信号与系统第五章
信号与系统第五章习题答案
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统郑君里版第五章
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
信号与系统第五章
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第5章
例2：LTI二阶 y(k) 2 y(k 1) 3 y(k 2)
系统：
离散
4 f (k) 5 f (k 1) 6 f (k 2)
算子方程： (1 2E 1 3E 2 ) y(k) (4 5E 1 6E 2 ) f (k)
A(E)
B(E)
或写成：y(k) B(E) f (k) B(E) x(k) A( E )
列
i k
f1(k) (k) f2 (k) (k) f1(i) f2 (k i)
i 0
5.2.2 图解机理： y(k) f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
步骤：翻转、平移、相乘、求和。
step 1. 画 出f1 (i)、f2 (i)的 图 形 。 step 2. f2 (i)翻 转180 得f2 (－i)。 step 3. 将f2 (－i)平 移k 得f2 (k－i)。
(k)
1 (ak1 1) (k)
a 1
5.3 离散系统的描述 一.LTI离散时间系统：
1.输入输出模型： f(k)
离散系统
y(k)
设k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称 k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入 信号或简称输入信号。
根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输入 响应yzi(k)零状态响应yzs(k)和完全响应y(k)。
(k)
1 0
k0 k0
(k)
1 0 1 2 3 4 5 k
e k f (k)
0
k 1 其余
e
k
(
k
1)
（c）集合表示： ，0， 1，2，3，4，0，
5.1.2 离散基本信号：
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
信号与系统第五章 Z变换
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
第五章-拉普拉斯变换
第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。
当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。
(){}(){}||sgn lim sgn 0t t et σσσ-→=>F F，。
因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。
为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。
对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d ttttef t f t ee tf t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F ()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j st f t F s F se s σσπ+∞--∞⎰ L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。
定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。
注：()()0O t f t e σ=。
()F s 存在：()F s <∞。
浙江大学信号与系统5
因此，x p (t ) 频谱又可表示为 X p ( j )
从而可得 X (e j ) X p ( j
T
)
信号与系统
于慧敏教授
5.1.1 冲激串采样：采样定理
利用 X p ( j )的频谱，可得信号样值序列 x[n] x(nT ) 的频 谱与原信号频谱之间的关系：
n
x(nT ) (t nT ) x[n] (t nT )
n
式中， x[n] x(nT )
信号与系统 于慧敏教授
5.1.1 冲激串采样：采样定理
图5-1 冲激串采样
信号与系统 于慧敏教授
5.1.1 冲激串采样：采样定理
如果假设 x (t ) 的频谱为 X ( j ) ，p(t )的频谱为P( j )。
信号与系统
于慧敏教授
5.1.1 冲激串采样：采样定理
现在进一步考查 x (t ) 的样值序 x[n] x(nT ) 的频谱，即
x[n] X (e )
F
j
n
x[n]e
jn
n
x (nT )e j n
由于 X p (t )
n
x(nT ) (t nT ) ，
2 冲激串的频谱 P( j ) T
2 s ( k s )， T k
由傅里叶变换的相乘性质：
1 2 1 X p ( j ) [ X ( j ) * P( j )] X ( j ( k s ))， s T T k 2
信号与系统
于慧敏教授
信号与系统吴大正第四版
安徽建筑工业学院电信学院第五章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号e jωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。
使响应的求解得到简化。
物理意义清楚。
但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。
本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。
所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
安徽建筑工业学院电信学院§5.1 拉普拉斯变换•从傅里叶变换到拉普拉斯变换•收敛域•(单边)拉普拉斯变换•常见函数的拉普拉斯变换•单边拉氏变换与傅里叶变换的关系安徽建筑工业学院电信学院一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。
为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t) ，适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换为f(t) e-σt= ∫∞∞−+ωωσπωde)(21tjbjFF b(σ+jω)=ℱ[ f(t) e-σt]= ttfttf t jtjt de)(dee)()(∫∫∞∞−+−∞∞−−−=ωσωσ∫∞∞−++=ωωσπωσde)(21)()(tjbjFtf令s = σ+ jω,d ω=ds/j，有安徽建筑工业学院电信学院定义∫∞∞−−=tetfsF stbd)()(∫∞+∞−=jjde)(j21)(σσπssFtf stb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
安徽建筑工业学院电信学院二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
《信号与系统》第五章知识要点+典型例题
是双边拉氏变换收敛域的一种特殊情况。 3、 常用函数单边拉氏变换对 表 5.1 列出了最常使用函数的单边拉氏变换对。 4、单边拉氏变换的主要性质 掌握拉氏变换的性质如图掌握傅里叶变换性质一样重要，应用性质并结合常用函数的 拉氏变换对就可以简便地求复杂信号的拉氏变换，或由复杂象函数求原函数。表 5.2 列出了 最常用的单边拉氏变换的性质。
n
（5.3）
式中， s = pi 为 F ( s ) 的第 i 个单阶实极点，系数 K i 由下式确定
K i = (s - pi ) F (s )
b.
