寻求方程(组)的近似解。
最常见的迭代法是牛顿法。
其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作:折叠确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
折叠建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成。
折叠对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。
第六章 迭代法-数值分析
由极限存在准则得 即
k
lim xi( k ) xi =0
k
(i 1, 2, , n)
, n)
lim xi( k ) xi
(i 1, 2,
定义：设{ A( k ) }为n阶方阵序列，A为n阶方阵，如果 lim A( k ) A 0
k
其中 为矩阵范数，则称序列{ A( k ) }收敛于矩阵A，记为 lim A( k ) A
g
n
其中bij
aij aii
, (i j , i, j 1, 2,
, n), g i
bi (i 1, 2, aii
, n).
迭代公式x ( k 1) Bx ( k ) g (k 0,1, 2, )用方程组表示为
(k ) (k ) (k ) ( k 1) b13 x 3 b1n x n g x b 1 12 x 2 1 (k ) (k ) (k ) ( k 1) b 23 x 3 b 2 n x n g x2 b 21 x 1 2 ( k 1) (k ) (k ) (k ) b n1 x1 b n 2 x 2 b n,n 1 x n 1 g x n n 因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，需同时保留两个
k k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
k
(k ) (k ) lim x x lim 0 所以 等价于 k
( k 1)
x
( k 1)
x
由
x ( k 1) Mx ( k ) g
x Mx g
则可得
( k 1)
第三章 迭代法s1s2 二分法和迭代法原理
有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根 研究 内容: 在有根的前提下求出方程的近似根。
根的估计
| xk x*| L | xk1 x*| L2 | xk2 x*| Lk | x0 x*|
lim | xk x* | 0
k
即 lim xk x *.
k
(b) | xk1 x*| L | xk x*|
| xk 1 xk | | ( xk 1 x*) ( xk x*) | xk x * xk 1 x * (1 L) xk x * 1 xk x * xk 1 xk 1 L 又 | xk1 xk | ( xk ) ( xk1 ) | '( ) | | xk xk1 | L | xk xk1 |
babab对于给定的精度可估计二分法所需的步数k简单易用无法求复根及偶重根要求不高只要连续即可收敛速度慢标本无需切片处理而代之在标本表面涂上一层铂金当电子撞击标本表面各点时便产生次及电子呈现立体状态可观察标本的形状及表面的特征
第三章迭代法
§3.1 二分法 §3.2 迭代法原理 §3.3 Newton迭代法和迭代加速 §3.4 解线性方程组的迭代法
0 1.5 1 2.375 2 3 12.4 1904
精确解x* =
1.3247179...
怎么判断迭代公式收敛或发散呢？
不动点原理
定理 (压缩映像定理，不动点原理) 3.1 设 (x)在[a, b]上连续， 且一阶导数连续，若 (1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立 封闭性 (2) 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立 压缩性
牛顿迭代法：介绍、原理与运用
⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤介绍⽜顿迭代法是⼀个可以求⼀个任意函数的零点的⼯具。
它⽐⼆分法快得多。
公式是：x=a-f(a)/f'(a)。
其中a是猜测值，x是新的猜测值。
不断迭代，f(x)就越来越接近0。
原理我们将f(x)做泰勒⼀阶展开：f(x)∼f(a)+(x-a)f'(a)。
令f(x)=0∴f(a)+(x-a)f'(a)=0∴f(a)+xf'(a)-af'(a)=0∴xf'(a)=af'(a)-f(a)∴x=a-f(a)/f'(a)实例：⽜顿迭代法求√2的近似值∵x = √2∴x2 = 2∴x2 -2 = 0令f(x)=⽅程左边，则f(x)∼0↔x∼√2。
f'(x) = 2x。
于是可以得到迭代公式：x=a-f(a)/f'(a)=a-(a2-2)/(2a)=a-a/2+1/a=a/2+1/a代码如下（要求误差⼩于1e-6）：#include <stdio.h>#include <math.h>int main(int argc, char const *argv[]){double a = 2.0;double expect_error = 0.000001;double x;double actual_error;unsigned iteration_count = 0;do {if (a == 0.0) a = 0.1; /* 避免0做分母 */x = a/2 + 1/a;actual_error = fabs(2 - x*x);a = x;++iteration_count;printf("%d\t%.9f\t%.9f\n", iteration_count, a, actual_error);} while (actual_error >= expect_error);return 0;}输出：1 1.500000000 0.2500000002 1.416666667 0.0069444443 1.414215686 0.0000060074 1.414213562 0.000000000迭代了4次。
