2022届高三统考数学文北师大版一轮：第二章第十二节第一课时导数与不等式问题

合集下载

2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析北师大版202

第三节函数的奇偶性与周期性命题分析预测学科核心素养从近五年的高考情况看，本节以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度.本节通过函数奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、等价转化思想以及学生的逻辑推理和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第18页知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数关于原点对称二级结论（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0. （2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.（4）奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（1）若函数y＝f（x＋a）为偶函数，则函数y＝f（x）关于x＝a对称.若函数y＝f（x＋a）为奇函数，则函数y＝f（x）关于点（a，0）对称.（2）若f（x）＝f（2a－x），则函数f（x）关于x＝a对称；若f（x）＋f（2a－x）＝2b，则函数f（x）关于点（a，b）对称.必明易错1.判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.f （x ）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f （－x ）＝－f （x ）或f （－x ）＝f （x ），而不能说存在x 0使f （－x 0）＝－f （x 0）或f （－x 0）＝f （x 0）.3.判定分段函数的奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性.f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2＋1x ，则f （－1）等于（）解析：∵f （x ）是R 上的奇函数，∴f （－1）＝－f （1）. 又∵f （1）＝12＋1＝2，∴f （－1）＝－2. 答案：Af （x ）＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是（） A.－13B.13C.12D.－12解析：∵f （x ）是偶函数，∴b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.答案：B3.（易错题）设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2＋4x －3，则函数f （x ）的解析式为f （x ）＝__________.解析：设x ＜0，则－x ＞0，所以f （x ）＝－f （－x ）＝－[（－x ）2＋4（－x ）－3]＝－x 2＋4x ＋3，由奇函数的定义可知f （0）＝0，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2＋4x ＋3，x ＜0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2＋4x ＋3，x ＜0知识点二函数的周期性（1）周期函数对于函数y ＝f （x ），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f （x ＋T ）＝f （x ），那么就称函数y ＝f （x ）为周期函数，称T 为这个函数的周期. （2）最小正周期如果在周期函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f （x ）的最小正周期. •温馨提醒•对f （x ）定义域内任一自变量x ：（1）若f （x ＋a ）＝－f （x ），则T ＝2a （a ＞0）. （2）若f （x ＋a ）＝1f （x ），则T ＝2a （a ＞0）.（3）若f （x ＋a ）＝－1f （x ），则T ＝2a （a ＞0）.（1）若函数f （x ）的图像关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f （x ）必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期.（2）若函数f （x ）的图像关于点（a ，0）和点（b ，0）对称，则函数f （x ）必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期.（3）若函数f （x ）的图像关于点（a ，0）和直线x ＝b 对称，则函数f （x ）必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期.R 上的函数f （x ）满足f （x ）＝－f （x ＋2），当x ∈（0，2]时，f （x ）＝2x ＋log 2x ，则f （2 019）＝（） A.5 B.12 C.2D.－2解析：由f （x ）＝－f （x ＋2），得f （x ＋4）＝f （x ），所以函数f （x ）是周期为4的周期函数，所以f （2 019）＝f （504×4＋3）＝f （3）＝f （1＋2）＝－f （1）＝－（2＋0）＝－2. 答案：Df （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1）时，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝__________.解析：f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1授课提示：对应学生用书第19页题型一函数奇偶性的判断f （x ）＝x 2x －1，g （x ）＝x2，则下列结论正确的是（）A.h （x ）＝f （x ）＋g （x ）是偶函数B.h （x ）＝f （x ）＋g （x ）是奇函数C.h （x ）＝f （x ）g （x ）是奇函数D.h （x ）＝f （x ）g （x ）是偶函数解析：易知h （x ）＝f （x ）＋g （x ）的定义域为{x |x ≠0}.