常微分方程 奇解与包络

本节要点： 1.奇解的定义。 2.不存在奇解的判别方法。 （1）全平面上解唯一 （2）不满足解唯一的区域上没有方程的解
3.求奇解的包络线求法。
满足C—判别式。 在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线
从 消去 c，得到奇解
此方程的通解是直线族: 而奇解是通解的包络:
y
如图:
O
x
例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标 轴而成的直角三角形的面积都等于2。
解 设要求的曲线为
过曲线任上一点
的切线方程为
其与坐标轴的交点为 切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为
这是克莱罗方程，因而其通解为
从
消去 c，得到奇解
这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。
直线族及其包络线
利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下: 注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解, 其它解与这两条直线相切.
restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10): y[j]:=%: end do: for j from 1 to 5 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10): y[j]:=%: end do: plot(3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black): yy:=%: plot(-3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black): yyy:=%: display(y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[-1],y[-2],y[-3],y[-4],y[-5],yy,yyy);
定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络 线L是(1.9)的奇积分曲线。
证明： 应用定理2.1积分曲线与线素场的 关系的充要条件
三 求奇解（包络线）的方法 C-判别曲线法 P-判别曲线法
设一阶方程
的通积分为
1 C-判别曲线法
结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下 列方程组
解： 对参数 求导数 联立
p
x o
相加，得
，经检验，其是所求包络线。
例2 求直线族
的包络，这里 c 是参数。 解： 对参数 c 求导数
联立
得
从
得到
从
得到
因此， C-判别曲线中 包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。
y
o
x
2 p-判别曲线 结论：方程
的奇解包含在下列方程组
消去 p 而得到的曲线中。
消去 C 而得到的曲线中。
设由
能确定出曲线为
则 对参数 C 求导数
从而得到恒等式
当
至少有一个不为零时
有
或
这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族
中对应于C的曲线
相切。
注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
例1 求直线族 y
的包络，这里 是参数，p 是常数。
常微分方程 奇解与包络
2020年4月22日星期三
2.4 奇解
主要内容 包络和奇解
克莱罗方程（Clairant Equation）
本节要求： ➢ 1 了解奇解的意义； ➢ 2 掌握求奇解的方法
。
例1
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件 由 得通解
利用通解和特解可以构造解 ：
从图形可以看到，有无数
注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。
3 克莱罗方程 形式 其中 解法
是 p 的连续函数。
通解 奇解
结果: Clairaut方程
的通解
是一直线族, 此直线族的包络
或 是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.
例5 求解方程 解： 这是克莱罗方程，因而其通解为
注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
例3 求方程 解： 从
的奇解。
消去 p，得到 p-判别曲线
经检验，它们是方程的奇解。 因为易求得原方程ຫໍສະໝຸດ Baidu通解为
而
是方程的解，且正好是通解的包络。
例4 求方程 解： 从
的奇解。
消去 p，得到 p-判别曲线
经检验，
不是方程的解，故此方程没有奇解。
y x
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏 ，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的 积分曲线称为奇积分曲线
一 包络和奇解的定义
曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包 含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲 线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分 曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在 这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲 线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的 积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。
例 单参数曲线族
R是常数，c是参数。 y
x o
显然，
是曲线族
的包络。
一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平
行线族等都是没有包络的。
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆.
如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
在区域
上有定义，如果
在D上连续且
在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的 任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。
• 如果存在唯一性定理条件不是在整个
有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满
足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果 再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么 我们也可以断定该方程无奇解。