积分上限的函数及其导数
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略1. 引言1.1 介绍积分上限函数及其导数的重要性积分上限函数及其导数在高等数学中起着至关重要的作用。
积分上限函数可以在微积分中帮助我们更好地理解函数的变化规律，帮助我们求解更加复杂的积分问题。
而对积分上限函数取导数，可以得到关于函数斜率或曲率的信息，进一步揭示函数的性质和特点。
熟练掌握积分上限函数及其导数的相关知识，可以帮助我们在解决实际问题中更加高效地应用微积分知识，提高数学建模和分析的能力。
积分上限函数及其导数的内容涵盖了微积分中的重要概念和技巧，是数学学习中不可或缺的一部分。
通过学习积分上限函数及其导数，我们可以更深入地了解微积分的基本原理，为进一步学习和研究数学奠定坚实基础。
积分上限函数及其导数的重要性不仅体现在解决具体数学问题上，更体现在培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的方法论上。
深入学习积分上限函数及其导数，对于数学专业的学生更是必不可少的一部分内容。
通过引导学生深入研究积分上限函数及其导数，可以帮助他们更好地理解数学的奥秘，培养他们对数学的兴趣和热情，为将来的学习和科研打下坚实基础。
.1.2 概括积分上限函数及其导数的内容积分上限函数及其导数是高等数学中重要的概念，涉及到微积分的深层理解和运用。
积分上限函数可以帮助我们更好地理解积分的性质，同时也是解决实际问题的重要工具。
在本篇文章中，我们将深入探讨积分上限函数的定义、性质以及求导法则，同时探讨积分上限函数在实际问题中的应用举例。
我们还将对积分上限函数的图像进行解析，帮助学生更直观地理解其特点。
我们还将介绍与积分上限函数相关的定理及证明，加深对该概念的理解。
通过本文的学习，读者将能全面了解积分上限函数及其导数的重要性，展望未来的研究方向，并鼓励学生深入学习这一领域，提升自己的数学素养。
2. 正文2.1 积分上限函数的定义与性质积分上限函数在高等数学中扮演着重要的角色，它是一种特殊的函数形式，其表达式为\int_{a}^{x}f(t)dt。
定积分应用
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示
它们之间只相差一个xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步 “分割取近似 ” 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间
的值与 xi 之积代替 Ui f (i )xi
和 把局部量的近似值累加得到总量
的近似值 即
n
n
U Ui f (i )xi
i 1
i 1
精 max xi
n 1in
b
U
lim
0
i 1
f (i )xi
a
f ( x)dx
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上 满足两个条件：
y2 2 x 解得交点为（2，-2）和（8，4） y x4
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂
如下图
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上 求Ｕ的步骤
分 用分点 a x0 x1 xn1 xn b 将
区间分成n个小区间 [xi1, xi ], xi xi xi1
粗 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui
用某个函数 f ( x) 在 i (i [xi1, xi ])
2 sin
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略一、前言高等数学是大学数学的一门重要课程，其中的积分上限函数及其导数是一项比较难以理解和掌握的知识点。
对于学生来说，如何有效地学习和掌握这一知识点，是比较有挑战性的。
本文将从教学内容的特点出发，结合学生的实际学习情况，提出一些针对性的教学策略，以期帮助学生更好地理解和掌握积分上限函数及其导数。
二、教学内容特点分析积分上限函数及其导数是高等数学中的一项重要内容，涉及到积分的概念、定积分的计算、利用积分上限函数进行求导等多个方面的知识。
