含参一元一次方程的解法
含参一元一次方程的解法
B． 8 9Leabharlann 5 C． 3D．
5 3
2．解方程： 0.1 x 3 0.4 x 1 20 0.2 0.5
a 3x a 1 5x 1 4．已知关于x的方程 3 x 2 x 4 x与 2 12 8 有相同的解，求a的值及方程的解。
题型三 含字母系数的 含字母系数的一元一次方程 元 次方程 巩固练习 5．已知关于x的方程 2a ( x 1) (5 a ) x 3b 无解，那 么a＝_____，b＝____。
题型四 绝对值方程 巩固练习 7．解方程： 3x 5 4 8
6．如果关于x的方程 求k值 值。
含参一元一次方程的解法 含参 元 次方程的解法
题型一 复杂一元一次方程 巩固练习 1．解方程： 解方程 2x 5 3 x 1 6 4
题型 两个 题型二 两个一元一次方程解的关系问题 元 次方程解的关系问题 巩固练习 3．若方程 3 2 x 2 2 3 x 的解与关于x的方程 6 2k 2 x 3 的解相同，则 ， k的值为( )
2( kx 3) 1 5(2 x 3) 有无数个解， 3 2 6
8．方程 x 1 x 4 7的解是_______。
1
一元一次方程含参问题
例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程 ，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。 解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习： （1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无 数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。 （3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元 一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
含参的一元一次方程
k 2 1、 2、 4 k 2、0、1、 3、 4、 6
4 为整数 k2 k 2 1、 2、 4
整数解问题
【变式训练】
关于k为整数，则使得方程k_、_1_. 解： kx 9x 5 3
x 8 k 9 8 为整数
k 9 k 9 1、 2、 4、 8 又 k 也为整数 k 8、7、5、1
2m 2m 1 3
m1 x1
4
2
同解问题
【经典例题】
已知关于x的方程x 2m 0与 3x 2m 6x 1 的解相同，求m的 值和方程的解. 解法二： x 2m 0 x 2m
解法三：
将 x 2m 代入 3x 2m 6x 1
得 3 2m 2m 6 2m 1 x 2m 0 2m x
整数解问题
【拓展提升】
已知a为正整数，关于x的方程 3 x a 4 x 41的解为整数，则a的最
2
5
小值为___1___.
解： 3 x 4 x a 41 25 7 x a 41 10 x 10(a 41) 7
a 41为7的最小正倍数
即 a 41 42
a 1
整数解问题
【总结归纳】 解整数解方程的一般步骤 1. 求带有参数的方程的解 2. 根据解的表达式，找出分子(分母)中已知数的约数(倍数) 3. 建立方程求解参数(待定系数)
03 解的个数问题
解的个数问题
【知识讲解】
解关于x的方程：ax b 0
解： ax b 当a 0 时，方程为一元一次方程，有一个解为 x b a 当a 0 时，b 0 0 x 0 方程有无数个解
当a 0 时，b 0
x取任意值等式均成立 0 x b 方程无解
x取任意值等式均不成立
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一． 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）二： 解含有绝对值的一元一次方程一. 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -=119x k=- ∵,x k 均为整数∴91,11k -=±±∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ;(2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数 又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=--∴2,0,2,4m =-测一测1： 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3答案：D方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -=即:179x k =-,x 为正整数,则88k =或-测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k (x +3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2， 代入方程1252(1)3x x --+=中解得k=4测一测1:【易】方程213x +=与202a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A 、7 B 、0 C 、3 D 、5【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得：12=02a --，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和32x k k x -=-解互为相反数，则k 的值为（） A. 143- B. 143 C. 113k =- D. 113k = 【答案】 A首先解方程231x -=得：2x =；把2x =-代入方程32x k k x -=-，得到：232k k x --=-； 得到：143k =- 测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍【答案】由4231x m x -=-可知21x m =-，由23x x m =-可知3x m =∵ 关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的2倍∴2123m m -=⨯解得14m =- 3. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴ 【易】已知方程()2412x a x +=-的解为3x =，则____a = 【答案】根据方程的意义，把3x =代入原方程，得()234312a ⨯+=-，解这个关于a 的方程，得10a =测一测1：【易】 若3x =是方程123x b -=的一个解，则b=________。
