现代控制理论第六章最优控制【精选】

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现代控制理论最优控制课件

04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在给定条件下使系统的性能指标达到最优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在非线性关系，那么该系统就被称为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与输入之间没有时间上的依赖关系。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主要对象是单输入单输出系统，主要方法是频率分析法和根轨迹法。

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案

=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始状态。
第6章状态观测器
江苏大学电气学院
值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
第6章状态观测器
江苏大学电气学院
全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
第6章状态观测器
江苏大学电气学院
这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ，下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得

最优控制全部PPT课件

J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
第11页/共184页
目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt

现代控制理论最优控制

所以它的导数在 = 时应为零，即

[∗ + ]቟
=

=
由变分引理

[∗

+ ]ቕ
=
= ∗
=
得证
《现代控制理论》MOOC课程
6.2.2 无约束条件的变分问题(1)
6.2.2 无约束条件的变分问题
引理：如果函数() 在区间 ∈ [ , ]上是连Βιβλιοθήκη 的，而且对于只满足某些一般条件的任意

[ + ]቟

=
+ ]ቕ
=
∆ +
= lim
ቤ
∆→
∆
=
+ −
= lim
→

′

1
1 2

቟
= lim { ඐ +

+}
2
→
2
− ∗
<
则称泛函在∗ 处是连续的。
其中， , ∗ 表示在函数空间中与∗ 之间的距离:

泛函的变分
, ∗ = max − ∗
≤≤
泛函增量∆ 的线性主部称为泛函的一阶变分，简称泛函的变分，记作

选定的函数()有‫)()( ׬‬

= , 则在区间 ∈ [ , ]上有： () ≡
一欧拉方程
讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无约束条件变分问题。
问题: 考虑泛函为

ሶ
= න [ , (),
]

ሶ
式中在 ∈ [ , ]上连续， [ , (),

最优控制问题介绍

最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。

这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。

通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。

一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。

在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。

这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。

为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。

这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。

然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。

最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。

二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。

其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。

1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。

这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。

2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。

这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。

3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。

这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。

三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。

1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。

现代控制理论课件-第六章极小值原理

⑴ 满足正则方程
x*
k
1
H
x*
k
，u* k ，* k 1
k
1，k
f x* k ，u* k ，k
*
k
H
x*
k
，u* k ，* xk
k
1，k
⑵ 相对于最优控制，哈密尔顿函数达极小值，即
H x* k ，u* k ，* k 1，k H x* k ，uk ，* k 1，k
⑶ 及满足以下边界条件及横截条件
x*
0
x0，*
N
x* N ，N x N
同理，对不同的边界情况，只需选取相应的边界条件及横截条件，条件1、2不变。当控制变量不受限制时，则条件2与控制方程
等效。
H
x*
k ，u* k ，* uk
k
1，kபைடு நூலகம்
0
§ 6.3 极小值原理解最短时间控制问题
一般情况下，非线性受控系统的最短时间控制问题的解析解是很困难的，本节只讨论线性定常受控系统的最短时间控制问题。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差别仅在⑵。极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的阐述，尽量避免烦琐的数学推导。设系统动态方程为：
xt f xt，ut，t
边界条件为：xt0 x0 ，为简单起见，假设终端时刻 t f
及终端状态 x t f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集约束，即 utU
性能指标为：
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t 及最优状态轨线 x* t 必须满足以下条件：

第六章最优控制(2) 现代控制理论

x1(t)
x10
x20t
1t2 2
消去时间变量 t , 可得相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
(6-256)
在图6-16中用实线表示。
14
由于x2(t)=x20+t随t增大, 故最优轨线行进的方向自下而上, 如曲线上箭头所示。
15
当 u= -1 时, 状态方程的解为
x2 (t) x20 t
在R-上在+上
在R+上到达原点
u 1,1 u 1 u 1, 1 u 0
19
进一步, 可综合为
u 1 当(x1, x2 ) R u 1 当(x1, x2 ) R
u 0 当(x1, x2 ) 0
若将开关曲线方程写成
h (x1, x2 )
x1
1 2
x2
x2
0
则最优控制律可表示成
x2 (t) u(t)
或写成矩阵形式
x(t)
0 0
1 0
x(t)
10u(t
)
初始条件 x(t0) x0
(6-248)
终端条件 x(t f ) 0
控制约束 1 u(t) 1, (t0 t t f )
性能指标
J
t f
t0
1 dt
求最优控制 u*(t) ，把系统从初态转移到终态，使
x1(t)
x10
x20t
1 2t2Fra bibliotek相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
在图6-16中用虚线表示。由于x2(t)随t减小, 故曲线箭头方向自上而下。