迭代法
迭代方法（也称为“折返”方法）是一个过程，在该过程中，不断使用变量的旧值来递归推导新值。
与迭代方法相对应的是直接方法（或称为第一求解方法），即问题已解决一次。
迭代算法是使用计算机来解决问题的一种基本方式，它利用计算机的运行速度，适合于重复操作的特性，让计算机对一组指令（或步骤）必须每次都重复执行在执行的这组指令（或这些步骤）中，由于变量的原始值是新值，因此迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代”）属于近似迭代方法。
迭代方法的主要研究主题是构造收敛的迭代方案，并分析问题的收敛速度和收敛范围。
迭代方法的收敛定理可以分为以下三类：（1）局部收敛定理：假设问题的解存在，则得出结论：当初始逼近足够接近解时，迭代法收敛。
（2）半局部收敛定理：结论是，迭代方法根据迭代方法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解，而不假定解的存在。
（3）大范围收敛定理：得出的结论是，迭代方法收敛到问题的解，而无需假设初始近似值足够接近解。
迭代法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。
迭代法是一种迭代法，用于数值分析中，它从初始估计值开始寻找一系列解决问题的迭代解法（通常为迭代法），以解决问题（迭代法）。
通常，可以做出以下定义：对于给定的线性方程组（x，B和F都是矩阵，任何线性方程组都可以转换为这种形式），公式（表示通过迭代获得的x k次，并且初始时间k = 0）逐渐替换为该方法以找到近似解，这称为迭代方法（或一阶时间不变迭代方法）。
如果存在，则将其表示为x *，并称迭代方法收敛。
显然，x *是该系统的解，否则称为迭代散度。
迭代方法的对应方法是直接方法（或第一种解决方法），它是对问题的快速一次性解决方案，例如通过求平方根来求解方程x + 3 = 4。
通常，如果可能，直接解决方案始终是首选。
但是，当我们遇到复杂的问题时，尤其是当未知数很多并且方程是非线性的时，我们无法找到直接解（例如，第五和更高阶代数方程没有解析解，请参见Abelian 定理）。
第二章迭代法的一般原理知识分享
第二章迭代法的一般原理知识分享迭代法是一种解决问题的常用方法，其基本原理是将问题分解为一系列子问题，并通过逐步逼近的方式逐步求解，直到达到预期的解决方案。
迭代法通常由以下几个步骤组成：初始化、迭代、判断停止条件、更新和输出结果。
迭代法的一般原理可以总结为以下几点：1.初始化：迭代法通常需要一个初始解，该解可能是问题的近似解或一个具有特定条件的解。
这个初始解将作为迭代的起点，进而逐步逼近最终的解。
2.迭代：在每一次迭代中，通过使用前一次迭代的结果作为输入来计算下一次迭代的结果。
迭代过程可以使用数学公式、算法或其他适当的方法来进行计算。
3.判断停止条件：在每一次迭代中，需要判断是否满足停止条件。
停止条件通常与所求解的问题有关，可以根据预先设定的要求来判断是否已经达到了足够的精度或满足了特定的条件。
4.更新：根据迭代的结果，需要更新迭代变量的值。
这个更新可以是简单的赋值操作，也可以是需要进行复杂计算或使用迭代公式来进行计算。
5.输出结果：当满足停止条件时，迭代过程结束，并输出最终的解。
这个解可能是问题的数值解、近似解或其他形式的解决方案。
迭代法的优点在于它可以通过逐步逼近的方式不断提高解的精度，不需要一次性找到完美的解决方案。
这使得迭代法在处理复杂问题时非常有用，因为往往很难找到问题的精确解。
迭代法的应用非常广泛，可以用于解决数值计算、优化问题、图像处理、机器学习等领域的问题。
例如，在求解非线性方程时，可以使用牛顿迭代法来逼近方程的根；在求解线性方程组时，可以使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法来逼近方程的解。
需要注意的是，迭代法并不是万能的，不是所有问题都适合使用迭代法来解决。
在选择是否使用迭代法时，需要考虑问题的特性和求解方法的适用性。
总结起来，迭代法是一种通过逐步逼近的方式来解决问题的方法。
它的基本原理是通过初始化、迭代、判断停止条件、更新和输出结果等步骤来逼近最终的解决方案。
迭代法广泛应用于各个领域，是解决复杂问题的常用手段之一。
计算方法第六章迭代法
计算方法第六章迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，在数学和计算机科学中有广泛的应用。
本章将介绍迭代法的基本概念、原理和应用，以及相关的数学原理和计算技巧。
首先，我们来了解迭代法的基本概念。
迭代法是通过逐步逼近的方式得到一个问题的解。
迭代法的基本思路是从一个初始值开始，通过重复计算和更新，得到更加接近最终解的近似值。
迭代法的优点是简单和灵活，但需要注意选择合适的迭代公式和初始值，以及控制迭代的停止条件。
迭代法的原理可以用以下的一般形式表示：```x_(n+1)=f(x_n)```其中，x_n表示第n次迭代得到的近似值，x_(n+1)表示第(n+1)次迭代的近似值，f是一个函数，表示迭代公式。
迭代法的思想是通过不断迭代更新x的值，直到满足一些停止条件为止。