这一知识点的特点主要有以下几个方面：1. 抽象性强：积分上限函数及其导数是比较抽象的数学概念，不同于代数方程式的具体计算，需要学生具有一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。
2. 需要深刻理解：积分上限函数及其导数不是简单的计算问题，而是需要学生深入理解其背后的数学原理和概念，才能做到灵活应用。
3. 非常规思维：积分上限函数及其导数的计算方法和思维方式与传统的代数计算不同，需要学生具有非常规的思维方式和解题方法。
积分上限函数及其导数的教学需要注重培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，帮助学生深刻理解数学原理和概念，引导学生灵活运用非常规的思维方式来解决问题。
三、教学策略基于教学内容的特点，下面将提出一些针对性的教学策略，以帮助学生更好地学习积分上限函数及其导数。
1. 注重基础知识的梳理在教学积分上限函数及其导数之前，需要对相关的基础知识进行梳理和复习，包括积分的概念、定积分的计算方法、导数的概念等。
只有对这些基础知识有了清晰的认识，学生才能够更好地理解积分上限函数及其导数的概念和应用。
2. 利用具体例子引入概念在教学过程中，可以选择一些具体的例子来引入积分上限函数及其导数的概念，通过具体的计算过程和图示，帮助学生直观地理解这一概念，并引发学生的兴趣。
通过计算某个函数在不同上限下的积分值，引入积分上限函数的概念，帮助学生理解上限函数的定义和性质。
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略【摘要】本文围绕高等数学中积分上限函数及其导数展开讨论。
首先介绍了积分上限函数的定义与特点，然后详细推导了其导数。
接着提出了三种教学策略，包括引导学生理解积分上限函数的定义、讲解导数推导过程以及举例说明在实际问题中的应用。
通过这些策略，有助于学生更好地掌握这一难点知识。
结论部分总结了本文的主要内容，强调了教学策略的重要性。
积分上限函数是高等数学中的重要概念，对学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要的促进作用。
通过本文的学习，有望提升学生对积分上限函数的理解，并在实践中灵活应用。
【关键词】高等数学、积分、上限函数、导数、教学策略、定义、特点、推导、引导、理解、讲解、举例、实际问题、应用、结论1. 引言1.1 引言在高等数学中，积分是一个非常重要的概念，被广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济学等。
而积分上限函数及其导数是积分学习中的一个重要内容，掌握了这部分知识可以帮助学生更深入地理解积分的概念和应用。
积分上限函数是指以自变量的一个区间作为上限的不定积分函数，通常表示为∫f(x)dx|0 to x。
它的定义和性质使得我们可以更加灵活地处理积分问题，特别是在涉及多变量、多维空间的情况下。
积分上限函数的导数是指这个函数对自变量的导数，即其变化率，它的求导过程通过基本积分法和链式法则来完成。
在教学中，引导学生理解积分上限函数的定义是第一步。
通过具体问题引导学生思考不同上限的积分结果的变化规律，从而深化他们对积分的理解。
接着，讲解积分上限函数的导数推导过程，通过具体的例题演示，帮助学生掌握这一部分知识。
举例说明积分上限函数在实际问题中的应用，让学生明白这些理论知识如何在实际中发挥作用。
通过以上教学策略，可以帮助学生更好地掌握积分上限函数及其导数的知识，提高他们的数学能力和问题解决能力。
在学习和掌握这些内容的过程中，希望学生能够培养自己的逻辑思维能力和数学建模能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略在高等数学的学习中，积分上限函数及其导数是一个比较重要的知识点。
本文将从教学策略的角度，讨论如何让学生更好地理解和掌握积分上限函数及其导数的相关知识。
一、引入概念引入概念时，可以通过实际的例子来说明积分上限函数的含义。
例如，引导学生想象一个人在做数学题时，根据运算规律，需要求出一定区间内函数的积分值。
而这个人却不知道如何计算积分，但是他知道该积分值具有单调性，因此他可以不断调整积分区间的上限来逼近最终结果。
这个过程中，我们就可以定义出一个函数——积分上限函数，它的本质就是函数积分过程中积分上限的函数。
二、分析性质分析积分上限函数的性质是非常重要的，可以帮助学生更好地理解该函数的本质含义。
