第二章 传递函数-梅逊公式
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方框图： K
t
由于微分环节具有惯性实际 常常以G(S)= kTS/ (TS+1)形 式出现 。其中 T 为时间常数， T越小微分作用越强，当T0 而KT保持有限值时，方 程变为纯微分环节了。
R(S)
KS
C(S)
4
测速发电机：
ω
表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电 机输出电压与输入角速度之间的关系为 d (t ) u (t ) K t dt 进行拉氏变换得到
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义 设系统的标准微分方程为
d n c(t) d n 1c(t) dc(t) an a n 1 …… a1 a 0c(t) n n 1 dt dt dt d m r(t) d m 1r(t) dr(t) bm b m 1 …… b1 b0 r(t) m m 1 dt dt dt
用方框图表示 R(s)
G(s)
C(s)=G(s)R(s)
C(s)
2.3.2传递函数的性质
1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。 2）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本 身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。 3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。 4）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数 均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m。 5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。 6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
2.2 传递函数
惯 性 环 节 的 传 递 函 数
惯性环节：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1) 阶跃响应： R(S)=1/S C(t)=k(1-e-1/T) C(S)=kR(S) 方框图： R(S) k/(TS+1) C(S)
电枢控制他励直流电动机：
动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各 元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中 各变量所进行的运算。 动 态 结 构 图 的 组 成
1）信号线 带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线
上写明该信号的拉氏变换表达式。 它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。 2）综合点 如果输入的信号带“＋”号，就执行加法；带 “－”号就执行减法。
动态结构图
②
U r ( s)
①
C
UC1 (s)
1 R1
I1 (s) B
1 sC1
UC1 (s)
③ -
I 2 ( s)
1 R2
④
-
A
1 sC 2
U c ( s)
U c ( s)
（c）方块图
2.4 系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式
2.4.1 系统结构图的等效变换
原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变
将得到的系统 微分方程组进行拉 氏变换。
按照系统中各变量传递顺 序，依次连接3）中得到的结 构图，系统的输入量放在左端， 输出量放在右端，即可得到系 统的动态结构图。
2.3 动态结构图与梅森公式
RC无源网络
I2
I U1 I1 C 步骤一 列写方程组 R1 R2 U2 U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2 (S)／CS I1(S)+I2 (S)=I(S) U2(S)=I(S)R2 步骤二 画出对应方程的部分结构图
传递函数，记作G（s）
传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初 始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比， 记作G(s)
bmsm bm1sm1 …… b1s b0 C(s) G(s) |零初始条件 R(s) a n sn a n 1sn 1 …… a1s a 0
C(s)
R(s)
C(s)
G(s)
G2(s)
C2 (s)
C(s)=C1 (s)+C2 (s)=R(s)G1 (s)+R(s)G 2 (s) C(s) G(s)= G1 (s) G 2 (s) R(s)
若G2(s)为负反馈， 则G(s)=G1 (s)-G2 (s) 对于n个环节并联，则有 G ( s) Gi ( s)
传递函数为：
G(S)=N(S)/Ua(S)=
C(t)
传递函数为：
G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1) =K/(TS+1)
若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：
G(S)=N(S)/Ua(S)=
Ce ( TmS +1)
振 荡 环 节 的 传 递 函 数
振荡环节：T2 d2r(t)/dt2 +2ζTdr(t)/dt +r(t) ＝r(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2 +2ζTS+1) 方框图：
Td Tm d2n(t)/dt2 + Tm dn(t)/dt +n(t) ＝Ua(t)/Ce
r(t) i1 R R1 A i2
当 T=∞ 时，惯性 环节近似为积分 环节；当 T=0 时， 惯性环节近似为 比 例 环 节 。
2
R2 C
运算放大器：
若初值为0，上式的拉氏变换为：
(Td TmS2 + Tm S +1)N(S)= Ua(S)/Ce 1 Ce (Td TmS2 + TmS +1) 1
传递函数为： G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝
S2 + 2ωnζS+ωn2
2.2 传递函数
延 迟 环 节 的 传 递 函 数
延迟环节： c(t)= r(t- τ) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= e-τs 方框图：
R(S)
e-τs
C(S)
7
轧钢厂带厚度检测元件:
则滞后时间为： τ＝l/v（S)
2.2 传递函数
积 分 环 节 的 传 递 函 数