迭代法的应用非常广泛，特别是在求解非线性方程和优化问题方面有重要的应用。
在求解非线性方程时，我们可以将方程转化为形式为f(x)=0的等式，然后通过迭代法逼近方程的根。
在优化问题中，我们可以通过最小化或最大化一个函数来寻找最优解，也可以使用迭代法逐步逼近最优解。
在迭代法的实际应用中，我们需要注意一些数学原理和计算技巧。
首先，迭代法的收敛性是关键的，即通过迭代公式逐步逼近的值是否趋于问题的解。
在评估迭代法的收敛性时，常用的方法有判断迭代序列的极限是否存在和是否满足一些收敛条件。
其次，选择合适的迭代公式和初始值对于迭代法的成功应用非常重要。
迭代公式应该是简单和有效的，能够在迭代过程中逐步逼近问题的解。
初始值的选择也会直接影响迭代的结果，通常需要根据问题的特点和经验进行选择。
另外，迭代法的计算精度和计算效率也是需要考虑的问题。
在迭代过程中，我们需要根据问题的要求不断调整迭代的次数和迭代的停止条件，以达到较高的计算精度。
同时，我们也需要通过优化迭代公式和使用更加高效的计算技巧来提高计算的效率。
最后，迭代法的应用还可以进一步扩展到其他领域。
例如，在图像处理中，我们可以使用迭代法逐步改进图像的质量；在机器学习中，我们可以使用迭代法来调整模型的参数，以求得更好的拟合效果。
方程求根的迭代法原理与对比
方程求根的迭代法原理与对比方程求根是数学中常见的问题之一，迭代法是解决方程求根的一种常用方法。
本文将介绍迭代法的原理，并对比几种常见的迭代法，以帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、迭代法的原理迭代法是一种通过反复逼近来求解方程根的方法。
其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代，逐步逼近方程的根。
具体的迭代公式可以表示为：x_(n+1) = f(x_n)其中，x_n 表示第 n 次迭代的值，x_(n+1) 表示第 n+1 次迭代的值，f(x) 表示方程的函数表达式。
通过不断迭代，当 x_n 逐渐接近方程的根时，x_(n+1) 也会越来越接近方程的根。
当两者的差值小于预设的精度要求时，即可认为找到了方程的近似根。
二、常见的迭代法1. 不动点迭代法不动点迭代法是最简单且常见的迭代法之一。
它的迭代公式为：x_(n+1) = g(x_n)其中，g(x) 是一个满足条件的函数，通常通过选取合适的 g(x) 来使得迭代收敛。
例如，对于方程 x^2 - 2 = 0，可以选择 g(x) = sqrt(2 + x)。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种较为高效的迭代法，其迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)其中，f(x) 和 f'(x) 分别表示方程的函数和导数。
牛顿迭代法的关键在于利用函数的切线来逼近方程的根，通过不断迭代，可以快速地找到根的近似值。
3. 弦截法弦截法是一种基于线性插值的迭代法。
其迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)(x_n - x_(n-1))/(f(x_n) - f(x_(n-1)))弦截法通过连接两个迭代点的直线与 x 轴的交点来逼近方程的根。
相比于牛顿迭代法，弦截法不需要计算导数，适用于一些无法直接求导的函数。
三、迭代法的对比不同的迭代法在收敛速度、稳定性和适用范围上有所差异。
牛顿迭代法通常收敛速度较快，但对于某些特殊情况可能发散；弦截法相对稳定，但收敛速度较慢；不动点迭代法则是最简单但收敛速度相对较慢的方法。
迭代法在数值计算中的应用
迭代法在数值计算中的应用迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解数值计算问题的方法。
它在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用角度探讨迭代法在数值计算中的应用。
一、迭代法的原理迭代法是一种基于逐步逼近的思想，通过不断重复相同的计算过程，直到满足预设的停止条件为止。
迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 初始化：设定初始解，并给定迭代次数的上限。
2. 迭代过程：通过一定的迭代公式对当前解进行计算，得到下一次迭代的解。
3. 判断停止条件：根据预设的停止条件进行判断，如果满足条件则停止迭代，否则返回第二步。
4. 输出结果：将迭代得到的解作为最终结果输出。
二、迭代法在数值计算中的应用1. 方程求解：迭代法可以用来求解非线性方程的根。
通过不断迭代计算，逐渐逼近方程的解。
例如，牛顿迭代法可以用来求解方程 f(x)=0 的根，其中f(x) 是一个可导函数。
2. 矩阵计算：迭代法在矩阵计算中也有广泛的应用。
例如，通过迭代法可以计算矩阵的特征值和特征向量。
另外，迭代法还可以用于解线性方程组，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
3. 数值积分：迭代法也可以应用于数值积分的计算中。
例如，龙贝格积分方法就是一种基于迭代的数值积分方法，通过逐步逼近积分结果，得到更精确的数值近似解。
4. 数据拟合：迭代法可以用于数据拟合问题中，通过不断迭代调整拟合参数，使得拟合曲线与实际数据最接近。
例如，最小二乘法可以通过迭代来确定拟合参数的值。
5. 优化问题：迭代法也可以用于求解优化问题。
例如，通过不断迭代调整参数，使得目标函数达到最小值或最大值。
