现代控制理论第六章最优控制【精选】
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2.控制作用域
控制集 U u(t) | j ( x, u) 0
容许控制 u(t) U 3.初始条件
初始集 0 x(t0 ) | j[x(t0 )] 0
可变始端 x(t0 ) 0 4.终端条件
目标集 f x(t f ) | j[ x(t f )] 0
6
0
f x3
2 x3
2 x2
2 x1
0
解得： x1 1, x2 1, x3 2 x* 1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x 2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 min J (x) f (x)
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
H f ( x, u) λT g( x, u)
1 2
xTQ1x
1 2
uTQ2u
λT
不等式约束条件 hj ( x) 0 j 1,2,,l
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
min J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
可变终端 x(t f ) f
5.目标泛函－－性能指标
J (x) [x(t f )]
tf t0
L[ x(t ), u(t ), t ]dt
J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
J ( x) [ x(t f )]
综合型、鲍尔扎型 积分型、拉格朗日型 终端型、梅耶型
等式约束条件 gi (x) 0
解法
i 1,2,, m
（1）嵌入法
（2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数
min J f (x, u) 等式约束条件
gi ( x, u) 0 核心思想：
i 1,2,, m
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6
总运费为: f ( x) x1 2x2 4x3 4x4 5x5 9x6
)]dt
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f (u) |uu* 0 u*极小值点的充要条件是
f (u) |uu* 0, f (u) |uu* 0 u*极大值点的充要条件是
取极小值点的充要条件是
Βιβλιοθήκη Baidu
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
f
(u)
|uu*
0,
f
(u)
|
u
u*
0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fu
f u1
f u2
f un
0
2 f
满足 min J ( x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u*(t)下，状态方程的解，称为最优轨线 x*(t) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
J
(x)
1 2
xT (t f
)Q0 x(t f
)
1 2
tf t0
[
xT
(t)Q1
x(t
)
uT
(t)Q2u(t
第六章 最优控制
2019年9月27日
本章内容
6.1 概述 6.2 研究最优控制的前提条件 6.3 静态最优化问题的解 6.4 泛函及其极值――变分法 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 6.6 极小值原理 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
目标函数
x的约束条件
x1 x2 x3 1500
x4 x5 x6 1800
x1 x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 min J (x) f (x)
等式约束条件 gi ( x) 0 i 1,2,, m
g
T
λ
0
x x x
H
f
g
T
λ
0
u u u
g(x, u) 0
H f ( x, u) λT 0 f ( x, u)
例6-2 求使
J
f
( x,
u)
1 2
xTQ1x
1 2
uTQ2u
取极值的x*和u*，并满足约束条件 g(x, u) x Fu d 0
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f ( x) 2x12 5x22 x32 2x2 x3 2x3x1 6x2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4 x1
2 x3
0
f x2
10 x2
2x3
拉格朗日函数构造： H f ( x, u) λT g( x, u)
将拉格朗日函数最为优化目标函数：min H
则目标函数存在最优解的条件是：
H 0, H 0, H 0
x
u
λ
H f ( x, u) λT g( x, u) 则目标函数存在最优解的条件是：
H
f
控制集 U u(t) | j ( x, u) 0
容许控制 u(t) U 3.初始条件
初始集 0 x(t0 ) | j[x(t0 )] 0
可变始端 x(t0 ) 0 4.终端条件
目标集 f x(t f ) | j[ x(t f )] 0
6
0
f x3
2 x3
2 x2
2 x1
0
解得： x1 1, x2 1, x3 2 x* 1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x 2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 min J (x) f (x)
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
H f ( x, u) λT g( x, u)
1 2
xTQ1x
1 2
uTQ2u
λT
不等式约束条件 hj ( x) 0 j 1,2,,l
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
min J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
可变终端 x(t f ) f
5.目标泛函－－性能指标
J (x) [x(t f )]
tf t0
L[ x(t ), u(t ), t ]dt
J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
J ( x) [ x(t f )]
综合型、鲍尔扎型 积分型、拉格朗日型 终端型、梅耶型
等式约束条件 gi (x) 0
解法
i 1,2,, m
（1）嵌入法
（2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数
min J f (x, u) 等式约束条件
gi ( x, u) 0 核心思想：
i 1,2,, m
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6
总运费为: f ( x) x1 2x2 4x3 4x4 5x5 9x6
)]dt
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f (u) |uu* 0 u*极小值点的充要条件是
f (u) |uu* 0, f (u) |uu* 0 u*极大值点的充要条件是
取极小值点的充要条件是
Βιβλιοθήκη Baidu
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
f
(u)
|uu*
0,
f
(u)
|
u
u*
0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fu
f u1
f u2
f un
0
2 f
满足 min J ( x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u*(t)下，状态方程的解，称为最优轨线 x*(t) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
J
(x)
1 2
xT (t f
)Q0 x(t f
)
1 2
tf t0
[
xT
(t)Q1
x(t
)
uT
(t)Q2u(t
第六章 最优控制
2019年9月27日
本章内容
6.1 概述 6.2 研究最优控制的前提条件 6.3 静态最优化问题的解 6.4 泛函及其极值――变分法 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 6.6 极小值原理 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
目标函数
x的约束条件
x1 x2 x3 1500
x4 x5 x6 1800
x1 x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 min J (x) f (x)
等式约束条件 gi ( x) 0 i 1,2,, m
g
T
λ
0
x x x
H
f
g
T
λ
0
u u u
g(x, u) 0
H f ( x, u) λT 0 f ( x, u)
例6-2 求使
J
f
( x,
u)
1 2
xTQ1x
1 2
uTQ2u
取极值的x*和u*，并满足约束条件 g(x, u) x Fu d 0
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f ( x) 2x12 5x22 x32 2x2 x3 2x3x1 6x2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4 x1
2 x3
0
f x2
10 x2
2x3
拉格朗日函数构造： H f ( x, u) λT g( x, u)
将拉格朗日函数最为优化目标函数：min H
则目标函数存在最优解的条件是：
H 0, H 0, H 0
x
u
λ
H f ( x, u) λT g( x, u) 则目标函数存在最优解的条件是：
H
f