【压轴题】高二数学上期末试题含答案

合集下载

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(及答案)

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．B ．C ．D ．3．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 4．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A ．85B ．84C ．83D ．815．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13 C ．12D ．236．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1447．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．1B ．-1C ．0D ．-28．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元9．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136B ．118C ．112D ．1910．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（） A ．27B ．57C ．29D ．5911．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．3612．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．14．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________.15．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____.16．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 17．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．18．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________ 19．将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______. 20．在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________．三、解答题21．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[)20,40 [)40,60 [)60,80 []80,100频数 6a24 b（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ；（Ⅲ）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效.若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？22．某地区为了了解本年度数学竞赛成绩情况，从中随机抽取了n 个学生的分数作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示，已知得分在[)70,80的频数为20，且分数在70分及以上的频数为27.(1)求样本容量n 以及x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[)80,90内的概率.23．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）24．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/x cm164160158172162164174166体重/y kg60 46 43 48 48 50 61 52该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，请你据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重；（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重；（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121ˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑. 25．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组 [25，30) 120 0.6第二组 [30，35) 195 p第三组 [35，40) 1000.5 第四组 [40，45) a0.4 第五组 [45，50) 30 0.3 第六组[50，55]150.3(1)补全频率分布直方图并求,,n a p 的值；(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.26．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A ，2A ，3A ，乙协会编号为4A ，丙协会编号分别为5A ，6A ，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.2．C解析：C 【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．C解析：C 【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.4．A解析：A 【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=．故选：A ．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C 【解析】【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．6．A解析：A 【解析】【分析】计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差. 【详解】设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ，方差为2s ，由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=L L，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L ，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-L ()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-L，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L . 故选：A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：1,2i S ==，此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=；此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=；此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项.本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.8．A解析：A 【解析】【分析】由已知求得 x ， y ，进一步求得$ a，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可．【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=， 5.97.88.18.49.858y ++++==．又 0.78b =$，∴$ 80.78100.2a y bx --⨯===$． ∴$ 0.780.2y x =+．取16x =，得$ 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=，则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.10．D解析：D 【解析】【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值. 【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况. 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59p =.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.11．C解析：C 【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ．考点：程序框图． 12．B解析：B 【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【解析：3 【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可. 【详解】由程序语句知：算法的功能是求22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，当3x ≥时，2110y x =+=，解得3x =(或3- ,不合題意舍去)；当3x <时，210y x ==,解得5x = ,舍去，综上，x 的值为3，故答案为3 . 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.14．1【解析】【分析】因为题目中要去掉一个最高分所以对进行分类讨论然后结合平均数的计算公式求出结果【详解】若去掉一个最高分和一个最低分86分后平均分为不符合题意故最高分为94分去掉一个最高分94分去掉一解析：1 【解析】【分析】因为题目中要去掉一个最高分，所以对x 进行分类讨论，然后结合平均数的计算公式求出结果【详解】若4x >，去掉一个最高分()90x +和一个最低分86分后，平均分为()1899291949291.65++++=，不符合题意，故4x ≤，最高分为94分，去掉一个最高分94分，去掉一个最低分86分后，平均分()18992909192915x +++++=，解得1x =，故数字x 为1 【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值，理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果，注意分类讨论15．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和1 解析：415【解析】【分析】由题，求得基本事件的总数15种，再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(压轴题专练)(解析版)

计数原理（压轴题专练），所以分成千位数取值为在另一边，排列方式有4,6,7}A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C【详解】由11C C C m m mn n n -++=可得22222345103C C C C C ++++= 11109⨯⨯时，不等式恒成立；当-无意义；…第n 步：同理n a 有21m -种进入1A 、2A 、…、m A 的不同方法.由分步计数原理，1a 、2a 、…、n a 进入1A 、2A 、…、m A ，共有()21nm -种不同方法，即()()21nm n f m =-.（3）运用二项式定理将()21ni -展开，()()()()()()()12201221C 21C 21C 21n nn n ni i iin n n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-，其中1,2,,i m =⋅⋅⋅，()()()()()()()()12020121121C 21C 21C 21C 2mmnnn n n ii i in i nnn n i i --==⎡⎤-=+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()()2121111C21C 21C21mmmmnnnni i i nn ni i i i =====+-+-+⋅⋅⋅+-∑∑∑∑()21nS m =+-，其中N S *∈，所以当m 为奇数时，()21nS m +-为奇数；当m 为偶数时()21nS m +-，也为偶数，即()()1mn i F m f i ==∑与m 同为奇数或者同为偶数.8．（2021上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）在()201222121221D D D D D D nr r n n n nn n n n n n x x x x x x x --++=+++++++ 中，把012212D ,D ,D ,,D ,,D ,D r n nn n n n n n - 称为三项式的系数．(1)当2n =时，写出三项式的系数的值；(2)类比(),,1na b n n +∈≥N 的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当14n ≤≤时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出,1n n ∈≥N 时的0122D D D D nn n n n ++++ ；(3)求00112233202220222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C D C D C -+-++ （用组合数表示）．【答案】(1)342220122212321D ,D ,D ,D ,D =====(2)答案见解析(3)6742022C 【详解】（1）因为()2223411232x x x x x x ++=++++，所以342220122212321D ,D ,D ,D ,D =====；（2）当14n ≤≤时，三项式的(杨辉三角)数字表如下，令1x =，可得()2012212111D D D D 3D D -++=+++++++= n nr n nn n n n n n；（3）()()()202220224043404340444044202220222021220222020222211D D D D D++-=+++++ x x x x x xx()2022202220212020120222022202220222202221CC C C C -++-+ x x x x ，其中2022x 的系数为33202220222022202220222022202220222022202220200122202122D C D C D C D C D C -++-+ ，又()()()20222022220223111++-=-x x x x ，而二项式()202231-x 的通项()()20223120221C -+-=rrrr x T ，由()320222022-=r 解得1348r =，所以2022x 的系数为134867420222022C C =，由代数式恒成立得33202220221348674200202220222022202220222022022202220222022202201122222D C D C D C D C D C C C =-+++=- .9．（2022下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）()2021212222121D D D D D nn n n n n n n n n n xx x x x x ---++=+++++L 的展开式中，把0122,,,D D D D ,nn n n n 叫做三项式的n 次系数列．(1)求02463333D D D D +++的值；(2)根据二项式定理，将等式2(1)(1)(1)n n n x x x +=++的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如()()()()2220122C C C C C n n n n n n n=+++⋅⋅⋅+．理解上述思想方法，利用方程()()32111x x x x -=-++，请化简：001122202220222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C (1)D C D C k k k -+-⋅⋅⋅+-⋅+⋅⋅⋅+．【答案】(1)14；(2)13482022C .【详解】（1）当3n =时，()3206152456333331D D D D D x x x x x x ++=+++++L ，令1x =，则012345633333333D D D D D D 3D ++++++=，令=1x -，则01234563333333D D D D D D D 1-+-+-+=，两式相加得024633332(D D D D )28+++=，所以02463333D D D D 14+++=（2）因为()2022204044140432404240434044202220222022202220221D D D D D x x x x x x ++=+++++L ，()202201223320212021202220222022202220222022202220221C C C C C C x x x x x x-=-+-+⋅⋅⋅-+，所以()()20222022211x x x ++-展开式中，4044x 的系数为001122202220222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C (1)D C D C k k k -+-⋅⋅⋅+-⋅+⋅⋅⋅+，因为32022(1)x -展开式的通项公式为33120222022C ()C (1)r r r r rr T x x +=-=-，令34044r =，得1348r =，所以32022(1)x -展开式中4044x 的系数为13482022C ，因为()()2022202223202211(1)x x x x ++-=-，00112220222022134820222022202220222022202220222022202220222022D C D C D C (1)D C D C C k k k -+-⋅⋅⋅+-⋅+⋅⋅⋅+=。

【压轴题】高二数学上期末试题(及答案)