常见的优化算法，如梯度下降法和拟牛顿法，都是基于迭代的思想。
三、迭代法的优缺点迭代法在数值计算中具有以下的优点：1. 灵活性：迭代法适用于多种数值计算问题，并且可以根据具体问题的特点进行调整和改进。
2. 可扩展性：迭代法在计算上可以进行并行化处理，适用于大规模的数值计算问题。
迭代法详解——精选推荐
迭代法详解迭代法（iteration）也称辗转法，是⼀种不断⽤变量的旧值递推出新值的解决问题的⽅法，迭代算法⼀般⽤于数值计算。
累加，累乘都是迭代算法的基础应⽤。
利⽤迭代法解题的步骤：1）确定迭代模型根据问题描述，分析出前⼀个（或⼏个）值与下⼀个值的迭代关系数学模型。
2）建⽴迭代关系式递推数学模型⼀般是带下标的字母，算法设计中要将其转化为“循环不变式”----迭代关系式，迭代关系式就是⼀个直接或间接地不断由旧值递推出新值的表达式，存储新值的变量称为迭代变量。
3）对迭代过程进⾏控制。
确定在什么时候结束迭代过程。
迭代过程是通过⼩规模问题的解逐步求解⼤规模问题的解，表⾯上看正好与递归相反，但也找到了⼤规模问题与⼩规模问题的关系。
本节的例⼦是⽤迭代完成的，也都可以⽤递归完成。
相信尝试后，定能体会到递归的简便之处。
1，递推法（recursion）是迭代算法的最基本表现形式。
⼀般来讲，⼀种简单的递推⽅法，就是从⼩规模的问题解出⼤规模问题的⼀种⽅法，也称其为“正推“。
如”累加“。
兔⼦繁殖问题：⼀对兔⼦从出⽣后第三个⽉开始，每⽉⽣⼀对兔⼦，⼩兔⼦每到第三个⽉有开始⽣兔⼦，问⼀年中每个⽉各有多少兔⼦？我们通常⽤的迭代：print(a,b)for(i=1;i<=10;i++){c=a+b; print(c); a=b; b=c;}另⼀种构造不变式的⽅法：1 2 3 4 5 6 7 8a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b这样，⼀次循环其实是递推了三步，循环次数就要减少了。
#include<stdio.h>int main(){int i,a=1,b=1;int c;printf("%d %d ",a,b);for(i=1;i<=4;i++){c=a+b;a=b+c;b=c+a;printf("%d %d %d ",c,a,b); //注意输出顺序是c,a,b}}上⾯输出的共2+3*4=14项，这样的算法不太完美。
迭代法解一元三次方程的应用
迭代法解一元三次方程的应用一元三次方程是数学中常见的高次方程之一，解一元三次方程可以使用不同的方法，其中迭代法是一种常用的数值计算方法。
本文将介绍迭代法解一元三次方程的原理和具体应用。
1. 迭代法解一元三次方程的原理迭代法是一种通过逐步逼近的方法求解方程的数值解。
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们可以通过迭代的方式逐步逼近方程的解x。
具体而言，可以通过以下步骤进行迭代计算：(1) 选择一个初始值x0；(2) 根据迭代公式x_{n+1} = f(x_n)，计算下一步的迭代值x_{n+1}，其中f(x)为方程ax^3 + bx^2 + cx + d的一个函数；(3) 判断迭代值x_{n+1}与x_n的差值是否满足收敛条件，如果满足，则认为x_{n+1}是方程的近似解；如果不满足，则返回第(2)步继续迭代计算。
2. 迭代法解一元三次方程的具体应用迭代法解一元三次方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是一些相关领域中的具体应用案例：2.1 金融工程学在金融工程学中，迭代法可用于求解期权定价模型中的一元三次方程。
期权定价模型通常涉及到高次方程的求解，通过迭代法可以得到方程的数值解，进而计算出期权的价格。
2.2 物理学在物理学中，迭代法常被用于求解一元三次方程模型。
例如，在自由落体运动的模型中，通过迭代法可以求解出物体运动的轨迹方程，进而可以对物体的运动进行预测和分析。
2.3 工程学在工程学中，迭代法常用于求解电路网络中复杂电流电压分布的方程。
通过将电路网络建模为一元三次方程，利用迭代法可以逐步逼近得到电路中各节点的电流和电压数值解，从而可以有效分析和设计电路。
2.4 经济学在经济学研究中，迭代法被用于求解一元三次方程模型，用于分析和预测经济变量的变化趋势。
例如，对于经济增长模型中的一元三次方程，可以通过迭代法求解得到经济增长率的数值解，进而进行经济政策的制定和评估。
3. 迭代法解一元三次方程的优缺点迭代法解一元三次方程具有以下优点和缺点：3.1 优点(1) 对大部分情况可行：迭代法可用于求解各种类型的一元三次方程，在实际应用中通用性较高；(2) 数值解精度高：通过逐步逼近的方式，迭代法可以得到一定精度的方程数值解。
迭代法解非线性方程
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求解非线性方程的迭代法
构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ... 迭代公式
xk k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
xk 1 f ( xk ) xk , k 1,2, f ' ( xk )
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求解非线性方程的迭代法
2. 牛顿迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk , k 1,2, f ' ( xk )