积分环节： dc(t)/dt =kr(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/S 阶跃响应：R(S)=1/S，C(S)=kR(S) C(t)=kt R(S) C(S) 方框图： k/s
积分调节器：
Ur(t)
R
C
3
在A点列方程可得：
Uc(t)
一、三条基本法则：
1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积
C ( s) 即G ( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s)
对于n个环节串联，则有
G ( s ) Gi ( s )
i 1
n
2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 G1(s)
C1 (s)
R(s)
输入量取角度时的 传递函数即为微分 环节。
U (s) K t s(s)
U ( s) Kt s ( s )
那么该元件的传递函数为 G ( s )
微 分 环 节 的 传 递 函 数
一阶微分环节： c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= TS+1 方框图： R(S) C(S) TS+1
R2 i2 C 2 uc
u u c1 i1 r R1 u c1 u c i2 R2 u c1 1 C1
ur
i1
C1
(a) 电路图
i 2 )dt
(i i
2
1
1 uc C2
dt
取拉氏变换
U r ( s ) U C1 ( s ) I1 ( s) R1 U ( s ) I 1 ( s ) I 2 ( s ) C 1 sC1 U ( s) U c ( s) I ( s ) C1 2 R2 I ( s) U c ( s ) 2 sC 2 (1) ( 2) (3) ( 4)
的零、极点分Βιβλιοθήκη Baidu图。
2.2 传递函数
比 例 环 节 的 传 递 函 数
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k 阶跃响应：R(S)=1/S C(t)=k C(S)=kR(S)=k/S 方框图：R(S) C(S)
k
测速发电机：
c(t) r(t) 0
t
1
C(t)为输出量， r（t）为输入量
在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到
a n s C(s) a n-1s C(s) ……+a1sC(s) a 0C(s)
n n-1
b ms m R(s) b m-1s m-1R(s) ……+b1sR(s) b 0 R(s)
整理得
bmsm bm1sm1 …… b1s b0 C(s) R(s) n n 1 a ns a n 1s …… a1s a 0
1／R1
步骤三 依次连接得到系统结构图
I1(S) I2(S) I (S)
U1(S) _
ΔU (S) U2(S)
I1(S)
CS
I2(S)
R2
U2(S)
例：2.3-1 画出该系统的动态结构图
R
解：该系统的输入量为ur，输 出量为uc，根据电路其微分方 程为：
i
ur
C
uc
u r Ri u c du c i=C dt
取拉氏变换
U r (s) RI(s) Uc (s) I(s) CsUc (s)
U r (s) U c (s) 即 I(s) R I(s) U c (s) Cs
动态结构图如下：
例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图 R1
解：该系统的输入量为ur，输出量 为uc，根据电路其微分方程为：
R2
运算放大器：
r(t) R1
ω
C(t) R
U(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t) G(S)=U(S)/Ω(S)=Kt
C(t)=R2/R1 r(t)
G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K
2.2 传递函数
微 分 环 节 的 传 递 函 数
微分环节： c(t)= Kdr(t) /dt
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= KS
测厚信号c(t)与厚差信号r(t)之间的关系为：
c(t)＝r(t-τ) 在零初始条件下，拉氏变换为： A点产生的误差在B点才被检 测到。设测厚仪距支架的距 离为l，带钢运行速度为v C(S) ＝R(S)e-τS 传递函数为: G(S)= C(S)/R(S) ＝e-τS
2.3 动态结构图与梅森公式
2.3.1 动态结构图
i2
i1
A
i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt 拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S) 传递函数为： G(S)= Uc(S)/ Uc(S) =1/(TS)＝k/S
G(s) K
(s z
j1 n i 1
m
j
)
7）传递函数可以写成 称为增益。
(s p )
i
，K=bm/an，
-zj(j=1,2,…m)成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,…n)成为传递函数的极 点
上图所示的是
G( s)
( s 1)(s 2) ( s 3)(s 2 2s 2)
R(S) 1 T2S2 +2ζTS+1 C(S)
6
RLC振荡电路：
R
L
电路的微分方程为：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Ur d2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr 令ωn=1/√LC，ζ=0.5 R√C/L
Ur
i
c
Uc
则上式的拉氏变换为： ωn2
(S2 + 2ωnζS+ωn2)Uc(S)=ωn2Ur(S)
3）引出点 在信号线上的“•”，表示信号引出的位置。 4）方 框
方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输 出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。
2.3 动态结构图与梅森公式
动态结构图建立步骤是
1
2
3
4
建立系统各元部件的微分 方程。要注意，必须先明确系 统的输入量和输出量，还要考 虑相邻元件间的负载效应。 按照各元部件的输 入、输出，对各方程进 行一定的变换，并据此 绘出各元部件的动态结 构图。
5
比例微分调节器： 根据电路的基本定律得到以下方程组
u r (t ) i1 (t ) R 1 i1 (t ) R1 i2 (t )dt C i (t ) i1 (t ) i2 (t ) u c (t ) [i (t ) R2 i1 (t ) R1 ]
消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系 那么该元件的传递函数为 U c ( s) R1 R2C R R G ( s ) K (Ts 1) 1 2 U c (s) K (Ts 1)U r (s) ( K T ) U r ( s) R R1 R2
