_解三角形应用举例课堂使用
解三角形应用举例
1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B
BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)
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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
冀教版九年级数学上册《解直角三角形的应用》PPT精品教学课件
α=30°，AD＝120，所以利用解直角
三角形的知识求出BD；类似地可以求
出CD，进而求出BC．
随堂练习
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
∵ tan =
, tan =
3
40 3
3
CD AD tan 120 tan 60 120 3 120 3
随堂练习
1.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的
位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度
9.5
约为______m.（精确到0.1
m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
BD AD tanα 120 tan 30 120
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m.
解直角三角形的
26.4
应用
第2课时
知识回顾
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)；
B
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：sin A
a
b
a
, cos A , tan A .
c
c
b
c
a
A
b
C
情景导入
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
B
A
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
1.2解直角三角形应用举例3课件人教新课标B版
1
1
=3+4 ( 6 + 2)2 +2× 3 × 2 ( 6 + 2)×4 ( 6 − 2)=5+2 3.
∴AB= 5 + 2 3≈2.91(km).
∴炮兵阵地与目标的距离约为 2.91 km.
答案:2.91 km
课前篇
自主预习
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打
探究四
当堂检测
解:依题意画图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40 m,
此时∠DBF=45°,
在△BCD 中,CD=40 m,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理得, sin∠ =
40sin30°
,
sin∠
∴BD= sin135° =20 2(m).
在△BCD 中,作 BE⊥DC 于点 E.
探究四
当堂检测
测量距离问题
【例1】 如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3
km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,
∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
思路分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中找关
(1)在直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有,
①锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
②三边之间的关系:a2+b2=c2 .
③边角之间的关系:(锐角三角函数的定义)
sin A=cos B= ,cos A=sin B= ,tan A=.
高中数学教学课例《解三角形的应用(高三复习课)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
线，三角形外角和问题，在两个三角形中，两两使用正
弦定理、余弦定理。
在关注学生发展核心素养的今天，对于教师而言，
课例研究综 这无疑是个巨大挑战，挑战源于教师要从“学科教学”
述
转向“学科教育”，从“知识核心时代”走向“核心素
养时代”，提升数学课堂的思维含量，构建“让学生爱
思考、会思考、享受思考”的情境教学课堂，为发展学 生的心智而教，这是必然要求，更是我们努力的方向。 本节课以高考试题为背景，通过师生互动，发现问题， 寻找解决问题的方法，我在编写三个题，让学生突破、 提升。1.在中，角的对边分别为，已知
高中数学教学课例《解三角形的应用（高三复习课）》教学 设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《解三角形的应用（高三复习课）》
称
解三角形的应用是高考考查的重点内容，主要考查 教材分析
正弦定理、余弦定理的应用。
掌握正弦定理、余弦定理，能运用正弦定理、余弦
教学目标 定理解三角形的相关问题。教学难点：利用正弦定理、
(1)求的值；（2）若,求面积的最大值. 2.如图中，已知点在边上，且，，， （1）求的长； （2）求 3.已知中，是边上的中线，且。 （1）求；（2）若，求的长。
余弦定理，结合三角恒等变换，均值不等式求解。
熟练使用正弦定理、余弦定理解三角形是学生必须
掌握的，对于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单的问题，求角、求边，求面积，一般
学生学习能 的学生都会，但是把它综合在三角形中，涉及到三角形
力分析 的角平分线，中线，三角形外角和的应用，学生感到比
较棘手。本内容的复习采用师生互动、自主学习的研究
教学过程
用多媒体出示近三年高考解三角形的试题，：
新教材北师大版第2章613第2课时解三角形的实际应用举例课件(43张)
＝105°，则 A，B 两点间的距离为
(C )
A．252 2 m C．50 2 m
B．25 2 m D．50 3 m
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第二章 平面向量及其应用
术语名称
术语意义
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向 到目标方向线之间的夹角叫作方位 角，方位角 θ 的范围是 0°≤θ＜360°.
数学（必修·第二册 BSD）
图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成 的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
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第二章 平面向量及其应用
由正弦定理得 sin
∠BCBDC＝sin
CD ∠CBD.
∴BC＝CDsinsin∠∠CBBDDC＝sisn·sαin＋ββ.
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ss·sininαβ＋tanβθ.
