格林公式及其应用

格林公式及其应用

摘 要：

格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。 在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。 设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。

关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；

引言

格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有

⎰⎰⎰

+=∂∂-∂∂L D

Qdy Pdx dxdy y

P

x Q ）（

，其中L 是D 的取正向边界曲线

格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分

将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功

定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ）

在D 上具有一阶连续偏导数，则有

D D

Q P Pdx Qdy dxdy x y +∂⎛⎫

∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D y dxdy x P Q

∂∂∂=∂⎰⎰

其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式

证明:

(1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两

点.

}),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ

dx x Q dy dxdy x Q

y y d c D

⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂)()(21ψψ ⎰⎰-=d

c

d c

dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ

x

x x

⎰

⎰-=CAE

CBE

dy y x Q dy y x Q ),(),( ⎰

⎰

+=EAC

CBE

dy y x Q dy y x Q ),(),(

⎰=L

dy y x Q ),(

同理可证⎰⎰⎰

=∂∂-L D

dx y x P dxdy y

P

),(

两式相加得⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D

Qdy Pdx dxdy y

P

x Q )(

(2)

若区域D 由按段光滑的闭曲线围成.

如图

将D 分成三个既是-X 型又是-Y 型的区

域1

D ,2

D ,3

D .

⎰⎰⎰⎰++∂∂-∂∂=∂∂-∂∂3

21)()(D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂

-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂3

21

)()()(

D D D dxdy y x Q dxdy

y P x Q dxdy y P x Q ⎰⎰⎰

+++++=

3

2

1

L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx

⎰+=L

Qdy Pdx

(3)

若区域不止由一条闭曲线所围

成.添加直线段AB,CE.则D 的边界曲线由AB,2

L ,BA,

AFC,CE,

3L , EC 及CGA 构成

由(2)知⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y P

x Q )(

⎰

⎰⎰⎰⎰+

+++=CE

AFC BA L AB 2

{

⎰

⎰⎰+⋅+++CGA

EC L Qdy Pdx )(}3

),(32,1来说为正方向对D L L L

⎰⎰⎰+++=2

3

1

))((L L L Qdy Pdx ⎰+=L

Qdy Pdx

应用：

（1）用格林公式计算区域的面积

设区域D 的边界曲线为L , 则

例1 求椭圆x =a cos q , y =b sin q 所围成图形的面积A . 解设L 是由椭圆曲线, 则

（2）用格林公式计算二重积分

为顶点的三角形闭区域.

因此, 由格林公式有

（3）用格林公式求第二类曲线积分

⎰-=L ydx xdy A 2⎰

+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab

-L ydx xdy 1⎰+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab πθπab d ab ==⎰2021. πθπab d ab ==⎰20

21. )1(2111

02

2----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA y . 1(2

111

2

2

----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA

y . ),(32,1来说为正方向对D L L L ⎰-=L ydx xdy A 21.

例2 计算⎰⎰-D

y dxdy e

2

, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)

.

令P =0, 2

y xe

Q -=, 则

2y e y

P

x Q -=∂∂-∂∂. ⎰⎰⎰++-

-=

BO

AB OA y D

y dy xe dxdy e 22 ⎰⎰⎰

++--=BO AB OA y D y dy xe

dxdy e 22

1(2

111

02

2

----===⎰⎰e dx xe dy xe x

OA

y .