现代控制理论第6章最优控制(校内讲稿)1

2）终端型性能指标（梅耶问题）
J x( t f )或J x( N )
3）综合型性能指标（鲍尔扎问题）
J x ( t f ) Lx t ,ut ,t dt
终端指标

t
f
或J x( N )
N 1 k k 0
t0
L [ x( k ),u( k ),k ]
2.拉格朗日乘子法设目标函数：
n维
x( tk 1 ) f [ x( tk ),u( tk ),tk ] n N倍
N 1 L k 0
J x( N ) 约束条件为：
x( k ), u( k ), k
( k 0 ,1, N 1 )
f [ x( k ), u( k ), k ] x( k 1 ) 0
6.9
Bang-Bang控制
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教学要求： 1. 学习泛函变分法，理解最优控制的一般概念 2. 掌握利用变分法求最优控制方法 3.掌握状态调节器，极小值原理
重点内容： •最优控制的一般问题及类型，泛函与变分，欧拉方程，横截条件。 •变分法求有约束和无约束的最优控制。 •连续系统的极小值原理。 •有限和无限时间状态调节器方法，Riccati方程求解。
爬山法梯度法
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6.3 静态最优化问题的解
6.3.1 一元函数的极值
设： f ( u ) a , b 上的单值连续可微函数 J 则1) u为极小值点的充要条件
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
H f ( g )T 0 x x x H f ( g )T 0 u u u H g ( x ,u )0

现代控制理论第六章

式中,δx(t) 为宗量函数x(t)的变分, L[x(t), δx(t)] 是 δx(t) 的线性连续泛函,o[ x(t), δx(t)] 是关于 δx(t) 的高阶无穷小,则定义泛函增量的线性主部
δJ = L[ x(t), δ x(t)]
(6-19)
为泛函 J[ x(t)] 的变分，记作 δJ 。若泛函有变分，则称该泛函可微。
物体的升降速度，则上式可写成状态方程
& x1 (t) = x2 (t)
& x2 (t) = u(t) − mg
x 其初始条件是 x1 (t0 ) = x10 ， 2 (t0 ) = x20 。现需寻找一个能使物体以最短时间从初态 ( x10,x20 ) 到达终态 (0,0)的控制u(t)。定义系统的性能指标为
1. 始端时刻和终端时刻固定时的泛函极值问题
首先讨论不仅初始时刻 t0 、终端时刻 t f 固定,而且初始状态 x(t 0 ) = x0 、终端状态 x(tf ) = xf固定这一最简单情况下无约束条件的泛函极值问题(最优控制的最优控制的基本问题)。基本问题
J = ∫ dt = t f − t0
tf t0
t 式中, t0为起始时刻， f 为终止时刻。要求时间最短，即使性能指标J最小，这样求得的控制即为最优控制 u *(t) 。
2. 搅拌槽问题设有一盛放液体的连续搅拌槽，如图6-2所示。槽内装有不停转动着的搅拌器S，使液体经常处于完全混合状态，槽中原放 0o C 的液体。现需将其温度升高，为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(t)，出口处流出等量的液体，以保持槽内液
由式(6-20)得
∂ (J[x(t) + εδx(t)]) = ∂ ∫tt0f [x(t) + εδx(t)]2 dt ∂ε ∂ε ε =0

刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制11

TechnicalTechnical parameters for turntable (2) parametersforturntable(1)通过实例来初步认识为转动惯量；内，电动机从静止起动，转过一定角度最小，求θt t I R D t D fd )(2∫=)(t I D 的函数，E 是函数的函数，称为中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(t I D 又停下，求控制（是。