s =p i
（5.4）
F ( s ) 有单阶共轭极点
设 s = -a ± jb 为 F ( s ) 的一对共轭极点。 求逆变换时把 F ( s ) 首先凑成类似余弦函数
2
掌握拉氏变换的重要性质，也应从性质的基本形式、应用该性质的基本思路及应用中 应注意的问题这样三个方面来掌握。许多性质的应用思路及注意的问题都类同傅里叶变换， 这里不再赘述。 表 5.1 编号 1 2 3 4 5 时域函数 f (t ) 常用信号的单边拉氏变换对 （t ³0 ） 象函数 F ( s ) 1
s
¥ s
f ( )d
F ( s ) 为真分式
f ( ) lim sF ( s ),
s0
s 0 在sF ( s )的收敛域内
5、常用的拉氏逆变换的求解方法 逆变换积分公式并不常用于求解拉氏逆变换，而经常使用的有以下几种。 （1） 查表法 若提供拉氏变换对表，可“对号入座” ，一一查找。但应试时，一不提供表， 二不准翻书查看。我们需要记住一些常用信号的拉氏变换对，结合拉氏变换的重要性质，加 以套用，求得拉氏逆变换。 （2） 部分分式展开法 该方法要求 F ( s ) 为有理真分式。若 F ( s ) 为假分式，应先利用多项式相除， 把 F ( s ) 表示成一个多项式加真分式的形式。对于多项式部分，对应的逆变换是非常容易求 得的，它们是冲激函数 (t ) 及其各阶导数项之和。例如
《信号与系统》第五章
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
信号与系统(郑君里)课后答案 第五章习题解答
5-6 解题过程： 令 ()()1c e t t πδω=，()()2sin c c t e t tωω= ()()11πωω==⎡⎤⎣⎦cE j e t F()()()()220πωωπωωωωωωω⎧<⎪==+−−=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎩，，其他c c c c c E j e t u u F 理想低通的系统函数的表达式 ()()()j H j H j e ϕωωω=其中 ()10c c H j ωωωωω⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，()0t ϕωω=−因此有()()()0t 110ωπωωωωωω−⎧<⎪==⎨⎪⎩c c e R j H j E j ，，其他 ()()()0t 220ωπωωωωωω−⎧<⎪==⎨⎪⎩c c e R j H j E j ，，其他()()12ωω=R j R j 则()()1112ωω−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R j R j FF5-8 解题过程： 记 ()sin sin ωωωπωπ==⋅c c cc t t f t t t ()()0πωωωωωω⎧<⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪≥⎩，，ccc F j f t F ()()()()sin 0ωωππωωωωωωωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪==⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎧⋅<⎪==⎨⎪≥⎩，，c c cc td H j h t dt t j j F j F F故 ()0ωωωωπωωω⎧⋅<⎪=⎨⎪≥⎩c cc H j ，， ()20πωωϕωωω⎧<⎪=⎨⎪≥⎩c c，，()ωH j 和()ϕω的图形如解图。
5-11 解题过程：由题图5-11有()()()()211=−−∗⎡⎤⎣⎦v t v t T v t h t 据时域卷积定理有()()()()211ωωωωω−⎡⎤=−⎣⎦j TV j V j e V j H j（1）()()1=v t u t()()()()2=−−∗⎡⎤⎣⎦v t u t T u t h t由()()()101ωπ−==−⎡⎤⎣⎦h t H j Sa t t F，()()()λλ−∞∗=∫tf t u t f d ，有 ()()()()()00200''''''1111λλλλππλλλλππ−−∞−∞−−−−∞−∞=−−−=−∫∫∫∫t Ttt t Tt t v t Sa t d Sa t d Sa d Sa d又知()()−∞=∫yi S y Sa x dx ，所有()()()2001π=−−−−⎡⎤⎣⎦i i v t S t t T S t t （2）()12sin 22⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎝⎠==⎜⎟⎝⎠t