工程力学第十一章
合集下载
工程力学 第十一章-能量法
L 2EI
M (x) P x ;(0 x a) 2
在应用对称性，得：
a
U 2
1
( P x)2 dx P2a3
0 2EI 2
12 EI
W
U
fC
Pa 3 6EI
思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q
能量法
例2 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所 示。试求梁内的应变能 。
q
A
w
能量法
注意：•卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体， 也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为 余能定理的特例，仅适合于线弹性体。
•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
•当所求位移处无相应广义力时 ，可在该处 “虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映 在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该 “虚加”外力为0。
材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。
试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。
l
F
1
A
B
A
45O
B B'
C
(a)
C
(b)
解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，
先假设结点B只发生水平位移1 （图b）
则： AB 1
BC 1cos 450
2
2 1
能量法
同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）
A
B
2
B''
则：
C
AB 0
(c)
BC 2 sin 450
2
2 2
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
AB 1
BC
2 2
1
2
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
工程力学第十一章-测控
材料在单向拉伸屈服时（σ1＝σs，σ2＝σ3＝０） 的形状改变比能 为
（２）第四强度理论 这一理论认为，形状改变比能是引起 材料发生屈服破坏的原因。也就是说：不论材料处于何种应力 状态，只要形状改变比能Ｕ达到材料在单向拉伸屈服时的形状 改变比能Ｕxs，材料就会发生屈服破坏。由此得材料的屈服条 件为
据实验和观察，尽管材料的破坏从表面看是十分复杂的 现象，但总不外乎是脆性断裂或塑性屈服两种现象或发生显 著的塑性变形，致使构件不能正常工作。同一类型的破坏可 以认为是由某一个特定的因素所致，找出这个因素，即可通 过简单的拉、压实验结果来推测材料在复杂应力状态下的破 坏，从而建立相应的强度条件。
所谓强度理论，也就是关于材料的某一类破坏是由什么 因素引起的假说。
３最大切应力理论（第三强度理论）
这一理论认为，最大切应力是材料产生塑性屈服破坏的原 因。也就是说：不论材料处于何种应力状态；只要最大切应力 τmax达到材料在单向拉伸下发生屈服破坏的最大切应力值τs， 材料就会发生屈服破坏。因此，材料发生塑性屈服破坏的条件 为
强度条件
式中，σxd3是按第三强度理论计算的相当应力。 实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的 现象。但是，由于它没有考虑σ２的影响，故按这一理论设计 构件偏于安全。
例 11-1 40MPa，
一 单 元 体 应 力 状 态 如 图 a 所 示 。 已 知 σx ＝ τx＝20MPa， τy＝-20MPa。用应力圆求1）
-α2＝0M30P。a ，斜截σy ＝面
上的应力；2）主应力与主平面的位置；３）最大切应力。
D1(σx、x) D2(σy、-y)
例11-2 根据应力状态理论，分析塑性材料和脆性材料圆杆扭 转破坏现象。
线应变称为主应变。
（２）第四强度理论 这一理论认为，形状改变比能是引起 材料发生屈服破坏的原因。也就是说：不论材料处于何种应力 状态，只要形状改变比能Ｕ达到材料在单向拉伸屈服时的形状 改变比能Ｕxs，材料就会发生屈服破坏。由此得材料的屈服条 件为
据实验和观察，尽管材料的破坏从表面看是十分复杂的 现象，但总不外乎是脆性断裂或塑性屈服两种现象或发生显 著的塑性变形，致使构件不能正常工作。同一类型的破坏可 以认为是由某一个特定的因素所致，找出这个因素，即可通 过简单的拉、压实验结果来推测材料在复杂应力状态下的破 坏，从而建立相应的强度条件。
所谓强度理论，也就是关于材料的某一类破坏是由什么 因素引起的假说。
３最大切应力理论（第三强度理论）
这一理论认为，最大切应力是材料产生塑性屈服破坏的原 因。也就是说：不论材料处于何种应力状态；只要最大切应力 τmax达到材料在单向拉伸下发生屈服破坏的最大切应力值τs， 材料就会发生屈服破坏。因此，材料发生塑性屈服破坏的条件 为
强度条件
式中，σxd3是按第三强度理论计算的相当应力。 实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的 现象。但是，由于它没有考虑σ２的影响，故按这一理论设计 构件偏于安全。
例 11-1 40MPa，
一 单 元 体 应 力 状 态 如 图 a 所 示 。 已 知 σx ＝ τx＝20MPa， τy＝-20MPa。用应力圆求1）
-α2＝0M30P。a ，斜截σy ＝面
上的应力；2）主应力与主平面的位置；３）最大切应力。
D1(σx、x) D2(σy、-y)
例11-2 根据应力状态理论，分析塑性材料和脆性材料圆杆扭 转破坏现象。
线应变称为主应变。
工程力学第十一章应力状态及强度理论
t y y
17
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应力状态及强度理论
需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y