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第二章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册 BSD）
[归纳提升] 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问 题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角 形，仔细规划解题思路．
3 a
( A)
C．
3 2a
D． 6a
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第二章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册 BSD）
[解析] (1)∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理，得siAnBC＝sAinCB， ∴AB＝ACsisninBC＝60s×insi6n0°45°＝20 6 (m)． (2)在△BCD 中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程 一、复习引入1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === 2、余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=二、例题讲解引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。
解：060=A 075=B ∴045=C由正弦定理知0045sin 1060sin =BC6545sin 60sin 1000==⇒BC 海里750600CBA例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长(保留三个有效数字)．分析：这个问题就是在ABC ∆中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m ，求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。
解：由余弦定理，得答：顶杠BC 长约为1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：距离问题(59页)
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
∵DC＝6，∠DBC＝15° ，∠BCD＝120° ， CD· sin120° ∴BD＝ sin15° ＝3 6 ( 3 ＋1)，AB＝BDcos45° ＝ 3 3( 3＋1)． ∴步行速度＝3 3( 3＋1)≈14.2 (m/min)．
系列丛书
2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
提示：如图，依题设条件，△BCD中已具备解三角形 的条件．由∠DBC＝45° －30° ＝15° ，CD＝6，∠BCD＝90° ＋30° ＝120° 可解得BD.从而解出AB，计算出速度．
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
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第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
[解]
根据正弦定理得
AB AC ＝ ， sin∠ACB sin∠ABC ACsin∠ACB 8sin45° ∴AB＝ ＝ sin∠ABC sin180° －30° －45° ＝ 4 2 ＝8( 3－1) (m) 6＋ 2 4
高中数学必修5《解三角形应用举例》教案(4)
《解三角形应用举例》教案（4）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力4．让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验.教学重点难点1．重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2．难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教法与学法1．教法选择：教学形式采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作交流得出转化问题方法.2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流 3AB AC ⋅=．（II ）若b c +=，253AB AC ⋅=cos 3,A =bc ∴1sin 2bc A ==）对于5bc =，又5,1b c∴==或1,5b c==，由余弦定理得2222cos20a b c bc A=+-=，25a∴=四、归纳小结，课堂延展教学环节教学过程设计意图师生活动归纳小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.回顾解斜三角形的一般题型，便于学生在复习中更深入的思考,更广泛的研究解三角形.由学生谈体会，师生共同归纳总结.巩固创新课堂延展1 .△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：A2．某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)答案：当AB分别在OA、OB上离O点既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.学生课下通过练习，巩固正余弦定理的理解.1．教材地位分析解三角形应用举例(4)是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，是在学习了测量距离、高度、角度问题后，有了解三角形方法的初步体验，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在计算三角形面积、判断三角形形状、证明恒等式中的应用.本节课是解三角形应用举例第四阶段，为前面学习测量距离、高度、角度问题做了总结，是前面问题的进一步深化.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理应用范围、应注意的问题缺乏清晰的概念.因此，本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型.另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点.。
28.2.2解直角三角形应用举例(教案)
（1）在直角三角形中，已知一个锐角和一条直角边，求另一条直角边和另一个锐角。
（2）在直角三角形中，已知两条直角边，求锐角。
（3）运用解直角三角形的方法，解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过解直角三角形的练习，让学生掌握逻辑推理的方法，能够从已知条件出发，逐步推导出未知角度和边长。
2.学生在将实际问题转化为数学模型方面的能力。在实践活动和小组讨论中，部分学生对于如何将实际问题抽象为直角三角形模型感到困惑。为了提高学生的这一能力，我计划在后续教学中加入更多实际情境的案例分析，引导学生学会从问题中提取关键信息，构建数学模型。
3.课堂互动的充分性。在今天的课堂上，我尽量让每个学生都能参与到课堂讨论和实践中，但仍有部分学生显得较为沉默。为了提高课堂互动的充分性，我将在今后的教学中更加关注这些学生，鼓励他们积极参与，表达自己的观点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解解直角三角形的基本概念。解直角三角形是指通过已知条件求解直角三角形中未知角度或边长的方法。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于现实生活中的测量问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用解直角三角形的方法测量建筑物的高度。通过这个案例，大家可以看到解直角三角形在实际中的应用。
2.提高学生的几何直观能力：通过观察和分析直角三角形的图形，让学生能够直观地理解直角三角形的性质，并运用这些性质解决问题。
3.增强学生的应用意识：结合实际生活中的例子，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的意识，提高学生的数学应用能力。
解三角形之解三角形的应用
解三角形之解三角形的应用咱们在数学的世界里遨游，解三角形这部分那可是相当有趣又实用！先来说说为啥要学解三角形。
想象一下，你站在操场上，想要知道远处的旗杆有多高，可是又不能直接去量，这时候解三角形就派上用场啦！比如说，有一次我和朋友去公园玩，看到一个高高的瞭望塔。
朋友好奇地问我：“这塔到底有多高呀？”我灵机一动，想到了刚学的解三角形知识。
我开始观察，先测量出自己与塔底部的距离，然后又找了一个合适的角度，测了测仰角。
接着，运用解三角形的公式，一番计算之后，成功算出了瞭望塔的高度。
朋友那崇拜的眼神，让我心里美滋滋的。
解三角形在实际生活中的应用那可多了去了。
像测量山的高度、河的宽度，甚至是建筑工人在盖房子的时候，也得用解三角形来确保房屋的结构稳定和角度准确。
再比如，航海的时候，船员们要通过观测星星的角度，运用解三角形来确定船只的位置和航向。
