高中数学复数教案
高中数学复数的趣味性教案
高中数学复数的趣味性教案
目标：
1. 理解复数的概念及其表示方法
2. 掌握复数的加减乘除运算规则
3. 能够利用复数解决实际问题
4. 提高学生对数学的兴趣及求知欲
教学过程：
1. 导入环节：通过一个有趣的问题引发学生对复数的兴趣
问题：如果1不能开方，那么根号-1是多少呢？
2. 概念解释：介绍复数的定义及表示方法
复数是由实数和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，且i^2=-1。
3. 加减运算：让学生自己尝试计算一些复数的加减运算，强调需要注意实部和虚部的分开计算。
4. 乘除运算：讲解复数的乘法和除法规则，让学生通过练习理解并掌握。
5. 实际问题：给学生提供一些实际问题，让他们运用复数解决，例如使用复数表示阻抗、电路分析等问题。
6. 总结：总结复数的定义、运算规则和应用，并展示复数在现实中的重要性。
7. 拓展：引导学生思考更复杂的问题，如复数的幂运算、共轭复数等问题，开拓思维。
8. 课堂小结：强调复数的重要性和应用场景，鼓励学生多加练习，并提醒他们复习巩固所学内容。
课后作业：完成相关练习册上的练习题，巩固所学内容。
教学反思：通过引入趣味问题，激发学生兴趣，帮助他们更好地理解和掌握复数的相关知识。
同时，注重实际问题的应用，让学生了解数学的实际意义，提高学习积极性。
高中数学复数的概念教案
高中数学复数的概念教案
一、教学目标：
1. 了解复数的概念和表示方法；
2. 学习复数的加减法和乘法；
3. 掌握复数的共轭和模；
4. 能够解决与复数相关的数学问题。
二、教学重点：
1. 复数的定义和表示；
2. 复数的加减法和乘法；
3. 复数的共轭和模。
三、教学步骤：
1. 复数的引入
- 引导学生回顾实数的概念，介绍实数无法解决的问题；
- 引入复数的概念，说明复数可以解决实数无法解决的问题。
2. 复数的定义和表示
- 介绍复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，bi为虚部；- 解释复数的表示方法：直角坐标系、极坐标系和三角形式。
3. 复数的加减法和乘法
- 介绍复数的加减法规则：实部相加，虚部相加；
- 讲解复数的乘法规则：根据分配律进行计算。
4. 复数的共轭和模
- 介绍复数的共轭定义：实部不变，虚部变号；
- 讲解复数的模定义：绝对值表示复数的距离。
5. 示例分析和练习
- 给出一些具体的复数问题，引导学生进行解题分析；
- 可以让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
四、课堂总结：
- 总结本节课的内容，强调复数的重要性和实际应用；
- 鼓励学生积极思考，提出问题。
五、课后作业：
- 完成课后习题，巩固所学知识；
- 思考如何将复数应用到实际问题中。
六、教学反思：
本节课着重介绍了复数的概念和基本运算规则，通过引导学生进行实际问题的解决，使学生能够深入理解复数的含义和作用。
在今后的教学中，可以适当增加实际应用的案例，引导学生更好地理解和掌握复数的相关知识。
高中数学教案设计复数
高中数学教案设计复数
1. 了解复数的概念，掌握复数的表示方法；
2. 掌握复数的加法、减法、乘法、除法的运算规律；
3. 熟练运用复数进行计算，解决实际问题。
教学重点：
1. 复数的概念和表示方法；
2. 复数的加法、减法、乘法、除法的运算规律。
教学难点：
1. 复数的乘法和除法；
2. 利用复数解决实际问题。
教学准备：
1. 复数的相关教学素材和习题；
2. 复数的实际应用问题；
3. 复数的操作演示材料。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
老师简要介绍复数的概念，并通过一个简单的例子引入复数的概念和表示方法。
二、讲解复数表示法及运算规律（15分钟）
1. 讲解复数的表示法：a+bi；
2. 讲解复数的加法、减法规律；
3. 讲解复数的乘法、除法规律；
4. 给出几个例题进行讲解。
三、练习与巩固（20分钟）
1. 学生进行基础运算练习；
2. 学生互相交流解题经验，相互促进；
3. 完成一些复杂运算并检查答案。
四、应用与拓展（10分钟）
老师给出一些实际应用题，让学生通过复数的运算解决问题。
五、课堂小结（5分钟）
1. 整理本节课的重点和难点知识；
2. 引导学生总结本节课所学内容。
教学反馈：
布置一定量的作业，包括基础运算和实际应用题，让学生巩固学习成果。
下节课进行作业检查和相关知识拓展。
高中数学复数解读教案
高中数学复数解读教案主题：复数解读学科：数学年级：高中课时：1课时教学目标：1. 了解复数的定义及性质；2. 掌握复数的表示形式；3. 能够进行复数的运算；4. 能够应用复数解决实际问题。
教学重点：1. 复数的定义及性质；2. 复数的表示形式；3. 复数的加减乘除运算。
教学难点：1. 复数的乘除运算；2. 复数的应用问题解决。
教学准备：1. 复数的教学PPT；2. 复数的练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）教师通过引入一个实际问题来引起学生对复数的兴趣并引出本节课的主题。
二、复数的定义及性质（10分钟）1. 教师介绍复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b 为虚部，i为虚数单位，i^2=-1。
2. 教师讲解复数的性质：复数的加减乘除运算满足交换律、结合律和分配律。
三、复数的表示形式（10分钟）1. 教师示范如何将复数表示为a+bi的形式。
2. 学生跟随教师练习将给定的复数表示为a+bi的形式。
四、复数的运算（15分钟）1. 教师讲解复数的加减乘除运算规则，带领学生进行练习。
2. 学生进行练习，巩固复数的加减乘除运算。
五、应用问题解决（10分钟）1. 教师出示一个实际问题，让学生应用所学的复数知识解决问题。
2. 学生在教师的指导下，分组讨论解决问题的方法并展示解题过程。
六、总结与作业（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调复数的重要性及应用领域，并布置相关练习作业。
教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了复数的定义、性质和运算规则，能够应用所学知识解决实际问题。
同时，教师也发现学生在复数运算中存在一定的困难，需要在后续的教学中加强训练和巩固。
高中复数数学教案设计
高中复数数学教案设计一、教学目标：1. 理解复数的定义及表示形式。
2. 掌握复数的四则运算。
3. 了解复数在平面直角坐标系中的几何意义。
二、教学重点：1. 复数的定义及表示形式。
2. 复数的加减乘除运算。
3. 复数在平面直角坐标系中的几何意义。
三、教学难点：1. 理解复数的概念。
2. 复数乘法和除法的运算法则。
3. 复数在坐标系中的应用。
四、教学过程：1. 复数的引入：1.1 引导学生思考虚数单位i的定义及性质。
1.2 给出复数的定义，并引入复数的表示形式。
2. 复数的表示形式：2.1 给出一般形式a+bi和三角形式r(cosθ+isinθ)。
2.2 讲解复数的实部、虚部和共轭的概念及性质。
3. 复数的加减运算：3.1 通过实例讲解复数的加减法规则。
3.2 练习复数的加减法计算。
4. 复数的乘法运算：4.1 讲解复数的乘法法则。
4.2 练习复数的乘法计算。
5. 复数的除法运算：5.1 讲解复数的除法法则。
5.2 练习复数的除法计算。
6. 复数在坐标系中的应用：6.1 介绍复数在平面直角坐标系中的表示及意义。
6.2 讲解复数在平面几何问题中的应用。
7. 总结与作业：7.1 总结复数的定义、运算规则及应用。
7.2 布置练习作业，巩固复数的运算与应用。
五、教学手段：1. 多媒体教学。
2. 板书。
3. 练习题、作业。
六、教学反思：在教学中，要注重引导学生理解复数的概念和运算规则，注重培养学生的实际应用能力，引导学生在解决实际问题中灵活运用复数知识。
同时，要不断激发学生的学习兴趣，提高学生的学习主动性和参与性，促使学生形成良好的学习习惯和积极的学习态度。
高中复数数学教案设计模板