按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程
时已考虑了它的实际指向，故方程中的y仅指其值。也正 因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以
5
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应Leabharlann 状态及强度理论1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元体， 其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
F
F
90
90
0
0
0 cos2
0
2
sin 2
6
工 程 力 学 电 子 教 案
2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：
x y x y
2
2
2
cos 2 x sin 2
x y
sin 2 x cos 2
18
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应力状态及强度理论
Ⅱ. 应力圆 为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
算公式中以2 为参变量这个前提。
22
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应力状态及强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1 按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的座标便代表了单元体斜截面上的应力。 现证明如下(参照图b)：
17
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应力状态及强度理论
需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y
按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程
时已考虑了它的实际指向，故方程中的y仅指其值。也正 因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以
5
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应Leabharlann 状态及强度理论1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元体， 其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
F
F
90
90
0
0
0 cos2
0
2
sin 2
6
工 程 力 学 电 子 教 案
2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：
x y x y
2
2
2
cos 2 x sin 2
x y
sin 2 x cos 2
18
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应力状态及强度理论
Ⅱ. 应力圆 为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
算公式中以2 为参变量这个前提。
22
工 程 力 学 电 子 教 案
第十一章 应力状态及强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1 按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的座标便代表了单元体斜截面上的应力。 现证明如下(参照图b)：
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
第十一章：动量定理
内力:
r Fi
(i
)
内力性质:
（1）
∑
r Fi
(i
)
=0
（2）
∑
r M
O
(
r Fi
(
i
)
)
=
0
质 点:
( ) r
dPi
=
d
m i vri
dt
dt
= Fri(e) + Fri(i )
质点系:
(∑ ) ( ) d mivri
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ dt
d =
r dP dt
=
mivri = dt
Fri( e )
∑ r
dP = dt
Fri( e )
∑ ∑ ∑ dPx =
dt
F (e) ix
dPy = dt
F (e) iy
dPz = dt
F (e) iz
若 ∑ Fx(e) ≡ 0 , 则 px = 恒量
已知
m1, m2 , o1o2
= e,ω
=
常量，求：Fvx
,
v Fy
解: P = m2ω e
Px = m2ω e cosω t Py = m2ω e sinω t
=
tr F dt
0
冲量量纲： FT = MLT −2T = MLT −1 = MV
单位：
N ⋅ s 或 kg ⋅ m / s
动量量纲：
单位：
MV = MLT −1 = MLT −2T = FT kg ⋅ m / s 或 N ⋅ s
冲量与动量的量纲相同
§11-2 动量定理
1.质点的动量定理
mar
=
m
工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介
1.1.1 电路பைடு நூலகம்组成
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
工程力学第十一章弯曲应力
Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。
山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定
上的工作应力超过材料的极限应力 ( b 或 S ) 时, 就会因其强度不 足而失去压杆承载能力. 以此建立起 强度条件 .