含参一元一次方程解的情况
含参一元一次方程解的情况作文一（针对初中学生）同学们，咱们今天来聊聊含参一元一次方程解的情况。
比如说，方程 3x + a = 7，这里的 a 就是参数。
要是 a 等于2，那方程就变成 3x + 2 = 7，很容易算出 x = 5 / 3。
可要是 a 等于 1 呢？方程就成了 3x 1 = 7，解出来 x = 8 / 3。
再看一个例子，ax 5 = 0 这个方程。
如果 a = 0，那不管 x 是多少，方程都不成立，因为 0 乘任何数都得 0，不可能等于 5。
但要是 a = 5，方程就变成 5x 5 = 0，x 就等于 1 啦。
所以呀，含参一元一次方程的解，会因为参数的不同而不同。
咱们做题的时候，可要仔细分析参数的取值，才能求出正确的解哟！作文二（针对家长）各位家长，您家孩子是不是正在学含参一元一次方程解的情况？别着急，我来给您讲讲。
比如说，您孩子遇到这样一个方程 2(x + b) = 10，这里的 b 就是参数。
要是 b 是 1，那方程就是 2(x + 1) = 10，展开算一算，2x + 2 = 10，x 就等于 4。
但要是 b 是 3 呢？方程变成 2(x + 3) = 10，解出来 x = 2 。
还有像 4x + c = 8 这种方程。
要是 c 是 0，那 x 很容易就算出来是 2。
可要是 c 是 4，就得重新算啦，x 就等于 1 。
您看，就这么一个小小的参数，就能让方程的解发生变化。
所以孩子学习的时候，得多练多思考，您在家也可以适当问问孩子，帮他巩固巩固。
作文三（针对数学老师）亲爱的同行们，咱们今天来说说含参一元一次方程解的情况。
在教学中，咱们经常会碰到像 mx + n = p 这样的方程。
比如说，m = 2，n = 3，p = 7 时，方程就是 2x + 3 = 7，学生们很容易算出 x = 2。
但要是 m = 0，n = 5，p = 10 ，这方程就没解啦，因为 0 乘 x 加 5 不可能等于 10 。
含参数的一元一次方程的解法
含参数的一元一次方程1. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴【易】已知方程的解为，则测一测1：【易】若是方程的一个解，则b=________。
测一测2：【易】已知是方程的解，则_________。
⑵【易】某同学在解方程，把处的数字看错了，解得，该同学把看成了_________。
测一测1: 【易】某书中有一道解方程的题：，处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解就是，那么处应该是________2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴【易】若方程与方程的解相同，则的值为_________⑵【中】若关于的方程：与方程的解相同，求测一测1:【易】方程与的解相同，则的值是（）例题3：【中】若关于的方程和解互为相反数，则的值为测一测1：【中】当m=_______时，关于x的方程的解是的解的2倍3.错解问题1.小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值并正确的求出方程的解．2、某同学在对方程=-2去分母时，方程右边的-2没有乘3，这时方程的解为x=2，试求a的值，并求出原方程正确的解．3.、小明同学在解关于x的方程=-1，去分母时，方程右边的-1忘记乘6，因此求得的解为x=2，试求a的值，并求出方程正确的解4.一元一次方程解的情况（分类讨论）例题5：⑴【中】已知方程当此方程有唯一的解时，的取值范围是__________当此方程无解时，的取值范围是__________当此方程有无数多解时，的取值范围是_____⑵【中】关于的方程. 分别求为何值时，原方程：⑴有唯一解⑵有无数多解⑶无解测一测1：【中】若关于的方程有无穷多个解。
求测一测2：【中】已知关于的方程有无数多个解，那么测一测3：【中】已知关于的方程无解，试求=_______5 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴【中】已知关于的方程有整数解，求整数⑵【中】关于的方程是一元一次方程(1)则应满足的条件为:,;(2)若此方程的根为整数,求整数测一测1：【中】关于的方程的解为正整数，则整数的值为( )测一测2：【中】关于的方程的解为正整数,则的值为___________测一测3: 【中】为整数，关于的方程的解为正整数，求例题6：【中】解关于的方程：二：含有绝对值的一元一次方程（1）解方程： 2）探究：当为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解.测一测1：【易】方程的解是_______测一测2：【易】方程的解为________5. 解方程：（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）（2）x﹣=2﹣．（3）．（4）+2(5)．（5）．（6）(7)(8)．(9)．。
一元一次方程含参问题
k
2、解方程：
2x 1 x 1 X=3 (1)3 17 5 2 x 11 0.2 x 0.1 0.5 x 0.1 ( 2) 1 0.6 0.4 1 1 2 (3) [ x ( x 1)] ( x 1) 11 2 2 3 x
5
1、已知方程解的情况求参数
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
Hale Waihona Puke 3、含字母系数的一元一次方程 例3、讨论关于x的方程ax=b的解的情况