称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式, 简称 牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义， y f ( xk ) f ' ( xk )( x xk ) 是曲线在点(xk, f(xk))处的切线方程。 xk+1就是切线与x轴交点的横坐标， 所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标 近似代替曲线与x轴交点的横坐标。 因此牛顿法也称切线法。
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求解非线性方程的迭代法
2. 弦截法的迭代公式
ba x1 a f (a ), f (b) f (a ) xk a xk 1 a f ( x ) f (a ) f (a ), k xk b x b f (b ), k 1 f ( xk ) f ( b ) f ( a ) f ( xk ) 0 f ( a ) f ( xk ) 0
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)
基础算法迭代法原理的应用
基础算法迭代法原理的应用1. 什么是迭代法迭代法是一种解决问题的基础算法，它通过不断迭代逼近解的过程来求解问题。
迭代法的原理是基于一个重要的数学定理——不动点定理。
不动点定理指出，如果一个函数存在至少一个不动点（即x = f(x)），那么通过不断迭代f(x)，可以逐渐接近这个不动点。
2. 迭代法的基本步骤迭代法的基本步骤如下：1.首先，选择一个起始点x0作为迭代的初始值。
2.然后，根据问题的要求和具体情况，选择一个迭代函数f(x)。
3.接着，通过不断迭代计算，更新x的值，直到达到停止条件为止。
4.最后，得到近似解x*。
3. 迭代法的应用举例迭代法可以应用于各种数学问题和工程应用中，下面我们介绍几个常见的应用。
3.1 方程求根迭代法可以用来求解方程的根。
对于一个函数f(x) = 0，我们可以通过迭代法找到它的近似解。
具体步骤如下：1.选择一个起始点x0。
2.定义迭代函数f(x)，根据具体问题的要求进行定义。
3.迭代计算，更新x的值，直到达到停止条件（如精度要求）。
4.得到近似解x*。
3.2 矩阵求逆迭代法还可以用于矩阵求逆的问题。
给定一个n阶矩阵A，我们可以通过迭代法求得它的逆矩阵A-1。
1.选择一个起始矩阵B0。
2.定义迭代函数f(B)，根据具体问题的要求进行定义。
3.迭代计算，更新B的值，直到达到停止条件（如精度要求）。
4.得到近似解B*，即为矩阵A的逆矩阵A-1。
3.3 最优化问题迭代法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题可以描述为找到一个函数的最值（最大值或最小值）。
通过迭代法，我们可以逐步逼近最值点。
1.选择一个起始点x0。
2.定义迭代函数f(x)，根据具体问题的要求进行定义。
3.迭代计算，更新x的值，直到达到停止条件（如精度要求）。
4.得到最优解x*。
4. 迭代法的优缺点迭代法作为一种基础算法，具有以下优点：•简单易实现：迭代法的思想简单，实现起来相对容易。
•广泛适用：迭代法可以应用于各种数学问题和工程应用。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法迭代法是一种常见的算法设计方法，它通过重复执行一定的操作来逐步逼近问题的解。
迭代法是一种简单有效的求解问题的方法，常用于求解数值问题、优化问题以及函数逼近等领域。
本文将介绍迭代法的基本概念、原理以及常见的应用场景。
一、迭代法的基本概念迭代法的思想是通过反复应用一些函数或算子来逐步逼近问题的解。
对于一个需要求解的问题，我们首先选择一个初始解或者近似解，然后通过不断迭代更新来逼近真实解。
迭代法的核心是找到一个递推关系，使得每次迭代可以使问题的解越来越接近真实解。
常见的迭代法有不动点迭代法、牛顿迭代法、梯度下降法等。
这些方法的求解过程都是基于迭代的思想，通过不断逼近解的过程来得到问题的解。
二、迭代法的原理迭代法的基本原理是通过不断迭代求解迭代方程的解，从而逼近问题的解。
迭代法的求解过程通常分为以下几个步骤：1.选择适当的初始解或者近似解。
初始解的选择对迭代法的收敛性和效率都有影响，一般需要根据问题的特点进行合理选择。
2.构建递推关系。
通过分析问题的特点，构建递推关系式来更新解的值。
递推关系的构建是迭代法求解问题的核心，它决定了每次迭代如何更新解的值。
3.根据递推关系进行迭代。
根据递推关系式，依次更新解的值，直到满足收敛条件为止。
收敛条件可以是解的变化小于一定阈值，或者达到一定的迭代次数。
4.得到逼近解。
当迭代停止时，得到的解即为问题的逼近解。
通常需要根据实际问题的需求来判断迭代停止的条件。
三、迭代法的应用迭代法在数值计算、优化问题以及函数逼近等领域有广泛的应用。
下面将介绍迭代法在常见问题中的应用场景。
1.数值计算：迭代法可以用于求解方程的根、解线性方程组、求解矩阵的特征值等数值计算问题。
这些问题的解通常是通过迭代的方式逼近得到的。
2.优化问题：迭代法可以应用于各种优化问题的求解，如最大值最小化、参数估计、模式识别等。
迭代法可以通过不断调整参数的值来逼近问题的最优解。
3.函数逼近：迭代法可以应用于函数逼近问题，通过不断迭代来逼近一个函数的近似解。
迭代法求函数零点
迭代法求函数零点函数零点是指函数在横坐标上与x轴相交的点，也就是函数取值为零的点。
在数学和计算机科学中，我们常常使用迭代法来寻找函数的零点。
迭代法是一种通过不断逼近答案的方法，它通过反复应用一个函数来逐步逼近函数的零点。