t
由于微分环节具有惯性实际 常常以G(S)= kTS/ (TS+1)形 式出现 。其中 T 为时间常数， T越小微分作用越强，当T0 而KT保持有限值时，方 程变为纯微分环节了。
R(S)
KS
C(S)
4
测速发电机：
ω
表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电 机输出电压与输入角速度之间的关系为 d (t ) u (t ) K t dt 进行拉氏变换得到
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义 设系统的标准微分方程为
d n c(t) d n 1c(t) dc(t) an a n 1 …… a1 a 0c(t) n n 1 dt dt dt d m r(t) d m 1r(t) dr(t) bm b m 1 …… b1 b0 r(t) m m 1 dt dt dt
用方框图表示 R(s)
G(s)
C(s)=G(s)R(s)
C(s)
2.3.2传递函数的性质
1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。 2）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本 身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。 3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。 4）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数 均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m。 5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。 6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
2.2 传递函数
惯 性 环 节 的 传 递 函 数
惯性环节：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1) 阶跃响应： R(S)=1/S C(t)=k(1-e-1/T) C(S)=kR(S) 方框图： R(S) k/(TS+1) C(S)
电枢控制他励直流电动机：
动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各 元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中 各变量所进行的运算。 动 态 结 构 图 的 组 成
1）信号线 带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线
上写明该信号的拉氏变换表达式。 它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。 2）综合点 如果输入的信号带“＋”号，就执行加法；带 “－”号就执行减法。
动态结构图
②
U r ( s)
①
C
UC1 (s)
1 R1
I1 (s) B
1 sC1
UC1 (s)
③ -
I 2 ( s)
1 R2
④
-
A
1 sC 2
U c ( s)
U c ( s)
（c）方块图
2.4 系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式
2.4.1 系统结构图的等效变换
原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变
将得到的系统 微分方程组进行拉 氏变换。
按照系统中各变量传递顺 序，依次连接3）中得到的结 构图，系统的输入量放在左端， 输出量放在右端，即可得到系 统的动态结构图。
2.3 动态结构图与梅森公式
RC无源网络
I2
I U1 I1 C 步骤一 列写方程组 R1 R2 U2 U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2 (S)／CS I1(S)+I2 (S)=I(S) U2(S)=I(S)R2 步骤二 画出对应方程的部分结构图
传递函数，记作G（s）
传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初 始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比， 记作G(s)
bmsm bm1sm1 …… b1s b0 C(s) G(s) |零初始条件 R(s) a n sn a n 1sn 1 …… a1s a 0
C(s)
R(s)
C(s)
G(s)
G2(s)
C2 (s)
C(s)=C1 (s)+C2 (s)=R(s)G1 (s)+R(s)G 2 (s) C(s) G(s)= G1 (s) G 2 (s) R(s)
若G2(s)为负反馈， 则G(s)=G1 (s)-G2 (s) 对于n个环节并联，则有 G ( s) Gi ( s)
传递函数为：
G(S)=N(S)/Ua(S)=
C(t)
传递函数为：
G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1) =K/(TS+1)
若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：
G(S)=N(S)/Ua(S)=
Ce ( TmS +1)
振 荡 环 节 的 传 递 函 数
振荡环节：T2 d2r(t)/dt2 +2ζTdr(t)/dt +r(t) ＝r(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2 +2ζTS+1) 方框图：
Td Tm d2n(t)/dt2 + Tm dn(t)/dt +n(t) ＝Ua(t)/Ce
r(t) i1 R R1 A i2
当 T=∞ 时，惯性 环节近似为积分 环节；当 T=0 时， 惯性环节近似为 比 例 环 节 。
2
R2 C
运算放大器：
若初值为0，上式的拉氏变换为：
(Td TmS2 + Tm S +1)N(S)= Ua(S)/Ce 1 Ce (Td TmS2 + TmS +1) 1
传递函数为： G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝
S2 + 2ωnζS+ωn2
2.2 传递函数
延 迟 环 节 的 传 递 函 数
延迟环节： c(t)= r(t- τ) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= e-τs 方框图：
R(S)
e-τs
C(S)
7
轧钢厂带厚度检测元件:
则滞后时间为： τ＝l/v（S)
2.2 传递函数
积 分 环 节 的 传 递 函 数