1已知关于x的方程2ax15ax3b有无数个解则a是关于x的一元一次方程且x有唯一值则x72a0a4b35练习
一元一次方程的含参问题
1、已知方程解的情况求参数 2、两个一元一次方程同解问题 3、一元一次方程解的情况（分类讨论） 4、整数解问题
基础巩固：
1、若 (m 2) x (k 1) x 11 0 是关于x的一 元一次方程，则m= -2 ，k= -1 。
ax 例1、已知方程 3a x 3 的解是x=4， 2 求a的值。
第3章一元一次方程的含参问题(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解含参一元一次方程的基本概念。含参的一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数，这些参数通常表示未知的常量。它在数学建模和解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个实际速度问题转化为含参的一元一次方程，并通过求解方程来解决问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相对顺利。但我观察到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在未来的教学中，我需要考虑如何更好地调动每个学生的积极性，确保每个人都能在小组活动中得到充分的锻炼。
学生小组讨论时，大家对于含参方程在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在引导讨论时，我发现自己在提问的技巧上还有待提高，有些问题可能不够开放，限制了学生的思考空间。我将在下一次的教学中注意这一点，设计更多具有启发性的问题。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论与合作，共同解决复杂问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解含参一元一次方程的概念，包括参数的概念和含参方程的特点；
-掌握含参一元一次方程的求解方法，特别是换元法和消元法的应用；
-能够将实际问题抽象为含参一元一次方程模型，并进行求解；
-通过对含参方程求解过程的分析，理解方程解的多样性和参数对解的影响。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程含参问题的基本概念、求解方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对含参问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
含参一元一次方程解法
含参一元一次方程的解法1． 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2． 解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．3． 易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项． 易错点3：移项忘记变号．【巩固1是关于x．【巩固2】方程去分母正确的是（ ） AB． CD【巩固31.1 一元一次方程的巧解求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．知识导航基础巩固知识回顾【例1】⑴【例2】 解方程：⑴⑵()()1123233211191313x x x -+-+= 1.2 同解方程若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法： ⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．【例3】⑴若方程有相同的解，求a得值．；⑵若和是关于x 的同解方程，求的值．【例4】都是关于x的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求m,n 分别是多少？关于x 的方程的解是多少？x的方程y 的方程的解得2倍．1.3 含参方程当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的取值范围分类讨论．1． 当时，方程有唯一解．2． 当时，方程有无数个解，解是任意数．知识导航经典例题知识导航经典例题3．当时，方程无解．【例5】解关于x的方程【例6】没有解，则a的值为．⑵若方程有无数解，则的值是．时，关于x是一元一次方程．若该方程的唯p得值．⑷已知：关于的方程的值．1.4绝对值方程解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．【例7】解绝对值方程：⑴⑵1.5课后习题【演练1】【演练2】【演练3】与方程的解相同，则a的值为．⑵若关于x则= ．⑶若关于x的方程和a得值．【演练4】解关于x【演练5】⑴已知关于x无解，那么．⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是．经典例题知识导航经典例题。
第五讲 一元一次方程——含参方程2稿
第五章一元一次方程知识框图知识梳理一、等式的概念和性质1、等式的概念用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。
2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
若a b=，则a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。
（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。
（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=；②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=；二、方程的相关概念1、方程含有未知数的等式叫作方程。