要是没有这本事，船在茫茫大海上可就容易迷失方向啦。
还有啊，工程师在设计桥梁的时候，也得用解三角形来计算桥梁的承重和结构角度，保证桥梁既坚固又安全。
想象一下，一座歪歪扭扭的桥，谁敢走上去呀！在地理学科中，解三角形也能帮忙。
测量山峰的海拔、计算两个地点之间的距离，都离不开它。
在物理学中，解三角形同样重要。
比如计算力的分解、研究物体的运动轨迹，都需要用到解三角形的知识。
回到咱们的数学课堂，解三角形的题目有时候看起来挺复杂，但是只要掌握了基本的定理和公式，就像有了一把万能钥匙。
比如说正弦定理、余弦定理，那可都是解题的好帮手。
做题的时候，千万别着急，要仔细分析题目中的条件，找到对应的边和角。
有时候一个小角度的变化，就能让整个题目变得完全不同。
总的来说，解三角形就像是我们在数学世界里的一把神奇工具，能帮助我们解决好多实际问题。
学会了解三角形，就像是拥有了超能力，能让我们在生活中变得更加聪明和厉害！所以，同学们，加油吧，好好掌握这门神奇的知识，让它为我们的生活带来更多的便利和惊喜！。
解三角形的实际应用举例教案
1．3．3解三角形应用举例(第三课时)教学目标：（a）知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题（b）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．（c）情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题学法：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．教学设想：1、设置情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题．2、新课讲授例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67．5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32︒的方向航行54．0 n mile后达到海岛C．如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0．1︒，距离精确到0．01n mile)学生看图思考讲述解题思路；教师根据学生回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB ．解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理， AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722≈113．15根据正弦定理，CAB BC ∠sin = ABC AC ∠sin ； sin ∠CAB = AC ABCBC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0．3255， 所以 ∠CAB =19．0︒， 75︒- ∠CAB =56．0︒答：此船应该沿北偏东56．1︒的方向航行，需要航行113．15n mile例2、在某点B 处测得建筑物AE的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．师：请大家根据题意画出方位图．生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评．解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中， AC=BC=30，AD=DC=103， ∠ADC =180︒-4θ， ∴θ2sin 310=)4180sin(30θ-︒ ． 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ ∴ cos2θ=23，得 2θ=30︒ ∴θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h在 Rt ∆ACE 中，(103+ x)2 + h 2=302在 Rt ∆ADE 中，x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53，h=15∴在 Rt ∆ACE 中，tan2θ=x h+310=33 ∴2θ=30︒，θ=15︒ 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得∠BAC=θ， ∠CAD=2θ，AC = BC =30m ， AD = CD =103m在Rt ∆ACE 中，sin2θ=30x ① 在Rt ∆ADE 中，sin4θ=3104， ② ②÷① 得 cos2θ=23，2θ=30︒，θ=15︒，AE=ADsin60︒=15 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量．解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x ， AB=14x ，AC=9，∠ACB=︒75+︒45=︒120∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23，或x=-169(舍去) 所以BC = 10x =15，AB =14x =21，又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒，或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去）， ∴3831'︒+︒45=8331'︒答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1．4小时才追赶上该走私船． 评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解3、归纳总结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．作业：1、我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）提示：归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其余角的问题． 解：如图，在∆ABC 中由余弦定理得：BC 2=AC 2+ AB 2-2⨯AB ⨯AC ⨯ cos ∠BAC= 202+ 122-2⨯12⨯20⨯ (-21) =784∴ BC=28∴我舰的追击速度为14n mile/h 又在∆ABC 中由正弦定理得：B AC sin = A BC sin ， 故 sinB = BC A AC sin = 1435 ∴ B = arcsin 1435 答：我舰的追击速度为14n mile/h ，航行方向为北偏东（︒50-arcsin 1435）。
人教A版高中数学必修五1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例—距离问题 教学能手示范课
AB ＝ AC sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75
55sin 75 65.7(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：顶杆BC约长1.89m。
A
最大角度
C B
课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立 一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
1.A B C 180
a sin
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
答：A,B两点间的距离为65.7米。
B
A
D
C
例2、 如 图, A, B两 点 都 在 河 的 对 岸(不 可 到
23解三角形的实际应用举例
(2)假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时， 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使 得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：(1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里，则
s＝ 900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°
B A
D
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这 一岸的一点C到对岸两点的间隔 ，再测出 ∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计 算出A、B两点间的间隔 。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
又 t＝23时，v＝30. 故 v＝30 时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方 案如下： 航行方向为北偏东 30°，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最 短时间与轮船相遇．
解决有关三角形应用性问题的思路、 步骤和方法
解斜三角形应用题的一般步骤是：
， ， C D a,测 角 仪 器 的 高 是 h .