例如，可以以 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) dt$ 为例来讲解积分上限函数，指出其具有连续性和单调性等性质，并通过具体的例子进行说明。
同时还可以引导学生思考积分上限函数的定义域、值域以及导数存在条件等问题。
三、掌握计算方法学生需要掌握如何计算积分上限函数的导数，因为这对于后续的数学学习非常有帮助。
这里可以讲解常见的计算方法，如柯西公式、拉格朗日中值定理等，并通过具体的例子进行说明。
另外还可以指出一些计算时需要注意的问题，如区间可导的性质等。
四、合理运用在教学中，还需要引导学生将积分上限函数与实际问题相结合来进行运用。
例如，可以以实际物理问题为例，如汽车行驶过程中的加速度问题等，让学生通过积分上限函数来求出加速度的大小以及速度随时间变化的规律等，并指出应用场景下需要注意的问题。
综上所述，针对积分上限函数及其导数的教学，可以通过引入概念、分析性质、掌握计算方法以及合理运用等教学策略，帮助学生更好地理解该知识点，并且能够掌握其相关技能。
二积分上限的函数及其导数
d x f ( t )dt f ( x ) 数是 ( x ) a dx
证 ( x x ) a
x x x
(a x b)
x x
f ( t )dt
( x x ) ( x )
a 2018/10/11
f ( t )dt f ( t )dt
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
21
练习题 x 2 .0 x 1 4 1. f x 1,1 x 2 , 求 0 f x dx; 4 x, 2 x 4 2.0 1 cos 2 xdx 1 1 x t2 1 3.lim 2 4 5 0 e dt x 0 3 x x x
2018/10/11 第五章 定积分
10
1
1
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原 函数之间的联系.
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
有关积分上限函数的导数算法探讨
其次如果被积函数的中间变量是含参变量x的函数而该函数又不能提出积分号外这时常先作变量代换令此中间变量等于一新变量u将所给积分化为形如的变限积分去掉被积函中的参变量x再按有关积分上限函数的导数算法探讨dudt的导数的算法等
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略【摘要】这篇文章将介绍高等数学中的积分上限函数及其导数的教学策略。
在我们将简要介绍本文的主题。
在我们会深入探讨积分上限函数的概念和性质，以及它的导数推导及意义。
教学策略一将讨论引入实际问题与应用的重要性，教学策略二将探讨积分上限函数与导数的关系，教学策略三将提供实例分析与练习指导。
最后在我们将总结本文的主要观点。
通过本文的学习，读者可以更好地理解和运用积分上限函数及其导数，提高数学学习的效果和深度。
【关键词】高等数学、积分、上限函数、导数、教学策略、实际问题、应用、关系、实例分析、练习指导、引言、结论.1. 引言1.1 引言高等数学中的积分上限函数及其导数是一个重要且常见的概念，它在数学理论以及实际问题中都有广泛的应用。
通过对积分上限函数的理解和掌握，可以帮助学生更好地理解导数的概念和性质，从而提高他们在数学上的应用能力和解决问题的能力。
在本文中，我们将首先介绍积分上限函数的概念及其性质，包括它的定义、图像、性质等内容。
然后我们会详细推导积分上限函数的导数，并讨论导数的意义和应用。
接下来，我们将提出三种教学策略，以帮助教师更好地教授积分上限函数及其导数这一内容。
这三种教学策略分别是：引入实际问题与应用、探讨积分上限函数与导数的关系、实例分析与练习指导。
我们将总结本文的主要内容，并展望学生们通过学习积分上限函数及其导数所能获得的益处。
希望本文能为高等数学教学提供一些新的思路和方法。
2. 正文2.1 积分上限函数的概念及性质积分上限函数是在积分的过程中引入的一种特殊函数形式，通常用来描述积分的极限上限。
在高等数学中，积分上限函数是一种常见且重要的概念，对于理解积分的性质和应用具有重要意义。
1. 定义域和值域：积分上限函数的定义域通常是一个区间，而其值域为实数集。
在实际问题中，积分上限函数的定义域和值域可能会有具体限制，需要根据具体情况来确定。