【压轴题】高二数学上期末试题(及答案)一、选择题1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．B ．C ．D ．2．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①3．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（） A ．112B ．15C ．115D ．2154．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 2倍的概率（） A ．34B ．35C ．13D ．126．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填入的条件为（）i≤A．4i≤B．5i≤C．6i≤D．77．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度8．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填() i>A．60B ．70i >C ．80i >D ．90i >9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．B ．C ．D ．10．设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71212．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5二、填空题13．已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.14．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．15．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．16．如果执行如图的程序框图，那么输出的S =__________．17．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.18．从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则P 到对角线AC 的距离不大于2的概率为________.19．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．20．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 22．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀 25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82824．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-25．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.26．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先求出基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 3．C解析：C 【解析】【分析】将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.4．B解析：B 【解析】【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．153．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A ．320B ．720C ．316D ．254．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（）A ．30B ．20C ．12D ．85．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？6．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸7．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020218．设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率（） A ．34B ．35C ．13D ．129．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．1310．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71211．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定12．执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（）A．1次B．2次C．3次D．4次二、填空题13．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．14．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.15．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________t=，则输出的n=_______________．17．执行下面的程序框图，如果输入的0.0218．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________19．为了了解2100名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100栋样本，则分段间隔为__________． 20．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．三、解答题21．某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后，学生会对问卷结果进行了统计，并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：年龄（岁） [10,20)[20,30) [30,40) [40,50)[50,60)[60,70]频数 mn14 12 8 6 知道的人数348732（1）求上表中的,m n 的值，并补全右图所示的的频率直方图；（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20),[20,30)的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.22．为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P（A）=0.75.（1）求,a b的值；（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.23．在最强大脑的舞台上，为了与国际X战队PK，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A1,A2,A3，三名擅长数独的选手B1,B2,B3，两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.(Ⅰ)求A1被选中的概率；(Ⅱ)求A1,B1不全被选中的概率.24．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：（Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.25．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表高三高二高一女生100150z男生300450600按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．26．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360．则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？故选A ．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．C解析：C 【解析】【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<，不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．B解析：B 【解析】【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．A解析：A 【解析】从流程图看，该程序是利用辗转相除法计算,m n 的最大公约数.题设中已知72m =，输入的数为n ，程序给出了它们的最大公约数为6，比较四个数，只有72,30的最大公约数为6，故输入的数n 的值为30，选A. 5．B解析：B 【解析】【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.6．A解析：A 【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表：抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸. 故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.7．C解析：C 【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．D解析：D 【解析】【分析】的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案．【详解】对应的弧”，其构成的区域为半圆»NP,则弦长超过半径2倍的概率»12NP P ==圆的周长，【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9．C解析：C 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．10．A解析：A 【解析】设2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(B 1,B 2),(A 2,A 1),(B 1,A 1),(B 2,A 1),(B 1,A 2),(B 2,A 2),(B 2,B 1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)4种情况,则发生的概率为P=41123=, 故选：A .11．C解析：C【解析】甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=.∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C .12．C解析：C 【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==，413y x -=>； 1129,39x y ==，419y x -=<；结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.二、填空题 13．1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O 点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S 解析：【解析】【分析】由题意，得长方形的面积为，以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分，所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14．【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x解析：38【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．【详解】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，则10≤x≤20，5≤y≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，如图：正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12⨯15×152252=，∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=，故答案为3 8【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S＝1设阴影部分的面积为S∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S＝038故答案为：解析：38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【详解】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，∴由几何槪型的概率公式进行估计得380 11000S=，即S＝0.38，故答案为：0.38．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．16．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n的值为4故答案为4解析：4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n的值为4．故答案为4．17．【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值模拟程序运行过程分析循环变量值的变化规律即可求解答案详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：满足条件；第二次循环：满解析：【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序运行过程，分析循环变量值的变化规律，即可求解答案．详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：11,,124S m n===，满足条件；第二次循环：11,,248S m n===，满足条件；第三次循环：11,,3816S m n===，满足条件；第四次循环：11,,41632S m n===，满足条件；第五次循环：11,,53264S m n===，满足条件；第六次循环：11,,664128S m n===，不满足条件，推出循环，此时输出6n=；点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的运行与结果出的输出问题，解题是应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的计算结果，同时注意判断框的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于1m为事件A则只能在中间1m的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m所以事件A发生的概率P（A）=考点：几何概型解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率 P（A）=考点：几何概型19．【解析】【分析】根据系统抽样的特征求出分段间隔即可【详解】根据系统抽样的特征得：从2100名学生中抽取100个学生分段间隔为故答案是21【点睛】该题所考查的是有关系统抽样的组距问题应用总体除以样本容解析：21【解析】【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可. 【详解】根据系统抽样的特征，得：从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为210021100=，故答案是21. 【点睛】该题所考查的是有关系统抽样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于简单题目.20．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐解析：②④⑤ 【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假. 详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题21．（1）m =4，n =6，图见解析（2）512【解析】【分析】（1）首先分别求出[10,20)和[20,30)的频率，再计算,m n 即可，根据,m n 的值即可补全频率分布直方图.（2）首先列出年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取1人的所有基本事件，再找到其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件个数，由古典概型公式即可求出概率. 【详解】（1）年龄在[10,20)的频数500.084m =⨯=，年龄在[20,30)的频数为500.126n =⨯=. 频率直方图如图所示：（2）记年龄在区间[10,20)的居民为1234,,,a A A A （其中居民1a 不知道垃圾分类方法）；年龄在区间[20,30)的居民为123456,,,,,b b B B B B （其中居民12,b b 不知道垃圾分类方法）. 从年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取1人的所有基本事件有：()11,a b ，()12,a b ，()13,a B ，()14,a B ，()15,a B ，()16,a B ，()21,A b ，()22,A b ，()23,A B ，()24,A B ，()25,A B ，()26,A B ，()31,A b ，()32,A b ，()33,A B ，()34,A B ，()35,A B ，()36,A B ，()41,A b ，()42,A b ，()43,A B ，()44,A B ，()45,A B ，()46,A B ，共24个基本事件，其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件共有10个，所以，选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率1052412P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，同时考查了列举法求基本事件个数和古典概型，属于中档题.22．（1）a =0.035，b =0.015（2）25【解析】【分析】（1）由第三、四、五组三个小矩形面积为0.75可求得a ，再由所有小矩形面积为1可求得b ；（2）6人中第二组中应抽取2人，分别记为12a a ，，第四组中应抽取4人，分别记为1234,,,b b b b ，用列举法列举出所有可能，再确定满足条件的可能情况，从而可计算出概率．【详解】（1）由题意知P (A )=10×（a +0.030+0.010）=0.75，解得a =0.035，又10×（b +0.010）=0.25,所以b =0.015.（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，则第二组中应抽取2人，分别记为12a a ，，第四组中应抽取4人，分别记为1234,,,b b b b ，从这6人中抽取2人的所有可能情况有()11,a b ， ()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ，共15种.其中从这6人中抽取的2个人恰好都在第四组中的情况有12(b ,b )，13(b ,b )，14(b ,b )，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ，共6种，所以所求概率为62155=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型概率，属于基础题，其中概率问题是用列举法求解． 23．（Ⅰ）13（Ⅱ） 89【解析】分析：(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A 1被选中的概率； (Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A 1,B 1不全被选中的概率.详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C 1组成中国战队的一切可能的结果组成集合Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}，由9个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M 表示“A 1被选中”，则 M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 1)}，因而.(Ⅱ)用N 表示“A 1、B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A 1、B 1全被选中”，由于＝{(A 1，B 1，C 1) }，∴，从而点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 24．（Ⅰ）310；（Ⅱ）710. 【解析】【分析】列举出所有的基本事件,共有20个, （I ）从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件，“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】（I ）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y . 从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，(),Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种，分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ，故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010=. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有，(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 25．（1）400（2）710 （3）0.75【解析】【分析】【详解】（1）设该校总人数为n人,由题意得,5010100300n=+，所以n=2000．z=2000-100-300-150-450-600=400；（2）设所抽样本中有m个女生,因为用分层抽样的方法在高一女生中抽取一个容量为5的样本，所以400 10005m=，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作S1，S2；B1 ，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2）, （S2,B3），（S1, S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共10个，其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1, S2），所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为7 10．（3）样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x=+++++++=，那么与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的数为9．4, 8．6, 9．2, 8．7, 9．3, 9．0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率为．26．（1）15（2）这种游戏规则不公平【解析】试题分析：（1）相当于两人掷含有个面的色子,共种情况,然后输入和为偶数,且和为的情况种数,然后用古典概型求概率；（2）偶数,就是甲胜,其他情况乙胜,分别算出甲胜的概率和乙胜的概率,比较是否相等,相等就公平,不相等就不公平．试题解析：解：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件．甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件，则两人摸球结果包括（1,2），（1,3），…，（1,5），（2,1），（2,2），…，（5,4），（5,5）共25个基本事件；包括的基本事件有（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）共5个．∴．答：甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为．（2）这种游戏不公平．设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个：（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（5,1），（5,3），（5,5）．所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，∵，∴这种游戏规则不公平．考点：古典概型．。

圆与方程解答压轴题(六大题型)(教师版) 2024-2025学年高二数学期中期末挑战(人教选修一)

