空间解析几何-第3章 常见的曲面3

2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心

解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
o
x
y
用一族平行平面截
x y （ ） z x y a b 用平面 2截曲面，截线为 a b x y 2 a b
双曲抛物面的直母线性质

对双曲抛物面上的任意一点，两族直母线中各
有唯一一条直母线通过该点

异族的任意两条直母线必相交 同族的任意两条直母线是异面直线 两族直母线无公共直线 同族的所有直母线必平行于同一平面 （用平行平面得到的截痕）
单叶双曲面的直母线性质

对单叶双曲面上的任意一点，两族直母线中各有唯
一一条直母线通过该点

异族的任意两条直母线共面 同族的任意两条直母线是异面直线 两族直母线无公共直线
单叶双曲面的直母线性质
对单叶双曲面上的任意一点，两族直 母线中各有唯一一条直母线通过该点 异族的任意两条直母线共面 同族的任意两条直母线是 异面直线 两族直母线无公共直线

平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面wenku.baidu.com，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4

双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系
2017/1/4
双曲抛物面是直纹面
x2 y2 双曲抛物面方程 2 2 2z a b
x y x y 即( )( ) 2z a b a b
z
x y （ ） z x y a b 用平面 2截曲面，截线为 a b x y 2 a b
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面

由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
单叶双曲面是直纹面（代数角度）
x2 y 2 z 2 单页双曲面方程 2 2 2 1 a b c x z x z y y 即( )( ) (1 )(1 ) a c a c b b
y x z ( ) ( 1 ) x z y a c b 用平面 ( ) (1 )截曲面，截线为 a c b ( x z ) (1 y ) b a c y x z ( ) ( 1 ) x z x y a c b 用平面 ( ) ( )截曲面，截线为 a c a b ( x z ) (1 y ) b a c