因为f （－x ）＋g （－x ）＝－x2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x （1－2x）－x 1－2x－x 2＝x 2x －1＋x 2＝f （x ）＋g （x ），所以h （x ）＝f （x ）＋g （x ）是偶函数. 答案：A2.（2021·某某模拟）下列函数为偶函数的是（） A.y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B.y ＝x 2＋e |x | C.y ＝x cos xD.y ＝ln|x |－sin x解析：对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f （x ）＝x 2＋e |x |，则f （－x ）＝（－x ）2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f （x ），所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f （x ）＝x cos x ，则f （－x ）＝－x cos （－x ）＝－x cos x ＝－f （x ），所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f （x ）＝ln|x |－sin x ，则f （2）＝ln 2－sin 2，f （－2）＝ln 2－sin （－2）＝ln 2＋sin 2≠f （2），所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数. 答案：Bf （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，0，x ＝0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性.解析：法一：（定义法）取x ＞0，则－x ＜0， ∴f （－x ）＝（－x ）2＋（－x ）＝x 2－x ＝－（－x 2＋x ）＝－f （x ）. 取x <0，则－x >0，∴f （－x ）＝－（－x ）2＋（－x ）＝－x 2－x ＝－（x 2＋x ）＝－f （x ）.又f （0）＝0， ∴f （x ）为奇函数.法二：（图像法）作出f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，0，x ＝0，－x 2＋x ，x >0f （x ）为奇函数.1.判断函数奇偶性的两个必备条件（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域. （2）判断f （x ）与f （－x ）是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为f （x ）＋f （－x ）＝0（奇函数）或f （x ）－f （－x ）＝0（偶函数）是否成立.（1）函数f （x ）＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f （x ）＝a x －a －x 为奇函数. （2）函数f （x ）＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1（a >0且a ≠1）为奇函数. （3）函数f （x ）＝log ab －x b ＋x 为奇函数.（4）函数f （x ）＝log a （x 2＋1±x ）为奇函数. 题型二函数的周期性f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2（1－x ），0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N ＋，定义f n （x ）＝，那么f 2 019（2）的值为（）解析：因为f 1（2）＝f （2）＝1，f 2（2）＝f （1）＝0，f 3（2）＝f （0）＝2，f 4（2）＝f （2）＝1，所以f n （2）的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 019（2）＝f 3×673（2）＝f 3（2）＝2. 答案：CR 上的函数f （x ）满足f （x ＋2）＝f （x ），且当x ∈[0，2）时，f （x ）＝2x －x 2，则f （0）＋f （1）＋f （2）＋…＋f （2 019）＝__________.解析：因为f （x ＋2）＝f （x ），所以函数f （x ）的周期T ＝2，因为当x ∈[0，2）时，f （x ）＝2x －x 2，所以f （0）＝0，f （1）＝1，所以f （0）＝f （2）＝f （4）＝…＝f （2 018）＝0，f （1）＝f （3）＝f （5）＝…＝ff （0）＋f （1）＋f （2）＋…＋f （2 019）＝1 010. 答案：1 010f （x ）满足f （x ＋4）＝f （x ）（x ∈R ）.且在区间（－2，2]上，f （x ）＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f （f （15））的值为__________.解析：由函数f （x ）满足f （x ＋4）＝f （x ）（x ∈R ），可知函数f （x ）的周期是4，所以f （15）＝f （－1）＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f [f （15）]＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22.答案：22函数周期性的判定与应用（1）判定：判断函数的周期性只需证明f （x ＋T ）＝f （x ）（T ≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T .（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT （k ∈Z 且k ≠0）也是函数的周期.题型三函数性质的综合应用命题角度有：（1）单调性与奇偶性结合；（2）周期性与奇偶性结合；（3）单调性、奇偶性与周期性结合.[例1]（2020·高考全国卷Ⅱ）设函数f （x ）＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f （x ）（） A.是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增 B.是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减 C.