特训04 圆与方程解答压轴题（六大题型）题型1：定值问题1．已知圆C 过点()2,6A ，圆心在直线1y x =+上，截y 轴弦长为．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 半径小于10，点D 在该圆上运动，点()3,2B ，记M 为过B 、D 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线BD 与直线:2l y x =-交于点N ，证明：BM BN ×恒为定值．因为直线l 的斜率为1，则所以，CBM NBF △∽△，因此，又E 到l 的距离2321BF -=所以，122BM BN ×=×【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上的圆C 经过点()3,0A ，且被y 轴截得的弦长为坐标原点O 的直线l 与圆C 交于,M N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)求当满足20OM ON +=uuuu r uuu r r时对应的直线l 的方程；(3)若点()5,0P -，直线PM 与圆C 的另一个交点为R ，直线PN 与圆C 的另一个交点为S ，分别记直线l 、直线RS 的斜率为1k ，2k ，求证：21k k 为定值．由20OM ON +=uuuu r uuu r r得到，DN =所以2223CN CD CO -=即22431CD CD -=-，【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法，再得到直线方程与圆方程联立求出,R S的坐标，最后得到斜率表达式并化简即可.6,4，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是3．已知线段AB的端点B的坐标是()()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于两点E ，F （异于原点O ）直线OE ，OF 的斜率分别为1k ，2k ，且125k k =，①证明：直线l 过定点P ，并求出点P 的坐标；②若BD EF ^，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．因为65BP =为定值，且BD 所以当点Q 是BP 的中点时，此时因为(6,4)B ，(1,0)P -，所以由中点坐标公式得所以存在定点5,22Q æöç÷èø使得|DQ 题型2：定点问题4．已知线段AB 的端点B 的坐标是()64，，端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于异于原点O 的两点E F ，，直线OE OF ，的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =．证明：直线l 恒过定点．【答案】(1)()2224x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.5．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A 和B （点A 在点O ､点B 之间），它们到平台O 的距离分别为1海里和4海里，记海平面上到两观测站的距离,PA PB 之比为12的点P 的轨迹为曲线E ，规定曲线E 及其内部区域为安全预警区（如图）.(1)以O 为坐标原点，1海里为单位长度，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，求曲线E 的方程；(2)海平面上有巡航观察点Q 可以在过点B 垂直于AB 的直线L 上运动.（i ）若M 为PB 的中点，求PM PQ +的最小值；（ii ）过Q 作直线,QC QD 与曲线E 相切于点,C D .证明：直线CD 过定点.PM PQ PA PQ AQ \+=+³当,,A P Q 三点共线且,Q B 重合时，（ii ）设()4,Q t ，()11,C x y ，当10x =时，OC 斜率不存在，此时过点题型3：最值问题6．已知以点()2,0C t t t æö>ç÷èø为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求证：AOB V 的面积为定值．(2)设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若=OM ON ，求圆C 的方程．(3)在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标.Q \原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则又OC 的斜率22k t =，()2221t æö\´-=-ç÷èø，解得2t =±，由（2）可知：圆心()2,1C ，半径7．已知圆C ：2220x y tx y +--=（0t >）分别与x 轴、y 轴交于点P ，Q （均异于坐标原点O ），过点()1,0E 作两条直线1l ，2l ，斜率分别为1k ，2k ，且121k k =-，直线1l 与y 轴交于点F ，直线2l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)若()6,0P ，6AB =，求直线2l 的方程；(2)若原点O 到直线PQ ABF △面积的最小值．因为6AB =，所以2162r =-故直线2l 的方程为4340x y --=（2）令0x =，0y =，得(,0P t 所以直线PQ 方程为1x y +=，即所以11222ABF S AB EF =×=´△222224211444k k k æö=++=++ç÷èø所以ABF △面积的最小值为1528．如图，已知圆M ：22430x y x +-+=，点()1,P t -为直线l ：1x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)1t =时，求PA 、PB 方程（点A 在点B 上方）；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；(3)若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S ，T 两点，求ST 的最小值．当,H F 不重合时，则HF 又5,03H æöç÷èø，()2,0M ，故该圆圆心为11,06æöç÷èø，半径9．如图，在平面直角坐标系中，P 为直线4y =上一动点，圆22:4O x y +=与x 轴的交点分别为,M N 点，圆O 与y 轴的交点分别为,S T 点.(1)若MTP △为等腰三角形，求P 点坐标;PT PS分别交圆O于,A B两点.(2)若直线,①求证：直线AB过定点，并求出定点坐标;②求四边形ASBT面积的最大值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．题型4：取值范围问题10．如图，经过原点O 的直线与圆()22:14M x y ++=相交于A ，B 两点，过点()1,0C 且与AB 垂直的直线与圆M 的另一个交点为D ．(1)当点B 坐标为()1,2--时，求直线CD 的方程；(2)记点A 关于x 轴对称点为F （异于点A ，B ），求证：直线BF 恒过x 轴上一定点，并求出该定点坐标；(3)求四边形ABCD 的面积S 的取值范围．11．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率e =P 为椭圆C 上任意一点，12PF F V 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，且l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，若弦长MN的取值范围为83éêë，求OM ON ×uuuu r uuu r 的取值范围．42）设直线l 的方程为y kx m =+，M (x 1,y 由直线l 与圆221x y +=相切，可得22142y kx mx y =+ìïí+=ïî，消去y 并整理得题型5：存在性问题12．已知圆22:4O x y +=和圆22:(4)1C x y +-=.(1)判断圆O 和圆C 的位置关系；(2)过圆C 的圆心C 作圆O 的切线l ，求切线l 的方程；(3)过圆C 的圆心C 作动直线m 交圆O 于A ，B 两点.试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M 若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由.斜式设出切线方程，然后用点线距离公式建立关于的方程；【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用设线法，展开化简，将韦达定理式整体代入求出直线方程，同时不忘考虑直线斜率不存在的情况13．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()()4,0,1,0S T ，动点P 满足2PS PT =，设点P 的轨迹为C .如图，动直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （,A B 均在x 轴上方），且180ATO BTO Ð+Ð=o .(1)求曲线C 的方程；(2)当A 为曲线C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)是否存在一个定点，使得直线l 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.（2）由题意知()0,2A ，设B (x 2,y 2)，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线由180ATO BTO Ð+Ð=o ，得AT BT k k +则22222014y x x y ì-+=ï-íï+=î，所以2202x y =ìí=-î(舍去（3）设直线l 方程为y kx b =+联立方程224x y y kx b ì+=í=+î，得(2k 212122224,,11kb b x x x x k k --\+==++180,ATO BTO Ð+Ð=o Q AT k \【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是题型6：其他问题14．已知圆O 的方程为224x y +=．(1)求过点()2,1-的圆O 的切线方程；(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a Î，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB=（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．附：可能用到的不等关系参考：（1）若0a >，0b >，1ba£，则b a £；（2）若a b >，且()()0x a x b --£，则有b x a ££．（2）①设点P (x,y )，则2x +()()222,PA x a y PB =-+-PAn PB=Q ，222PA n PB =×②由①知，2a =，1m =，设00(,)M x y ，M 是线段NE 又M ，N 在圆C 上，即关于【点睛】方法点睛：求解圆的切线方程，首先要判断题目所给点是在圆上还是在圆外，如果所给点在圆上，则切线方程只有一条，如果所给点在圆外，则切线方程有两条切线的斜率是否存在.15．平面直角坐标系中，圆(1)求圆M的标准方程；(2)设D(0,1)，过点D作直线1l，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.①过点D作与直线1l垂直的直线2l，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点(00,x y16．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中()()2,0,1,0A B -且2PA PB =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若点P 在（1）的轨迹上运动，点M 为AP 的中点，求点M 的轨迹方程;(3)若点(),P x y 在（1）的轨迹上运动，求46y t x +=-的取值范围.。

【压轴卷】高二数学上期末试卷及答案

【压轴卷】高二数学上期末试卷及答案一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 3．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．235．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020216．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯7．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变8．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？9．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.510．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136B ．118C ．112D ．1911．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．14．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．15．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.16．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________. 17．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为_____．18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为___________19．由茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是__________．20．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．三、解答题21．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.22．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]185,195（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．23．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：组别 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100频数1039040018812()1求所得样本的中位数(精确到百元)；()2根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N ，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；()3若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈24．某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加该活动的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 5 y 46102322（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）．参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xn x====---⋅==--⋅∑∑∑∑$，$ay bx =- 25．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男、女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟） [30,40）[40,50）[50,60） [60,70） [70,80]男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8326．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（1）求直方图中x 的值；（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360．则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？故选A ．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．D解析：D 【解析】【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.3．C解析：C 【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.4．C解析：C 【解析】【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．5．C解析：C【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q ， 111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．6．C解析：C【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.7．A解析：A【解析】【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断．【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，，所以()001n n P P k P =+<，呈下降趋势．【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断． 8．C解析：C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3=满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5=满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．D解析：D【解析】【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项.【详解】由$$1.5y x a=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误；由已知表格中的数据，可知0123425x ++++==，2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 4.55y ++++==，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错误；又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+，当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确，故选：D.【点睛】本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过(),x y ，本题属于基础题. 10．B解析：B【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=，则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.11．C解析：C【解析】甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=. ∴12x x <，乙比甲成绩稳定.故选C .12．A解析：A【解析】【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个,随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P ==, 故选:A【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题二、填空题13．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2π-【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22422R R ππ-=故答案为2 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．14．20【解析】青年职工中年职工老年职工三层之比为所以样本容量为故答案为20点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配这是分层抽样的最主要的特点首先各确定分层解析：20【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为5:3:2，所以样本容量为102012=，故答案为20.点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．15．【解析】【分析】由题意从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议求得基本事件的总数再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中求得其包含的基本事件的个数即可求解【详解】由题意从甲乙解析：5 6【解析】【分析】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，求得基本事件的总数，再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，求得其包含的基本事件的个数，即可求解．【详解】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，则基本事件的总数为246n C==，又由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，其包含的基本事件的个数为221m C==，所以甲乙两人至少有一人被选中的概率为151166mpn=-=-=．故答案为56．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及对立事件的应用，其中解答中认真审题，合理选择方法，分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x解析：38【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．【详解】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x 分、7时y 分，则10≤x ≤20，5≤y ≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y ﹣x ≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤20，5≤y ≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A ＝{（x ，y ）|0≤x ≤20，5≤y ≤20，y ﹣x ≥5}，如图：正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12⨯15×152252=， ∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=，故答案为38【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 17．8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要解析：8【解析】【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程即可求解.【详解】当2i =时，满足循环条件，2,4,2s i k ===，当4i =时，满足循环条件，4,6,3s i k === ，当6i =时，满足循环条件，8,8,4s i k ===；当8i =时，不满足循环条件，跳出循环，输出8s =.故填8.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.18．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n 的值为4故答案为4解析：4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n 的值为4．故答案为4．19．【解析】【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数从而得到甲组数据的众数找出乙组数据的最大值和最小值两者作差求得极差得到结果【详解】根据众数的定义可以断定甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现其最解析：21,43【解析】【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数，从而得到甲组数据的众数，找出乙组数据的最大值和最小值，两者作差求得极差，得到结果.【详解】根据众数的定义，可以断定甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现，其最大值为52，其最小值为9，所以极差为52943-=，故答案为21，,43.【点睛】该题考查的是茎叶图的应用，涉及到的知识点有一组数据的众数和极差的概念，只要明确众数是数据中出现次数最多的数，极差是最大值和最小值的差距，从而求得结果.20．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐解析：②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题21．（1）0.001a =（2）平均数、中位数、众数依次为80，81，80【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得20.0020.0040.0090.0130.0200.05a +++++=，解得0.001a =.（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，可得平均数为：200.02400.08600.18800.41000.261200.041400.0280x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 中位数为x ，则0.020.080.18(70)0.0200.5x +++-⨯=，解得81x =.根据众数的概念，可得此频率分布直方图的众数为：80，因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80，81，80.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，平均数、中位数和众数的求解，其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．（1）4（2）171.5?cm （3）25 【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的总面积为1，可求得a 0.010=,n=N*高*组距400.01104⨯⨯=．（2）平均数为，每个区间的中点值与频率乘积和．（3）学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ．所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．采用枚举可得总共15个基本事件，满足的有6个．()62P M 155==．试题解析：（Ⅰ）根据题意， ()0.005a 0.0200.0250.040101++++⨯=.解得 a 0.010=．所以样本中学生身高在[]185,195内（单位:cm ）的人数为 400.01104⨯⨯=．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则x 1500.051600.21700.41800.251900.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7.532684519171.5=++++= ．所以，该校男生的平均身高为171.5cm ．（Ⅲ）样本中男生身高在[)145,155内的人有 400.005102⨯⨯=（个），记这两人为A,B ．由（Ⅰ）可知，学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ．所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有b,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB ，共15种情况．设所选两人的身高都不低于185cm 为事件M ，事件M 包括ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共6种情况．所以，所选两人的身高都不低于185cm 的概率为()62P M 155==． 23．()145(百元)；()217.1万；()3分布列见解析，()245E X =．【解析】【分析】()1设样本的中位数为x ，可得()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得x ； ()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)22P x P x μσμσμσ--<<+≥+=，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上； ()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．【详解】解：()1设样本的中位数为x ，则()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得45x =，所得样本中位数为45(百元)； ()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)10.954420.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===，0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6．()3283()5125P X ===，()12332364()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22332545()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33276()5125P X ===，故其分布列为：()34561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（1）$ 5.3 2.9y x =-（2）34【解析】【分析】（1）利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程$ 5.3 2.9y x =-；（2）将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中得解.【详解】解：（1）根据表中的数据，可得()11234535x =++++=，()146102322135y =++++=，则()()()51521i i i ii x x y y b x x ==--=-∑∑$()()()()()()()()()()()()()()()2222213413236133310134323135322131323334353--+--+--+--+--=-+-+-+-+- 5.3=，又由$13 5.33 2.9a=-⨯=-，故所求回归直线方程为$ 5.3 2.9y x =-．（2）将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中，求得$ 5.37 2.934.234y =⨯-=≈，故预测最后一天参加该活动的人数34．【点睛】本题主要考查最小二乘法求线性回归方程，考查回归方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。

