指数与指数函数题型归纳(非常全)

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指数与指数函数知识点与题型归纳

指数与指数函数知识点与题型归纳1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂3a 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐减小．（1）画指数函数图象的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．（3）指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题型一指数幂的化简与求值1．化简3a a 的结果是________．2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 3.=+3-2-233___________4．已知24714===cba，则cb a 111+-＝________. 5. 已知14x x-+=，求1122x x -+及1x x --的值．题型二指数函数的图象及应用类型一与指数函数有关的图象辨析 6．函数|1|--=x ey |的大致图象是( )7．函数||1)(x e x f -=的图象大致是( )8．函数12+=x y 的图象是________(填序号)．类型二指数函数图象的应用9．函数b a y x-=(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定 10．函数33+=-x ay (a >0，且a ≠1)的图象过定点________．11. 若曲线13-=x y 与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． 12．若条件变为：方程m x =-13||有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．13．若条件变为：函数m 13+-=x y 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________． 14．函数xa y =(a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )15．已知函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421的图象与指数函数xa y =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___16．设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x,则满足1)1()(>-+x f x f 的x 的取值范围是________． 17．已知实数a ，b 满足等式ba20202019=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)． 18．设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ≥nD ．以上答案都不对题型三指数函数的性质及应用类型一比较指数式大小19．已知2.12=a ，2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 20．已知xxx f --=22)(，4197-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5179⎪⎭⎫⎝⎛=b ，97log 2=c ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 21.设函数axx f -=2)(与xa x g =)((a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与1.01⎪⎭⎫⎝⎛=a N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N 类型二解不等式与方程 22．不等式1472-->x x a a(0<a <1)的解集为____________．23．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,0,721)(x x x x f x,若1)(<a f ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式024)(2<-⋅-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2) 25.方程11214=-+xx 的解为________．26. 若不等式0421>⋅++a xx在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．类型三与指数函数有关的函数最值问题 27．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．28．函数12221)(++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间是________，值域是________．29．函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 在区间[－3,2]上的值域是________．类型四与指数函数有关的函数单调性问题 30. 函数124)(+-=x xx f 的单调增区间是________．31. 已知函数|2|2)(m x x f -=(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 32．函数221)(x x x f -⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2133．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]34．设xe xf =)(，0＜a ＜b ，若()ab fp =，⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f q ，)()(b f a f r =，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q35．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛32,0 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 C ．(]3,1 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 36．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．37．已知函数3241)(1+-=-x x x f λ(－1≤x ≤2)． (1)若23=λ，求函数)(x f 的值域； (2)若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值．38．函数()4426xx f x +=--，其中[]0,3x ∈（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立，求实数a 的范围.39．设指数函数xm x f )2()(+=，幂函数32)1()(x m m x g ++=．（1）求m ；（2）设a ＜0，如果存在x 1，x 2∈[﹣2，2]，使得)()(21x g x af >，求a 的取值范围．2.解析：2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.3.解析：原式22(33)2(33)2(33)3324232(31)+++===-----22(33)2(1263)2266(33)(33)+===-+4.解析：由题设可得21a ＝14,21b＝7,21c ＝4，则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c ＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3.5.解析：因为14x x-+=，所以 x ＞0，则112122()2426x x x x --+=++=+=，则11226x x-+=因为 1222()216x x x x --+=++=，则2214x x -+=，所以 1222()214212x x x x ---=+-=-=，所以11223x x--==±6.解析：因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.7.解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为 (－∞，0]，排除C.8.解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x＋1的图象．答案：①9.解析：因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∴(0,1)，故选C.10.解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．11.解析：曲线y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，而直线y ＝m 的图像是平行于x 轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个公共点，则m 的取值范围是(0,1)．12.解析：作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图像如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]13.解析：作出函数y ＝|3x －1|＋m 的图像如图所示．由图像知m ≤－1，即m ∴(－∞，－1]．14.解析：选C ；两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C. 15.解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a ＝4.16.解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．17.解析：作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图像如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．18.解：当m ＞n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＞2n ，所以（）n ＞1，所以m ＞n ＞0，当m ＝n 时，（）n ＝1，所以m ＝n ＝0，当m ＜n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＜2n ，所以（）n ＜1，所以n ＜0，则m ＜n ＜0，故选：D ．19.解析：因为2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ＝20.2<21.2＝a ，所以a>b>1.又因为c ＝2log 52＝log 54<1，所以c<b<a.选C20.解析：易知f(x)＝2x －2－x 在R 上为增函数，又0797997514141>=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a ，c ＝log 279<0，则a>b>c ，所以f(c)<f(b)<f(a)． 21.因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，111.0<⎪⎭⎫⎝⎛=a N ，所以M ＞N .故选D.22.解析：因为y ＝a x (0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，解得x >－3；答案为(－3，＋∞)点评：(1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a ＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a ＜1时，等价于f(x)＜g(x)．23.解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为1721<-⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即821<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即32121-⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，因为0<12<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1. 故a 的取值范围是(－3,1)．24.解析：因为(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．所以(m 2－m )<12x 在x ∴(－∞，－1]上恒成立．因为y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，所以当x ∴(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，所以m 2－m <2，所以－1<m <2.选D25.解析：当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0.∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，所以2x ＝3，即x ＝log 23.当x ＜0时，原方程化为4x －2x －10＝0.令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0＜t ＜1)．由求根公式得t ＝1±1＋402均不符合题意，故x ＜0时，方程无解．26.解析：从已知不等式中分离出实数a ，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a 2141.因为函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上都是减函数，所以当x ∴(－∞，1]时，4141≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，2121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，所以4321412141=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，从而得432141-≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .故实数a 的取值范围为a ＞－34.即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,4327.解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.28.解析：令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在R 上是减函数，则函数12221)(+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则4121)(2=⎪⎭⎫⎝⎛≥x f ，即函数f (x )的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41。