课时：2课时年级：高一年级教材：《人教版高中数学》第一章教学目标：1. 知识与技能：使学生理解复数的概念，掌握复数的运算（加、减、乘、除）。
2. 过程与方法：通过实际问题引入复数，引导学生自主探索复数的性质，培养合作学习和探究能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的科学态度和求真务实的精神。
教学重点：1. 复数的概念及其几何意义。
2. 复数的运算。
教学难点：1. 复数与实数的关系。
2. 复数运算的技巧。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 展示实际问题：如何表示一个具有方向和大小的量，如力、速度等？2. 引导学生回顾实数的性质，提出问题：实数能否表示这类量？3. 提出复数的概念，并介绍复数的表示方法。
二、新课讲授1. 复数的概念：介绍复数的定义、表示方法（a+bi形式）。
2. 复数的几何意义：展示复数在复平面上的表示，介绍实部和虚部的概念。
3. 复数与实数的关系：通过实例说明复数与实数的关系，引导学生理解实数是复数的特殊情况。
4. 复数的运算：a. 复数的加法：讲解复数加法的规则，通过实例演示加法运算。
b. 复数的减法：讲解复数减法的规则，通过实例演示减法运算。
c. 复数的乘法：讲解复数乘法的规则，通过实例演示乘法运算。
d. 复数的除法：讲解复数除法的规则，通过实例演示除法运算。
三、课堂练习1. 学生独立完成课本上的练习题，巩固复数的概念和运算。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 复数的概念、表示方法、几何意义。
2. 复数的运算（加、减、乘、除）。
五、布置作业1. 完成课本上的课后习题。
2. 选择一些实际问题，运用复数知识进行解决。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问：什么是复数？复数在几何上如何表示？2. 引导学生回顾复数的运算规则。
二、新课讲授1. 复数与几何图形的关系：介绍复数与圆、椭圆等几何图形的关系。
2. 复数的应用：展示复数在物理、工程、经济学等领域的应用实例。
高中数学必修4复数教案
高中数学必修4复数教案教学目标：1.了解复数的定义和性质。
2.掌握复数的加减乘除运算。
3.能够将函数用复数形式表示。
4.能够解决复数方程和不等式。
教学重点：复数的概念和运算。
教学难点：复数方程和不等式的解法。
教学方法：讲解结合实例演练。
教学过程：一、复数的定义和性质1. 复数的定义：复数是由实数和虚数单位（i）组成的数，一般表示为a+bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，且i²=-1。
2. 复数的性质：（1）复数的加减法：实部相加，虚部相加。
（2）复数的乘法：按照分配律和虚数单位i的平方等于-1，进行计算。
（3）复数的除法：利用共轭复数的概念，进行分子分母有理化。
二、复数的运算1. 复数的加减法：（1）例题展示：(3+2i)+(4-5i)=(3+4)+(2-5)i=7-3i（2）实例练习：计算(1+3i)-(2-4i)和(5-2i)+(7+3i)。
2. 复数的乘法：（1）例题展示：(1+2i)(3+4i)=1*3+1*4i+2i*3+2i*4i=3+4i+6i-8=3+10i-8=10+10i（2）实例练习：计算(2-3i)(-1+2i)和(1+i)(2-i)。
3. 复数的除法：（1）例题展示：(1+2i)/(1-i)=([(1+2i)(1+i)])/(1²-(-i)²)= (1-2+i(1+2))/(1+1)= 3+i （2）实例练习：计算(3+2i)/(1-i)和(5-4i)/(2+i)。
三、函数的复数形式表示1. 复数为函数的解：（1）函数f(x)=x²-4x+13=0的解是x=2±3i。
（2）函数f(x)=3x²+2x+7=0的解是x=-1±2i。
2. 应用实例：（1）已知函数f(x)=x²+4x+5，求函数的解。
（2）已知函数f(x)=2x²-3x+7，求函数的解。
四、复数方程和不等式1. 复数方程的解法：（1）例题展示：解方程2x²+5x+2=0。
教案数学高中复数
教案数学高中复数1. 理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 掌握复数的运算规则，包括加减乘除。
3. 能够利用复数进行解方程、画出复数在复平面上的表示。
教学重点：1. 复数的定义及表示法。
2. 复数的四则运算规则。
3. 复数在复平面上的表示。
教学难点：1. 复数的四则运算。
2. 复数在复平面上的表示。
教学准备：1. 复数的概念板书。
2. 复数的四则运算练习题目。
3. 复数对应的复平面图纸。
教学步骤：一、复数的定义和表示法（10分钟）1. 介绍复数的概念，解释实部和虚部的含义。
2. 讲解复数的表示方法，包括代数形式和三角形式。
二、复数的四则运算规则（20分钟）1. 讲解复数的加减法规则，提供实例进行讲解和练习。
2. 讲解复数的乘法规则，提供实例进行讲解和练习。
3. 讲解复数的除法规则，提供实例进行讲解和练习。
三、复数在复平面上的表示（15分钟）1. 讲解复数在复平面上的表示方法，包括实部、虚部和模的含义。
2. 讲解如何根据复数画出对应的复平面图形。
四、综合练习（15分钟）1. 给学生出一些综合运算的题目，让学生巩固复数的运算规则。
2. 让学生在复平面上画出所给复数的位置。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括复数的练习题和复数在复平面上的表示。
2. 提醒学生复习本节课的知识点。
教学反思：本节课主要是对高中数学中的复数进行讲解和练习，通过实例和练习让学生掌握复数的表示方法和运算规则。
同时，也让学生了解复数在复平面上的表示，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学过程中，要多与学生互动，引导学生积极思考和解决问题。
高中数学复数计算教案
高中数学复数计算教案
目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的加减乘除运算方法，并能够应用到数学问题中。
教学方式：讲解、示范、练习、讨论
教学内容：
1. 复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为$a+bi$，其中$a$为实部，
$b$为虚部，$i$为虚数单位，且$i^2=-1$。
2. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减。
3. 复数的乘法运算：将两个复数进行分配律展开，然后整理得到结果。
4. 复数的除法运算：将除数和被除数同时乘以共轭复数，再进行分式化简，得到最终结果。
教学步骤：
1.引入：简要介绍复数的定义和概念，以及复数的运算规则。
2.讲解：详细讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例演示每种运算的步骤。
3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，提高运算能力。
4.讨论：让学生互相交流讨论复数运算中的问题，加深理解。
5.总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点，留出时间给学生提出问题。
作业布置：布置相关的练习题，要求学生独立完成，下节课检查订正。
课堂总结：强调复数在数学中的应用，鼓励学生多加练习，掌握复数的计算方法。
教学反馈：在下节课开始前，对本节课教学效果进行反馈，根据学生反馈情况调整教学方法。
新人教版高中数学必修二复数全套教案