【压轴题】高二数学上期末试题附答案

【压轴题】高二数学上期末试题附答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（） A ．910B ．710C ．310D ．1103．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（） A ．112B ．15C ．115D ．2154．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（）（参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球7．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（） A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π8．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.59．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填( )A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i > 10．设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．① B ．②④C ．③D ．①③12．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（）A ．13 B ．2πC ．12D ．23二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．16．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

2022-2023学年湖南省岳阳市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省岳阳市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知，，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 的中点的直线方程为（）(2,1)A -(6,1)B A ．B ．C ．D ．143x y +=143x y -=134x y +=136x y -=【答案】B【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.x 【详解】由中点坐标公式可得线段AB 的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为(4,0)x .143x y -=故选：B2．如图，在平行六面体中， AC 与BD 的交点为M .设，1111ABCD A B C D -11111,,,===A B a A D b A A c 则下列向量中与相等的向量是（）1B MA ．B ．1122a b c--+ 1122a b c-++C ．D ．1122a b c -+ 1122a b c++ 【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.1112=+=+B M B B BM c BD【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c故选：B.3．等比数列的各项均为正数，且，则（）{}n a 383=a a 3132310log log log a a a +++= A ．5B ．10C ．4D ．32log 5+【答案】A【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则293847561103a a a a a a a a a a ===== =5.531323103293847561103log log log log ()lo 3g a a a a a a a a a a a a a +++== 故选：A4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）22136x y -=ABCD【答案】D【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，22136x y -=其焦点坐标为，其渐近线方程为，()3,0±y =0y±=则其焦点到渐近线的距离；d 故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.5．椭圆的焦距为2，则的值等于（）.2214x y m +=m A ．5B ．8C ．5或3D ．5或8【答案】C【分析】分焦点在轴，轴上两种情况，利用，，即可求出的值.x y 22c =222a b c =+m 【详解】当焦点在轴上时：，，解得：，x 1c =22222,4,41a m b c a b m ===-=-=5m =当焦点在轴上时：，，解得：，y 1c =222224,,41a b m c a b m ===-=-=3m =所以或，5m =3m =故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.6．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记228π为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为ABCD EFGH -28EF AB ==（）A ．224B ．448C ．或448D ．或22422431123【答案】C【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，确定球心在直线上，HF EG 1O AC DB 2O 12O O 12O O 分球心在线段上或其延长线上两种情况，并利用勾股定理求出，最后根据刍童的体积公21O O 12O O 式即可求得结果．【详解】连接，交于点，连接，交于点，HF EG 1O AC DB 2O 连接，则由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在直线上，12O O O 12O O由题意可得，112O G EG ==212O B BD ==设球的半径为，由，得．O R 24228R ππ=R 连接，，在中，，OG OB 1Rt OGO △22211OG OO O G =+即，得．(2221OO =+15OO =在中，，即，得．2Rt OBO △22222OB OO O B =+(2222OO =+27OO=当球心在线段上时，，O 12O O 1212O O =则该刍童的体积；()()12248428484486⨯⨯+⨯+⨯+⨯⎡⎤⎣⎦=当球心在线段的延长线上时，，O 21O O 122O O =则该刍童的体积为．()()22484284822463⨯⨯+⨯+⨯+⨯⎡⎤⎣⎦=故选：C ．7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）ln 32a =1e 1b =-ln 43c =A ．B ．b a c >>b c a >>C ．D ．c a b >>c b a>>【答案】A【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.ln ()(e)1xf x x x =≥-【详解】令函数，求导得，令，则ln ()(e)1x f x x x =≥-()211ln ()1x xf x x --'=-()11ln g x x x =--，故，单调递减，又，故()210,(e)xg x x x -'=<≥()11ln g x x x =--(e)x ≥()111ln101g =--=，即，而，则，即，所()0,(e)g x x <≥()0,(e)f x x '<≥e 34<<(e)(3)(4)f f f >>1ln 3ln 4e 123>>-以，b a c >>故选：A8．如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若ABCD EFBD ABCD EFBD 多面体的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为ABCDEF 163A ．B ．C ．D ．16π12π8π6π【答案】B【分析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得等量关系；再找到球心，,a b 求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接交于点，过作//交于点，交于，连接,AC BD M M MN DE EF N BE O .OC 因为四边形是正方形，故可得，ABCD AC BD ⊥又因为平面平面，且交线为，又平面，故平面，ABCD ⊥EFBD BD AC ⊂ABCD AC ⊥EFBD 不妨设，,CD a DE b ==故可得多面体的体积；ABCDEF 2112333EFBD V S AC a b=⨯==则，解得；221633a b =28b a =又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上，且为的中点，ABCD MN O设外接球半径为，则；R 22222222111224R OC OM MC b a b ⎫⎛⎫==+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭将代入可得，不妨令，28b a =2241162R a a =+2,(0)a t t =>则，则，容易知是关于的单调增函数，221162y R t t ==+31322y t =-'y 't 且当时，，故可得在上单调递减，在单调递减.4t =0y '=221162y R t t ==+()0,4()4,+∞故.211643216min min y R ==⨯+=则外接球表面积的最小值.2412min min S R ππ==故选：B.【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.二、多选题9．设函数的导函数为，则（）()3213f x x x x =-+()f x 'A ．B ．是函数的极值点()10f '=1x =()f x C ．存在两个零点D ．在(1，+∞)上单调递增()f x ()f x 【答案】AD【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.【详解】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，()()222110f x x x x '=-+=-≥()f x R 故B 错误，D 正确；，故A 正确；()10f '=，得，中，，()32103f x x x x =-+=()2330x x x -+=2330x x -+=9120∆=-<所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C 错误.2330x x -+>0x =故选：AD 10．如图，正方体的棱长为2，动点P ，Q 分别在线段，上，则下列命题1111ABCD A B C D -1C D AC 正确的是（）A ．直线BC 与平面所成的角等于B ．点到平面11ABCD 4πC 11ABC DC ．异面直线和所成的角为.D ．线段1D C 1BC 4πPQ【答案】ABD【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：正方体的棱长为21111ABCD A B C D -对于选项A ：连接，设交于O 点1B C 11B C BC 、111,B C BC B C AB⊥⊥ 平面1B C ∴⊥11ABC D 即为直线BC 与平面所成的角，且，故A 正确；1CBC ∴∠11ABC D 14CBC π∠=对于选项B ：连接，设交于O 点1B C 11B C BC 、11,CO BC B C AB ⊥⊥ 平面CO ∴⊥11ABC D点到平面的距离为,故B 正确；∴C 11ABC D 11122CO B C ==⨯=对于选项C ：连接、，由正方体性质可知∥1D C 1AD 1AD 1BC 故异面直线和所成的角即为和所成的角1D C 1BC 1D C 1AD 1AD C∠又11AD AC CD == 为等边三角形1AD C ∴ 13AD C π∴∠=故C 错误；对于选项D ：过作，过作，连接PQP PM CD ⊥M MQ AC ⊥为异面直线之间的距离，这时距离最小；PQ PQ设，为等腰直角三角形，则，DP x =Rt DPM PM =2CM CD DM x =-=也为等腰直角三角形，则Rt CQM 122MQ x ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭为直角三角形PMQ故222222213342(2443PQ PM MQ x x x ⎫⎫=+=+=+=+⎪⎪⎪⎭⎭当取最小值，故D正确；x 2PQ 43min PQ =故选：ABD11．已知圆，过点的直线交圆于A ，B 两点，下列说法正确的是（）22(1)4C x y ++=：(0,)M mA ．当时，的最小值是1m =||ABB ．当的取值范围是m =||AM [2C ．当时，为定值2m =MA MB ⋅D ．当时，m =-||2||AB AM =120ACB ︒∠=【答案】ABCD【分析】根据圆的几何性质判断A ，由圆上点与圆内点的距离最值分别为过该点直径端点判断B ，根据直线与圆相交，根与系数的关系，向量运算判断C ，根据圆的几何性质及线段中点求解判断D.【详解】当时，，则，点在圆内，当为直线AB 的中垂线时，1m=(0,1)M ||2MC =<M MC A 正确；min ||AB===当，则，点在圆内，m M||2MC ==<M 由圆的性质知，的取值范围是，故Bmin ||2AM =max ||2AM =||AM [2-+正确；当时，在圆外，当直线斜率存在时，设直线为，2m =(0,2)M =+2y kx设，联立方程可得，当时，1122(,)(,)A x y B x y ，22(1)(42)10k x k x ++++=0∆>，，12211x x k =+1122(,2),(,2)MA x y MB x y =-=- ，MA ∴ 122221212121222)1((1)(1)1(2)1MB x x x x k y x x k x x k k y ⋅=++=+=++--=⋅=当直线斜率不存在时，直线为，则，0x =(0,A B，综上为定值,MA (0,2(0,21MB ⋅=⋅= MA MB ⋅故C 正确；当时，，在圆外，设且交点为，则,由m =-||2MC =>(0,M -CH AB ⊥H AH BH =知，设，||2||AB AM =MA AH =||||MA AH x ==则，解得中2222(2)2x x -=-x =ACH sin ACH ∠=，所以，故D 正确.60ACH ∠=︒2120A ACB CH ︒∠=∠=故选：ABCD12．已知F 是抛物线的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线，，与C 相交于A ，B2:8C y x =1l 2l 1l两点，与C 相交于E ，D 两点，M 为A ，B 中点，N 为E ，D 中点，直线l 为抛物线C 的准线，2l则（）A ．点M 到直线l 的距离为定值B ．以为直径的圆与l 相切ABC ．的最小值为32D ．当最小时，AB DE+MNMN //l【答案】BCD【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M 的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;||||||2M AB AF BF d =+=计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;||ED AB DE+求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.MN【详解】设，，，，，()11,A x y ()22,B x y ()33,E x y ()44,D x y (,),(,)M M N N M x y N x y 直线的方程为，则直线的方程为,1l2x my =+2l 12x y m =-+将直线的方程代入，化简整理得，1l 2x my =+28y x =28160y my --=则，，128y y m +=1216y y =-故,()21212484x x m y y m +=++=+所以，,212422M x x x m +==+1242M y yy m +==因为点A 到直线l 的距离，点B 到直线l 的距离，112d x =+222d x =+点M 到直线l 的距离，2M M d x =+又，所以，故A 错误；242M x m =+244M d m =+因为，212||||||4882M AB AF BF x x m d =+=++=+=所以以为直径的圆的圆心M 到l 的距离为，||AB ||2AB 即以为直径的圆与l 相切，故B 正确；||AB 同理，，所以，，()3434211484x x y y m m +=-++=+242N x m =+4N y m =-，3428||||||48ED EF DF x x m =+=++=+则，当且仅当时等号成立，故C 正确；228||||81632AB ED m m +=++≥1m =±.||MN ===设，则，，221m t m +=2212m t m +=≥42412m t m +=-||MN =当时，即时，最小，这时，故D 正确,2t =1m =±||MN N M x x =故选:BCD.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.三、填空题13．圆：与圆：的公切线条数为____________.1C 22650x y y +-+=2C 22870x y x +-+=【答案】3【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.【详解】圆：，圆心，半径；1C 22650x y y +-+=22(3)4x y ⇔+-=1(0,3)C 12r =圆：，圆心，半径.2C 22870x y x +-+=22(4)9x y ⇔-+=2(4,0)C 23r =因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.12125C C r r ===+故答案为：314．