指数与指数函数题型归纳

指数与指数函数题型归纳(非常全)(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数式及指数函数题型归纳（）一．指数幂与根式的互化：题组一：根式化为分数指数幂（1）化简√a 12√a 12√a =________． (2) 计算2√a ⋅√a23=________．(3)若a ＜0，则√aa 3=________． (4)√a √a a 的值为（）题组二：运用分数指数幂进行化简：（1）下列各式中错误的是（） 1. A. 225×2 52=2B. (127)−13=3 C. √26=√23 D. (−18)23=2. 化简（a 23a 12）×（-3a 12a 13）÷（13a 16a 56）的结果（）A. 6aB. −aC. −9aD. 9a 23.（1）计算：1612+(181)−0.25−(−12)0 （2）化简：(2a 14a −13)(−3a −12a23)÷(−14a −14a −23)．(3)（√23×√3）6+（√22）43-4（1649）−12-√24×（-2009）0．题组三：指数式的条件求值问题：1.已知a 12+a −12=3，求下列各式的值(写出过程)：（1）a 1+a −1 (2)a 2+a −2 (3)a 32+a −32=2.（1）已知a +a −1=3，求a 12+a −12a 2+a −2+3的值．（2）已知2x +2-x =3，则 4x +4-x =______ ．题组四：利用指数函数比较大小;1.下列各式比较大小正确的是： 1.72.3______ 1.74 ； 0.6−1______ 0.62 ； 1.70.3______ 0.92.3 0.8−0.1______ 1.250.22.已知a =(13)−1.1,a =a 0,a =30.9，则a ，b ，c 三者的大小关系是()A. a <a <aB. a <a <aC. a <a <aD. a <a <a3. 已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则（）A. a <a <aB. a <a <aC. a <a <aD. a <a <a题组五：指数函数过定点问题;1．函数f （x ）=2-a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（）A. (0,2)B. (1,2)C. (−1,1)D. (−1,2) 2.函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点______ ．3.函数y =a −a2+2a +3(a ＞0，a ≠1）的图象经过定点为______4. 题组六：指数函数解方程（或不等式）;1. 设集合A ={x |-1＜x ＜2}，{x |18＜（12）x ＜1}，则A ∩B =（）A. (0,3)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,+∞)2.（1）不等式3−a2+2a>13a +4的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______(3)求不等式a 2x -7＞a 4x -1（a ＞0，且a ≠1）中x 的取值范围3.方程4x -6×2x +8=0的解是______ ．题组七：指数函数有关图像问题;1.函数a (a )=a a +a −1(其中0<a <1且0<a <1)的图象一定不经过( ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若函数y =a x +b 的部分图象如图所示，则（）A. 0<a <1,−1<a <0B. 0<a <1,0<a <1C. a >1,−1<a <0D. a >1,0<a <13.函数f （x ）=-3|x |+1的图象大致是（）A. B. C. D.4．函数a =aa a|a |(a >1)的图象的大致形状是（）A. B.C. D.5.如图①a =a a ,②a =a a ,③a =a a ,④a =a a ,根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )A. B. C.D.题组八：指数函数有关复合函数问题：1.（1）函数a =(13)a 2−6a的单调递增区间为______( 2 ) 函数a =2−a2−4a的单调递减区间为_____ 2.（1）函数y =(12)−a2+2a的值域是（） A. RB. [12,+∞)C. (2,+∞)D. (0,+∞)（2）函数a (a )=(13)a 2−6a +5的值域为_____ （3）函数a =2a2−1的值域是______ 3.求函数y =3−a 2+2a +3的定义域、值域和单调区间．题组九：指数函数与其它函数交汇问题： 1.已知a (a )=a a 1+a a(a ≠0)，则a (−2018)+a (−2017)+⋯+a (2017)+a (2018)=（）A. 2018B.40372C. 2019D.403922.已知函数a (a )={3a −1,a >0−2a 2−4a ,a ⩽0，若方程a (a )=a 有3个不等的实根，则实数a 的取值范围是________.3．若直线y =2a 与函数y =|a x -1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．4.已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a +b =______．5.函数a (a )=4a −2a +1+3的定义域为a ∈[−12,12]． (Ⅰ)设a =2a ,求t 的取值范围； (Ⅱ)求函数a (a )的值域．6.已知函数a (a )=a −2a 1+2a(a ∈a ),且a ∈a 时,总有a (−a )=−a (a )成立．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数a (a )的单调性；6.已知定义域为R的函数，a(a)=−2a+a2a+1+a是奇函数．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数幂的计算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，属基础题. 根据分数指数幂的运算法则进行求解即可.【解答】解：由条件知a≥0，则√a12√a12√a=√a12√a12+12=√a12⋅√a=√a12⋅a12=a12.故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.利用已知条件，通过开方运算，求解即可，利用a12+a−12=√(a12+a−12)2，即可得.【解答】解：由a+1a=7，可得a＞0，a12+a−12>0，∴a12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】由已知a (a )+a (−a )=a a 1＋a a +a −a 1+a −a =1+a a1+a a =1，再利用倒序相加进行求和即可求解. 【解答】解: 由已知有a (a )+a (−a )=a a 1＋a a+a −a 1+a −a =1+a a1+a a =1，设a =a (−2018)＋a (−2017)＋⋯＋a (2017)＋a (2018)，则a =a (2018)＋a (2017)＋⋯＋a (−2017)＋a (−2018)，两式相加得2T =4037×1，所以a =40372.故选B .4.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【解答】解：2√a ⋅√a 23=a 2⋅a −12⋅a −23=a2−12−23=a 56．故选C ． 5.【答案】A【解析】解：原式=a 32−12a 14−14=a ，故选：A根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数解析式,由已知解析式得到5a +b =3，所求为5a •5b ，利用同底数幂的乘法运算转化即可，属于中档题. 