注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。
2、方程的次和元方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。
号3、方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）。
未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示。
4、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
5、解方程求得方程的解的过程。
注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的6方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。
三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。
(完整版)含参数的一元一次方程
初一部分知识点拓展◆含参数的一元一次方程复习：解方程：（1）215123x x （2）)4(x 40%+60%x =2（3）14.01.05.06.01.02.0x x （4）)1(3212121x x x）（一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论）1、讨论关于x 的方程b ax 的解的情况.2、已知a 是有理数，有下面5个命题：（1）方程0ax 的解是0x；（2）方程1xa ax 的解是；（3）方程axax11的解是；（4）方程a xa 的解是1x（5）方程1)1(a x a 的解是1x中，结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3 二、含参数的一元一次方程中参数的确定①根据方程解的具体数值来确定例：已知关于x 的方程323ax xa的解为4x变式训练：1、已知方程)1(422x ax 的解为3x，则a；2、已知关于x 的方程)(22x mmx 的解满足方程021x，则m；3、如果方程20)1(3)1(2a x x 的解为，求方程：a a x x 3)(3)3(22的解.②根据方程解的个数情况来确定例：关于x 的方程n x mx 34，分别求n m ，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解.变式训练：1、已知关于x 的方程b xa x a 3)5()1(2有无数多个解，那么a ，b .2、若关于x 的方程512)2(x b x a 有无穷多个解，求b a ，值.3、已知关于x 的方程)12(6123x x mx 有无数多个解，试求m 的值.4、已知关于x 的方程5)12()2(3x b xa 有无数多个解，求a 与b 的值.5、x bax x b a 是关于0)23(2的一元一次方程，且x 有唯一解，求x 的值.③根据方程定解的情况来确定例：若b a ，为定值，关于x 的一元一次方程2632bx x ka ，无论k 为何值时，它的解总是1x ，求b a 和的值.变式训练:1、如果b a 、为定值，关于x 的方程6232bk x akx ，无论k 为何值，它的解总是1，求b a 和的值.④根据方程公共解的情况来确定例：若方程325328)1(3xkx x x 与方程的解相同，求k 的值.变式训练：1、若关于x 的方程03ax 的解与方程042x 的解相同，求a 的值.2、已知关于x 的方程18511234)2(23x a x x a xx和方程有相同的解，求出方程的解.⑤根据方程整数解的情况来确定例：m 为整数，关于x 的方程mx x6的解为正整数，求m 的值.变式训练：1、若关于x 的方程kx x 179的解为正整数，则k 的值为；2、已知关于x 的方程1439kx x 有整数解，那么满足条件的所有整数k；3、已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223a a a ax 有整数解，则a 的值共有（）A.1个B.6个 C.6个 D.9个◆含绝对值的方程：一、利用绝对值的非负性求解例题1：已知n m ，为整数，n m nm m ，求02的值.练习：1、已知n m ，为整数，n m nm m ，求12的值.2、已知)421(410)124(2323124bb aaab ba ，求.二、形如)0(a c b ax 型的绝对值方程解法：1、当0c 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；2、当0c 时，原方程变为0b ax ，即ab xbax ，解得0；3、当0c时，原方程变为c bax c bax 或，解得ab c xa bc x或例题2：解方程532x .练习：（1）01263x （2）0545x 三、形如)0(ac d cx b ax 型的绝对值方程的解法：1、根据绝对值的非负性可知，0dcx 求出x 的取值范围；2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程)(d cx bax d cx bax 和；3、分别解方程)(b cx bax b cx bax 和；4、将求得的解代入0dcx 检验，舍去不合条件的解. 例题3：解方程525xx 练习：（1）9234x x （2）43234xx 例题4：如果044a a ，那么a 的取值范围是多少.变型题：已知022x x，求（1）2x 的最大值；（2）x 6的最小值.练习：1、解关于x 的方程02552xx .2、已知关于x 的方程06363x x ，求25x 的最大值. 四、形如)(b a c b x a x 型的绝对值方程的解法：1、根据绝对值的几何意义可知b a bx ax ；2、当b a c时，此时方程无解；当b a c 时，此时方程的解为b xa；当b a c 时，分两种情况：①当a x 时，原方程的解为2cb ax；②当b x时，原方程的解为2cba x.例题5：解关于x 的方程213x x变型题：解关于x 的方程21443x x练习：解关于x 的方程（1）752x x （2）75222x x 例题6：求方程421x x 的解.