复数的概念【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？二、新知探究探究点1：复数的概念下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④解析：对于复数a＋b i（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．答案：D判断与复数有关的命题是否正确的方法（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 探究点2： 复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m2＋m －6m＋（m 2－2m ）i ：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？解：（1）当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．（2）当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．（3）当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0． 探究点3： 复数相等（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z 1＝－3－4i ，z 2＝（n 2－3m －1）＋（n 2－m －6）i （m ，n ∈R ），且z 1＝z 2，则m ＋n ＝（ ）A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0（2）若log 2（x 2－3x －2）＋ilog 2（x 2＋2x ＋1）>1，则实数x 的值是________． 解析：（1）由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A ．（2）因为log 2（x 2－3x －2）＋ilog 2（x 2＋2x ＋1）>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2． 【答案：（1）A （2）－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ．若忽略前提条件，则结论不能成立． 三、课堂总结1．复数的有关概念 （1）复数的定义形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． （2）复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． （3）复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i （b ∈R ）不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i （b ∈R ）才是纯虚数． 四、课堂检测1．若复数z ＝a i 2－b i （a ，b ∈R ）是纯虚数，则一定有（ ） A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B ．z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0． 2．若复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，则实数m 的值为（ ） A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D ．因为复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2．3．若复数z ＝（m ＋1）＋（m 2－9）i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎨⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3．答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝（x 2－2x －3）i （x ∈R ），则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3． 答案：3【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 二、新知探究探究点1：复数与复平面内的点已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R ．当复数z 在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）．（1）在实轴上； （2）在第三象限．解：（1）若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12．（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12． 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12． 互动探究：变条件：本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点（a 2－1，2a －1）在抛物线y 2＝4x 上，则有（2a －1）2＝4（a 2－1），即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54．利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可以用复平面内的点Z（a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据．（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．探究点2：复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ．求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．解：法一：由复数的几何意义得A （0，1），B （1，0），C （4，2），则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D的坐标为（3，3），所以点D 对应的复数为3＋3i ．法二：由已知得OA →＝（0，1），OB →＝（1，0），OC →＝（4，2），所以BA →＝（－1，1），BC →＝（3，2），所以BD →＝BA →＋BC →＝（2，3），所以OD →＝OB →＋BD →＝（3，3）， 即点D 对应的复数为3＋3i ．复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．探究点3： 复数的模（1）设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－1<a <1 B ．a <－1或a >1 C ．a >1D ．a >0（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是（ ）A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：（1）由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5（a ∈R ），所以－1<a <1． （2）由题意知（|z |－3）（|z |＋1）＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 答案：（1）A （2）A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解． 三、课堂总结1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ） ←――→一一对应平面向量OZ →．3．复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|4．