下面我将介绍迭代法的基本原理和具体步骤。
一、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断逼近零点的过程，将函数的零点转化为函数的近似解。
迭代法的核心思想是利用函数的局部性质，通过迭代逼近来寻找函数的零点。
二、迭代法的步骤1. 选择一个初始解x0。
初始解可以通过观察函数图像或者根据函数性质来确定。
初始解的选择直接影响到迭代的收敛速度和结果的准确性。
2. 根据迭代公式生成序列{xn}。
迭代公式是指每一步如何根据前一步的解来计算新的解。
迭代公式的选择通常与函数的性质相关。
3. 判断迭代是否收敛。
迭代收敛意味着序列{xn}的极限存在，并且收敛到函数的零点。
可以通过判断前后两次迭代解的差值是否满足某个精度要求来判断迭代是否收敛。
4. 当迭代收敛时，输出最终解x。
最终解x是函数的近似零点，可以作为函数零点的一个近似解。
三、迭代法的示例假设我们要求解函数f(x) = x^2 - 2的零点。
以下是使用牛顿迭代法来求解零点的具体步骤：1. 选择初始解x0=1。
2. 迭代公式为xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，对于本题，迭代公式为xn+1 = xn - (xn^2 - 2)/(2xn)。
3. 判断迭代是否收敛。
在本题中，我们可以通过判断|xn+1 - xn| < ε来判断迭代是否收敛，其中ε为所需精度。
4. 当迭代收敛时，输出最终解x。
在本题中，我们可以取精度ε=0.0001，当|xn+1 - xn| < 0.0001时，我们认为迭代收敛，输出最终解x。
通过以上步骤，我们可以得到函数f(x) = x^2 - 2的零点的近似解。
在本示例中，经过若干次迭代后，我们得到的近似解为x≈1.4142。
迭代证明法
迭代证明法
【原创实用版】
目录
1.迭代证明法的概念和背景
2.迭代证明法的基本原理
3.迭代证明法的应用实例
4.迭代证明法的优缺点
5.迭代证明法的未来发展
正文
迭代证明法是一种数学证明方法，其基本思想是通过不断重复和改进已有的证明步骤，逐步逼近最终的证明结果。
这种方法在数学领域中具有广泛的应用，尤其在复杂数学问题的证明过程中，往往能够发挥重要作用。
迭代证明法的基本原理可以概括为以下几点：首先，通过初步的证明步骤，建立起问题的基本框架；然后，在此基础上不断进行推导和改进，逐步完善证明过程；最后，通过反复迭代，达到证明的终点。
这种方法不仅能够帮助我们更好地理解问题，还能够提高证明的效率和准确性。
在实际应用中，迭代证明法在许多数学领域都有具体的应用实例。
例如，在数论中，迭代证明法可以用来证明诸如费马大定理等问题；在微积分中，迭代证明法可以用来证明泰勒公式等重要结论。
这些实例充分展示了迭代证明法的有效性和实用性。
然而，迭代证明法也存在一些优缺点。
优点在于，它能够帮助我们更好地理解问题，提高证明的效率和准确性；缺点在于，迭代证明法的过程可能较为繁琐，需要较高的逻辑思维能力。
对于迭代证明法的未来发展，我们可以预见，随着数学领域的不断拓展和深化，迭代证明法将继续发挥重要作用。
同时，随着计算机技术的发
展，迭代证明法在计算机辅助证明方面也将有更多的应用。
总之，迭代证明法是一种重要的数学证明方法，具有广泛的应用前景。
python迭代法
Python迭代法1. 简介迭代法（Iterative Method）是一种通过反复迭代计算来逼近最终结果的方法。
在计算机科学与数学领域，迭代法被广泛应用于解决各种问题，特别是在数值计算、优化和模拟等方面。
Python作为一种高级编程语言，提供了丰富的迭代工具和库，使得迭代法在Python程序中得以方便地应用和实现。
本文将介绍迭代法的概念、原理以及在Python中的具体实现。
2. 迭代法概念与原理2.1 迭代法的定义迭代法是一种通过逐步逼近的方法，将问题分解成多个较简单或者相似的子问题，并通过反复迭代计算来逐渐逼近最终解决方案的方法。
2.2 迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断重复执行某个操作，直到满足停止条件。
在每一次迭代中，根据当前的状态和问题的特点，通过某种转换或者计算方法，得出下一次迭代的状态，如此依次迭代下去，直到达到停止条件。
2.3 迭代法的应用场景迭代法适用于很多问题的求解，特别是对于那些难以通过解析方法求解的问题，迭代法往往是一种有效的选择。
例如，求解非线性方程的根、求解线性方程组、最优化问题等都可以使用迭代法来逼近解决。
3. 迭代法在Python中的实现3.1 内置迭代器Python提供了一些内置的迭代器（Iterator），使得使用迭代法来处理数据和执行操作变得简单和高效。
其中，常用的内置迭代器包括： - range()迭代器：生成一个指定范围的整数序列。
- enumerate()迭代器：同时返回索引和元素。
- zip()迭代器：将多个迭代器的元素组合在一起。
3.2 自定义迭代器除了使用内置迭代器，Python还允许用户自定义迭代器来实现更加灵活和复杂的迭代算法。
自定义迭代器需要实现__iter__()和__next__()两个特殊方法。
其中__iter__()方法返回迭代器对象本身，__next__()方法返回下一个迭代的值。
3.3 使用迭代器处理数据在Python中，迭代器常常用于处理大量的数据集合，例如列表、元组、字典等。
迭代解法(全章)讲解ppt课件
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
21
§3 常用的三种迭代解法
一、 Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b