【解答】解：因为f （x ）=5x ，因为f （a +b ）=3，所以5a +b =3，则f （a ）•f （b ）=5a •5b =5a +b =3. 故选A ． 7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础．根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论．解：∵f （x ）=3x +3-x ， ∴f （a ）=3a +3-a =4，平方得32a +2+3-2a =16，即32a +3-2a =14．即f （2a ）=32a +3-2a =14．故选B ． 8.【答案】D【解析】解：∵a ＜0，ax 3≥0， ∴x ≤0，∴√aa =|x |√aa =-x √aa ，故选：D由题意可得x ≤0，即可求出答案．本题考查了根式的化简，属于基础题． 9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题. 求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M ，N ，然后直接利用补集和交集的运算求解. 【解答】解：由题意，集合M ={x |x 2+x -6＜0}={x |-3＜x ＜2}， N ={x |(12)a ≥4}={x |x ≤-2}，全集为R ，所以∁a a ={x |x ＞-2}，所以M ∩（∁a a ）={x |-2＜x ＜2}，所以M ∩（∁a a ）=（-2，2）．故选B ．10.【答案】A【解析】解：A 、原式=225+52=22910； B 、原式=(3−3)−13=3；C 、原式=√226=(22)16=√23； D 、原式=(−2−3)23=(−2)−2=14．故选：A根式与分数指数幂的互化公式是√a a a =a aa ，分数指数幂公式是x -n =1a a （x ≠0），按公式运算即可．本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了分数指数幂和根式的互化，以及指数幂的运算性质，属于基础题．解：√a√a a=(a·(a·a12)12)12=a78，故选C.12.【答案】C【解析】解：(a23a12)(−3a12a13)÷(13a16a56)=(−3)÷13×a23+12−16a12+13−56=-9a故选：C．由指数幂的运算法则直接化简即可．本题考查指数式的化简、指数幂的运算法则，考查运算能力．13.【答案】D【解析】解：a=(13)−1.1=31.1,a=a0=1,a=30.9，∵指数函数a=3a在R上单调递增，∴31.1>30.9>30=1,即有a＞c＞b，即b＜c＜a．故选：D．运用指数函数的单调性，可得31.1>30.9>1，即可得到a，b，c的大小关系．本题考查指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.先求出函数的定义域，再分别讨论x＞0，x＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=a aa的定义域为：(−∞,0)∪(0,+∞)，排除选项A．当x＞0时，函数f（x）=a aa＞0，选项C不满足题意．当x＜0时，函数f（x）=a aa＜0，选项D不正确，故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）={a a(a>0)−a a(a<0)，∴x＞0时，图象与y=a x（a>1）在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=a x（a>1）的图象关于x轴对称，16.【答案】B【解析】解：函数y=（2a-1）x在R上为单调减函数，∴0＜2a-1＜1＜a＜1解得12故选：B．指数函数y=a x，当0＜a＜1时为定义域上的减函数，故依题意只需0＜2a-1＜1，即可解得a的范围本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题17.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，即a0=1的应用，属于基础题.由x+1=0得x=-1代入解析式后，再利用a0=1求出f（-1）的值，即可求出答案.【解答】解：由x+1=0得x=-1，则f（-1）=2-a0=1，∴函数f（x）=2-a x+1的图象恒过定点（-1，1）.故选C.18.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质及与坐标轴交点位置，是解答的关键．根据已知可分析出函数的奇偶性，进而分析出函数图象的对称性，将x=0代入函数解析式，可判断函数图象与y轴交点的位置，利用排除法可得函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=-3|x|+1，∴f（-x）=-3|-x|+1=-3|x|+1=f（x），即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B、D，当x=0时，f（0）=-30+1=0，即函数图象过原点，故排除C.故选A.19.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的图象的应用及函数图像的平移变换，属于基础题，由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论.【解答】解：由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，∵0＜b＜1，∴-1＜b-1＜0，∴0＜1-b＜1，∵y=a x的图象向下平移1-b个单位即可得到y=a x+b-1的图象，∴y=a x+b的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限.故选C.【解析】【分析】此题考查复合函数的单调性，属于基础题，利用二次函数及指数函数的单调性可得出函数的单调性.【解答】解：∵函数a=(13)a2−9是由函数a=a2−9与a=(13)a复合而成，因为a=a2−9的单调递减区间为(−∞，0)，又a=(13)a单调递减，所以函数a=(13)a2−9的单调递增区间为(−∞,0).故选A.21.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数图象恒过定点问题，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．由指数式的指数等于0求解x值，进一步求得y值得答案．【解答】解：由x-3=0，得x=3，此时y=a0+1=2．∴函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点（3，2）．故选：C．22.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题．根据指数函数的单调性判断数的大小即可．【解答】解：y=为增函数，<3,∴故A错误，y=为减函数，-1<2,∴＞,故B正确，由于，，故C错误，由于，对于指数函数y=为增函数，<，∴故D错误，故选B.23.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性、指数函数的定义域和值域，属于基础题，令t=-x2+2x，则y=(12)a，再根据t≤1以及指数函数的单调性求得y的值域.【解答】解：令a=−a2+2a=−(a−1)2+1≤1，则y=(12)a，由于t≤1，∴y≥(12)1=12，所以函数y=(12)−a2+2a的值域是[12,+∞).故选B.24.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了利用指数函数、幂函数的单调性判断数的大小，属于基础题．解题时利用指数函数、幂函数的单调性即可判断．