在ACD中 ， AC=sin a(sin),
AB=AE+h =AC sin +h = a sin sin h. sin( )
应用二：测量高度问题
〔2〕底部可以到达
例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54040', 在塔底
B
A
C
分析：所求的边AB的对角是的,又知三角形的一边 AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,
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③两点都不能到达
二、练习
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 1. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
2.在△ABC中,设角A ,B,C的对应边分别为a,b,c且 cos C 3a c 2 2 cos B b 3 (1)求sinB的值; (2)若b= 4 2 且a=c,求△ABC的面积 8 2
5 3 sin 38 14
0
45
75
解：设巡逻船沿AB方向经过x小时后在B处 追上走私船，则CB 10 x, AB 14 x, AC 9 0 0 0 ACB 75 45 120 由余弦定理得AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos1200
B
取某一点C , 测量得出 AC, BC距离为b, a以及 角C为，则
由余弦定理得：
A
a
b
C
AB a b 2abcos
2 2
变式2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速 行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A 点到B点用了t秒，请你设计方案求 B 汽车的速度？
A
C
分析：用例1的方法，可以计算出AC,BC的 距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦 定理可以计算出A、B两点间的距离。
在RT ACE中，AE AC sin
a sin sin sin
AB AE BE
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？
视 线 N
仰角
水平线方Biblioteka 角 60度目标方向线可视目标B 视点A 视角 可视目标C
俯角
视 线
B A
C
例1：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和 钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？
通过测量得：AC 50m, A 750 , C 600 , 求AB的距离
变式1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的 距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
测量问题之一： 水平距离的测量
①两点间不能到达，又不能相 互看到。(如图1所示)
图1
需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求 得AB的长。 ②两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示)
需要测量BC的长、角B和角C的 大小，由三角形的内角和，求 出角A然后由正弦定理，可求边 AB的长。
BAC 38
0
答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上 该走私船.
2
小结 解应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，画出示意图
2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序 地解这些三角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义， 从而得出实际问题的解。
例2、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点设计一种测量建筑 . 物高度AB的方法.
A
D H C
G
E
B
在ACD中，ADC , DAC
CD a
CD AC 由正弦定理 D sin sin
A
C H G
E B
a sin AC sin
解：在岸边选定一点D，测得CD=200,并且在C、D两点分别测得 ∠ADC=105°, ∠BCD=120°, ∠ACD=30°, ∠BDC=15°.在 ⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得 B
200sin105 AC sin 180 (105 30 ) 100
3 1
A
C
200sin15 BC 100 sin 180 (120 15 )
3 1
D
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos ACB 200 2 AB 所以，汽车的速度v t
1.2 解三角形应用举例
距离 高度 角度
学习目标
• 利用正余弦定理解决实际问题---距离、高 度、角度 • 能将实际问题数学化；
新知学习
经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。 是根据测角原理设计的。目前最常用 的是光学经纬仪。
光学经纬仪
钢卷尺
几个概念：
• • • •
新知学习
仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角： 视角：视点与两个可视目标形成的角。
3 3
,求 a＋b 的值。
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 2. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 1. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 2. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7 ,且△ABC 的面积为 2
即(14 x) 9 (10 x) 2 9 10 x cos120
2 2 2
2
0
3 9 化简得： x 30 x 27 0, 解得x 或x (舍去) 32 2 16
CB 15, AB 21
CB sin 1200 5 3 sin BAC AB 14