练习：解关于x 的方程（1）723x x （2）62152xx 例题7：求满足关系式413x x 的x 的取值范围.练习：解关于x 的方程（1）321x x （2）752x x7升8数学金牌班课后练习1、已知012x x，代数式200823x x的值是；2、已知关于x 的方程323x xa 的解是4，则aa 2)(2；3、已知2x x ，那么2731999xx 的值为；4、321xx ，则x 的取值范围是；5、088x x ，则x 的取值范围是 .6、已知关于x 的一次方程07)23(xb a 无解，则ab 是（）；A 正数 B.非正数 C.负数 D.非负数7、方程011x x 的解有（）；A.1个B.2个C.3个 D.无数个8、使方程0223x 成立的未知数x 的值是（）；A.-2B.0C.32 D.不存在9、若关于x 的方程只有一个解，无解，043032nx mx 054kx 有两个解，则k n m 、、的大小关系是（）；A.k n mB.m k nC.n mkD.nkm10、解下列关于x 的方程（1）01078x （2）428xx （3）963x x （4）451x x （5）9234x x （6）612x x （7）43212x x （8）75345x x （9）2004112x 11、若0)3(2y yx，求y x 32的值.※12、已知y y x x 15911，求y x 的最大值与最小值.◆含参的二元一次方程组类型一、基本含参的二元一次方程组例题1：已知方程组ky x k y x 321143的解y x ，满足方程35yx，求k 的值。
含参一元一次方程的解法
含参一元一次方程的解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．易错点3：移项忘记变号．【巩固1是关于x的一元一次方程，则．【巩固2】方程去分母正确的是（）AB．CD【巩固3知识回顾基础巩固1.1一元一次方程的巧解求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．【例1】⑴【例2】解方程：⑴⑵()()1123233211191313x x x-+-+=知识导航经典例题1.2 同解方程若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法： ⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．【例3】与有相同的解，求a 得值． ；⑵若是关于x 的同解方程，求的值．【例4】x 的一元一次方知识导航经典例题程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的解是多少？⑵当x的方程y的方程的解得2倍．1.3含参方程当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的解根据的取值范围分类讨论．1．当时，方程有唯一解．2． 当时，方程有无数个解，解是任意数． 3．当时，方程无解．【例5】 解关于x的方程【例6】⑴若方程没有解，则a 的值为 ．⑵若方程有无数解，则的值是 ．时，关于x是一元一次方程．若该方程的唯p 得值．⑷已知：关于的方程的值．1.4 绝对值方程经典例题解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．【例7】 解绝对值方程：⑴⑵1.5 课后习题【演练1】【演练2】经典例题【演练3】与方程的解相同，则a的值为．⑵若关于x则= ．⑶若关于x和a得值．【演练4】解关于x【演练5】⑴已知关于x无解，那么，．⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是．。
(完整版)含参一元一次方程解法
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若 是关于x的一元一次方程，则 ．
【巩固2】方程 去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
含参一元一次方程的解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2．解一元一次方程的一般步骤： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．
【例4】⑴若方程 与 有相同的解，求a得值．；
⑵若 和 是关于x的同解方程，求 的值．
【例5】⑴已知： 与 都是关于x的一元一次方程，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程 的解是多少？
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
含参数的一元一次方程
6 x m 1
∴m+1=1; 或m+1=2; 或m+1=3; 或m+1=6
∴m=0或1或2或5
练习:
1.若关于x的方程9x-17=kx的解为正整数， 则k的值为_______
2.已知关于x的方程4x-5=kx+4有整数解， 那么满足条件的所有整数k=_____
练习:
3.解关于x的方程 方程(1)
含参数的一元一次方程
讨论关于x的方程:
ax=b的解的情况．
试一试: 解关于x的方程:(1)ax=74, (2)ax=a
74 解:(1)当a≠0时,x= a
当a=0时,方程左边=0,右边+4=3x-n，分别求m， n为何值时，原方程： （1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解．
例2.若a、b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 2 程，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a、b的值．
请你说一说解含参数的一元一次方程 方法及注意事项
例3.已知m为整数，关于x的方程x=6-mx 的解为正整数，求m的值． 解:移项,得,x+mx=6 合并同类项,得 (m+1)x=6 系数化为1,得 ∵ m为整数且 x为正整数
课后巩固作业: 培优新观察第55,56页!