在空间直角坐标系中，若三点、、满足，则实()1,1,A a -()2,,0B a ()1,,2C a -()AB AC BC+⊥数的值为__________.a 【答案】##34-0.75-【分析】分析可知，结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.()()AB AC AC AB +⋅-= 【详解】由已知可得，，()1,1,AB a a =+- ()0,1,2AC a a =+--因为，则，()AB AC BC+⊥ ()()()22AB AC BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-= 即，解得.()()()()22221112a a a a +++-=++--34a =-故答案为：.34-15．已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则22:1167x y C +=,F A B 、C 90AFB ∠=︒的周长为___________．ABF △【答案】14【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，从1F 1AF 1BF 1AFBF 而可得，，得出答案.28AF BF a +==12AB FF c==【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，1F 1AF 1BF 根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形190AF B ∠=︒1AFBF所以,1BF AF =126AB FF c ====由椭圆的定义可得，所以128AF AF a +==8AF BF +=所以的周长为：ABF △6814AF BF AB ++=+=故答案为：1416．已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a 的取值范()xf x e =()2(0)g x ax a =>()f x ()g x 围为___________.【答案】2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】设切点分别是，得到，化简可得a ，转()()22112,,,x P x ax Q x e 2211212x e ax ax x x -=-2244x e ax =-化为是方程的解，令，利用导数求得函数的单调性与最2x 440x e ax a -+=()44x h x e ax a =-+()h x 值，即可求解.【详解】设，的公切线的斜率为，()f x ()g x l k 直线与，图象的切点分别是，l ()f x ()g x ()()22112,,,x P x ax Q x e 若不存在，则不是图象的切线，所以存在，k l ()f x k 则，可得，所以，22211212x x e ax k ax e x x -===-1222x x ∴=-2244x e ax a =-根据题意，此关于的方程有解；2x 令，则有零点，()44x h x e ax a =-+()h x 因为，()'4x h x e a=-所以在上单调递减，在上单调递增，()h x ()(,ln 4a ⎤-∞⎦())ln 4,a ⎡+∞⎣因为，()10h e =>所以有零点当且仅当，()h x []ln(4)min ()ln(4)4ln(4)40a h x h a e a a a ==-+≤解得，即所求a 的取值范围是.24e a ≥2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：.2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17．记为等差数列的前n 项和，已知，．n S {}n a 17a =-315S =-(1)求的通项公式；{}n a (2)求的最小值．n S 【答案】(1)29n a n =-(2)16-【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式；n （2）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设公差为，，d 17a =-∴，解得，353(31221331)(7)S d d ⨯-⨯--+==-+=2d =∴．()1129n a a n d n +-=-=（2）∵，， 17a =-2d =∴＝，21(1)82n n n S na d n n -=+=-()2164n --∴当时，最小，最小值为．4n =n S 16-18．已知圆22:24200C x y x y +---=（1）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短.k 310kx y k -++=C （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；C 220x y --=D 【答案】（1）；（2）4k =-22(3)(2)25x y -++=【分析】（1）直线过定点,当时，弦长最短，圆310kx y k -++=()3,1M -CM l ⊥的圆心为，可得，由，可求出；（2）设圆22:24200C x y x y +---=()1,214CM k =CM l ⊥4k =-的圆心为，圆心与关于直线对称，可求出的坐标，再由两个圆半径D (,)D m n C D 220x y --=D 相等，可求出圆的标准方程.D【详解】（1）由直线，可化为，310kx y k -++=1(3)y k x -=+可得直线过定点,当时，弦长最短，l ()3,1M -CM l ⊥圆的圆心为，22:24200C x y x y +---=()1,2则，因为，所以，14CM k =CM l ⊥4k =-（2）由题意，圆的圆心，半径为，22:24200C x y x y +---=(1,2)C =5r 设圆的圆心为，因为圆心与关于直线对称，D (,)D m n C D 220x y --=所以，解得，则，半径，1222022221m n n m ++⎧-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩3,2m n ==-(3,2)D -=5r 所以圆标准方程为：D 22(3)(2)25x y -++=【点睛】本题考查了弦长问题，考查了两圆关于直线的对称问题，考查了学生的计算求解能力，属于中档题.19．如图所示，在直三棱柱中，，，，分别为棱111ABC A B C ABC -12C C CB CA ===AC CB ⊥D E ､的中点.1C C11B C （1）求点到平面的距离；B ACE （2）求平面与平面夹角的余弦值.1BA D 1AA D 【答案】（12【分析】构建以为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，并根据已知确定相关点坐CB x CA y 1CC z 标，（1）求面的法向量及，利用空间向量数量积的几何意义可知到平面的距离ACE n ABB ACE ，即可求距离.||||AB n d n ⋅=（2）求面的法向量为，面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求面与1BA D m 1AA D p1BA D 面夹角的余弦值.1AA D【详解】如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，CB x CA y 1CC z 由，得,0,，,2,，,0,，,0,，12C C CB CA ===(0C 0)(0A 0)(2B 0)(1E 2)∴,,，,2,，,0,，(2AB = 2-0)(0CA = 0)(1CE =2)（1）设平面的法向量为,,，则，取，得,0,，ACE (n x = y )z 2020n CA y n CE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 2x =(2n = 1)-∴点到平面的距离为B ACE ||||AB n d n ⋅=（2）,2,，,0,，则,2,，,0,，1(0A 2)(0D 1)1(0DA = 1)(2DB =1)-设平面的法向量为,,，则，取，得，,，而平面1BA D (m a =b )c 12020m DA b c m DB a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1a =(1m = 1-2)的法向量,1,，1AA D(0p =0)设平面与平面夹角为，则平面与平面夹角的余弦值为：1BA D 1AAD θ1BA D1AA D .||cos ||||m p m p θ⋅===⋅20．已知数列满足，且，是的前n 项和．{}n a 11a =11n n a a n +-=+n S 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)求；n S(2)若为数列的前n 项和，求证：．n T 2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭259nT <【答案】(1)；21n n S n =+(2)证明见解析.【分析】（1）运用累和法、裂项相消法进行求解即可；（2）根据放缩法，结合、裂项相消法进行运算证明即可.【详解】（1）∵，∴，，…．11n n a a n +-=+212a a -=323a a -=1n n a a n --=由上述个等式相加得，∴，n 1-12n a a n -=+⋅⋅⋅+()1122n n n a a n +=++⋅⋅⋅+=∴，；11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭（2），22221411n n S b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2141144111n b n n n n n ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪+++⎝<⎝⎭⎭∴.4111144251419341939n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++-++= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭<⎣⎦< 21．已知两定点,满足条件的点P 的轨迹是曲线E ,直线y =kx -1())12,F F 212PF PF -=与曲线E 交于A ,B 两点,(1)求k 的取值范围;(2)如果,且曲线E 上存在点C ,使,求m 的值和的面积S．AB = OA OB mOC += ABC 【答案】（1）；（2）1k <<-4m =【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为，由于直线和双曲线相交于左支，且有()2210x y x -=<两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于y x 零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的的取值范围；k （2）利用弦长公式计算得直线斜率为.由题设向量关系，得到，代入双曲线k =8C m ⎫⎪⎪⎭方程，求得4m =【详解】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，E ())12,F F 且，得，1c a ==1b =故曲线的方程为；E ()2210x y x -=<设，由题意建立方程组，()()1122,,,A x y B x y 221{1y kx x y =--=消去，得，y ()221220kxkx -+-=又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，A B 、()()22212212210Δ2810201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎪-⎨+=<⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩1k <<-（2）2AB x =-===依题意得，整理后得，=422855250k k -+=∴或，但∴257k =254k=1k <<-k =故直线，AB 10y ++=设，由已知，得，()00,C x y OA OB mOC +=()()()112200,,,x y x y mx my +=∴，()()121200,,,0x x y y x y m m m ++⎛⎫=≠⎪⎝⎭又，()2121212222222228111k k x x y yk x x k k k +==-+=+-=-==---∴点，8C m ⎫⎪⎪⎭将点的坐标代入曲线的方程，得得，C E 2280641m m -=4m =±但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，4m =-∴，点的坐标为，到，4m =()2C AB13∴的面积ABC 1123S =⨯=22．函数，.()ln(1)f x ax x =-+()sin g x x =（1）试讨论的单调性；()f x （2）若恒成立，求实数的集合；()0f x ≥a M （3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.a M ∈()f x ()g x 【答案】（1）当时，在上是减函数，在上是增函数，当时，0a >()f x 1(1,1)a --11,a⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭0a ≤在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.()f x ()1,-+∞{}1【分析】（1）求导，利用解不等式，分类讨论即可；()0f x '>（2）利用（1）中的单调性结论求的最小值，可得关于的不等式，再解关于的不等式即可；()f x a a （3）令，原问题转化为的根的个数问题，讨论的单调性，找()ln(1)sin x x x x ϕ=-+-()0x ϕ=()ϕx 出根的个数即可.【详解】（1）定义域为：，，1x >-1()1f x a x -'=+由得：，()0f x '>(1)1a x +>当时，，0a >111x a >->- 在上是减函数，在上是增函数，∴()f x 1(1,1)a --11,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭当时，，a<0111x a <-<- 在上是减函数，∴()f x ()1,-+∞当时，，在上是减函数，0a =()ln(1)f x x =-+()1,-+∞综上所述，当时，在上是减函数，在上是增函数，0a >()f x 1(1,1)a --11,a⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 当时，在上是减函数.0a ≤()f x ()1,-+∞（2）由（1）知，当时，，0a >min 111()(1)(1)ln 1ln f x f a a aa a a =-=--=-+由恒成立得，，()0f x ≥1ln 0a a -+≥设，，1(n )l x x g x -+=0x >，1()1g x x '=-+由得：，()0g x '>1x < 在上是增函数，在上是减函数，∴()g x (0,1)[)1,+∞，∴max ()(1)0g x g ==，∴1ln 0a a -+≤要使恒成立，则，∴1ln 0a a -+≥1a =当时，在上是减函数，且，0a ≤()f x ()1,-+∞(0)0f =当，，不合题意，∴0x >()0f x <综上所述，实数的集合；a {}1M =（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，()()f x g x =当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：1a =()f x ()g x 由得，，()()f x g x =ln(1)sin 0x x x -+-=令，()ln(1)sin x x x x ϕ=-+-因为，所以是的一根，(0)0ϕ=0x =()0x ϕ=，1()1cos 1x x x ϕ-+'=-，当时，，，1︒10x -<<1101x -<+cos 0x >所以，在上单调递减，，()0x ϕ'<()ϕx (1,0)-()(0)0x ϕϕ>=即在上无实根；()0x ϕ=(1,0)-，当时，，2︒03x <<[]21()sin 0(1)x x x ϕ''=+>+所以在上单调递增，()x ϕ'(0,3)又，，2()1022πϕπ'=->+(0)10ϕ'=-<所以在上有唯一实数根，，()0x ϕ'=(0,3)0x 0(0,)2x π∈且满足，011cos 1x x -=+①当时，，在上单调递减，00x x <<()0x ϕ'≤()ϕx (]00,x 此时，在上无实根；()(0)0x ϕϕ<=()0x ϕ=(]00,x ②当时，，在上单调递增，03x x <<()0x ϕ'>()ϕx 0(,3)x 此时，121202()()ln(1)1ln ln(1)ln ln ln1022221122e x e ππππππϕϕππ--<=-+-=-+=<<=++，2(3)3ln 4sin 33ln 10e ϕ=-->--=故在上有唯一实根；()0x ϕ=0(,3)x ，当时，由（1）知，在上单调递增，3︒3x ≥ln(1)1y x x =-+-(0,)+∞所以，ln(1)13ln 4122ln 22(ln ln 2)2ln02ex x e -+-≥--=-=-=>故()ln(1)1(1sin )0x x x x ϕ=-+-+->即在上无实根；()0x ϕ=(3,)+∞综合，，得，有且仅有两个实根，即的图象与的图象有且仅有2个交点.1︒2︒3︒()0x ϕ=()f x ()g x 【点睛】（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准是解此题的关键；（2）关于恒成立问题，我们首先看能否分离参数，不能分离参数时要分类讨论，注意分类要做到不重复，不遗漏；（3）关于两个函数的交点个数问题，我们一般采用画图法，如果不能画图，构造一个函数，讨论的根的个数问题.()()()x f x g x ϕ=-()0x ϕ=。