【解答】解：∵y=(25)a为减函数，且35>25，∴b＜c，又∵y=a25在（0，+∞）为增函数，∴a＞c，∴b＜c＜a，故选D．25.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义及表示形式，指数式的运算，以及指数函数的单调性，交集的运算．可写出18=(12)3，1=(12)0，然后根据指数函数单调性即可求出集合B={x|0＜x＜3}，根据交集的定义运算即可得出A∩B．【解答】解：18=(12)3，1=(12)0；∴由18<(12)a<1得，0＜x＜3；∴B={x|0＜x＜3}，且A={x|-1＜x＜2}；∴A∩B=（0，2）．故选C．26.【答案】A【解析】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b+1），∴-1＜b＜0，故选A.根据指数函数的图象和性质即可判断.本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．27.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象和性质，比较函数值的大小即可，比较基础．根据指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：很显然a，b均大于1；且y=b x函数图象比y=a x变化趋势小，故b＜a，综上所述：a＞b＞1．故选：C．28.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质，作出直线x=1，给出直线与四条曲线的交点坐标是正确解答本题的关键，本题的难点是意识到直线x=1与四条曲线交点的坐标的纵坐标恰好是四个函数的底数，此也是解本题的重点．可在图象中作出直线x=1，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出a、b、c、d 与1的大小关系，选出正确选项【解答】解：由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）故有b＜a＜1＜d＜c故选：B．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象与性质，由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．30.【答案】C【解析】【分析】令x-1=0，求出x的值，从而求出对应的y的值，从而求出定点的坐标．本题考查了指数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：令x-1=0，解得：x=1，故x=1时，y=1，故函数过（1，1），故选C．31.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复合函数求单调区间的问题，复合函数求单调区间时，一般分离成两个简单函数根据同增异减的特性来判断．)a，z=x2-6x+5，根据同增异减性可得答将原函数分离成两个简单函数y=(13案．【解答】解：令z=x2-6x+5是开口向上的二次函数，x∈（-∞，3]上单调递减，x∈[3，+∞）上单调递增．)a，t=x2-6x+5,则原函数可以写为：y=(13因为y=(13)a单调递减,故原函数的单调递减区间为：[3，+∞）.故选D．32.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的定义，属于容易题.函数a=（a2−5a+5）a a是指数函数，所以必须满足{a 2−5a＋5=1a>0,且a≠1，解出即可．【解答】解：∵函数a=（a2−5a+5）a a是指数函数，∴{a 2−5a＋5=1a>0,且a≠1，解得a=4．故选C．33.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=，c=，可知：c＞a＞b．故选C．34.【答案】5【解析】【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，属于基础题.利用指数，对数的性质、运算法则求解．【解答】解：=1+3×23+lg100=1+2+2=5.故答案为5.35.【答案】7【解析】解：∵2x+2-x=3，∴4x+4-x=（2x+2-x）2-2=32-2=7．故答案为：7．直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题．36.【答案】19【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，考查计算能力，直接利用有理指数幂化简求值即可．【解答】解：0.027−13-（-17）-2+25634-3-1+（√2-1）0 =103-49+64-13+1=19．故答案为19． 37.【答案】-6b【解析】解：(−3a 13a 23)·(a 12a 12)÷(12a 56a 16)=−6a 13+12−56a 23+12−16=−6a 0a 1=-6b故答案为-6b ．本题考查了指数的运算法则，与单项式相乘除的法则相同，系数相乘除作系数，同底数幂相乘除，底不变，指数相加减，即可得出． 38.【答案】x =1或x =2 【解析】【分析】求解关于2x 的一元二次方程，然后进一步求解指数方程得答案．本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了一元二次方程的解法，是基础题．【解答】解：由4x -6×2x +8=0，得（2x -2）（2x -4）=0，即2x =2或2x =4． ∴x =1或x =2．故答案为：x =1或x =2． 39.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了根式的化简，属于基础题. 根据根式的特点化简即可. 【解答】解：由4＜x ＜7，则式子√(a −4)44+√(a −7)44=|x -4|+|x -7|=x -4+7-x =3，故答案为3.40.【答案】(−1,4) 【解析】【分析】本题考查指数函数单调性的应用，一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．先利用指数函数单调性，得−a 2+2a >−a −4，解不等式即可. 【解答】解：原不等式可化为3−a2+2a>3−a −4,∵函数y =3x 为R 上的增函数， ∴−a 2+2a >−a −4, 解得−1<a <4 故答案为(−1,4).41.【答案】（2，2）【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，属基础题，本题也可利用指数函数的图象变换求出．令x-2=0，则x=2，即为定点横坐标，代入函数式可得定点纵坐标．【解答】解：令x=2，得a=a0+1=2，所以函数a=1+a a−2的图象恒过定点坐标是（2，2）．故答案为（2，2）．42.【答案】（0，3]【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，复合函数的值域，利用换元法求函数的值域，属于基础题.令t=x2-1，将求函数a=(13)a2−1的值域的问题转化为求a=(13)a在[-1，+∞）上的值域问题，再利用函数a=(13)a的单调性求值域. 【解答】解：令t=x2-1，t∈[-1，+∞），即a=(13)a，t∈[-1，+∞），函数a=(13)a在区间[-1，+∞）上是减函数，故y≤(13)−1=3 ，故函数a=(13)a2−1的值域是（0，3].故答案为（0，3].43.【答案】（0，2）【解析】【分析】本题考查函数的零点个数，函数的图象的应用，属于中档题. 利用分段函数画出函数的图象，然后判断m的范围即可. 【解答】解：画出函数a(a)={3a−1,a>0−2a2−4a,a⩽0的图象如下：由函数f（x）=m有3个不等实根，即函数a(a)与直线a=a有3个交点，结合图象得：0＜m＜2，即m∈（0，2）．故答案为（0，2）.44.