业精于勤, 荒于嬉; 行成于思, 毁于随.
3 x 2a 1 4( x a) 2
方程(2)
22( x 3) 3( x a) 3a
变式练习
方程(1)
方程(2)
22( x 3) 3( x a) 3a
3 x 2a 1 4( x a) 2
1.若两个关于x的方程的解相等、互为相反数, 请求出a的值; 2.若方程(1)的解是方程的解的2倍少1, 请求出a的值.
一元一次方程有解、无解、无穷多个解问题(知识讲解)-七年级数学上册基础知识专项讲练
一元一次方程有解、无解、无穷多个解问题（知识讲解）【学习目标】1. 理解含参一元一次方程的形成唯一解、无解、无数解的原因；2. 掌握简单含参一元一次方程整数解的解法；3. 能解含参一元一次方程唯一解、无解、无数解。
【要点梳理】【类型一】含参一元一次方程整数解首先按照一元一次方程的解法求出方程的解，再根据解为整数，讨论其中的参数需要满足的条件，从而求出最终的值【类型二】含参一元一次方程的唯一解0;ax b a b a=≠ 当一元一次方程化为最简方程的形式时，当时，方程就有唯一解，即x= 【类型三】含参一元一次方程无解0ax b =≠ 当一元一次方程化为最简方程的形式时，当a=0,b 时，这时无论x 取何值，左边不会等于右边，此时方程就无解；【类型四】含参一元一次方程无数解0ax b a b === 当一元一次方程化为最简方程的形式时，当时，这时无论x 取何值，左边=右边=0，这时方程就有 无数个解。
【典型例题】【类型一】含参一元一次方程整数解1．若关于x 的方程（k -4）x =6有正整数解，求自然数k 的值． 【答案】k 的值为：5，6，7，10【分析】根据解方程的概念，求得方程的解，再由题意可知解为正整数解，再判断k 的值．解：∵原方程有解，∵40k -≠原方程的解为：64x k =-为正整数，∵4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6∵k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，10．【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，理解题意正确解方程是解题的关键． 举一反三：【变式1】当m 取什么整数时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？ 【答案】2或3【分析】先解关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得出用含m 的代数式表示x 的式子，再由解是正整数，且m 是整数，即可求出m 的值．解：解方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 去分母得，431033mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 去括号得，31034mx x -=-，移项、合并同类项得，(1)2x m -=，当1m -不等于0即m 不等于1时，21x m =-， 方程的解是正整数，∴21m -是正整数且m 是正整数， 1m ∴-是2的正约数，即11m -=或2，2m ∴=或3．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的运用，能够正确求出方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是本题的关键．【变式2】关于x 的一元一次方程3132x m -+=，其中m 是正整数． (1) 当2m =时，求方程的解；(2) 若方程有正整数解，求m 的值．【答案】(1)1x =(2)2m =【分析】（1）把m =2代入方程，求解即可；（2）把m 看做常数，求解方程，然后根据方程解题正整数，m 也是正整数求解即可．（1）解：当2m =时，原方程即为31232x -+=．去分母，得3146x -+=．移项，合并同类项，得33x =．系数化为1，得1x =．∴当2m =时，方程的解是1x =．（2）解：去分母，得3126x m -+=．移项，合并同类项，得372x m =-．系数化为1，得723m x -=．m 是正整数，方程有正整数解，2m ∴=． 【点拨】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．【类型二】含参一元一次方程的唯一解、无解、无数解2．解关于x 的方程：1mx nx -=【答案】当m n ≠时，方程有唯一解为1x m n=-；当m n =时，方程无解． 【分析】先把原方程化为最简形式ax b =，再考虑有解、无解、无穷多解的模式进行分类讨论即可得答案．