【压轴卷】高二数学上期末试题附答案

【压轴卷】高二数学上期末试题附答案一、选择题1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A．B．C．D．2．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中a的值为 0.040B．样本数据低于130分的频率为 0.3C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．3164．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（）（参考数据：0020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯6．把化为五进制数是（） A ．B ．C ．D ．7．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（） A ．310B ．25C ．12D ．358．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．9．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71210．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球11．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（） A ．13B ．49C ．59D ．2312．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5二、填空题13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．15．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．16．某程序框图如图所示，若输入的4t =，则输出的k =______．17．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为____．18．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________， 19．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．三、解答题21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y ，（单位：千元）的数据资料，算出101010102111180,20184,720ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，，附：线性回归方程1221ˆˆˆˆˆˆ,,ni ii nii x y nxyybx a b ay bx xnx ==-=+==--∑∑，其中,x y 为样本平均值.（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.22．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？23．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率24．某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关？非体育健康A 类学生体育健康A 类学生合计男生女生合计（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：P （20K k ≥）0.05 0.010 0.005 0k3.8416.6357.879()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++25．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1个人为在校学生的概率．26．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示：该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，请你据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重；（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重；（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121ˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．C解析：C 【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．B解析：B 【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．C解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o，当6n =时，332.62S =≈；当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．B解析：B 【解析】【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】因为所以用倒取余数法得323，故选：B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.7．D解析：D 【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．B解析：B【解析】【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程；（2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0．（1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=．（1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分（3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5，解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分（2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0，则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）．所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