共轭复数（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． （3）复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为（a ，b ），复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为（a ，－b ），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 四、课堂检测1．已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i （m ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－3，1）B ．（－1，3）C ．（1，＋∞）D ．（－∞，－3）解析：选A ．由题意得⎩⎨⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1．2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为（ ） A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D ．由题意可知，点A 的坐标为（－1，－2），则点B 的坐标为（－1，2），故向量OB→对应的复数为－1＋2i ． 3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________． 解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1．因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）．答案：（1，5）4．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为z 1与z 2互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝4． 答案：2 4复数的三角表示【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数z ＝a ＋b i 的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 二、基础知识1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． （2）复数0的辐角是任意的．（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 （1）z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． （2）z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 三、合作探究1．复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）3＋i ； （2）2－2i.【解】（1）r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.（2）r ＝2＋2＝2，cos θ＝22， 又因为2－2i 对应的点位于第四象限， 所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模． （2）决定辐角所在的象限． （3）根据象限求出辐角． （4）求出复数的三角形式．[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1）4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；（2）32(cos 60°＋isin 60°)；（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3.【解】（1）复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6＝4×32＋4×12i＝23＋2i.（2）32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋34i.（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．2．复数三角形式的乘、除运算计算：（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π；（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]； （3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.【解】（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i＝163＋16i.（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°) ＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i.（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.（1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍． 3．复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝3＋3i ，23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2． 四、课堂检测1．复数1－3i 的辐角的主值是( ) A ．53π B ．23π C ．56πD ．π3解析：选A ．因为1－3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π，所以1－3i 辐角的主值为53π.2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：93．arg(－2i)＝________．答案：32π 4．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π＝－1＋32＋3－12i.复数的四则运算【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2． 解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ． （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ， 所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数； （2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ． （2）因为CA→＝OA →－OC →， 所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ． 互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i ．复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 三、课堂总结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 （1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、课堂检测1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（ ） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ．2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ． （1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 二、新知探究探究点1： 复数的乘法运算（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（ ）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ）A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ． （2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ． （3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ．复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i ．探究点2： 复数的除法运算计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．探究点3： i 的运算性质（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1． （2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i（1）i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）． （2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i ．②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ． ③1i ＝－i ． 探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程． （1）x 2＋5＝0；（2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5， 又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5， 所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ． （2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0， 所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2， 所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ． 法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0）， 则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0， 所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2． 所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求解方法 （1）求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a．②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i2a ．（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋n i（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．三、课堂总结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．■名师点拨对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．四、课堂检测1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A．5B．3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。
高中数学复数计算教案人教版
高中数学复数计算教案人教版
1. 理解复数的概念和表示方法。
2. 掌握复数的加减乘除运算规则。
3. 应用复数进行实际问题求解。
教学重点：
1. 复数的表示形式。
2. 复数的加减乘除运算规则。
教学难点：
1. 复数的乘法和除法运算。
2. 复数的应用问题求解。
教具准备：黑板、彩色粉笔、教学课件、练习题。
教学步骤：
一、复数的引入
1. 复数的概念：对于方程x^2=-1在实数范围内无解，因此引入复数的概念。
复数是由实部和虚部构成的数字，一般表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式。
二、复数的运算
1. 复数的加减法规则：实部相加，虚部相加。
2. 复数的乘法规则：使用分配律展开乘法，i^2=-1的性质。
3. 复数的除法规则：分子分母同乘以复数的共轭形式。
三、复数的求解
1. 利用复数解方程。
2. 复数的应用问题求解。
四、综合练习
设计一些练习题，包括复数的加减乘除运算和实际问题求解。
五、课堂小结
1. 复习本节课的知识点。
2. 强调复数的重要性和应用价值。
教学反思：
本节课主要围绕复数的概念、运算规则和应用问题进行教学，通过理论知识的学习和实践操作的训练，提高学生对复数的理解和运用能力。
在教学过程中，要引导学生灵活运用复数的知识，积极参与实践操作和问题求解，达到理论联系实际的目的。
高中数学复数这节的教案
高中数学复数这节的教案【知识目标】1. 理解复数的概念和性质；2. 能够运用复数进行运算；3. 能够将复数表示为平面直角坐标系中的点；4. 能够在平面直角坐标系中表示复数运算结果。
【能力目标】1. 提高学生发散思维和抽象思维能力；2. 培养学生解决实际问题的能力；3. 提高学生数学表达能力和解决问题的方法。
【情感目标】1. 让学生认识到数学的美和奇妙之处；2. 培养学生艰苦钻研的品质和敢于探索未知的勇气；3. 注重培养学生的合作精神和团队合作能力。
【教学重点】1. 复数的基本概念；2. 复数的表示和运算；3. 复数平面坐标系中的应用。
【教学难点】1. 复数的概念和性质理解；2. 复数平面坐标系的应用和解决实际问题。
【教学过程】一、复数的引入（15分钟）1. 通过实例引入复数的概念，让学生感受到复数的奇妙之处。
二、复数的定义和性质（20分钟）1. 讲解复数的定义和性质，引导学生理解复数的加减乘除；2. 给学生一些简单的例题，让他们熟练掌握复数的运算规则。
三、复数的几何表示（20分钟）1. 阐述复数和平面直角坐标系的关系，引导学生将复数表示为平面直角坐标系中的点；2. 解释复数的几何表示和对应的几何运算规则。
四、综合运用（25分钟）1. 设计一些实际问题，让学生结合复数的概念和运算规则，解决问题；2. 引导学生探索更多复数的应用领域，培养他们解决实际问题的能力。
五、课堂总结（10分钟）1. 对本节课的重点知识进行回顾和总结；2. 引导学生发表自己的见解和思考。
【作业布置】1. 完成课堂练习题；2. 设计一个实际问题，并用复数解决；3. 阅读相关资料，扩大对复数的理解和应用领域。
【板书设计】1. 复数：a + bi；2. 复数运算规则；3. 复数的几何表示。
【教学反思】通过本节课的设计和实施，学生能够充分理解复数的概念和性质，掌握复数的基本运算规则，并能够在实际问题中灵活运用复数进行解决。
同时，通过课堂互动和合作学习，学生的主动性和创造性得到了有效发挥，教学效果得到了很好的提升。
高中的数学复数教案
高中的数学复数教案
教学目标：
1. 理解复数的定义与性质；
2. 掌握复数的运算规则；
3. 能够解决与复数相关的实际问题。
教学重点与难点：
1. 复数的定义与性质；
2. 复数的加减乘除运算规则；
3. 复数在平面直角坐标系中的表示与应用。
教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 复数相关的教学资料；
3. 板书工具。
教学步骤：
Step 1：导入
通过一个实际问题引入复数的概念，引发学生思考与讨论。