是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D.是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 [解析] f （x ）＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f （－x ）＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1| ＝－f （x ），∴f （x ）为奇函数，故排除A ，C.又当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时，f （x ）＝ln （－2x －1）－ln （1－2x ）＝ln －2x －11－2x ＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y＝1＋22x－1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减.[答案] D1.利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化.f（x）＝f（|x|）的应用.考法（二）周期性与奇偶性的综合问题[例2]（2021·某某模拟）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x＋1）＝－f（x－1），若f（－1）＞1，f（5）＝a2－2a－4，则实数a的取值X围是（）A.（－1，3）B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）[解析]由f（x＋1）＝－f（x－1），可得f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，则f（5）＝f（1）＝a2－2a－4，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，f （－1）＞1，所以f（1）＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.[答案] A此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.考法（三）单调性、奇偶性与周期性的综合问题[例3]已知定义在R上的偶函数满足：f（x＋4）＝f（x）＋f（2），且当x∈[0，2]时，y＝f （x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）＝0；②x＝－4为函数y＝f（x）图像的一条对称轴；③函数y＝f（x）在[8，10]上单调递增；④若方程f（x）＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为__________.[解析]据已知抽象函数关系式f（x＋4）＝f（x）＋f（2）可得f（－2＋4）＝f（－2）＋f（2），又函数为偶函数，故有f（2）＝f（－2）＋f（2）＝2f（2）⇒f（2）＝0，即①正确，因此f（x）＝f（x＋4），即函数是以4为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图像必关于y轴即直线x ＝0对称，又其周期为4，故x＝－4也为函数图像的一条对称轴，即②正确；又已知函数在区间[0，2]上单调递减，故将其图像沿x轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8，10]上也单调递减，故③错误；如图所示，若方程f（x）＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故④正确，综上所述，命题①②④正确. [答案]①②④对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.[题组突破]1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值X围是（）A.[－1，1]∪[3，＋∞）B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞）D.[－1，0]∪[1，3]解析：因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，则ff（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，画出函数f（x）的大致图像如图（1）所示，则函数f（x－1）的大致图像如图（2）所示.当x≤0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1）≥0，得1≤x≤3.故满足xf（x－1）≥0的x的取值X围是[－1，0]∪[1，3].答案：DR上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A.f（－25）＜f（11）＜f（80）B.f（80）＜f（11）＜f（－25）C.f（11）＜f（80）＜f（－25）D.f（－25）＜f（80）＜f（11）解析：因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f （80）＝f（0），f（11）＝f（3）.由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f（1）.因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[－2，2]上是增函数，所以f（－1）＜f（0）＜f（1），即f（－25）＜f（80）＜f（11）.答案：Df（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f（1）＝2，则f （1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝__________.解析：法一：因为f （1－x ）＝f （1＋x ），所以函数f （x ）的图像关于直线xf （x ）是奇函数，所以函数f （xf （xf （x ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，所以ff （1－x ）＝f （1＋x ），所以当x ＝1时，f （2）＝f （0）＝0；当x ＝2时，f （3）＝f （－1）＝－f （1）＝－2；当x ＝3时，f（4）＝f （－2）＝－f （2）＝0.