【压轴卷】高二数学上期末试卷带答案

【压轴卷】高二数学上期末试卷带答案一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（） A ．910B ．710C ．310D ．1103．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（） A ．112B ．12C ．13D ．164．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A．1B．-1C．0D．-26．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，L，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．14087．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．138．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．310B．25C．12D．359．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．17B ．14C ．13D ．41310．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定12．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（） A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___ 14．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．15．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____. 16．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为____．17．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 18．执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n =_______________．19．在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin6x π>的概率是__________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a 的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？22．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.23．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结质量指标值 [)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228（1）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）. 质量指标值分组频数频率 [)75,8560.06[)85,95[)95,105[)105,115 [)115,125合计100124．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y （千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下时间代号t1 2 3 4 5 z1235（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 25．某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组[2,6)，[6,10)，____________=，[14,18)，[18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量.（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.26．为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A 为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P （A ）=0.75.（1）求,a b 的值；（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360．则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？故选A ．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．A解析：A 【解析】【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．C解析：C 【解析】【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===．故选C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：1,2i S ==，此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=；此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=；此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.6．B解析：B 【解析】【分析】【详解】分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：共有318C 17163=⨯⨯种事件数，选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，由1、4、7、10、13、16，可得4种，由2、5、8、11、14、17，可得4种，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7．D解析：D 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．【详解】如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==．故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．8．D解析：D 【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．A解析：A 【解析】【分析】根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可【详解】设DE x =，因为D 为BE 中点，且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形所以2BE x =，CE x =，120CEB ∠=︒所以由余弦定理得：2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-⋅⋅∠222142272x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭即BC =，设DEF V 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S因为DEF V 与ABC V 相似所以21217S DE P S BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：A10．B解析：B 【解析】【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)(1)

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)(1)一、选择题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中a的值为 0.040B．样本数据低于130分的频率为 0.3C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等2．将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．112B．15C．115D．2153．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．114．下列赋值语句正确的是()A ．s ＝a ＋1B ．a ＋1＝sC ．s －1＝aD ．s －a ＝15．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度6．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19367．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元8．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <9．执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（）A ．8-B ．4-C ．4D ．810．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2911．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（） A ．13B ．49C ．59D ．2312．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．36二、填空题13．已知实数]9[1x ，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．15．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为_____．16．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．17．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a =18．已知AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为锐角三角形的概率_________．19．如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.22．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？23．（1）用秦九韶算法求多项式5432()54323f x x x x x x =++++-当2x =时的值；（2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.24．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S 店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a，b的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S店是否需要停业整顿．25．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；(2)记实验次数为X，求X的分布列及数学期望．26．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a=；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.2．C解析：C 【解析】【分析】将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.3．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束；令329367a -=，解得5a =. 故选C.4．A解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.5．A解析：A 【解析】【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误．【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．6．C解析：C 【解析】【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率。

【压轴卷】高二数学上期末试题(带答案)

【压轴卷】高二数学上期末试题(带答案)一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t=-，则输出t的值等于( )A．3B．5C．7D．152．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．3163．执行如图所示的程序框图，若输入8x=，则输出的y值为（）A．3B．52C．12D．34-4．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S=（单位：升），则输入的k=（）A．9B．10C．11D．125．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为()A ．3.1B ．3.2C ．3.3D ．3.46．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π7．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球8．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（） A ．13B ．49C ．59D ．239．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.510．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A．10 B．17 C．19 D．3611．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A．48B．60C．64D．7212．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）A．25B．35C．23D．15二、填空题13．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E，连成一条弦BE，则弦长超过圆内接正BCD边长的概率是__________．15．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．16．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________17．已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．18．将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______. 19．向面积为20的ABC ∆内任投一点M ，则使MBC ∆的面积小于5的概率是__________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.22．为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元，具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.（1）若该高中学校有2000名在校学生，编号分别为0001，0002，0003，…，2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.（写出必要的步骤）（2）该校根据助学金政策将助学金分为3档，1档每年3000元，2档每年2000元，3档每年1000元，某班级共评定出3个1档，2个2档，1个3档，若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想，求这2名同学不在同一档的概率.23．市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t ），频数分布如下：分组 [0,0.5) [0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5) [2.5,3) [3,3.5)[3.5,4) [4,4.5]频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）；（2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.24．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,ni ii x ynx b ay bx xy nx=--==--∑∑$$. 25．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； (2)记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望．26．1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星. （1）为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；①y ax b =+；②(1)xy a b c b =⋅+>；③log (1)b y a x c b =⋅+>.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<，不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．B解析：B 【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=，满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．D解析：D 【解析】【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =，S k =； 2n =，22k k S k =-=； 3n =，263k k k S =-=； 4n =，33124k k kS =-==，所以12k =. 故选：Ｄ. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.5．B解析：B 【解析】【分析】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：7951000S S =圆正，得解．【详解】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型可得：7951000S S =圆正，所以79543.21000π⨯=≈，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．6．A解析：A【解析】试题分析：设扇形OAB半径为，此点取自阴影部分的概率是11-，故选B.2π考点：几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.7．C解析：C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；本题选择C选项.【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．8．C解析：C【解析】【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，则0≤x≤15，0≤y≤15，两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足{（x ，y ）|0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515x y ≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59，故选：C 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．9．A解析：A 【解析】【分析】计算得到 4.5x =，114t y +=，代入回归方程计算得到答案. 【详解】3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144t t y ++++==，中心点(),x y 过ˆ0.70.35yx =+，即114.50.70.354t +=⨯+，解得3t =. 故选：A . 【点睛】本题考查了回归方程的相关问题，意在考查学生的计算能力.10．C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ．考点：程序框图． 11．B解析：B 【解析】【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=，所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=，故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.12．A解析：A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析：35由题意可知，2次检测结束的概率为22225110ApA==，3次检测结束的概率为31123232335310A C C ApA+==，则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p=--=--=.14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r，劣弧CD的长度是23rπ，圆的周长为2rπ，所以()21323rP Arππ==，故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.15．1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S解析：【解析】【分析】由题意，得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分，所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.16．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18【解析】【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为x+⨯=，即可解得.1725443【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.17．【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有个然后求出任取集合U 的两个子集AB 的个数m 及时AB 的所有个数n 根据可求结果【详解】解：集合23的子集有个集合AB 是集合U 的子集任取集合U 的两个子集AB 的所有个解析：3()4n【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有2n 个，然后求出任取集合U 的两个子集A 、B 的个数m ，及A B ⊆时A 、B 的所有个数n ，根据nP m=可求结果. 【详解】解：Q 集合{1,U =2，3，⋯，}n 的子集有2n 个，Q 集合A 、B 是集合U 的子集，∴任取集合U 的两个子集A 、B 的所有个数共有22n n ⨯个，A B ⊆Q ，①若A =∅，则B 有2n 个，②若A 为单元数集，则B 的个数为112n nC -⨯个， ⋯同理可得，若{1,A =2，3}n ⋯，则B =n 只要1个即012n n C =⨯，则A 、B 的所有个数为112202222(12)3n n n n n nn n n C C C --+⨯+⨯+⋯+⨯=+=个，集合A 紧跟集合B ”的概率为33()224n nn n P ==⨯．故答案为3()4n【点睛】本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定．18．65【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为再设红球在红盒内的概率为黄球在黄盒内的概率为红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为则红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得则即故答案为解析：65 【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P ，再设红球在红盒内的概率为1P ，黄球在黄盒内的概率为2P ，红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为3P ，则()1231P P P P =-+-:P 红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得，1234!3!,5!5!P P P ===，则()1234!3!131125!5!20P P P P ⎛⎫=-+-=-⨯-=⎪⎝⎭，即0.65P =，故答案为0.65. 19．【解析】分析：在内任投一点要使的面积小于5根据几何关系求解出它们的比例即可详解：记事件{的面积大于5}基本事件是的面积如图：事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积（DE 分别是三角形的边上的四等分点）且解析：716【解析】分析：在ABC ∆内任投一点M ，要使MBC ∆的面积小于5，根据几何关系求解出它们的比例即可.详解：记事件A ={MBC ∆的面积大于5}，基本事件是ABC ∆的面积，如图：事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积（D 、E 分别是三角形的边上的四等分点），ADE ABC ∆~∆Q ，且相似比为34，239416ADE ABC S S ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， ()916ADE ABC S P A S ∆∆∴==. ∴MBC ∆的面积小于5的概率是()97111616P A -=-=. 故答案为：716. 点睛：本题考查几何概型，解答此题的关键在于明确测度比是面积比，对于几何概型常见的测度是长度之比、面积之比、体积之比、角度之比，要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解，属于中档题.20．【解析】分析：根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解：由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标解析：14π-【解析】分析：根据题意，求出区间[,]-ππ内随机取两个数分别记为,a b ，以及对应平面区域的面积，再求出满足调价使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的所对应的平面区域的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.详解：由题意，使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点，则222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥，在平面直角坐标系中,a b 的取值范围，所以对应的区域，如图所示，当,[,]a b ππ∈-对应的面积为边长为2π的正方形，其面积为24π，所以其概率为2324144ππππ-=-.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，对于几何概型概率可以为线段的长度比，区域的面积、几何体的体积比等，其中这个“几何度量”值域大小有关，与形状和位置无关，解决的步骤为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”，在求出总的事件所对应的“几何度量”，最后根据公式求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题21．（1）0.001a =（2）平均数、中位数、众数依次为80，81，80 【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得20.0020.0040.0090.0130.0200.05a +++++=，解得0.001a =. （2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，可得平均数为：200.02400.08600.18800.41000.261200.041400.0280x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数为x ，则0.020.080.18(70)0.0200.5x +++-⨯=，解得81x =. 根据众数的概念，可得此频率分布直方图的众数为：80，因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80，81，80. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，平均数、中位数和众数的求解，其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．（1）见解析；（2）()1115P A = 【解析】【分析】（1）第一步编号分组，第二步抽样；（2）先用枚举法确定从6名学生选2名的总事件数，再从中确定2名同学不在同一档的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）第一步：分组.将2000名学生分成50组，每组40人，编号是0001～0040的为第1组，编号为0041～0080的为第2组，…，编号为1961～2000为第50组；第二步：抽样.在第1组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为m 的学生，则在第k 组抽取编号为()401k m -+的学生.每组抽取一人，共计抽取50名学生.（2）记该班3个1档的学生为1A ，2A ，3A ，2个2档的学生为1B ，2B ，1个3档的学生为1C ，从该班获得助学金的同学中选择2名同学不在同一档为事件A .基本事件：12A A ，13A A ，11A B ，11A B ，11A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，31A B ，32A B ，31A C ，12B B ，11B C ，21B C ，共计15个.事件A 包含的基本事件共有11个，则()1115P A =【点睛】本题考查系统抽样以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 23．（1）直方图见解析；（2）2.02；（3）2.02. 【解析】分析：（1）根据表格中数据，求出所缺区间的纵坐标，即可将频率分布直方图补充完整；（2）根据直方图可判断中位数应在[)2,2.5组内，设中位数为x ，则()0.4920.500.5x +-⨯=，解得 2.02x =；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到本市居民月均用水量的平均数. 详解：（1）频率分布直方图如图所示:（2）∵0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5， 0.04＋0.08＋0.15＋0.22＋0.25＝0.74＞0.5， ∴中位数应在[2，2.5)组内，设中位数为x ，则0.49＋(x －2)×0.50＝0.5，解得x ＝2.02．故本市居民月均用水量的中位数的估计值为2.02．（3）0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25 ＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02 ＝2.02．故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02．点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.24．（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元【解析】【分析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案．【详解】（1）34564.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=．故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510yx =+>，解得111314x >．故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 25．（1）37；（2）x 的分布列为 x1234p1328928528128()14E x =【解析】【分析】【详解】（I ）1126283()7C C P A C == （II ）1122622813(1)28C C C P X C +===；2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⋅=； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⋅⋅=；；X 的分布列为 X1234P13289285281281395125()12342828282814E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到．而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题．26．（1）模型②符合题意（2）见解析（3）2.8AU【解析】【分析】（1）画出散点图，根据图形得到答案.（2）将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入x y a b c =⋅+得到解析式，再验证得到答案.（3）取4x =，代入计算得到答案.【详解】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意（2）将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入x y a b c =⋅+得230.711.6a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得0.15,2,0.4a b c ===，所以()*0.1520.4x y x =⨯+∈N当5x =时，50.1520.4 5.2y =⨯+=.当6x =时，60.1520.410y =⨯+=.与已知表中数据完全吻合.（3）当4x =时，40.1520.4 2.8AU y =⨯+=，即谷神星距太阳的距离为2.8AU 【点睛】本题考查了散点图，函数解析式，意在考查学生的应用能力和计算能力.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