t v t Sa t()()111220πωω⎧<⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩V j F v t 其他则 ()()()()()021121120ωωωπωωωω−−−⎧−<⎪=−=⎨⎪⎩j t j Tj Te eV j V j H j e其他所以 ()()()()122001122ω−⎡⎤⎡⎤==−−−−⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦v t V j Sa t t T Sa t t F 5-18 解题过程：信号()g t 经过滤波器()ωH j 的频谱为()()()()()1sgn ωωωωω==−G G H j j G信号()g t 经过与()0cos ωt 进行时域相乘后频谱为()()()20012ωωωωω=++−⎡⎤⎣⎦G G G 信号()1g t 经过与()0sin ω−t 进行时域相乘后频谱为()()()()()()()()()()()310100000000021sgn sgn 21sgn sgn 2ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω=−+−−⎡⎤⎣⎦=−++−−−⎡⎤⎣⎦=−−+++⎡⎤⎣⎦jG G G G G G G()()()()()()()()()()()()(){}23000000000011sgn sgn 2211sgn 1sgn 2ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω=+=++−+−−+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+−++−++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦V G G G G G G G G 又由于 ()()()00021sgn 0ωωωωωω>⎧⎪+−=⎨<⎪⎩则 ()()()()()0000ωωωωωωωωω=−−+++V G U G U 其图形如图所示5-20 解题过程：（1）系统输入信号为()δt 时，()()()0cos δωδ=t t t 所以虚框所示系统的冲激响应()h t 就是()i h t 即 ()()()()010sin 2ωπ−Ω−⎡⎤⎣⎦==⎡⎤⎣⎦−i t t h t H j t t F（2）输入信号与()0cos w t 在时域相乘之后()()()()()220200sin sin 1cos 2cos cos 2ωωωΩΩ+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦t t t e t t t t t 又由()ωi H j 的表达式可知0ωΩ 时，载波为02ω的频率成分被滤除 而且 ()0ϕωω=−t故 ()()()200sin 12⎡⎤Ω−=⎢⎥Ω−⎣⎦t t r t t t（3）输入信号()e t 与0cos ωt 在时域相乘之后()()()()220000sin sin 1cos sin cos sin 22ωωωωΩΩ⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦t t e t t t t t t t 0ωΩ 时，载波为02ω的频率成分被滤除故 ()0=r t（4）由于理想低通滤波器能够无失真的传输信号，只是时间上的搬移，故理想低通滤波器是线性时变系统；又 ()()=i h t h t 所以该系统是线性时变的。
信号与系统第五章答案
又 ， 。
所以 的最大频率是100 ， 的最大频率是200 ，所以 的最大频率是300 ，要无失真的恢复 ，则 s。
（2）对于冲击抽样，抽样信号的频谱:
，当 时，此时 rad/s
此时的幅度谱 如下图所示，无重叠发生。
5-3.解：
5-4.解： ，其最大抽样间隔为1/100s。
，其最大抽样间隔为1/750s。
由图可知 （ ），所以 。
5-11.解：A、B、C、D各点的频谱图形如下：
5-12．解：（1）其脉冲幅度调制信号波形图如下：
（2）
所以
其中 。
其频谱图如下所示：
5-13.解：在通过低通滤波器之前令
其中有三角公式 。
所以要是通过低通滤波器之后 。
则可确定 。
5-14解：由图可知
则 所以通过滤波器之后则：
5-15解：输出信号的频谱图如下：
5-16.证明：理想低通滤波器的冲击响应为 ，又 所以 。
若 ，则
设
因为
所以若 ，对于任意选取的T，总有 。
第五章
5-1.解：由于
（1）故信号 的最大频率 =150，所以最低抽样率= ，奈奎斯特间隔= 。
