第五章 质点的角动量 角动量守恒定1

第五章 质点的角动量 角动量守恒定理

§5-1 质点的角动量 角动量定理

一 质点的角动量

我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有

用的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量而v 是质心的速度。在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为角动量。下面就单个质点这一特殊情况来定义角动量，以后推广到质点系统。 假设 有一质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置矢量为r 如图()15-所示

图 ()15-

定义这个质点对原点0的角动量为

v r p r L m ⨯=⨯= （5-1）

讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置矢量

2）其大小 θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹角，它的方向垂直与r 与p 所组成的平面，并由右手螺旋法则确定,见图（5-1）

3） 我们也可将L 的大小表示为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故角动量也可称为动量矩。

4）应当指出，质点的角动量与位置矢量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。

5） 在国际单位制中，角动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·

s

m 2

，也可表示

为J ·s

二质点的角动量定理

质点在运动时导致角动量L 随时间变化的根本原因是什么？

由 v r L m ⨯= 对其两边微分

则 (r L dt d dt d =×)v m =dt

d r

×r v +m ×

()dt m d v 其中 dt

d r

=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d

得 r L

=dt

d ×F （5-2）

即：质点m 对参考点o 的角动量随时间变化率dt

d L

等于位置矢量r 和质点所受的合外力F 的

矢量积。

定义：力F 对于参考点o 的力矩,M 为从参考点o 到力的作用点A 的矢量r 和F 的矢量积，即

r M =×F （5-3）

由此定义可知，力矩是一个矢量，其大小Fd Fr M ==θsin 方向垂直于r 、F 所决定的平面，由右手螺旋法则确定。

图（5-2）

由图（5-2）可以看出，力矩的方向和F 与r 的夹角有关即其中的θ角需要小于π。 由上述定义可知：质点m 对给定参考点o 的角动量变化率

r L

=dt

d ×M F = （5-4） M ：质点所受的外力矩 F ：质点所受的合外力

（5-4）称为质点的角动量定理的微分形式，如果各分力与o 点共面，力矩只存在正、反两个方向。可设定顺时针为正向，用代数的方法求质点的合力矩。

质点的角动量定理也可用积分形式来表示 由

M L

=dt

d ， dt d M L = ⎰

=

t

t dt 0

M ⎰

L

L L 0

d =0L L - （5-5）

讨论 1）

⎰t

t dt 0

M 称为冲量矩, 0L

L -为角动量的增量

2）当 0=M 时，有00=-L L 即 o L L =

物理意义：当质点不受力矩或合力矩等于零（向心力），质点的角动量前后不变。

例5-1 地球绕太阳的运动可以近似地看作为匀速圆周运动，求 地球对太阳中心的角动量。

解 已知从太阳中心到地球的距离m r 11

105.1⨯=，地球的公转速度s m

v 4100.3⨯=，而

地球的质量为kg m 24

100.6⨯=。代入（5-1），即可的地球对于太阳中心的角动量的大小为

)(107.22

sin 100.3105.1100.6sin 2

4041124s m kg mvr L ∙⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==π

θ

例5-2 单摆的角动量大小为mvr L =，v 为变量。在0=t 时从水平位置静止释放，求单摆至垂直位置时，此过程单摆所受的冲量矩大小？ 解 初角动量大小为

000==r mv L ；时刻t 下摆至垂直位置，角动量大小为⊥⊥=mv L r 。则此过程单摆所受的

冲量矩大小等于gr mr r mv L L 20==-⊥。

例5-3 根据玻尔假设，氢原子内电子围绕核运动的角动量只可能是π2h 的整数倍，其中h

是普朗克常数，它的大小为s

m kg 234

10

03.6⋅

⨯-。已知电子圆形轨道的最小半径

m r 1010529.0-⨯=，求在此轨道上电子运动的频率ν。

解 由于是最小半径，所以有

πυπ222h

mr mvr L ===

于是

)(1059.6)

10529.0(101.941003.6415

10

3123422Hz mr h ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---ππν 角动量只能取某一些分立的值，这种现象叫角动量的量子化。它是原子系统的基本特

征之一。根据量子理论，原子中的电子围绕核运动的角动量L 由式

)1(2

2

+=l l L