θ()D I t FD D D m T J I J K ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤100末值状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(21θf f t x t x 最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制，使J 为最小最优控制：在某个性能指标下的最优控制；性能指标处的增量为：：求平面上两固定点连线最短的曲线c=自由的终端约束的极值问题。

ce t回顾前面最优控制问题提出的第二个例子可以看出：1、当终值时刻，ω＝02、I D (t )为负斜率线性函数,,]x u t ③边界条件（以始端固定、终端自由为例）：[(),]()f f f x t t x t φ∂],,,*t λu 与通常基于变分法的最优控制不同处极值的必要条件是使哈密尔顿函1线性系统的二次型性能指标最优控制u 在这里不是输入，而是一种（反馈）控制结构03,0f t t ==322212121(242)2x x x x u dt+++10⎡⎤⎢21⎡⎤⎥02S =⎥⎣⎦14Q =⎢⎣⎦121222p x p x ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦xxx+）}t随着参考输入的不同，系统的结构（输入部份）也不同变输入变结构控制？其状态方程模型u x=2&21x x=&}u ≤1系统的初始状态为)0(1x )0(2x 末值状态为)(1=f t x 0)(2=f t x 性能指标为ft t t J f ==∫d )(f t x 要求在状态方程约束下，寻求最优控制，转移到，同时使J 取极小值。

现代控制理论习题集

5.4调节器系统被控对象的传递函数为
定义状态变量为
利用状态反馈控制律，要求闭环极点为 (i=1,2,3)，其中
试确定必需的状态反馈增益矩阵K。
5.5试用MATLAB求解习题4.6。
5.6给定线性定常系统
式中
试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为。
5.7考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为，即最小阶观测器所期望的特征方程为。
11122100021x?xux?x??????????????????????????21122100011x?xux?x????????????????????????31122010011x?xux?x????????????????????????试分别研究有无最优控制使下列性能指标21222012jxxudt?取极小值
3.5给定线性定常系统
式中
试将该状态方程化为能观测标准形。
第四章
4.1试确定下列二次型是否为正定的。
4.2试确定下列二次型是否为负定的。
4.3试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
4.4试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
试求最优控制，使下列性能指标
取最小值。
6.2求从到直线之间距离最短的曲线及最优终端时间。
6.3系统状态方程及边界条件为：
试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。
6.4设系统状态方程及初始条件为
未给定，试求最有控制及使下列指标取极值，并求出最优轨线。
6.5设系统状态方程及初始条件为：

现代控制理论-第六章

• 新系统的状态方程为
x1 0 x 0 2 x3 10000 y 1 0 0x 1 0 1510 x1 0 1 x2 0 u 114 .1 x3 10000 0
x Ax Bu

• 新系统
y Cx v Hy u x ( A BHC ) x Bv y Cx

2.输出反馈到状态微
• 原系统 • 完全可观 • 新系统
x Ax Bu y Cx

x Ax Bu Hy y Cx x ( A HC ) x Bu y Cx
• 新系统的方框图
第三节全维状态观测器
•一.定义：若系统是完全可观的，但因种种原因，如空间不足、成本较高等，无法将状态量测到，可人为建立全部状态，使构建的状态变量无限接近原系统的状态变量，称为全维状态观测器，简称状态观测器。 •二.实现条件：系统完全可观 •三.实现方法： •1.原系统 x Ax Bu, y Cx
1 S 3 114 .1S 2 1510 S lim 0.151 0.2 S 0 S S 3 114 .1S 2 1510 S 10000
• 新系统的传递函数为
G(S ) k 10000 3 ( S 100 )( S 7.07 j 7.07 )( S 7.07 j 7.07 ) S 114 .1S 2 1510 S 10000
2
• 3.利用状态反馈实现极点配置： I ( A BHC ) • 4.利用状态反馈实现极点配置： I ( A HC )
2
h
h1 h2