综上，可得f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f （50）＝12×[f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）]＋f （1）＋f （2）＝12×[2＋0＋（－2）＋0]＋2＋0＝2.法二：取一个符合题意的函数f （x ）＝2sin πx 2，则结合该函数的图像易知数列{f （n ）}（n ∈N ＋f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f （50）＝12×[f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）]＋f （1）＋f（2）＝12×[2＋0＋（－2）＋0]＋2＋0＝2.答案：2函数奇偶性、周期性应用中的核心素养（一）逻辑推理、数学运算——奇、偶函数的二级结论及应用结论一：若函数f （x ）是奇函数，且g （x ）＝f （x ）＋c ，则必有g （－x ）＋g （x ）＝2c . 结论二：若函数f （x ）是奇函数，则函数g （x ）＝f （x －a ）＋h 的图像关于点（a ，h ）对称. 结论三：若函数f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x |）.[例1] 函数f （x ）＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3的图像的对称中心为（） A.（－4，6） B.（－2，3）C.（－4，3）D.（－2，6）[解析] 设g （x ）＝－1x －1－1x －1x ＋1，则g （－x ）＝－1－x －1－1－x －1－x ＋1＝1x －1＋1x ＋1x ＋1＝－g （x ），故g （xf （x ）＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＝g （x ＋2）＋3，所以函数f （x ）的图像的对称中心为（－2，3）.[答案] B此类问题求解的关键是从所给函数式中分离（或变形）出奇函数，进而得出图像的对称中心，然后利用图像的对称性实现问题的求解.[例2]（2021·永州模拟）已知函数f （x ）＝x 3＋sin x ＋1（x ∈R ），若f （a ）＝2，则f （－a ）＝__________.[解析] 设F （x ）＝f （x ）－1＝x 3＋sin x ，显然F （xF （a ）＝f （a ）－1＝1，所以F （－a ）＝f （－a ）－1＝－F （a ）＝－1，从而f （－a ）＝0.[答案] 0由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数.有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用.（二）创新应用——奇、偶函数与导数的综合问题[例3] 设函数y ＝f （x ）是定义域为R 的奇函数，且满足f （x －2）＝－f （x ）对一切x ∈R 恒成立，当－1≤x ≤1时，f （x ）＝x 3，则下列四个命题：①f （x ）是以4为周期的周期函数；②f （x ）在[1，3]上的解析式为f （x ）＝（2－x ）3；③f （x ）在⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫32处的切线方程为3x ＋4y －5＝0； ④f （x ）的图像的对称轴中，有x ＝±1.其中正确的命题是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④[解析] ∵f （x －2）＝－f （x ）对一切x ∈R 恒成立，∴f （x －4）＝－f （x －2）＝－[－f （x ）]＝f （x ），∴f （x ）是以4为周期的周期函数，①正确；当1≤x ≤3时，－1≤2－x ≤1.∵当－1≤x ≤1时，f （x ）＝x 3，∴f （2－x ）＝（2－x ）3＝－f （x －2）＝f （x ），∴f （x ）＝（2－x ）3，②正确；∵f ′（x ）＝－3（2－x ）2，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫32＝－34.又∵f ⎝⎛⎭⎫32＝⎝⎛⎭⎫2－323＝18，∴f （x ）在⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫32处的切线方程为y －18＝－34⎝⎛⎭⎫x －32，即3x ＋4y －5＝0，③正确；由f （x －2）＝－f （x ）＝f （－x ）知函数图像的一条对称轴为x ＝－1，又∵f （x ）为奇函数，其图像关于原点对称，∴f （x ）的图像的对称轴中，有x ＝1，④正确.[答案] D利用函数的奇偶性和f （x －2）＝－f （x ）可以得出函数的周期为4，然后结合－1≤x ≤1时，f （x ）＝x 3，得到函数在[1，3]上的解析式为f （x ）＝（2－x ）3.利用导数的几何意义求得f （x ）在⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫32处的切线的斜率，即可求得其切线方程.结合函数的奇偶性、周期性就可得到其图像的对称轴.[题组突破] f （x ）＝ln （1＋|x |）－11＋x 2，则使得f （x ）＞f （2x －1）成立的x 的取值X 围是__________. 解析：易知函数f （x ）的定义域为R ，且f （xx ≥0时，f （x ）＝ln （1＋x ）－11＋x 2，易知此时f （xf （x ）＞f （2x －1）⇒f （|x |）＞f （|2x －1|），所以|x |＞|2x －1|，解得13＜x ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎫13，1f （x ）满足f （x ＋1）＝1＋f （x ）1－f （x ），当f （1）＝2时，f （2 018）＋f （2 019）的值为__________. 解析：由f （x ＋1）＝1＋f （x ）1－f （x ），f （1）＝2，得f （2）＝－3，f （3）＝－12，f （4）＝13，f （5）＝2，f （6）＝－3，f （7）＝－12，∴f （x ＋4）＝f （x ），∴f （2 018）＋f （2 019）＝f （2）＋f （3）＝－72. 答案：－72。