解：1mx nx -=，移项、整理得：()1m n x -=，当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n =-； 当0-=m n ，即m n =时，方程无解．【点拨】本题主要考查了含字母系数的一元一次方程的解法，解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式1】解关于x 的方程：2()()m m n x m n x -+=-． 【答案】当0m ≠时，1x =；当0m =，x 的解是任意实数【分析】先通过移项，合并同类项，将n 消掉，再通过分类讨论m 可能取值计算出方程的解．解：2()()m m n x m n x -+=-，移项得：()()2m n x m n x m ---+=-，合并同类项得：()2m n m n x m --++=-，合并同类项得：22mx m -=-，∴当0m ≠时，1x =； 当0m =，x 的解是任意实数．【点拨】本题考查解含参方程，以及分类讨论的思想，能够合理利用分类讨论思想是解决本题的关键． 【变式2】解方程：1132x x a +--=． 【答案】x ＝522a a --（a ≠2）或x 无解（a ＝2）． 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．解：去分母，得：(1)2(1)6a x x a +--=，去括号，得：226ax a x a +-+=，移项，得：262ax x a a -=--，合并同类项，得：(2)52a x a -=-，系数化为1，得：52(2)2a x a a -=≠-或x 无解(2)a =． 【点拨】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．。
第6讲含参一元一次方程的解法尖子班教师版-副本
第6讲含参一元一次方程的解法尖子班教师版-副本一、引言在前几讲中我们学习了一元一次方程的基本解法，即通过移项、合并同类项、化简得到方程的根。
但是在实际的应用问题中，我们有时会遇到含有未知数的系数的一元一次方程，这时我们就需要采用含参一元一次方程的解法来求解。
含参一元一次方程的解法相对较复杂，需要通过恢复原式、去块法、除块法等方法来解决。
下面我们将一一介绍这些方法。
二、恢复原式法对于含参一元一次方程，我们需要通过恢复原式的方法将方程变形为标准形式，然后根据已学的方程解法求解。
例题1：求解方程x+2b=4，其中b是一些常数。
解：对于这个方程，我们通过恢复原式可以得到x+2b=4、恢复原式的过程可以分为三步：1.消去分子中的系数。
即将方程两边都除以2，得到x+b=22.分离含x和不含x的项。
将x的项移至左边，将常数项移至右边，得到x=2-b。
3.化简方程。
将式子中的2-b化简为带参式，得到x=2+b。
即为恢复原式的过程。
对于这个方程，我们看到它的解是x=2+b，其中b是一些常数。
而对于一个含参方程，我们的解应该是一个变量与常数相关的表达式，所以我们可以将解表达为x=b+2恢复原式法实质上是将方程变形为标准形式，然后通过标准形式的求解方法来得到方程的根。
三、去块法在含参一元一次方程中，有时我们会遇到带有两个未知数的项，我们需要通过去块法将方程化简为只含一个未知数的形式，然后再根据已学的解法求解。
例题2：求解方程bx-a=2x，其中a、b是一些常数。
解：对于这个方程，我们通过去块法可以得到bx-2x=a，即bx-2x=b*a。
然后我们需要通过恢复原式或者其他方法将它化简为标准形式。
由于这里方程中含有两个未知数，我们可以先将a看作一个常数，将b看作一个系数，然后将b*a看作一个整体，即将bx-2x=b*a视为bx-2x=k（k是一些常数）的形式。
化简后得到bx-2x=k，综合同类项得到(b-2)x=k。
同样地，我们可以将k看作常数，将b-2看作未知数的系数，将x看作未知数，得到方程(b-2)x=k的标准形式。
一元一次方程含参数问题的解题策略
一元一次方程含参数问题的解题策略
除了一元一次方程的解法和应用外，简单的含参数问题的一元一次方程也是课堂的重点，掌握了这几类问题的分析过程，对以后方程的学习会有很大帮助。
下面就几种常见的情况做分析。
除了一元一次方程的解法和应用外，简单的含参数问题的一元一次方程也是课堂的重点，掌握了这几类问题的分析过程，对以后方程的学习会有很大帮助。
下面就几种常见的情况做分析。
一、根据一元一次方程的定义求解
二、根据方程解的意义求解
三、方程的同解问题
四、方程的整数解问题
总结步骤：
（1）先解方程，将方程的解用含参数的代数式表示
（2）方程的解一般是分子中不含参数，而分母中含有参数的形式。
