沪教版(五四制)七年级数学下册 第十二章 实数运算综合讲义(无答案)

实数运算综合
知识定位
本讲，我们是对实数进行综合复习，其中包括实数定义、开方、计算、分数指数幂等。

将以前学的有理数扩大到了实数。

从数学上看，在实数范围内对任何数施行开方运算都可以畅通无阻。

这既满足了实际应用的需要，也解决了数学内部的矛盾。

而且，实数的运算使我们之后学习更深内容的基础，是初中数学的基本知识和基本技能的重要组成部分。

在中考时难度一般不是很大，但为了后续内容的学习，也不能仅仅了解一下，需要真正理解这部分内容。

知识梳理
知识梳理1：实数定义
有理数和无理数统称实数。

也就是说，实数可分为有理数和无理数。

无理数：无限不循环小数叫做无理数。

有理数：有限小数或无限循环小数称为有理数。

有限小数：特征一个最简分数的分母只含有因数2或5。

无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数 无限循环小数（纯循环小数和混循环小数）：
知识梳理2：有理数的开方
平方根：如果 x 2 = a ( a ≥0 )，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。

数a 的平方根记做a ±，其中a （即a +）叫做a 的算术平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

知识梳理3：实数的运算 实数的六种运算关系：
加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。

实数的运算顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

去括号的顺序是先去小括号，再去中括号，最后大括号。

同一级运算，如果没有括号，可按由左至右的顺序进行。

实数运算律：
(1) 加法交换律：a + b = b + a
(2) 加法结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) (3) 乘法交换律：ab = ba (4) 乘法结合律：( ab )c = a ( bc ) (5) 乘法分配律：( a + b )c = ac + bc
知识梳理4：分数指数幂 （1）规定10=a ，n n a
a 1=
- （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为
n m n
m a a
=(,,1)m n n >都为正整数）
规定正数a 的负分数指数幂的意义为
n
m
n
m a
a
1
=
-
(,,1)m n n >都为正整数）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
（3）引入了分数指数幂后，整数指数幂就推广到了有理数指数幂。

对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即： t s t s a a a +=∙，st t s a a =)(，s s s b a ab ∙=)(， 其中,s t 为有理数，0,0>>b a 。

例题精讲
【试题来源】
【题目】如图，已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、3
2-、2
1
2
、5-，O 为原点，求线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度并比较它们的大小。

【试题来源】
【题目】设a 、b 是两个不相等的有理数，试判断实数3
3
a b ++是有理数还是无理数，并说明
理由。

【试题来源】
【题目】尝试说明2是一个无限不循环小数. 尝试完成以下填空：
假设2是一个有理数，设)0,(2≠=
q q p q
p
表示整数且互素，同时， 等式两边分别平方，可以得到2= ，则2
p = ， 由此可知p 一定是一个 （填“奇”或“偶”）数， 再设p=2n(n 表示整数)，代入上式，那么2
q = ， 同理可知q 也是 .这时发现p 、q 有了共同的因数2， 这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立， 即2不是 ，而是无限不循环小数.
【试题来源】
B 0
2
2
2
1 32-
32-3
2-5
- A
C D
O
【题目】已知m ，n 是有理数，且(52)(325)70m n ++-+=，求m ，n 的值。

【试题来源】
【题目】△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足2
1440a b b -+-+=，求c 的取值范围。

【试题来源】
【题目】已知223.717.52,284.2217.5==
（1）求5217,5217.0的值 （2）若84.22=x ，求x 的值
【试题来源】
【题目】已知139-的整数部分为a ，小数部分为b ，求b a +2的值
【试题来源】
【题目】将边长为2分米的正方形的纸片对折两次，折成边长为1分米的小正方形，如图（1）所示.打开后，得到各边中点E 、G 、H 、F ，折痕EG 、HF 交于正方形中心O.再将顶点A 、B 、C 、D 向中心O 折叠，得四边形EFGH ，如图（2）所示.
(1) 四边形EFGH 是什么图形? (2) 四边形EFGH 的面积是多少? (3) 四边形EFGH 各边的长是多少?
【试题来源】 【题目】已知1993332()43a a
a
x a
a
-+--=-+-，求x 的个位数字。

【试题来源】
【题目】已知实数a 满足3
2
3
0,11a a a a a ++=-++=那么 。

【试题来源】
【题目】已知n ⨯3675是一个自然数，求满足条件的最小的自然数n 的值
【试题来源】
【题目】罗马数字共有 7 个：I （表示 1），V （表示 5），X （表示 10），L （表示 50），C （表示 100），D （表示 500），M （表示 1000），这些数字不论位置怎样变化，所表示的数目都是不变的，其计数方法是用“累积符号”和“前减后加”的原则来计数的： 如IX ＝10－1＝9，VI ＝5＋1＝6，CD ＝500－100＝400，则XL ＝＿＿＿，XI ＝＿＿＿。

【试题来源】
【题目】已知30,0,2150,y
x y x xy y x xy y
+>>--=+-2x+xy 且求
的值。

【试题来源】
【题目】先观察下列等式，再回答问题。

①=1+-；
②=1+--=1；
③=1+--=1；
⑴请根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并进行验证；
⑵请按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的字母表示的等式，并加以验证（n 为正整数）
【试题来源】 【题目】若1101,6,a a a a a
+
=-且则的值为 。

【试题来源】 【题目】设的整数部分为a 小数部分为b 求+的值。

【试题来源】
【题目】已知103,102m
n
==，则2
310n
m -的值为 .
【试题来源】 【题目】若1
3a a -+=，求下列各式的值：
（1）112
2
a a -+； （2）2
2
a a -+； （3）3322
a a
-+； （4）
332
2112
2
a a a a
--
--
【试题来源】
【题目】
13
21113
3
3
3
111
1
1
x x x x
x x x x -+--
-
+++-
【试题来源】
【题目】的值，求已知321
3
13
13
133124---++⨯⨯=a a a a 。

习题演练
【试题来源】
【题目】已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足2
2322332x y y ++=-，则x+y= 。

【试题来源】
【题目】设2a 2
的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。

【试题来源】
【题目】已知22114
,)1
x y x x y x +-+-+=
+3则(2= 。

【试题来源】
【题目】设等式()()a x a a y a x a a y -+-=
---在实数范围内成立，其中a 、x 、
y 是两两不相等的实数，则22
22
3x xy y x xy y +--+的值是 。

【试题来源】
【题目】天安门广场的面积约为 44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当于（ ）
A 、教室地面的面积
B 、黑板面的面积
C 、课桌面的面积
D 、铅笔盒面的面积
【试题来源】
【题目】如果30,a a <-那么等于（ ）
【选项】 A 、a a B 、a a - C 、a a - D 、a a --
【试题来源】
【题目】已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。

【试题来源】
【题目】计算526526-++
【试题来源】 【题目】112
2
5x x -+=，则2
1x x
+的值是多少？
【试题来源】 【题目】已知52
12
1=--x
x ，求2
21
x x +
的值。

【试题来源】 【题目】已知：,0142
=+-a a 求下列各式的值：
（1）22
-+a a ； （2）33-+a a ．
【试题来源】 【题目】将(
)
3
23ab ab
化为分数指数幂的形式
【试题来源】
【题目】已知210=α
，310=β
，求β
α4
12100-的值。