【答案】0＜a＜12【解析】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜1．2②当a＞1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．综上：a的取值范围是0＜a＜1．2故答案为：0＜a＜12先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|a x-1|图象，再由直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．45.【答案】[3，+∞)【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域问题，由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x-8≥0，得2x≥8，则x≥3，∴函数y=a=√2a−8的定义域为[3，+∞)．故答案为[3，+∞)．46.【答案】（2，3）【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，关键是掌握此类问题的求法，是基础题．由指数式的指数等于0求得x值，进一步求得y值，则答案可求．【解答】解：由x-2=0，得x=2，此时y=3．∴函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）一定过定点（2，3）．故答案为（2，3）．47.【答案】−32【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数，所以{1+a =0a −1+a =−1，解得b =-1，1a =0不符合题意舍去；当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数，所以{1+a =−1a −1+a =0，解得b =-2，a =12，综上a +b =−32，故答案为：−32 .48.【答案】（1）解：原式=aaa 322×8329-52aaa 53=2-32=-7.（2）解：原式=(32)2×12-1-(32)3×23+(32)2=32-1-94+94=12．【解析】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．（1）利用对数的运算性质即可得出．（2）利用指数的运算性质即可得出．49.【答案】解：（1）√(3−a )44+（）13-（）12×（√2）-4=π-3+=π-3+ =π．（2）（√23×√3）6+（√）43-4（1649）−12-√24×（-2009）0=4×27+（234）43-7-1614-1=108+2-7-2-1 =100．【解析】本题主要考查指数式化简求值，是基础题.解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．50.【答案】解：（1）原式=53−(23)3×13-1+2−2×(−12)=53−23-1+2=2．（2）原式=aa8×1252×512aa10×(−aa10)=aa102−12=-4．（3）∵a ，b ，c 为正实数，a x =b y =c z =k ＞0，k ≠1． ∴x =aaaaaa ，y =aaaaaa ，z =aaaaaa , ∵1a +1a +1a =0，∴aaa +aaa +aaa aaa =aa (aaa )aaa=0，∴abc =1.【解析】（1）本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数幂的运算性质即可得出．（2）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算性质即可得出．（3）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设a x =b y =c z =k ＞0，可得x =aaa aaa ，y =aaa aaa ，z =aaaaaa ,再利用对数的运算性质即可得出．51.【答案】解：（1）(214)12−(−0.96)0−(338)−23+(1.5)−2=32−1−[(32)3]−23+(32)−2=12−(32)−2+(32)−2 =12．（2）∵10x =3，10y =4， ∴102x -y =102a10a=(10a )210a=94．【解析】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．52.【答案】解：（1）原式=0．82×(−12)+33×23-1-23=54+9-1-8=54．（2）原式=aaa 3(102×0.81)=aaa 334=4．【解析】（1）利用指数的运算性质即可得出．（2）利用对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．53.【答案】解：（1）原式=(8116)0.5−1÷(43)2+(2764)23=94−916+916=94.（2）原式=aaa 3332+aa 1004+aa4+2+1=32+2−aa4+aa4+3=132.【解析】（1）本题考查指数式化简求值，是基础题.利用有理数指数幂的性质及运算法则求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质及运算法则的合理运用.（2）本题考查对数式和指数式的化简求值，是基础题.利用对数的运算性质化简即可.54.【答案】解：（1）（279）12-（2√3-π）0-（21027）−23+0.25−32，原式=√259-1-(6427)−23+(14)−32=53-1-(2764)23+432 =23-916+8=8548.（2）由题意：0＜x ＜1， ∴a 12−a −12＜0所以：（a 12−a −12）2=x +x -1-2． ∵x +x -1=3,∴（a 12−a −12）2=1, 故得a 12−a −12=-1.【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）由题意0＜x ＜1，且x +x -1=3，判断x 12-x−12的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案． 55.【答案】解（1）原式=(94)12−1−(278)−23+(110)−2=32-1-49+100=180118．（2）∵（a 12+a −12）2=x +x -1+2=5， ∴a 12+a −12=√5， ∴（x +x -1）2=x 2+x -2+2=9， ∴x 2+x -2=7， ∴a 12+a −12a 2+a −2+3=√510.【解析】本题考查了幂的运算性质，属于基础题. （1）根据幂的运算性质计算即可，（2）根据幂的运算性质计算即可． 56.【答案】解：（1）（2a 23b12）（-6a12b13）÷（-3a16b56）（a ＞0，b ＞0） =4a 23+12−16a 12+13−56 =4a ．（2）2(aa √2)2+aa √2×aa5+√(aa √2)2−aa2+1=lg√2（lg2+lg5）+√(lg√2−1)2=lg√2+1−aa√2=1．【解析】本题考查指数、对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式性质、运算法则的合理运用．（1）利用指数式性质、运算法则求解．（2）利用对数性质、运算法则求解．57.【答案】解：1612+(181)−0.25−(−12)0=4+3-1 =6．(2a14a−13)(−3a−12a23)÷(−14a−14a−23)= 24a14−12+14a−13+23+23= 24b．【解析】本题考查指数性质、运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意指数性质、运算法则的合理运用．利用指数性质、运算法则直接求解．58.【答案】解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4．∴y=3u是u的增函数，当x=1时，u max=f（1）=4，而u∈(−∞,4)．