高三数学一轮复习第12知识块第1讲归纳与类比课件北师大版

f(9)＝92＋9＋41＝131，
f(10)＝102＋10＋41＝151.
∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数， ∴归纳猜想：当x∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数． ∵n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41＝1 681， ∴f(40)是合数，因此，由上面归纳推理得到的猜想不正确.
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
提示：(1)合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如费马猜想就被欧拉推翻了．(2)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑．否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．演绎推理 (1)模式：一般原理三段论特殊情况特殊情况
第十二知识块
第1讲
【考纲下载】
推理与证明
归纳与类比
1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
1．合情推理 (1) 归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2) 类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
归纳推理的一般步骤： 1．通过观察个别情况发现某些相同本质． 2．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．因为归纳推理是
由特殊得出的一般性结论，所以归纳应立足于观察、经验和实验的基础之上；

2021-2022学年北师大版选择性必修第二册第2章导数的概念导数的几何意义课件(42张)

[跟进训练] 2．求过曲线 y＝f(x)＝x3 上的点(1,1)的切线方程．
[解] 设切线与曲线 y＝f(x)切于点(x0，x30)，则ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝Δx3＋3ΔxΔx2·x0＋3Δx·x20
＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x20．∴lim Δx→0
ΔΔyx＝3x20，即 f′(x0)＝3x20．
A．f′(x0)＜0
B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
B [f′(x0)＝2＞0．]
1234 5
2．已知 y＝f(x)的图象如图，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 B [由图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知 f′(xA)<f′(xB)，选 B．]
所以lim Δx→0
ΔΔyx＝lΔixm→0
(3Δx＋4)＝4．
在本例条件，若 f′(x0)＝0，则 x0 为何值？
[解] Δy＝3(x0＋Δx)2－2(x0＋Δx)－(3x20－2x0) ＝3[x20＋2x0Δx＋(Δx)2]－2(x0＋Δx)－3x20＋2x0 ＝6x0Δx＋3(Δx)2－2Δx 所以ΔΔyx＝6x0＋3Δx－2，所以lΔixm→0 ΔΔyx＝6x0－2，所以 f′(x0)＝6x0－2．由 f′(x0)＝0，得 x0＝13．
2．导数的几何意义 (1)切线：如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切__线__．显然割线 PPn 的斜率是 kn＝fxxnn－－fx0x0．当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．

高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及运算课件理北师大版

∵f(1)=-3,∴切线方程为:y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.
(2)由切点可知k+1=3,1+a+b=3.
对曲线方程求导可得y'=3x2+a,可知3+a=k,
联立上述方程解得b=3.故本题应填3.
(3)设l与函数y=ln x,x∈(0,1)的图像的切点为(x1,ln x1),
则由(ln x)'=1��,(x2)'=2x 得��1��1=2x0=ln��1��-1��-��0��02,x1∈(0,1),
曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )
A.y=-2x
B.y=-x C.y=2x D.y=x
思考求曲线的切线方程要注意什么?
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.
由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.
s=13t3-32t2+2t,那么速度为零的时刻是( D )
A.0 s
B.1 s 末
C.2 s 末 D.1 s 末和 2 s 末
解析:∵s=13t3-32t2+2t, ∴v=s'=t2-3t+2.令 v=0,
则 t2-3t+2=0,解得 t1=1,t2=2.故选 D.
-10-
知识梳理考点自诊
4.(2018 首师大附中月考,9)已知函数 f(x)=23x3-12x2+6,则
数,导数值记为

2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十二讲第1课时导数与函数的单调性学案

学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十二讲第1课时导数与函数的单调性学案（含解析）新人教版班级：科目：第十二讲导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点函数的单调性（1）设函数y＝f（x)在某个区间内__可导__,若f′（x）__>__0，则f（x)为增函数,若f′（x）__<__0，则f（x）为减函数．(2)求可导函数f(x）单调区间的步骤:①确定f(x)的__定义域__；②求导数f′（x）；③令f′（x)__>__0（或f′（x)__<__0)，解出相应的x的范围;④当__f′（x)〉0__时,f（x)在相应区间上是增函数，当__f′（x）<0__时,f(x）在相应区间上是减函数．错误!错误!错误!错误!导数与函数单调性的关系(1）f′（x)〉0(或f′(x)〈0)是f(x)在（a，b)内单调递增（或递减）的充分不必要条件．(2)f′（x)≥0(或f′（x)≤0)（f′(x）不恒等于0)是f(x)在（a,b)内单调递增（或递减）的充要条件．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）(1)若函数f（x)在(a，b）内单调递增，那么一定有f′(x）〉0。

（×）(2）若函数y＝f（x)在(a，b)内恒有f′（x)≥0，则y＝f（x)在（a，b)上一定为增函数．（×)(3）如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．(√）（4)因为y＝错误!的导函数为y′＝错误!，∵x〉0，∴y′<0，因此y＝错误!的减区间为（0，＋∞)．(×）[解析]（1)有可能f′（x)＝0，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞）上为增函数，但f′（x）＝x2≥0。

(2）因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′（x）＝0满足条件，但不具备单调性．（3）如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则此函数f(x）在这个区间内为常数函数，则函数f（x）在这个区间内没有单调性．(4）y＝错误!定义域为(0，1）∪(1，＋∞），因此它的减区间为（0，1)和(1，＋∞）．题组二走进教材2．（理)(选修2－2P26T1改编）（文）(选修1－1P95T1改编)函数f（x）＝x3－6x2的单调递减区间为（A)A．（0,4）B．(0，2)C．(4，＋∞) D．(－∞,0)[解析］f′(x）＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′（x)<0,得0〈x〈4，所以单调递减区间为(0,4)．故选A．3．(理)（选修2－2P32BT1改编)(文）（选修1－1P99BT1改编)已知函数f(x）＝1＋x－sin x,则f(2)，f(3），f(π）的大小关系正确的是（D）A．f(2)>f（3）〉f（π)B．f(3)>f（2）〉f（π)C．f(2）〉f（π）〉f（3) D．f（π)>f(3）〉f（2）[解析］f′(x）＝1－cos x，当x∈(0,π］时,f′（x）>0，所以f（x）在(0，π］上是增函数，所以f（π)>f(3）>f（2)．故选D．4．（理)（选修2－2P31AT3改编）（文）（选修1－1P98AT3改编）已知函数y＝f(x）在定义域(－3,6）内可导，其图象如图，其导函数为y＝f′（x），则不等式f′(x）≤0的解集为__［－1，2］∪［4，6)__。