(1)
设 det(A)≠ 0 ，aii ≠ 0,i=0,1,2,…,n ，按照如下方式对A
进行分裂：
A=L+D+U
(2)
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
22
则由 Ax=b 得到 (L+D+U) x=b >D x=-(L+U)x+b
或 向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x* ，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于x* 的对应分量，即
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第六章 线性方程组的迭代解法
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件：
(1) || A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
矩阵1-范数：
列和
矩阵2-范数：
矩阵∞-范数：
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为||A ||p，P＝1 ，2 ，∞。
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第六章 线性方程组的迭代解法
9
例6.2 设矩阵
求矩阵A的范数||A ||p，P＝1 ，2 ，∞ 。 解 根据定义
由于 则它的特征方程为:
25
对于 n 元线性方程组 其一般式为：
从中解出：
得Jacobi迭代格式
通过|| x(k+1)-x(k)||<ε 控制迭代次数。
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迭代法的般原理
第二章 迭代法的一般原理非线性方程组无论从理论上还是计算方法上，都比线性方程组复杂得多。
一般的非线性方程组很难求出解析解，往往只能求出其数值解，且往往只能借助于迭代法。
本章我们将讨论迭代法的一般原理、迭代法的一般构造及迭代收敛速度的衡量标准。
2-1 迭代法与不动点定理设n n R R D →⊂:f ，考虑方程()0=x f (2-1)若存在D *∈x ，使()0=*x f ，则称*x 为方程(2-1) 的解。
用迭代法求解(2-1) ，先将(2-1)化为等价的方程 ()x g x =(2-2)这里映象n n R R D →⊂:g 。
方程(2-2)的解*x (即()**x g x =)称为映象g 的不动点。
因此用迭代法解方程(2-1)，就是求(2-2)中映象g 的不动点。
这样以及g 是否存在不动点自然就是我们关心的问题。
定理2-1 若n n R R D →⊂:g 为有界闭集D D ⊂0上的严格非膨胀映象，()00D D ⊂g ，则g 在0D 内有唯一不动点。
证 唯一性 设g 在0D 内至少有两个不动点1x ，2x ，则()()2121x x x g x g x x 21-≤-=-α 因1<α，所以由上式推得21x x =。
唯一性得证。
记()()x g x x -=ϕ，由g 及泛数的连续性可知1:R R D n →⊂ϕ连续。
因0D 为有界闭集，故ϕ在0D 上有最小值。
设0D *∈x 为最小点，即()()x g x x -=∈m in 0D x *ϕ则*x 为g 的不动点。
因为若不然，则有()**x g x ≠，再由g 严格非膨胀，可得 ()()()()()***x g g x g x g -=ϕ()()***x x g x ϕ=-<这与*x 为ϕ的最小点相矛盾，故*x 为g 的不动点。
注 定理中0D 的有界闭性、g 的压缩性和g 映0D 入自身，此3个条件缺一不可。
例如，()xx x g 1+=在[)+∞=,D 10上严格非膨胀，但它在0D 中却没有不动点。
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迭代解
{1.1,
-2.5,
{0.96,
-1.92,
{0.998, -2.026,
{0.9972, -1.998,
{0.99932, -2.00164,
3.6 } 2.82 } 3.024 } 2.9892 } 3.00024 }
误差 3.6 0.78 0.204 0.0348 0.01104
代
MATH程序
( A)
max{
1 i n
i
}
A的谱定义为｛：1, 2 ,...,n｝ 迭
代 常用结论：
法
( Ak ) [( A)]k Ax x Ak x k x
原
( A) A
理
事实上：对A的i及特征向量ui , i ui iui Aui A ui
i A 由i的任意性： 当A对 称 时 ， ( A) A 2
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理 2 Jacobi迭代法 3 Gauss迭代法 4 松弛迭代法 5 迭代法的收敛性与稳定性
迭代法的基本思想 相关概念 收敛条件 基本迭代法
迭代法的基本思想
引 例1 求解方程 3xex = 0
迭代过程如图所示：
方程变形： x = ex/3
迭代法的基本思想
思考
对于任何一个方程组x Bx f (由Ax b变形得到的 等 价 方 程 组)， 由 迭 代 法 产 生 的 向 量序 列x ( k ) 是 否 一 定 逐 步 逼 近 方 程 组 的 解x呢 ？
请考虑用迭代法解下述方程组：
x1 x2
2x2 3 x1
5, 5.
并不是所有的
理
由此可见：考察 x(k) 的收敛性.