第6章最优控制

由此可见，由此可见，Rank(Mk)=2=n，Rank(Nk)=1<n，因此，引入状态反馈，，因此，系统的能控性没有改变，而能观性却发生了改变。后，系统的能控性没有改变，而能观性却发生了改变。
& X = AX + BU Y = CX
(6 − 7 )
对于式(6-7)系统，如果输出反馈矩阵为一常值矩阵，那么，系统，为一常值矩阵，定理对于式系统如果输出反馈矩阵H为一常值矩阵那么，加入输出反馈后系统的能控性和能观性不发生改变。加入输出反馈后系统的能控性和能观性不发生改变。证：略
6.2 系统最优控制的概念
6.2 Concept of the system optimal control 最优控制理论(The Optimal Control Theory)是现代控制理论中最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，的重要内容，近几十年的研究与应用使最优控制理论成为现代控制论中的一大分支。制论中的一大分支。由于计算机的发展已使过去认为不能实现的计算成为很容易的事，计算成为很容易的事，所以最优控制的思想和方法已在工程技术实践中得到越来越广泛的应用。实践中得到越来越广泛的应用。应用最优控制理论和方法可以在严密的数学基础上找出满足一定性能优化要求的系统最优控制律，严密的数学基础上找出满足一定性能优化要求的系统最优控制律，这种控制律可以是时间t的显式函数的显式函数，这种控制律可以是时间的显式函数，也可以是系统状态反馈或系统输出反馈的反馈律。常用的最优化求解方法有变分法、统输出反馈的反馈律。常用的最优化求解方法有变分法、最大值原理以及动态规划法等。原理以及动态规划法等。控制系统的最优控制问题一般提法为：控制系统的最优控制问题一般提法为：对于某个由动态方程描述的系统，在某初始和终端状态条件下，描述的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函数达到最优。到最优。

现代控制理论习题集

《现代控制理论》习题第一章控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。

1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。

1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。

1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。

1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。

再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。

1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。

1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。

2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。

最优控制理论PPT课件

生产计划与调度
在企业生产管理中，利用最优控制理论对生产计划和调度进行优化，提高生产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基于系统输出的反馈控制策略，通过最优控制算法计算出在当前输出下的最优控制输入，使得系统状态在有限时间内达到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效的最优控制策略，它根据系统的输出信息，通过最优控制算法计算出在当前输出下的最优控制输入，使得系统状态在有限的时间步内以最优的方式达到目标状态。这种控制策略的关键在于如何根据输出信息快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与非线性控制、连续和离散控制等。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题都需要通过最优控制理论来解决，如航天器轨道控制、机器人运动控制、电力系统优化等。

现代控制理论6章

0 0
在 x U ( x0 , ) D 时，均有 Δ J [ x] J [ x] J [ x0 ] ≤0 Δ J [ x] J [ x] J [ x0 ] ≥0 或则称 J ( x ) 在x x0处达到极大值或极小值。定理：设 J [ x ] 是在线性赋泛空间 R n 上某个开子集D 中定义的可微泛函，且在 x x0 处达到极值，则泛函 J [ x ] 在 x x0 处必有
δ J [ x0 , δ x] 0
（二）欧拉方程：
定理：设有如下泛函极值问题： min J [ x] t L( x, x, t )dt x (t )
0
tf
其中， L( x, x, t ) 及 x(t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定，
* n x 已知 x(t0 ) x0， (t f ) x f ，x(t ) R ，则极值轨线 x (t ) 满足如下欧拉方程
条件极值的欧拉方程：
设有如下泛函极值问题：
min J [ x] L( x, x, t )dt
x (t ) t0 tf
其中， L( x, x, t ) 及 x(t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定，
n x 已知 x(t0 ) x0 ， (t f ) -2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始 ) 时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度又停下，求控制 I D (t（I D (t )是受到限制的），使得所需时间最短。
这也是一个最优控制问题：
系统方程为
0 0 x1 0 1 x1 K 1 x 0 0 x m I D TF J 2 J D 2 D

现代控制理论第6章最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型

由min H x , ,u,t H x , ,u ,t uU
min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；

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