2. 连续性：积分上限函数通常是连续函数，具有良好的连续性和可导性。
积分上限的函数及其导数-精品文档
x x x
x
x x
x
f( t) dt ,
由积分中值定理得
f ( ) x
[ x , x x ],
图5-2-1(2) f (), lim lim f ( ). x 0 0 x x x ( x ) f ( x ). x 0 , x
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v(t )dt
另一方面这段路程可表示为 s ( T ) s ( T ) 2 1
v ( t ) dt s ( T ) s ( T ).其中 s ( t ) v ( t ). 2 1 T
1
T 2
2019/3/22
第五章 定积分
2
二、积分上限的函数及其导数
证 ( x x ) a
x x
(a x b)
x x
f ( t ) dt
( x x ) ( x )
a 2019/3/22
f ( t ) dt ( t ) dt f
a
第五章 定积分
x
图5-2-1(1)
4
积分上限函数的性质
f(t) dt
f(t) dt ,
例1
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 x d cos d 1 t2 t 解 e dt , e dt cos x 1 dx dx
2
x
.
e
1
2 cos x
sin x e (cos x )
x
x
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
定积分积分上限函数求导
定积分积分上限函数求导在学习微积分的过程中，我们会接触到很多种不同的概念、方法和技巧。
其中，对于定积分而言，计算积分的过程中就经常会涉及到函数求导的问题。
本文将围绕“定积分积分上限函数求导”这一主题，为大家详细阐述其相关原理和计算方法，帮助大家更好地理解和运用这种求导方法。
首先，我们来了解一下定积分的含义和性质。
定积分是区间上函数值之和的极限，用来计算曲线围成的面积和曲线与x轴之间的有限区域的面积。
如果我们需要计算一个函数f(x)在a到b区间内的定积分，可以采用下面的公式进行计算：∫b^af(x)dx = lim[n→∞][Σ(i=1→n)f(xi)*Δx]其中，xi表示区间[a,b]划分成n个小区间后每个小区间的端点，Δx表示每个小区间的长度，Σ为求和符号，代表对每个小区间的面积进行加和。
在这个公式中，f(xi)是每个小区间内的函数值，将其与小区间的长度相乘，就可以得到每个小区间的面积。
将所有小区间的面积加和，就可以得到整个区间上的函数值之和，也就是定积分的值。
接下来，我们来探讨如何求一个定积分的积分上限函数的导数。
如果一个定积分的上限函数为u(x)，如何计算它的导数呢？具体的步骤如下：1. 定义积分上限的增量Δx，设新的积分上限为x+Δx，即u(x+Δx)。
2. 利用微积分的一阶泰勒展开式，将u(x+Δx)展开成u(x)的多项式形式：u(x+Δx)=u(x)+u'(x)Δx+o(Δx)，其中o(Δx)表示高阶无穷小，可忽略不计。
3. 根据定积分的定义，设积分上限为x时的积分值为I(x)，当积分上限为x+Δx时，积分的值为I(x+Δx)。
根据定积分求导的链式法则，有：I(x+Δx)-I(x)=[∫x+Δx^xf(t)dt]-[∫b^xf(t)dt]将定积分的定义代入，得到：I(x+Δx)-I(x)=[F(x+Δx)-F(x)]-[F(x)-F(b)]其中，F(x)为f(x)的原函数。
将u(x+Δx)展开的式子代入，得到：I(x+Δx)-I(x)=∫x+Δx^xf(t)dt=u(x+Δx)∙f(x+Δx)Δx+o(Δx)通过移项和除以Δx的操作，可以得到：[Lim(Δx→0)(I(x+Δx)-I(x))/Δx]=lim(Δx→0)(u(x+Δx)∙f(x+Δx)-u(x)∙f(x))/Δx 当Δx趋于0时，上式右边的部分即为u(x)∙f(x)的导数，因此我们可以得到：d[I(x)]/dx=u(x)∙f(x)也就是说，如果我们需要求一个定积分的积分上限函数u(x)的导数，只需要将u(x)与被积函数f(x)的乘积计算即可。
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略一、引言高等数学中，积分上限函数及其导数是一个重要的概念，它在诸多数学和工程问题中都有着重要的应用。
对这一概念的深入理解和掌握对于学生来说是非常重要的。