0.35
第3组
170,175
①
第4组
175,180
0.20
第5组
180,185
0.10
1 求出频率分布表中 ① 处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图； 2 根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数 ( 结果都保留两位小数
)．
26．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了 25 名学生的数学成绩（单位：分），发现这 25 名学生成绩均在 90～150 分之间，于是按
（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间 0, 2， 2, 4， 4, 6的大学生中抽取 6
人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人取自不同使用时间区间的概率. 24．某新上市的电子产品举行为期一个星期（7 天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】
由一组数据的茎叶图得：
该组数据的平均数为：
1 (75 81 85 89 95) 85 ． 5 故选：A．
【点睛】
本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是
20．在区间[, ] 内随机取出两个数分别记为 a 、 b ，则函数 f (x) x2 2ax b2 2 有
零点的概率为__________．
三、解答题
21．某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间
是：[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100] .
4．高二某班共有学生 60 名，座位号分别为 01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样
的方法，抽取一个容量为 4 的样本.已知 03 号、18 号、48 号同学在样本中，则样本中还有
一个同学的座位号是（）
A．31 号
B．32 号
C．33 号
D．34 号
5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是 Pn P0 1 k n
【压轴题】高二数学上期末试题含答案
一、选择题
1．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）
A．85
B．84
C．83
D．81
2．将 A，B，C，D，E，F 这 6 个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满
足 A，B，C 三个字母连在一起，且 B 在 A 与 C 之间的概率为（）
11.1
12.1
支出 y 万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程
yˆ
bˆx
aˆ
，其中
b
0.78
，
a
y
b
x
元，据此估计，该社
区一户收入为 16 万元家庭年支出为（）
A．12.68 万元
B．13.88 万元
C．12.78 万元
D．14.28 万元
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的 a 1，则输出的 S
现采用分层抽样法抽取一个容量为 45 的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分
别为
．
19．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．
数据： a1 9.3， a2 9.6 ， a3 9.3 a4 9.4 ， a5 9.4 ， a6 9.3 a7 9.3 ， a8 9.7 ， a9 9.2 a10 9.5 ， a11 9.3 ， a12 9.6
满足条件的有 18 种，故 p 18 1 ， 36 2
故选： C
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
7．A
解析：A 【解析】
【分析】
由已知求得 x ， y ，进一步求得 a ，得到线性回归方程，取 x 16 求得 y 值即可．
【详解】
x 8.3 8.6 9.9 11.112.1 10 ， y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 8 ．
78,68、 78,72 、 78,73 、 78,85 、78,89 、 78,93 82,68 、 82,72、 82,73 、 82,85 、 82,89 、 82,93
85,68 、 85,72 、 85,73 、 85,85 、 85,89 、 85,93
92,68、 92,72 、 92,73 、 92,85 、92,89 、 92,93
xi yi nx y
参考公式： b i1 n
2
xi x
i1 n
xi 2
n
2
x
，a y bx
i 1
i 1
25．某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分
组，得到的频率分布表如表：
组号
分组
频率
第1组
160,165
0.05
第2组
165,170
( )．
A．①
B．②④
C．③
D．①③
11．定义运算
a
b
为执行如图所示的程序框图输出的
S
值，则式子
tan
π 4
cos
2π 3
的值是
A．－1
B． 1 2
C．1
D． 3 2
12． 2 路公共汽车每 5 分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超
过两分钟的概率是（）
A． 2 5
二、填空题
90,100 ，100,110 ，…，140,150 分成 6 组，制成频率分布直方图，如图所示：
（1）求 m 的值；
（2）估计这 25 名学生数学成绩的平均数；
（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在130,150 内的同学中随机选
出 2 名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.
A． 1 12
B． 1 5
C． 1 15
3．己知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间的关系如下表：
D． 2 15
若求得其线性回归方程为 yˆ 6.5x aˆ ，其中 aˆ y bˆx ，则预计当广告费用为 6 万元时
的销售额是（）
A．42 万元
B．45 万元
C．48 万元
D．51 万元
50 人使用手机的时间分成 5 组： 0, 2， 2, 4， 4,6， 6,8， 8,10分别加以统计，
得到下表，根据数据完成下列问题：
使用时间/时 0, 2
2, 4
4, 6
6,8
8,10
大学生/人 5
10
15
12
8
（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；
A．2
B．3
C．4
9．按照程序框图（如图所示）执行，第 3 个输出的数是（
D．5 ）
A． 6
B． 5
C． 4
D． 3
10．从 1,2,3，…，9 中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个
奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一
个偶数．在上述事件中，是对立事件的是
数进行统计， y 表示第 x 天参加该活动的人数，得到统计表格如下：
x
1
2
3
4
5
y
4
ห้องสมุดไป่ตู้
6
10
23
22
（1）若 y 与 x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的
线性回归方程 y bx a ；
（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）．
n
n
xi x yi y
（1）求图中 a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均数与中位数. 22．市政府为了节约用水，调查了 100 位居民某年的月均用水量（单位： t ），频数分布如下：
分组 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5, 4)
（ k 1）， Pn 为预测人口数， P0 为初期人口数， k 为预测期内年增长率， n 为预测期间
隔年数．如果在某一时期有 1 k 0，那么在这期间人口数
A．呈下降趋势
B．呈上升趋势
C．摆动变化
D．不变
6．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为 100 分)的成绩中各随机抽取了 6
ˆ
故选：C．
【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
4．C
解析：C
【解析】【分析】
根据系统抽样知，组距为 60 4=15 ，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.
【详解】
学生 60 名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本,所以组距为 60 4=15 ，已知 03 号，18 号被抽取，所以应该抽取18 15 33 号，
【详解】
x 1 0 1 2 3 4 2 ， y 1 10 15 20 30 35 22 ，
5
5
样本点的中心的坐标为 2, 22 ，
代入 a y b x ，得 a 22 6.5 2 9 ．
y 关于 x 得线性回归方程为 y 6.5x 9 ．
取 x 6 ，可ˆ 得 y 6.5 6 ˆ9 48( 万元 ) ．