积分环节： dc(t)/dt =kr(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/S 阶跃响应：R(S)=1/S，C(S)=kR(S) C(t)=kt R(S) C(S) 方框图： k/s
积分调节器：
Ur(t)
R
C
3
在A点列方程可得：
Uc(t)
一、三条基本法则：
1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积
C ( s) 即G ( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s)
对于n个环节串联，则有
G ( s ) Gi ( s )
i 1
n
2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 G1(s)
C1 (s)
R(s)
输入量取角度时的 传递函数即为微分 环节。
U (s) K t s(s)
U ( s) Kt s ( s )
那么该元件的传递函数为 G ( s )
微 分 环 节 的 传 递 函 数
一阶微分环节： c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= TS+1 方框图： R(S) C(S) TS+1
R2 i2 C 2 uc
u u c1 i1 r R1 u c1 u c i2 R2 u c1 1 C1
ur
i1
C1
(a) 电路图
i 2 )dt
(i i
2
1
1 uc C2
dt
取拉氏变换
U r ( s ) U C1 ( s ) I1 ( s) R1 U ( s ) I 1 ( s ) I 2 ( s ) C 1 sC1 U ( s) U c ( s) I ( s ) C1 2 R2 I ( s) U c ( s ) 2 sC 2 (1) ( 2) (3) ( 4)
的零、极点分Βιβλιοθήκη Baidu图。
2.2 传递函数
比 例 环 节 的 传 递 函 数
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k 阶跃响应：R(S)=1/S C(t)=k C(S)=kR(S)=k/S 方框图：R(S) C(S)
k
测速发电机：
c(t) r(t) 0
t
1
C(t)为输出量， r（t）为输入量
在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到
a n s C(s) a n-1s C(s) ……+a1sC(s) a 0C(s)
n n-1
b ms m R(s) b m-1s m-1R(s) ……+b1sR(s) b 0 R(s)
整理得
bmsm bm1sm1 …… b1s b0 C(s) R(s) n n 1 a ns a n 1s …… a1s a 0
1／R1
步骤三 依次连接得到系统结构图
I1(S) I2(S) I (S)
U1(S) _
ΔU (S) U2(S)
I1(S)
CS
I2(S)
R2
U2(S)
例：2.3-1 画出该系统的动态结构图
R
解：该系统的输入量为ur，输 出量为uc，根据电路其微分方 程为：
i
ur
C
uc
u r Ri u c du c i=C dt
取拉氏变换
U r (s) RI(s) Uc (s) I(s) CsUc (s)
U r (s) U c (s) 即 I(s) R I(s) U c (s) Cs
动态结构图如下：
例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图 R1
解：该系统的输入量为ur，输出量 为uc，根据电路其微分方程为：
R2
运算放大器：
r(t) R1
ω
C(t) R
U(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t) G(S)=U(S)/Ω(S)=Kt
C(t)=R2/R1 r(t)
G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K
2.2 传递函数
微 分 环 节 的 传 递 函 数
微分环节： c(t)= Kdr(t) /dt
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= KS
测厚信号c(t)与厚差信号r(t)之间的关系为：
c(t)＝r(t-τ) 在零初始条件下，拉氏变换为： A点产生的误差在B点才被检 测到。设测厚仪距支架的距 离为l，带钢运行速度为v C(S) ＝R(S)e-τS 传递函数为: G(S)= C(S)/R(S) ＝e-τS
2.3 动态结构图与梅森公式
2.3.1 动态结构图
i2
i1
A
i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt 拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S) 传递函数为： G(S)= Uc(S)/ Uc(S) =1/(TS)＝k/S
G(s) K
(s z
j1 n i 1
m
j
)
7）传递函数可以写成 称为增益。
(s p )
i
，K=bm/an，
-zj(j=1,2,…m)成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,…n)成为传递函数的极 点
上图所示的是
G( s)
( s 1)(s 2) ( s 3)(s 2 2s 2)
R(S) 1 T2S2 +2ζTS+1 C(S)
6
RLC振荡电路：
R
L
电路的微分方程为：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Ur d2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr 令ωn=1/√LC，ζ=0.5 R√C/L
Ur
i
c
Uc
则上式的拉氏变换为： ωn2
(S2 + 2ωnζS+ωn2)Uc(S)=ωn2Ur(S)
3）引出点 在信号线上的“•”，表示信号引出的位置。 4）方 框
方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输 出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。
2.3 动态结构图与梅森公式
动态结构图建立步骤是
1
2
3
4
建立系统各元部件的微分 方程。要注意，必须先明确系 统的输入量和输出量，还要考 虑相邻元件间的负载效应。 按照各元部件的输 入、输出，对各方程进 行一定的变换，并据此 绘出各元部件的动态结 构图。
5
比例微分调节器： 根据电路的基本定律得到以下方程组
u r (t ) i1 (t ) R 1 i1 (t ) R1 i2 (t )dt C i (t ) i1 (t ) i2 (t ) u c (t ) [i (t ) R2 i1 (t ) R1 ]
消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系 那么该元件的传递函数为 U c ( s) R1 R2C R R G ( s ) K (Ts 1) 1 2 U c (s) K (Ts 1)U r (s) ( K T ) U r ( s) R R1 R2