本文将围绕积分上限函数及其导数的教学策略展开讨论，以便帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
二、教学目标1. 熟练掌握积分上限函数的定义和性质；2. 理解积分上限函数的导数的物理意义；3. 掌握求解积分上限函数的导数的方法。
三、教学内容与方法1. 数学概念的引入在教学开始之初，首先应引入积分上限函数的概念。
可以通过举例引导学生理解积分上限函数的含义和作用，让学生明白积分上限函数是积分的上限值关于自变量的函数。
也应该向学生展示积分上限函数的图像，让学生对积分上限函数有一个直观的认识。
2. 定义和性质的讲解在学生对积分上限函数有了初步的了解后，应该对积分上限函数的定义和性质进行详细的讲解。
介绍积分上限函数的定义，引导学生理解积分上限函数的含义和性质。
然后，对积分上限函数的性质进行详细的讲解，例如导函数为被积函数等重要性质。
在讲解过程中，可以通过练习题来帮助学生巩固对积分上限函数的理解。
3. 物理意义的引入4. 求导方法的讲解四、教学手段和手段在教学过程中，可以采用多种教学手段和手段来帮助学生更好地理解和掌握积分上限函数及其导数的概念。
例如：1. 利用多媒体技术，向学生展示积分上限函数的图像和性质；2. 通过课堂互动让学生参与讨论，激发学生的兴趣和思考；3. 利用实例演示等形式，引导学生对概念进行具体的理解；4. 组织练习和小组讨论，帮助学生加深对概念的理解。
五、教学评价在教学过程中，需要根据学生的学习情况进行及时的评价和反馈。
可以通过布置作业、代课测验等形式对学生的学习情况进行评价，及时发现学生存在的问题并给予指导。
也可以通过课堂互动和小组讨论等形式，让学生展示自己的学习成果，从而检验学生对积分上限函数及其导数的掌握程度。
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略高等数学中，积分上限函数及其导数是一个比较抽象的概念，对于很多学生来说可能难以理解和掌握。
需要采取一些有效的教学策略来帮助学生理解和掌握这一概念。
本文将就高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略进行探讨。
一、教学目标在教学中，首先需要确立明确的教学目标。
对于积分上限函数及其导数的教学，主要目标可以包括以下几个方面：1. 理解积分上限函数的定义和性质；2. 掌握求解积分上限函数的方法；3. 掌握积分上限函数的导数的计算方法；4. 理解积分上限函数与导数之间的关系。
基于以上教学目标，可以制定相应的教学策略。
二、教学策略1. 清晰的教学目标在教学中，首先需要向学生明确教学目标，让他们清楚知道需要学习和掌握的内容是什么，以及为什么需要学习这些内容。
通过清晰的教学目标，可以让学生对学习有一个清晰的方向，增强学习的动力和目的性。
2. 案例分析教学法在教学中，可以通过案例分析的方式来引入积分上限函数的定义和性质。
教师可以选取一些经典的案例，让学生通过具体的例子来理解积分上限函数的概念和性质，从而形成对该概念的直观理解。
3. 视频教学辅助由于积分上限函数及其导数是一个比较抽象的概念，可以借助多媒体手段来辅助教学。
教师可以制作相关的教学视频，通过图表、动画等形式直观地展示积分上限函数及其导数的概念，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
4. 互动式教学积分上限函数及其导数的教学可以采用互动式教学的方式，让学生参与其中。
教师可以设计一些思维导向的问题，引导学生通过讨论和交流的方式来理解和掌握知识，激发学生的学习积极性和主动性。
5. 实例演练在教学中，可以通过大量的实例演练来帮助学生掌握积分上限函数及其导数的计算方法。
通过让学生做大量的题目，可以加深他们对相关知识的理解和掌握，提高解题能力和应用能力。
6. 知识延伸在教学中，除了教授基础的积分上限函数及其导数的知识外，还可以进行知识延伸，向学生介绍相关的研究进展和应用领域，激发学生对知识的兴趣和好奇心，增强他们的学习动力。
积分上限的函数及其导数
上的一个原函数, 则
bf(x)dxF(b)F(a)记作 a
F(x)
b a
(牛顿 - 莱布尼兹公式) (微积分基本公式)
例4 求 1 x2dx. 0
解
x3 3
是
x 2的一个原函数,
由牛顿-莱布尼茨公式得:
1 x2dx
0
x3 3
1
0
1 3
0 3
1 3
.