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
工程力学第十一章
第十一章 弯曲内力
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
工程力学-第11章
精确的非线性理论分析结果表明，细长压杆在临 界点以及临界点以后的平衡路径都是稳定的，并于 20世纪90年代初得到了实验证明。
第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
返回总目录
返回首页
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
忽略剪切变形的影响，不考虑杆的轴向变形
分叉点
FP cr
π
2n2EI l2
FP cr
π
2 EI l2
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
0A＋1B0 sinklAcosklB0
B0
w =Asinkx + Bcoskx
得到屈曲位移函数
wxAsinnπ x
l
其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。 这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一 致的。
FFFPPP
FP<FPcr :在扰动作用 下，直线平衡构形转变为弯 曲平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
压杆稳定的基本概念
细长直杆判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上 的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性 状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。
粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但
将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
临界应力与临界应力总图
需要特别指出的是，细长杆和中 长杆在轴向压缩载荷作用下，虽然 都会发生屈曲，但这是两类不同的 屈曲：第一，从平衡路径看，细长 杆的轴向压力超过临界力后(如图所 示)，平衡路径的分叉点即为临界点。 这类屈曲称为分叉屈曲。中长杆在 轴向压缩载荷作用下，其平衡路径 无分叉和分叉点，只有极值点，这 类屈曲称为极值点屈曲(limited point buckling)。
第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
返回总目录
返回首页
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
忽略剪切变形的影响，不考虑杆的轴向变形
分叉点
FP cr
π
2n2EI l2
FP cr
π
2 EI l2
两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式
0A＋1B0 sinklAcosklB0
B0
w =Asinkx + Bcoskx
得到屈曲位移函数
wxAsinnπ x
l
其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。 这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一 致的。
FFFPPP
FP<FPcr :在扰动作用 下，直线平衡构形转变为弯 曲平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
压杆稳定的基本概念
细长直杆判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上 的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性 状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。
粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但
将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
临界应力与临界应力总图
需要特别指出的是，细长杆和中 长杆在轴向压缩载荷作用下，虽然 都会发生屈曲，但这是两类不同的 屈曲：第一，从平衡路径看，细长 杆的轴向压力超过临界力后(如图所 示)，平衡路径的分叉点即为临界点。 这类屈曲称为分叉屈曲。中长杆在 轴向压缩载荷作用下，其平衡路径 无分叉和分叉点，只有极值点，这 类屈曲称为极值点屈曲(limited point buckling)。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11.5 压杆的稳定计算
与强度设计一样，在压杆稳定 设计时，同样需要留有保证杆 的稳定性的安全储备。
稳定性条件：
引入稳定许用安全系数nst，则许用压力为 [Fst]=Fcr/nst，稳定性条件是
或
第11章 压杆稳定
承受轴向压力的杆，称为压杆。对 于一些受轴向压力作用的细长杆， 在满足强度条件的情况下，却会出 现弯曲变形。杆在轴向载荷作用下 发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈 曲引起的失效，称为失稳(丧失稳定 性)。本章研究细长压杆的稳定。
11.1 稳定的概念
物体的平衡存在有稳定与不稳定的问 题。物体的平衡受到外界干扰后，将 会偏离平衡状态。若在外界的微小干 扰消除后，物体能恢复原来的平衡状 态，则称该平衡是稳定；若在外界的 微小干扰消除后，物体仍不能恢复原 来的平衡状态，则称该平衡是不稳定 的。
直杆在轴向载荷作用下发生的弯 曲称为屈曲，发生了屈曲就意味 着构件失去稳定(失稳)。压杆保持 稳定与发生屈曲间的力Fcr称为压 杆的临界载荷或临界压力。
11.2 两端铰支细长压杆的 临界载荷
二端铰支压杆稳定临界载荷的欧拉公式
欧拉公式指出：压杆稳定的临界载荷与杆长 的平方成反比，与杆的抗弯刚度成正比。
不同支承情况下，用欧拉公式的一般形式确 定临界载荷时的相当长度系数μ为：
μ=1
二端铰支
μ固定
μ=0.5 二端固定
可见，杆端支承对于压杆的临界载荷有显著 影响。
11.4 中小柔度杆的临界应力
11.4.1 临界应力与杆的柔度
压杆的柔度或细长比
11.4.2 临界应力总图
λ>λP的杆，称为大柔度杆，前面讨论中的 所说的细长杆，就是指大柔度杆，其破坏 形式是弹性屈曲失稳，临界应力可由欧拉 公式确定。
另一方面，对于长度短、截面尺寸大的杆， 由于杆的柔度很小而不至失稳，其破坏形 式是强度不足。
压杆的临界应力图：
计算压杆临界应力的基本方法、步骤：
11.3 不同支承条件下压杆的 临界载荷
11.3.1 二端固定的压杆
二端固定压杆的临界载荷为
11.3.2 欧拉公式的一般形式
确定压杆稳定临界载荷的欧拉公式的一 般形式
在欧拉公式中，对于二端铰支的压杆， μ=1；对于二端固定的压杆，μ=0.5。 μl可视为压杆的相当长度，即确定二 端固定压杆稳定的临界载荷时，杆长 相当于二端铰支压杆长度的0.5倍；μ 则称为反映压杆不同支承情况的相当 长度系数。