2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案理含解析北师大版2021

第二节函数的单调性与最值命题分析预测学科核心素养从近五年的情况来看，本节是高考的热点，常考查求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式等，题型有选择题、填空题，也有解答题，多在第（1）问中考查，难度中等.本节通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想以及考生的逻辑推理和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第14页知识点一函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间.二级结论•温馨提醒•函数单调性的常用结论（1）若f（x），g（x）均为区间A上的增（减）函数，则f（x）＋g（x）也是区间A上的增（减）函数.（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）的单调性相同，若k＜0，则kf（x）与f（x）的单调性相反.（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）与y＝－f（x），y＝1f（x）在公共定义域内的单调性相反.必明易错1.若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f（x）在区间（－1，0）上是减函数，在（0，1）上是减函数，但在（－1，0）∪（0，1）上却不一定是减函数.f（x），g（x）在x∈（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）＋g（x）也为增（减）函数，但f（x）·g（x），1f（x）等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.3.易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.y＝x2－6x－6在区间[2，4]上是（）减函数解析：函数y＝x2－6x－6的对称轴为直线x＝3，且抛物线开口向上，所以函数在[2，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数.答案：Cy＝log12（x2－2x）的单调递减区间是（）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.（2，＋∞）D.（－∞，0）解析：因为函数的定义域是（－∞，0）∪（2，＋∞），令g（x）＝x2－2x，由复合函数的单调性可知，原函数的递减区间即为函数g（x）的递增区间，也即为（2，＋∞）.答案：C知识点二函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x∈I，使得f（x）＝M（1）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x∈I，使得f（x）＝M 结论M为最大值M为最小值f （x ）＝2x －1，x ∈[2，6]，则f （x ）的最大值为，最小值为__________.解析：可判断函数f （x ）＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （6）＝25.答案：2 252.（2021·某某模拟）函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2（x ＋4）在区间[－2，2]上的最大值为__________. 解析：由函数的解析式可知f （x ）＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2（x ＋4）在区间[－2，2]上是单调递减函数，则函数的最大值为f （－2）＝⎝⎛⎭⎫13－2－log 2（－2＋4）＝9－1＝8.答案：8y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是__________.解析：先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图像，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图像如图所示.由图像可知，函数的递增区间为[1，2]，[3，＋∞）.答案：[1，2]，[3，＋∞）授课提示：对应学生用书第15页题型一函数单调性的判断与单调区间的求法f （x ）＝ln （x 2－2x －8）的单调递增区间是（） A.（－∞，－2） B.（－∞，1） C.（1，＋∞）D.（4，＋∞）解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＜－2或x ＞4.因此，函数f （x ）＝ln （x 2－2x －8）的定义域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.注意到函数y ＝x 2－2x －8在（4，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f （x ）＝ln （x 2－2x －8）的单调递增区间是（4，＋∞）. 答案：Df （x ）＝ax 2＋1x （其中1＜a ＜3）在x ∈[1，2]上的单调性.解析：设1≤x 1＜x 2≤2，则f （x 2）－f （x 1）＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝（x 2－x 1）⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a （x 1＋x 2）＜12，得a （x 1＋x 2）－1x 1x 2＞0，从而f （x 2）－f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），故当a ∈（1，3）时，函数f （x ）在[1，2]上单调递增.确定已知解析式的函数单调区间的三种方法题型二函数的值域（最值）的求法f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f （x ）的最小值是__________.解析：当x ≤1时，f （x ）min ＝0，当x ＞1时，f （x ）min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f （x ）min ＝26－6. 答案：26－62.（一题多解）对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，设函数f （x ）＝－x ＋3，g（x ）＝log 2x ，则函数h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}的最大值是__________.解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f （x ），g （x ）的图像，依题意，h （x ）的图像如图所示.易知点A （2，1）为图像的最高点，因此h （x ）的最大值为h （2）＝1.法二：依题意，h （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h （x ）＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h （x ）＝3－x 是减函数，所以h （x ）在x ＝2处取得最大值h （2）＝1. 