Step 2：复数的定义与性质
1. 引导学生理解复数的定义；
2. 讲解复数的实部、虚部与共轭复数的概念；
3. 通过实例演示复数在平面直角坐标系中的表示。
Step 3：复数的加减运算
1. 讲解复数的加减运算规则；
2. 通过例题演示复数的加减运算方法。
Step 4：复数的乘除运算
1. 讲解复数的乘法规则；
2. 讲解复数的除法规则；
3. 通过例题演示复数的乘除运算方法。
Step 5：综合运用
设计一些综合性题目，让学生灵活运用复数的运算规则，解决实际问题。
Step 6：小结与作业
对本节课的内容进行小结，并布置相关复习作业，巩固学生的知识。
教学反思与改进：
1. 结合实际案例，增加课堂趣味性；
2. 鼓励学生互动，提高学生的学习积极性；
3. 多维度评价学生学习情况，及时调整教学方法。
高中数学教案《复数》
教学设计：《复数》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解复数的概念，掌握复数的表示方法（代数形式和三角形式），学会复数的基本运算（加法、减法、乘法、除法及共轭复数）。
2.过程与方法：通过实例引入、小组讨论、师生互动等方式，培养学生抽象思维能力和问题解决能力，体会复数在解决实际问题中的应用。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神和团队合作精神，理解复数在数学史和现代科技中的重要性。
二、教学重点和难点●重点：复数的概念、表示方法及基本运算。
●难点：复数乘法的几何意义、共轭复数的应用及复数除法的运算法则。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●故事导入：讲述数学家欧拉在解决三次方程根时遇到负数开平方的情况，引出复数的历史背景。
●生活实例：展示电路中的电流与电压相位差，说明复数在描述交流电中的应用，激发学生兴趣。
●提出问题：引导学生思考如何用数学工具表示并解决这类问题，自然引出复数的概念。
2. 概念讲解与表示方法（10分钟）●定义讲解：清晰阐述复数的定义，包括实部、虚部及虚数单位i。
●表示方法：介绍复数的代数形式a+bi，并通过图形展示复数在复平面上的表示（点表示法）。
●三角形式：简要提及复数的三角形式re^(iθ)，为后续学习埋下伏笔。
3. 复数的基本运算（20分钟）●加法与减法：通过图示和例题，讲解复数加减法的几何意义及运算法则。
●乘法：重点讲解复数乘法的运算法则，利用分配律和i²=-1的性质，结合图形展示乘积在复平面上的旋转与伸缩效应。
●除法与共轭复数：介绍复数除法的计算方法，强调共轭复数在除法中的作用，通过实例演示除法过程。
4. 探究与讨论（10分钟）●小组讨论：分组探讨复数在物理、工程等领域的应用实例，每组选代表分享。
●问题解决：设置几道涉及复数基本运算的实际问题，鼓励学生合作解决，增强应用能力。
●教师总结：汇总讨论成果，强调复数概念及运算的核心要点。
5. 巩固练习与反馈（15分钟）●课堂练习：设计多层次练习题，包括基础运算、综合应用及开放性问题，确保每位学生都能参与。
高中数学复数计算教案设计
高中数学复数计算教案设计教学目标：1. 理解复数的概念，能够正确表示和读写复数；2. 掌握复数的加减乘除运算规则；3. 能够应用复数进行计算和解题。
教学重点：1. 复数的基本概念；2. 复数的加减乘除运算规则；3. 复数的实际应用。
教学难点：1. 复数的乘法和除法；2. 复数在解方程中的应用。
教学过程：一、复数的定义和表示（10分钟）1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部；2. 复数的表示：在复平面上表示复数，实部为x轴，虚部为y轴。
二、复数的运算规则（20分钟）1. 加减法规则：复数相加减，实部相加减，虚部相加减；2. 乘法规则：复数相乘，实部相乘减虚部相乘；3. 除法规则：复数相除，先将除数乘以共轭复数，再进行乘法运算。
三、复数的实际应用（20分钟）1. 解决一元二次方程：利用公式法求解一元二次方程；2. 解决几何问题：利用复数表示向量及其相关运算。
四、练习与检测（15分钟）1. 练习：设计一些加减乘除的练习题；2. 检测：出一些综合运用复数的应用题，检测学生的掌握程度。
五、总结与反思（5分钟）教学反思：查漏补缺，总结本节课的重难点内容；学生反思：总结掌握的知识点，思考学习方法和提高掌握程度的途径。
教学延伸：1. 复数的求模和辐角；2. 复数在电路分析中的应用。
教学资源：1. 复平面、宣纸和笔等教学工具；2. 复数计算练习题和应用题。
教学反馈：1. 教师会定期进行复习检测，查看学生的掌握程度；2. 学生可以提出问题和困惑，教师及时解答。
教学环节设计及时间分配：1. 复数的定义和表示：10分钟；2. 复数的加减乘除运算规则：20分钟；3. 复数的实际应用：20分钟；4. 练习与检测：15分钟；5. 总结与反思：5分钟。
注：本教案设计仅供参考，具体实施时，根据教师自身的教学情况和学生的实际需求进行适当调整和修改。
《复数的概念》示范课教学设计【高中数学教案】
《复数的概念》教学设计第1课时◆教学目标1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．◆教学重难点◆教学重点：理解复数的必要性，明白复数及其相关概念，掌握复数的几种类．教学难点：复数的分类及相关概念的辨析．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.预设的答案：（1）本章将要研究复数.（2）复数，一方面是解决人类生活生产实际问题的需要，另一方面也是解决数学自身发展所遇到矛盾的需要.（3）起点是“数”的认识过程，目标是通过研究复数，明确复数的概念，了解复数的运用.设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、问题导入问题2：类似=1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？师生活动：学生先回忆初中学过的有理数集、实数集等．【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似=－1的方程有解？师生活动：引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i 2= -1；（2）实数与i 可以进行加法和乘法运算：实数a 与数i 相加记为：a +i实数b 与数i 相乘记为：b i ，并规定0• i =0实数a 与 b i 相加记为：a +b i 引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的概念.（板书：复数的概念）【新知探究】1．分析实例，感知复数的概念，逐步分析出实数与 i 的四则运算．问题3：规定i 的平方等于1-，即2i 1=-，称i 为虚数单位．（1）你认为可以怎样表示2与的和？又该怎样表示3减去 ？（2）你认为5与的乘积可以怎样表示？预设的答案：（1）2,3i i +-；（2）5i追问：这些还表示实数吗？如何定义复数集，复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.） 预设的答案： 全体复数组成的集合叫做复数集，记作C ，记作(,)z a bi a R b R =+∈∈ ，其中 i 为虚数单位，a 实部； b 虚部．复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立．设计意图：感知复数的概念，分析出实数与 i 的四则运算2.在大量实例感知的基础上，总结出复数的概念．问题4：下列数32,2,6i i +-，分别有什么特点？预设的答案：32i +的实部是3，虚部是2；－2的实部是－2，虚部是0；6i 的实部是0，虚部是6.追问：根据实数a 和b 的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？师生活动：当且仅当 时，Z =a +b i 表示实数；当 时，Z =a +b i 叫做虚数；特别的，当 时，Z =a +b i 叫做纯虚数．