就要研究B在什么条件下有: lim (k) 0 k
亦即要研究B满足什么条件时有:
Bk 0(零矩阵)(k ).
收敛定理
定理
lim
k
x(k)
x
lim
k
x j(k)
xj
j
1,2,..., n,
x j(k )及x j分别是向量x(k)及x的第j个分量.
迭
求解，一般选择为A的某种近似，称M 为分裂矩阵.
基本迭代法
于是，求解Ax b 转化为求解Mx Nx b，即求解
Ax b 求解 x M 1Nx M 1b.
可构造一阶常迭代法
迭 代 法 原
x(0) (初始向量)，
x
(
k
1)
Bx( k )
f
(k 0,1,2, ..., ),
理
其中B M 1N M 1(M A) I M 1 A, f M 1b.
(
A)
max
1 i n
i
A
收敛条件
定 理
设A
aij
, 则lim Ak
nn
k
（0 零 矩 阵 ） 的 充 要 条 件是 :
A 1
证明：（必要性）
迭
代 法
lim Ak 0 lim Ak 0
k
k
原
理
0 ( Ak ) [( A)]k Ak
lim[(A)]k 0 (A) 1 k
称B I M 1 A为迭代法的迭代矩阵，选取 M 阵，
就得到解Ax b 的各种迭代法.
例题
例6.1 求解方程组 Ax b ，其中
迭
9 1 1
x1
7
A 1 10 1，x x2 ，b 8
1 1 15
x3
13
即
9 x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3 8 x1 x2 15x3 13
理 将这些值代入(2)式右边，得到新的
值
x(1) ( x1(1) , x2(1) , x3(3) )T (2.5,3,3)T
x1
(
0
)
x1
(1)
x1(k
)
x (0) x2(0) , x (1) x2(1) , ..., x (k ) x2(k ) , ...
x
3
(
0)
x
3
(1)
x
3
(
k
)
迭代法的基本思想
迭
x1
1 8
3 x2
2x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
x3
1 12
6 x1
3x2
36
.
x (k1) 1
x (k1) 2
(3x2(k) 2x3(k)
(4 x1(k )
x (k) 3
20) 33)
8 11
x3(
k
1)
(6 x1(k )
1 8
3 x2
2 x3
20
,
x2
1
11
4 x1
x3
33
,
x3
1
12
6 x1
3 x2
36
.
迭
代 法 原 理
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
x1(0) x2(0)
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
于是： lim Ak ＝lim A k 0 即 lim Ak 0
k
k
k
收敛条件
定 理 (迭代法基本定理)
设有方程组x Bx f , 及 一 阶 定 常 迭 代 法x(k1) Bx(k) f .
迭 对任意选取初始向量x(0) , 迭代法收敛的充要条件是 :
代
（B) 1.
法
原
证明： （k） x(k ) x B (k1) ... Bk (0) 0
收敛条件
（充分性） 引用：设A为n阶方阵，则对任意的 , 存在一种矩阵的范数. 使得： A ( A)
迭
若 ( A) 1, 则对 1 ( A) 1, 必存在一种范数. ，使得
2
代 法 原
A ( A) 1 ( A) 1
2
lim A k 0 k
理
而： Ak A k (范数定义)
代
方程组的精确解为 x* （1，1，1）T
法 原
依次从三个方程中分别分离出x1, x2 , x，3 把方程组等价变形为
理
x1
1 9
x2 x3 7
,
x2
1 10
x1 x3 8
,
建立迭代公式
x3
1 15
x1 x2 13
.
x (k1) 1
x (k1) 2
( x2(k) ( x1(k )
1 1.4422 3.0000 8 1.8175 1.8136
迭
x x3 x2 1 1 (x)
2 1.6537 1.4444 9 1.8385 1.8554 3 1.7532 2.1716 10 1.8389 1.8294
代 法 原 理
x 3 x2 x 1
x
1
1 x
1 x2
2 ( x) 3(x)
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
x1(0)
x 1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
(0) 2
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
是
原方程
的根
。
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
{0.999696, -2.00011, 2.99921 }
0.001528
4 1.7995 1.6725 11 1.8391 1.8454 5 1.8209 1.9554 12 1.8392 1.8355 6 1.8308 1.7730 13 1.8392 1.8416 7 1.8354 1.8822
对于给定的方程 f(x) = 0, 有多种方式将 它改写成等价的形式 x = j (x)。但重要的 是如何改写使得序列收敛？
0.2
左边 0.607 0.612 0.615 0.616 … 右边 0.612 0.615 0.616 0.617 …
0
0
0.5 0.616
1
迭代法的基本思想
引 例2 用迭代方法解 x3 -x2 -x-1 = 0。
计算结果:
序号 j 2(x) j 3(x)
序号 j 2(x) j 3(x)
第一步 构造迭代函数：
3 x2
2 x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
(2)
x3
1 12
6 x1
3 x2
36
.
0
3 8
2 8
20
8
B
4 11
0
1 11
f
33 11
.
6
3
0
36
12
12
12
迭代法的基本思想
取一组数(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
代
人
方
程
右侧，若
x1
6 0.999958 0.99996 0.99997
7 0.999992 0.999993 0.999995