∴0＜3u≤34，即值域为（0，81]．（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，根据同增异减原则.即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）；其证明如下：任取x1，x2∈（-∞，1]且令x1＜x2,则a(a1)a(a2)=3−a12+2a1+3÷3−a22+2a2+3=3−a12+2a1+3+a22−2a2−3=3(a22−a12)+2(a1−a2)=3(a1−a2)(2−a1−a2)∵x1＜x2，x1，x2∈（-∞，1]∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0∴（x1-x2）（2-x1-x2）＜0∴3(a1−a2)(a1+a2+2)＜1∴f（x1）＜f（x2）∴原函数单调增区间为（-∞，1]同理可证，原函数单调减区间为[1，+∞）．即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）.【解析】根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x-x2换成u，通过二次函数的知识求得u的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y=3u的单调性即可求解利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，比较f （x 1），f （x 2）的大小，或f （x 1）＜f （x 2）则是增函数；反之则为减函数）证明即可本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．59.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）=0，即a −1a +2=0⇒a =1，∴a (a )=1−2a a +2a +1，又由f （1）=-f （-1）知1−2a +4=−1−12a +1⇒a =2．所以a =2，b =1．经检验a =2，b =1时，a (a )=−2a +12a +1+2是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a (a )=1−2a 2+2a +1=−12+12a +1，易知f （x ）在（-∞，+∞）上为减函数．又因为f （x ）是奇函数，所以f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0等价于f （t 2-2t ）＜-f （2t 2-k ）=f （k -2t 2），因为f （x ）为减函数，由上式可得：t 2-2t ＞k -2t 2．即对一切t ∈R 有：3t 2-2t -k ＞0，从而判别式a =4+12a <0⇒a <−13．所以k 的取值范围是(−∞,−13)．【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,属于中档题.（Ⅰ）利用奇函数的定义，在f （x ）=-f （-x ）中运用特殊值求a ，b 的值；（Ⅱ）首先确定函数f （x ）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k 的取值范围．60.【答案】解：（1）∵f （-x ）=-f （x ）， ∴a −2−a 1+2−a=-a −2a 1+2a，即a ⋅2a −11+2a=2a −a 1+2a，∴a =1， ∴f （x ）=1−2a 1+2a；（2）函数f （x ）为 R 上的减函数. ∵f （x ）的定义域为 R ，∴任取x 1，x 2∈R ，且x 2＞x 1， ∴f （x 2）-f （x 1）=1−2a 21+2a 2−1−2a 11+2a 1=2(2a 1−2a 2)(1+2a 1)(1+2a 2)，∵x 2＞x 1，∴2a 2>2a 1＞0，∴a(a2)−a(a1)<0即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）为R上的减函数；（3）由（2）知，函数f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（2）≤f（x）≤f（0），即−35≤f（x）≤0，即函数的值域为[-35，0].【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解，利用定义法是解决本题的关键.（1）根据条件建立方程关系即可求a的值；（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数f（x）的单调性；（3）结合函数的单调性即可求f（x）在[0，2]上的值域.61.【答案】解：（Ⅰ）∵t=2x在x∈[−12，12]上单调递增,∴t∈[√22，√2] ；（Ⅱ）函数可化为：f（x）=g（t）=t2-2t+3 ,∵g（t）在[√22，1]上单减，在[1，√2]上单增，比较得g（√22）＜g（√2），∴f（x）min=g（1）=2，f（x）max=g（√2）=5-2√2，∴函数的值域为[2，5-2√2].【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于基础题.解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2x，x∈[−12，12]单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（Ⅱ）由于函数f（x）=4x-2x+1+3是一个复合函数，可由t=2x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t2-2t+3，此时定义域为t∈[√22，√2]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．62.【答案】解：由a2x-7＞a4x-1知需要进行分类，具体情况如下：当a＞1时，∵y=a x在定义域上递增，∴2x-7＞4x-1，解得x＜-3；当0＜a＜1时，∵y=a x在定义域上递减，∴2x-7＜4x-1，解得x＞-3；综上得，当a＞1时，x的取值范围为（-∞，-3）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（-3，+∞）．【解析】根据不等式需要对a进行分两类：a＞1时和0＜a＜1时，再分别利用指数函数的单调性列出不等式求解，最后要把结果分开表示．本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解，关键是根据底数判断函数的单调性，考查了分类讨论思想．63.【答案】解：（1）根据题意，a(a)=(12a−1+12)a，则有2x-1≠0，解可得x≠0，则函数的定义域为{x|x≠0}，（2）设任意x≠0，∵a(−a)=(12−a−1+12)(−a)=(2a1−2a+12)(−a)=(2a−1+11−2a+12)(−a)=(11−2a−1 2)(−a)=(12a−1+12)a=a(a)．∴f（x）为偶函数；（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），当x＞0时，2x-1＞0，则a(a)=(12a−1+12)a＞0，又由f（x）为偶函数，则当x＜0时，f（x）＞0，综合可得：f（x）＞0．【解析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，判定函数的奇偶性时要先分析函数的定义域．（1）根据题意，由函数的解析式可得2x-1≠0，解可得x的范围，即可得答案；（2）由（1）的结论，进而分析f（-x）=f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；（3）根据题意，当x＞0时，分析易得a(a)=(12a−1+12)a＞0，结合函数的奇偶性分析可得答案．。