（2）信号 的最大频率 =100+150=250，所以最低抽样频率= ，奈奎斯特间隔= 。
（3）信号 的最大频率 =100，所以最低抽样频率= ，奈奎斯特间隔= 。
（4） ， ；所以故信号 的最大频率 =300，所以最低抽样ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= ，奈奎斯特间隔= 。
所以以1/400s的周期取样时，信号 在恢复原信号时不出现重叠。其各自抽样信号及其相应频谱如下：
5-5.解：（1）
（2）当 时，为了得到 ，则最大的 ，
信号与系统王明泉第五章习题解答
第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 学习要求（1）掌握时域抽样过程及时域抽样定理，会求已知信号的奈奎斯特频率； （2）深刻理解连续时间信号的内插恢复过程； （3）理解频域采样定理；（4）了解连续时间信号的离散处理过程。
5.2 本章重点（1）时域抽样定理及信号恢复的条件； （2）连续时间信号的内插恢复过程；5.3 本章的知识结构5.4 本章的内容摘要5.4.1 时域抽样定理所谓“时域抽样”就是利用抽样脉冲序列)(t p 从时域连续信号)(t f 中抽取一系列的离散样值，这种离散信号通常称为抽样信号，以)(t f s 表示。
时域抽样过程可以看作相乘过程，即抽样信号可用连续时间信号)(t f 与一开关函数)(t p （即抽样脉冲序列）相乘来表示，抽样以后的信号（即抽样信号）的表示式为：)()()(t p t f t f s（1）矩形脉冲序列的抽样如果抽样脉冲序列是周期为s T ，幅度为1，宽度为τ的矩形脉冲序列)(t p ，则它的频谱密度)(ωp 为：∑∞-∞=-=n snn a p )(2)(ωωδπω其中)2(22sinτωττωτωτs s s s s n n Sa T n n T a =⋅=，ss T πω2=设原连续时间信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，则根据频域卷积定理得到抽样信号)(t f s 的频谱为：)()2()](*)([21)(s s n ss n F n Sa T p F F ωωτωτωωπω-==∑∞-∞= （2）冲激序列抽样在抽样脉冲序列)(t p 中，当脉冲宽度τ很小时，抽样脉冲序列可以近似看成是周期为sT 的单位冲激序列，通常把这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
设单位冲激序列)(t T δ为： ∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ输入的连续时间信号为)(t f ，则抽样信号为：()()()()()s T s s n f t f t t f nT t nT δδ∞=-∞=⋅=⋅-∑设原输入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列)(t T δ的频谱密度)(ωδT 为：∑∞-∞=-=n s sT n T )(2)(ωωδπωδ 其中ss T πω2=则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-==n ssT s n F T F F )(1)](*)([21)(ωωωδωπω（3）时域抽样定理从前面可以看出,要想从抽样信号)(t f s 中恢复出被采样信号)(t f ，就要求能够从周期性延拓后的频谱中完整地分离出原信号的频谱，也就要求在频谱周期延拓过程中不发生频谱混迭现象，那么，如果被采样信号)(t f 是一频谱在),(m m ωω-以外为零的带限信号,则只要按照抽样频率m s ωω2≥或m s f f 2≥（其中s s T f 1=）进行等间隔抽样，抽样信号)(t f s 的频谱将不发生频谱混迭，从)(t f s 的频谱中就能完全地恢复原连续时间信号的)(t f 频谱，也可以说)(t f s 包含了原连续时间信号)(t f 的全部信息。
清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
2019/11/15
课件
22
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
2019/11/15
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23
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
2019/11/15
S 2
2
0 p1 t
H (s) 1 S