答案：1f （x ）＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝__________.解析：易知f （x ）在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6.答案：6y＝3x－52x＋1的值域为__________.解析：（分离常数法）y＝3x－52x＋1＝32（2x＋1）－1322x＋1＝32－1322x＋1≠32，所以所求函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y⎪⎪y∈R且y≠32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y⎪⎪y∈R且y≠32求函数最值（值域）的方法（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值（值域）.（2）图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点求出最值（值域），若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解.（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求最值（值域）.（4）导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，再结合端点值，求出最值（值域）. （5）换元法：对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（值域）.（6）分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b（a≠0）的函数的值域，经常使用“分离常数法”求解. （7）配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F（x）＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c（a≠0）的函数的值域问题均可使用配方法，求解时要注意f（x）整体的取值X围.题型三函数单调性的应用高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中.常见的命题角度有：（1）比较两个函数值或两个自变量的大小；（2）解函数不等式；（3）利用单调性求参数的取值X 围或值. [例1] 已知函数f （x ）的图像关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）－f （x 1）]（x 2－x 1）＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f （2），c ＝f （e ），则a ，b ，c 的大小关系为（） A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c[解析] 因为f （x ）的图像关于直线x ＝1对称. 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2＞x 1＞1时， [f （x 2）－f （x 1）]（x 2－x 1）＜0恒成立，知f （x ）在（1，＋∞）上单调递减.因为1＜2＜52＜e ，所以f （2）＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f （e ），所以b ＞a ＞c . [答案] D利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解. 考法（二）利用单调性解不等式[例2] 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f （2－x 2）＞f （x ），则实数x 的取值X 围是（）A.（－∞，－1）∪（2，＋∞）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）C.（－1，2）D.（－2，1）[解析]∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零， ∴函数的图像是一条连续的曲线.∵当x ≤0时，函数f （x ）＝x 3为增函数，当x ＞0时，f （x ）＝ln （x ＋1）也是增函数， ∴函数f （x ）是定义在R 上的增函数.因此，不等式f （2－x 2）＞f （x ）等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1. [答案] D利用函数的单调性求解或证明不等式若f （x ）在定义域上（或某一区间上）是增（减）函数，则f （x 1）<f （x 2）⇔x 1<x 2（x 1>x 2），在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f ”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行.需要说明的是，若不等式一边没有“f ”，而是常数，应将常数转化为函数值. 考法（三）利用单调性求参数的取值X 围[例3] （1）（2021·某某模拟）若f （x ）＝－x 2＋4mx 与g （x ）＝2m x ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值X 围是（） A.（－∞，0）∪（0，1] B.（－1，0）∪（0，1] C.（0，＋∞） D.（0，1]（2）已知f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a 的取值X围是（） A.（0，1） B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1[解析] （1）由题意得f （x ）关于直线x ＝2m 对称， ∴2m ≤2，即m ≤1. ∵易知y ＝1x ＋1在[2，4]上是减函数，若2m ＜0，则g （x ）为增函数，故2m ＞0，即m ＞0，综上，0＜m ≤1.（2）∵f （x ）是（－∞，＋∞）上的减函数. ∴当x ≥1时，0＜a ＜1；当x ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －1＋4a ≥0，即17≤a ＜13，综上，a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫17，13. [答案] （1）D （2）C利用函数的单调性求参数的取值X 围根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图像的升降情况，再结合图像求解.[注意] 讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值.[题组突破]R 上的函数f （x ）＝2|x－m |－1（m 为实数）为偶函数，记a ＝f （log3），b ＝f （log 25），c ＝f （2m ），则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析：∵f （x ）为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），∴m ＝0， ∴f （x ）＝2|x |－1.图像如图所示，由函数的图像可知，函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数. ∵a ＝f （log3）＝f （log 23），b ＝f （log 25），c ＝f （0），又log 25＞log 23＞0，∴b ＞a ＞c . 