专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n >，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。

8、指数与指数函数(含答案)

8指数与指数函数知识梳理1.根式当n＞1且n∈N*时，(na)n＝□08a(n为偶数时，a≥0)；当n＞1且n为奇数时，na n＝□09a(a∈R)；当n＞1且n为偶数时，na n＝|a|＝□10{a a≥0，－a a<0 (1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*且n>1)．②正数的负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*且n>1)．③0的正分数指数幂等于□010；0的负分数指数幂□02没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝□03a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝□04a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝□05a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质R4.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．5．准确把握指数函数图象的特征(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c <d <1<a <b ，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．6．关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式a 0＝1(a ≠0)．(2)方法：求形如f (x )＝M ·a kx ＋b ＋N 的图象恒过的定点，首先由kx ＋b ＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．7．有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．8．比较幂值大小的常见类型及解决方法同底不同指：利用指数函数单调性进行比较同指不同底：利用幂函数单调性进行比较既不同底又不同指：常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小9．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．10．两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y＝a2x＋b·a x＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．(2)形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝a t，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝a t的最值．11．对于形如y＝a f(x)的函数的单调性(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝a f(x)的单调增(减)区间；(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝a f(x)的单调减(增)区间．练习一1．已知π为圆周率，则10π－510＝π－5.( )2.函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( )3.若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.( )答案(1)×(2)√(3)×4．函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )答案 C解析函数y ＝a x －a 的图象过点(1,0)，排除A ，B ，D.5.若指数函数f (x )＝(a ＋2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，－1)解析因为指数函数f (x )＝(a ＋2)x 为减函数，所以0<a ＋2<1，解得－2<a <－1.所以实数a 的取值范围是(－2，－1)．6．化简：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________(用分数指数幂表示)．答案 a 65解析 (a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝(a 2·a 35)÷(a 12·a 910)＝a 135÷a 75＝a 135－75＝a 65.7．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．答案25解析由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.8．已知3a 2＋b ＝1，则9a ×3b3a ＝________.答案 3解析由3a 2＋b ＝1，得b ＝1－3a 2，所以9a ×3b 3a＝32a×31－3a 2×3－a 2＝32a ＋1－3a 2－a 2＝3.9．已知实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，给出下列5个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，即y ＝2019x 在x ＝a 处的函数值和y ＝2020x 在x ＝b 处的函数值相等．由图可知，当a ＜b ＜0，a ＝b ＝0或0＜b ＜a 时，即①②⑤都可能成立． 10．函数y ＝3x，y ＝5x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在同一坐标系中的图象是( )答案 B解析沿直线x ＝1，自下而上先后为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，y ＝3x ，y ＝5x的图象．故选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12a －4x的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称的图象的解析式为y ＝a －x ，且函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，∴12a －4＝1a ，2a －4＞0且2a －4≠1，a ＞0且a ≠1，∴a ＝4.12．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．答案 {x |－1<x <4}解析 ∵2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，∴x 2－2x <x ＋4，∴x 2－3x－4<0，解得－1<x <4.角度3 探究指数型函数的性质 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 14．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 3解析设a x＝t ，∵a ＞1，x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a .∵y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x )2＋2a x －1， ∴函数化为y ＝t 2＋2t －1.由二次函数性质得对称轴为直线t ＝－1， ∴函数在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，∴当t ＝a 时，函数取得最大值a 2＋2a －1. ∵函数最大值为14，∴a 2＋2a －1＝14. 解得a ＝3或a ＝－5，∵a ＞1，∴a ＝3.15．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.16．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12.所以函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.17．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a ＝1，∴f (x )>3，即为2x＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．18．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．答案 2解析 ∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，∴0∈[a ，b ]． 2和－2至少有一个属于区间[a ，b ]，故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．即区间[a ，b ]长度的最小值为2.19．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解 ①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象如图1.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象如图2.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，23.。