2019/11/15
h(t)u(t)
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5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
幅度该变
相位偏移
2019/11/15
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34
H(j0)H0ej0
H(j)H(j)ej(j)
若 0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
2019/11/15
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5.2.1 迭代法
由于系统的输出与过去的历史状态有关， 它们之间存在着迭代或递归的关系，所以 对差分方程的求解可以直接采用递推的办 法。
【例5.2.1】 已知一阶差分方程为 求该系统的单位响应 h[n] 。 解 为了求解单位响应 h[n] ，令输入激励 f [n] = δ [n] ， 则给定的差分方程变为 h[n] = ah[n − 1] + δ [n]
n
激励 f [n] = 2 , n ≥ 0 ，初始状态 y[− 1] = 0 y[− 2] = 2
1
试求系统的全响应。 解 （1）零输入响应 差分方程的特征根为 p1 = −1, p 2 = −2 ，其零输入 响应为 y zi [n] = A1 (− 1)n + A2 (− 2)n
1 将初始条件 y[− 1] = 0 y[− 2] = ，代入上式， 1 2 y[− 1] = y [− 1] = − A − A = 0
f [n] =
即序列 f [n]与单位序列 δ [n] 的卷积和就是序列本 身 f [n]。 根据此定义，式（5.2.2）也可以表示为
5.2 离散时间系统的时域分析
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 迭代法 经典解法 零输入响应和零状态响应 用卷积和求零状态响应
离散系统的时域分析是对描述系统的差分 方程或离散卷积和等时域数学模型的求解， 以达到分析离散系统时间特性的目的。一 般求解线性常系数差分方程方法有迭代法、 经典法，以及分别求零输入响应和零状态 响应等方法。
5.2.3 零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应将是零输入响应与零 状态响应之和，即 y[n] = y zi [n] + y zs [n] 利用求齐次解的方法求得零输入响应； 零状态响应可以利用经典的方法求得，也可以利 用卷积和来求出零状态响应。
【例5.2.2】 若描述某系统的差分方程为 y[n] + 3 y[n − 1] + 2 y[n − 2] = f [n]
k
m
（5.1.2） 差分方程式（5.1.1）称为前向形式的（或向左移 序的）差分方程。
【例5.1.2】 如图5.1.2是电阻梯形网络。图中 α为常数。各节点对地的电压为 u[k ] ，其中 k = 0,1,2, L , N 是各节点的序号，求任一节点电压应满足的差 分方程。
图5.1-2 电阻梯形网络
一个离散系统，如果具有零输入线性和零状态线 性，则称其为线性离散系统。否则成为非线性离 散系统。 如果系统的输入延时 k 0 ，其零状态响应也延 时 k 0，即当输入为 f [n − k 0 ] 时，系统的零状态响 应为 y zs [n − k 0 ]，则称该系统为时不变离散系统。 本书只讨论线性时不变离散系统。 响应不出现在激励之前的系统称为因果系统， 就是说，对于因果系统，若在 n < k 0 时，激励为零， n 时，该激励所引起的响应也必然等于 < k0 则在 零。
（2）特解 特解的函数形式与激励函数形式有关。 表5.2.1列出了几种典型的激励所对应的特 解。选定特解后，将它代入到原差分方程， Pi 求出其待定系数 ，就可得出方程的特解。
【例5.2.1】 若描述某离散系统的差分方程为
y[n] + 3 y[n − 1] + 2 y[n − 2] = f [n] 激励 f [n] = 2 n , n ≥ 0 ，初始条件 y[0] = 0, y[1] = 2
5.1.2 离散时间系统的描述
离散系统则以差分方程描述。描述线性时 不变离散系统的是常系数线性差分方程。 差分方程由未知序列 及其序数增加和 y 减少的移位序列… [n + 2], y[n + 1], y[n − 1], y[n − 2] ,，… 等，以及已知的序列 f [n] 所构成，有时还 包括 f [n] 的移位序列。
式中常数 ( =1,2,…..,)由初始条件确定.