预设的答案：0b = 0b ≠ 0,0a b =≠即：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题5：两个实数可以相等，两个复数可以相等吗？师生活动：两个复数12,z z ，如果实部与虚部都对应相等，我们就说着两个复数相等，记作12z z =．追问：两个复数可以比较大小吗？预设的答案：两个复数当且仅当都是实数时，可以比较大小．设计意图：进一步理解复数的概念【巩固练习】例1. (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是a ＝________，b ＝________.(3)下列命题正确的是__________(填序号)．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋2i 的充要条件是x ＝1，y ＝2；②若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2 i ，所以②为假命题；对于③，2 i ＝0＋2i ，其实部是0，所以③为真命题(2)由题意，得a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5.(3)①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式．因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．设计意图：通过类比理解复数的表示方法，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．例2. 已知m ∈R ，复数z ＝(2)1m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时． ①z 为实数？ ②z 为虚数？ ③z 为纯虚数？师生活动：依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．预设的答案：①要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.②要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，需满足(2)1m m m +-＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.设计意图：通过例题，进一步明确复数的分类，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．例3. (1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1) i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值． 师生活动：根据复数相等的充要条件求解．预设的答案：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝12.(2)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，a ＝11，或⎩⎨⎧ m ＝－52，a ＝－715，所以实数a 的值为a ＝11或－715. 设计意图：根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】问题：1．复数的概念是什么，如何分类的？2. 如何运用两复数相等的充要条件？3. 两个复数能比较大小的充要条件是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．设计意图：通过梳理本节课的内容，体会虚数引入的必要性，并让学生类比理解复数的表示方法，让学生经历虚数产生及复数表示过程，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 设计意图：巩固复数的概念．2．设i 为虚数单位，若2i 3i a b +=-，a ，b ∈R ，则a+bi =( )A ．23i +B ．32i -+C ．32i -D ．32i -- 设计意图：巩固运用复数相等的充要条件．3．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1) i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个复数不能比较大小．其中错误命题的序号是__________．设计意图：巩固纯虚数的概念．4．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9) i ＜0，则实数m ＝________.设计意图：巩固运用复数的分类．5．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. 设计意图：巩固运用复数的分类．参考答案：1． (1)× (2)√ (3)× (4)√2． B 【详解】由23ai b i +=-，a ，b ∈R ，得3a =-，2b =，则32a bi i +=-+.故选：B.3． ①②③ 当a ＝－1时，(a ＋1) i ＝0，故①错误；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2) i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这 一特殊情况，故③错．4．－3 ∵z ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1＜0，∴m ＝－3. 5．由m 2＋5 m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2 m －15＝0得m ＝5或m ＝－3.(1)当m 2－2 m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或m=－3.(2)当m 2－2 m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15＝0 ，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.。
复数的概念教案高中数学
复数的概念教案高中数学一、教学目标1.了解复数的定义和性质；2.掌握复数的加减乘除运算方法；3.能够将复数化成标准形式；4.能够解决与复数相关的实际问题。
二、教学重点和难点1.掌握复数的基本概念和运算法则；2.理解复数的乘法和除法规则；3.解决与复数相关的问题。
三、教学内容1.复数的定义和形式；2.复数的加减法规则；3.复数的乘法和除法规则；4.复数的实际应用。
四、教学过程（一）复数的定义和形式1.复数的定义：形如a+bi(a,b为实数，i为虚数单位)的数称为复数。
2.实部和虚部：复数a+bi中的a称为实部，bi称为虚部。
3.复数的表示方式：a+bi表示复数的通用形式，也可以使用复平面来表示复数。
（二）复数的加减法规则1.同类项相加减：将实部相加减，虚部相加减。
2.举例：(3+2i)+(1-4i)=4-2i，(5-3i)-(2+4i)=3-7i。
（三）复数的乘法和除法规则1.复数的乘法：按照分配律，进行实部和虚部的运算，最终化成标准形式。
2.复数的除法：乘以共轭复数，分母合并虚部并化简。
3.举例：(3+2i)(1-4i)=11-10i，(3+2i)/(1-4i)=(-5/17)+(10/17)i。
（四）复数的实际应用1.解决实际问题：如电路中的交流电流计算等。
2.举例：已知复数(3+4i)(2-i)，求该复数的平方根。
五、教学反馈1.作业批改：检查学生课后练习的答案。
2.提问讨论：与学生互动讨论复数运算中的问题。
3.小组讨论：让学生分组讨论并分享解决复数问题的方法。
六、教学总结1.复数是数学中的一种扩展概念，用于解决实际问题；2.学会了复数的基本定义和运算规则，能够灵活运用；3.复数是数学领域的重要概念，需要不断巩固和实践。
以上就是本次教学内容，希望同学们能够认真学习，掌握复数的相关知识。
如果对复数还有疑问，欢迎随时提问。
谢谢！。
高中的数学复数教案设计