例5 求 1 1 dx.
2 x
解
当 x0时,
例1
求
d dx
0xco2stdt.
解
d dx
0xco2stx
x3 1
et2dt.
解 这里 x3 et2 dt 是 x 3 的函数, 因而是 x的复合函 1
数, 令 x3u, 则 (u) uet2d,t 根据复合函数求 1
导公式, 有
精选课件
5
d
dx
x3 1
0
1 /2
1 2
.
完
精选课件
11
练习 求定积分 /3 1co2xsdx . /2
解
/3 1co2sxdx /2
/3
sin2 xdx
/2
/3
|sinx|dx /2
0
/3
sixnd xsixd nx
/2
0
co x0 s/2co x 0/s 3
3 2
.
完
精选课件
12
例7. 计算正弦曲线 y=sinx 在[0, π]上与x轴所 围成的平面图形的面积.
y ysinx
o
x
解: A0 sinxdx
cx o s[11] 2
0
内容小结
积分上限函数及其导数
13
只怕一日曝十日寒 与君共勉
N-L Formula
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分是 f(x) 的原函数 F(x)的微分在区间[a, b]上的无限积累
即：“积分是微分的无限积累”。 积累的结果
等于它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
贵有恒何必三更眠五更起，最无益
21
只怕一日曝十日寒 与君共勉
例10．下面计算是否有错？
31
1 x2
dx
x 1 1
贵有恒何必三更眠五更起，最无益 只怕一日曝十日寒 与君共勉
x
18
NOTATION
例6揭示了微积分基本定理的巨大威力．当法国
数学家Gilles de Roberval在１６３５年首次获
得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时
是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到１６
６０～１６７０年，当Barrow发现了微积分基本
2. 变限积分求导公式
3. N—L公式是计算定积分的基本公式
贵有恒何必三更眠五更起，最无益
24
只怕一日曝十日寒 与君共勉
EXERCISES:
1.求 值 ：
2.求 函 数f ( x)和 常 数a(a 0),使 下 式 成 立
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车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 微积分基本公式
则有
积分中值定理
微分中值定理
2. 变限积分求导公式
牛顿 – 莱布尼兹公式
公式 目录 上页 下页 返回 结束
所以 其中
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
求
解： 定积分为常数 , 设
故应用积分法定此常数 . ,则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 求
解： 由于
的递推公式(n为正整数) . 因此
定理2. 函数 , 则
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证: 根据定理 1,
故
因此 得
记作
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例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线 的面积 .
解:
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
与速度函数
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
则变上限函数
证:
则有
机动 目录 上页 下页 明了连续函数的原函数是存在的. 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
同时为
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例1. 求
解:
原式
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式 =
c ≠0 , 故
又由
～
,得
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例3.
在 证:
内为单调递增函数 .
证明 只要证
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式