答案：C2.（2021·某某模拟）若函数f （x ）＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a 的取值X 围是（） A.[1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，1）D.（－∞，1]解析：因为函数f （x ）＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，因为函数f （x ）＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞）上不单调，所以aa 的取值X 围是（1，＋∞）. 答案：B3.（2021·某某调研）已知函数f （x ）＝x －a x ＋a 2在（1，＋∞）上是增函数，则实数a 的取值X围是__________.解析：由f （x ）＝x －a x ＋a 2，得f ′（x ）＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0（x ＞1），可得a ≥－x 2，当x ∈（1，＋∞）时，－x 2＜－1. 所以a 的取值X 围是[－1，＋∞）. 答案：[－1，＋∞）函数单调性应用问题中的核心素养（一）逻辑推理——判断函数单调性的核心素养[例1] 已知函数f （x ）对定义在（－∞，2]上的任意两个值x 1，x 2，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f （x 1）成立，且函数满足f （x ＋2）＝f （2－x ），若f （a ）≤f （3），则实数a 的取值X 围是（） A.（－∞，1] B.[3，＋∞）C.[1，3]D.（－∞，1]∪[3，＋∞）[解析] 由函数f （x ）对定义在（－∞，2]上的任意两个值x 1，x 2，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f （x 1）成立可知（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0成立，即函数f（x）是（－∞，2]上的增函数，又函数满足f（x＋2）＝f（2－x），则函数f（x）关于直线x＝2对称，由f（a）≤f（3）可知|a－2|≥|3－2|，所以a－2≤－1或a－2≥1，即a≤1或a≥3.所以实数a的取值X围是（－∞，1]∪[3，＋∞）.[答案] D求解与函数的单调性有关的问题，首先应判断函数的单调性，然后根据函数的单调性求解，而判断函数的单调性需要利用推理论证法.（二）数学抽象——抽象函数中的单调性应用问题[例2]已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，②当x＞0时，f（x）＞－1.（1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调递增函数；（2）若f（1）＝1，解关于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4.[解析]（1）令x＝y＝0，得f（0）＝－1.证明如下：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f（x1－x2）＞－1.又f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1＞f（x2），所以函数f（x）在R上是单调递增函数.（2）由f（1）＝1，得f（2）＝3，f（3）＝5.由f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4得f（x2＋x＋1）＞f（3），又函数f（x）在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}.求解抽象函数问题的切入点与关键点切入点：（1）对于抽象函数的单调性的证明，只能考虑用定义证明；（2）将不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”.关键点：（1）根据单调性定义，赋值构造出f（x2）－f（x1），并与0比较大小；（2）根据已知条件，将所求的不等式转化为f（M）＜f（N）的形式，从而利用单调性求解.[题组突破]f（x）＝x2－（2a＋1）x＋5，若对任意的x1，x2∈（4，＋∞），当x1＞x2时，总有f（x1）－f （x2）＞x2－x1，则实数a的取值X围是__________.解析：由x1＞x2时，总有f（x1）－f（x2）＞x2－x1，可知f（x1）＋x1＞f（x2）＋x2，因此函数h（x）＝f（x）＋x在区间（4，＋∞）上是增函数.因为h（x）＝f（x）＋x＝x2－2ax＋5的单调递增区间是（a，＋∞），因此a≤4.答案：（－∞，4]f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f （x2），且当x＞1时，f（x）＞0.（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，＋∞）上是增函数.证明：（1）因为对定义域内的任意x1，x2都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），令x1＝x，x2＝－1，则有f（－x）＝f（x）＋f（－1）.又令x1＝x2＝－1，得2f（－1）＝f（1）.再令x1＝x2＝1，得f（1）＝0，从而f（－1）＝0，于是有f （－x ）＝f （x ），所以f （x ）是偶函数.（2）设0＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）－f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f （x 1）－⎣⎡⎦⎤f （x 1）＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＝－f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，由于0＜x 1＜x 2，所以x 2x 1＞1，从而f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0，故f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（0，＋∞）上是增函数.。

数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析

第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。

函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。

（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。

(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。

2022届高三统考数学文北师大版一轮：第二章 第十二节 第一课时 导数与不等式问题

2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析北师大版202

高三数学一轮复习 第12知识块第1讲归纳与类比课件 北师大版

2021-2022学年北师大版选择性必修第二册 第2章 导数的概念 导数的几何意义 课件(42张)

高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及运算课件 理 北师大版