高中的数学复数教案设计
目标：学生能够理解复数的概念、运算法则和应用，能够熟练进行复数的加减乘除运算。
材料：白板、彩色粉笔、复数相关的练习题和实例。
活动：
1.引入复数的概念（10分钟）
-通过示意图和实例引入复数的概念，让学生了解复数的定义和表示形式。
2.复数的加减法（15分钟）
-讲解复数的加减法规则，例如(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，通过实例练习让学生掌握
这些规则。
3.复数的乘法（15分钟）
-讲解复数的乘法规则，例如(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，通过实例练习加深学生
对复数乘法的理解。
4.复数的除法（15分钟）
-讲解复数的除法规则，例如(a+bi) ÷ (c+di) = ((ac+bd)/(c^2+d^2)) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i，通过实例练习让学生掌握复数的除法方法。
5.综合练习（15分钟）
-布置一些综合练习题，包括复数的加减乘除运算，让学生巩固所学知识。
6.复习和总结（10分钟）
-回顾本节课的内容，让学生总结复数的概念、运算法则和应用。
扩展活动：
-可以让学生通过编程语言或几何图形来探讨复数的应用，比如复数在电路分析、频域分
析和几何变换中的作用。
评估方法：
-通过课堂练习、作业和小测验来评估学生对复数的理解和掌握程度。
备注：本教案设计可根据具体情况和学生水平进行调整和修改。
复数的有关概念高中数学教案
复数的有关概念高中数学教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握复数的运算规则，提高学生的数学运算能力。
二、教学内容1. 复数的概念：引入复数的概念，解释实数和虚数的概念。
2. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。
4. 复数的几何意义：介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。
5. 复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念、表示方法、运算规则和几何意义。
2. 难点：复数的运算规则和几何意义。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的有关概念和运算规则。
2. 利用图形和实例，直观地展示复数的几何意义。
3. 引导学生运用复数解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 组织课堂讨论，让学生提问、交流和分享。
五、教学准备1. 教案、教材、多媒体教学设备。
2. 复数的相关图形和实例。
3. 练习题和课后作业。
六、教学过程1. 导入：通过复习实数的概念，引导学生自然过渡到复数的概念。
2. 新课导入：讲解复数的概念，解释实数和虚数的概念。
3. 案例分析：分析一些实际的例子，让学生更好地理解复数的概念。
4. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。
5. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数表示的练习题。
七、复数的运算规则1. 讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。
2. 利用具体例子，让学生理解和掌握复数的运算规则。
3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数运算的练习题。
八、复数的几何意义1. 介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。
2. 利用图形，直观地展示复数的几何意义。
3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数几何意义的练习题。
九、复数的应用1. 举例说明复数在实际问题中的应用，如信号处理、控制系统等。
高中人教数学复数教案设计
高中人教数学复数教案设计
1. 理解复数的定义和性质，掌握复数的运算法则。
2. 能够灵活运用复数解决实际问题。
教学重点：
1. 复数的加减法。
2. 复数的乘法。
3. 复数的除法。
教学难点：
1. 复数的乘法和除法的运算法则。
2. 复数与实数的混合运算。
教学过程：
一、复数的定义和性质（10分钟）
1. 复数的定义：复数可表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为单位虚数单位。
2. 复数的性质：虚数单位i满足i²=-1。
二、复数的加减法（15分钟）
1. 同类项相加减的原则。
2. 实部和虚部分别相加减。
三、复数的乘法（20分钟）
1. 复数乘法的运算法则。
2. 复数乘法的几何意义。
四、复数的除法（20分钟）
1. 复数除法的运算法则。
2. 复数除法的示例讲解。
五、综合练习（15分钟）
1. 给出一些综合性的复数计算题目，让学生应用所学知识解决问题。
2. 学生在黑板上展示解题过程，进行讲解和订正。
六、学生作业（5分钟）
1. 布置相关练习题，巩固学生对复数的理解和应用。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握复数的定义和性质，理解复数的加减法、乘法、除法的运算法则，并能够运用复数解决实际问题。
在教学过程中，教师要注意引导学生理解复数的几何意义，注重培养学生的数学素养和解决问题的能力。
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高中数学复数教案
教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，
掌握数集之间的从属关系；（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和
复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数
学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ．
以及复数的运算法则
教学过程：一、复习提问：
1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课
1．复数的实部和虚部：
复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部
2．复数相等
如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数
复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．
复数可用点来表示．其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
原点只在实轴x上，不在虚轴上．
4．复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．
5．共轭复数
(1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（虚部不为零也叫做互为共轭复数）
（2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．
6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。
小结：
1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部；
（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义；
（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：
3复数的四则运算的规律和方法。