2）特征根有重根 若 p1 是特征方程的r 重根，而其余 k − r 个根 是单根，则差分方程的齐次解为
y h [n] = ∑ Ai n
r i =1
r −i
p +
n 1
j = r +1
Aj p n ∑ j
k
式中各 Ai , A j 均有由初始条件确定。
3 3
1 A3 = − , A4 = 1 3
系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和
y[n] = y zi [n ] + y zs [n ] = 2 (− 1)n − (− 2)n + 1 (2)n , 3 3 n≥0
5.2.4 用卷积和求零状态响应
（1）卷积和 在连续时间系统中，利用卷积的方法求系统的零 状态响应时，首先把激励信号分解为一系列的冲 激函数，令每一冲激函数单独作用于系统求其冲 激响应，然后把这些响应叠加即可得到系统对此 激励信号的零状态响应，这个叠加的过程表现为 求卷积积分。
2 1 1 y[− 2] = y zi [− 2] = A1 + A2 = 4 2
zi 1 2
解得 A1 = 1, A2 = −2 ，则零输入响应为
y zi [n] = (− 1) − 2(− 2)
n n
（2）零状态响应 求零状态响应对应的非齐次的差分方程，它的 解是齐次解和特解之和，在【例5.2.1】中已求出 方程的特解为 y p [n] = 1 (2)n 3 所以零状态响应为
【例5.1.1】一质点沿水平方向作直线运动，其在 某一秒内所走过的距离等于前一秒所行距离的2倍， 试列出描述该质点行程的方程式。 解 令 y[n] 表示质点在第n秒末的行程，则根据题 意，有 y[n + 2] − y[n + 1] = 2[ y[n + 1] − y[n]] 即 y[n + 2] − 3 y[n + 1] + 2 y[n] = 0 上式中待求变量的序号（n + 2, n + 1, n）最多相差2， 称为二阶差分方程。
对于任意序列，可写为
f [n] =
f [n] = L + f [− 1]δ [n + 1] + f [0]δ [n] + f [1]δ [n − 1] + f [2]δ [n − 2] + L
即 (5.2.1) i = −∞ 因此系统对序列作用所引起的零状态响应 y zs [n] 为
y zs [n] = L + f [− 1]h[n + 1] + f [0]h[n] + f [1]h[n − 1] + f [2]h[n − 2] + L
即 当系统具有多个初始状态时，若其零输入响应既 是齐次的又是可加的，则称为零输入线性。当系 统具有多个输入时，若其零状态响应既是齐次的 又是可加的，则称为零状态线性。 y[n] = y zi [n] + y zs [n] 系统具有多个初始状态时，若其零输入响应既是 齐次的又是可加的，则称为零输入线性。当系统 具有多个输入时，若其零状态响应既是齐次的又 是可加的，则称为零状态线性。
3
将已知的初始条件代入上式，得
y[0] = A1 + A2 + 1 =0 3 2 y[1] = − A1 − 2 A2 + = 2 3
由以上两式可解得
2 A1 = 3
A2 = −1
2 (− 1)n − (− 2)n + 1 (2)n 3 3
将它们代入全解式中，得
y[n] =
此即为原差分方程的全解。一般差分方程的 齐次解又称为系统的自由响应，特解又称为系统 的强迫响应。
试求系统的全解。 解 首先求齐次解。齐次差分方程为
p2 + 3p + 2 = 0 其特征方程为 其特征根 p1 = −1, p 2 = −2 方程的齐次解为 n n y h [n] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
y[n] + 3 y[n − 1] + 2 y[n − 2] = 0
根据激励的形式，查表5.2.1，得方程的特解
或写作 ∑ ai y[n + i] = ∑ b j f [n + j ] （5.1.1） i =0 j =0 对于因果系统，式中 m ≤ k 。对于时不变系统， 各未知函数的系数均为常数。 后向形式的（或向右移序的）差分方程。
∑ a y[n − i] = ∑ b f [n − j ] 可写作
i =0 i j =0 j
y[n] = ay[n − 1] + f [n]
可依次迭代得
h[2] = ah[1] + δ [2] = a 2 L
h[0] = ah[− 1] + δ [0] = 1 h[1] = ah[0] + δ [1] = a
h[n] = ah[n − 1] + 0 = a n
由初始条件可得差分方程所描述系统的单位响应 是 h[n] = a n ε [n] 从原则上说，用迭代法可以求得任意阶系统的单 位响应，但对于二阶以上的系统，往往难于得到 解析式解答。
y p [n] = P(2 )
n
将它代入到原差分方程中，得 n n −1 n−2 n P (2 ) + 3P (2 ) + 2 P (2 ) = (2 )
(2)n ，求得 消去 1 n n y p [n ] = P(2 ) = (2 )
3
1解与特解相加，得方程的全解 1 n n n y[n ] = y h [n] + y p [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) + (2 )
信号与系统
第五章 离散时间系统的时域与 频域分析
5.1 离散时间系统 5.2 离散时间系统的时域分析
随着计算机技术的广泛应用和通信技术向数字化方向迅 速发展，要求传输和处理的离散信号日益增多，因此有 必要讨论离散时间信号和离散时间系统的分析方法。 在信号处理和离散系统的研究中，人们开始用数字信号 处理的观点来认识和分析各种问题。 在信号处理和离散系统的研究中，人们开始用一种新的 观点——数字信号处理的观点来认识和分析各种问题。