（如果不是，将其变形为这样的形式）
（3）让分母等于分子的所有因数，求解含参数的方程即可。
一元一次方程是最基本的代数方程，对它的理解和掌握对后续的知识（二元一次方程、一元二次方程、不等式及函数等）具有重要的基础作用。
上述四个类型主要是在考察学生读题，提炼关键信息的能力。
本质都是根据信息解关于未知数或参数的方程。
所以，提高学生的计算能力是一项长期而艰巨的任务。
含参数的一元一次方程的解法
含参数的一元一次方程的解法
杨国辉
【期刊名称】《初中生学习技巧：初一年级》
【年(卷),期】2005(000)002
【摘要】所谓含“参数的一元一次方程”是指未知数的系数或未知数的次数含有
其它字母的一元一次方程．这类问题的情况复杂，条件隐晦．掌握得好，能够全面培养学生思维的灵活性、发散性．因此，同学们在解这类问题时，一定要弄清题意，充分挖掘题中的隐含条件．下面举例说明，供同学们参考．
【总页数】2页(P9-10)
【作者】杨国辉
【作者单位】山西省
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.含参数的绝对值不等式恒成立问题的解法探讨 [J], 胡振辉
2."最近发展区"理论在高中数学教学中的应用探究——以"含参数的一元二次不等
式的解法"教学为例 [J], 陈姗姗
3.简单的含参数一元二次不等式解法 [J], 王春
4.含参数的1元二次不等式的解法突破 [J], 于健
5.含参数的一元二次不等式解法探讨 [J], 胡磊
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含参一元一次方程的解
法
知识回顾
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
基础巩固
【巩固1】若是关于x的一元一次方程，则．
【巩固2】方程去分母正确的是（）
A．B．
C．D．
【巩固3】解方程
1.1 一元一次方程的巧解 求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中的应用．
具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．
【例1】 ⑴
⑵
【例2】 解方程：
⑴
⑵
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x x x -+-+=
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经典例题
1.2同解方程
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若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法：
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．经典例题
【例3】⑴若方程与有相同的解，求a得值．；
⑵若和是关于x的同解方程，求的值．
【例4】x的一元一次方
程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的
解是多少？
⑵当x的方程y的方程
的解得2倍．
1.3含参方程
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当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的形式，方程的解根据的取值范围分类讨论．
1．当时，方程有唯一解．
2．当时，方程有无数个解，解是任意数．
3．当且时，方程无解．
经典例题
【例5】解关于x的方程
【例6】⑴若方程没有解，则a的值为．
⑵若方程有无数解，则的值是．
⑶当时，关于x的方程是一元一次方程．若该方程的唯一解是，求p得值．
⑷已知：关于的方程有无数多组解，试求的值．
1.4绝对值方程
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解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．
经典例题
【例7】解绝对值方程：
⑴⑵
1.5课后习题
【演练1】解方程：
【演练2】
【演练3】
与方程的解相同，则a 的值为 ．
⑵若关于x 的解互为相反数，则= ．
⑶若关于x 和a 得值．
【演练4】
解关于x
【演练5】⑴已知关于x
．
⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是
．。