指数运算与指数函数专题(含详细解析)

1第五讲指数运算与指数函数时间：年月日刘满江老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是（A ）0,()()x R f x f x ∃∈≤ （B ）0,()()x R f x f x ∃∈≥ （C ） 0,()()x R f x f x ∀∈≤ （D ）0,()()x R f x f x ∀∈≥ 解析：选C.函数()f x 的最小值是0()()2bf f x a-= 等价于0,()()x R f x f x ∀∈≥，所以命题C 错误.2. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。

最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，2产生中断，选择A 。

三、方法培养1．根式的概念结论：当n 是奇数时，a a n n =,当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r sa a+=),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）()rrsab a a =),0,0(Q r b a ∈>>．指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（三）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1）1a 0=自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于11a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于11a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；3利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =；（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；[例1] 化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44366399a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a变式练习11．若32x +9=10•3x ，那么x 2+1的值为（ D ） A ． 1 B ． 2 C ． 5 D ． 1或5解：令3x =t ，（t ＞0），原方程转化为：t 2﹣10t+9=0，所以t=1或t=9，即3x =1或3x =9 所以x=0或x=2，所以x 2+1=1或5 故选D2．若关于x 的方程=3﹣2a 有解，则a 的范围是（ A ） A ． ≤a ＜B ．a ≥C ．＜a ＜D ．a ＞解：∵1﹣≤1，函数y=2x 在R 上是增函数，∴0＜≤21=2，故 0＜3﹣2a ≤2，解得 ≤a ＜，故选A ．〖例2〗已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；4(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个变式练习21．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)解析：选D.因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.3．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A.设t ＝1－x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 的递增区间．4．已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________．解析：由函数的定义，得1＜2x ＜2⇒0＜x ＜1.所以应填(0,1)．答案：(0,1)〖例3〗已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求bc ，的值再比较大小，要注意x xb c ，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增．若0x ≥，则321xx ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；5若0x <，则321xx<<，∴(3)(2)x xf f >．综上可得(3)(2)xxf f ≥，即()()xxf c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．变式练习：1已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)xy a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．〖例4〗求函数y =解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．变式练习：函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令xt a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令xt a =，则0t >，函数221xx y aa =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-（舍去）；6当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤， ∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．四、强化练习1．下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数【答案】A【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。

指数函数常考题型归纳含详解

A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数

高中指数与指数函数知识点+例题+练习含答案

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精讲(解析)

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂（1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。

如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关．提示当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98．（2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出．【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336，（2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可．【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。

指数与指数函数高频考点+重点题型

专题09指数与指数函数--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力学生应理解有理指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；熟练掌握指数函数的概念、图象与性质．二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++====+==+ 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。

函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。

三、自主梳理 1．根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0. 2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a ＞0，b ＞0，r ，s ∈Q ． 3．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质四、真题感悟1.（2021新高考1卷）已知函数()()322x xx af x-=⋅-是偶函数，则a=______.2. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（）A. 224y x x=++ B.4sinsiny xx=+C. 222x xy-=+ D.4lnlny xx=+3.（2020北京卷6】已知函数12)(--=xxf x，则不等式()0f x>的解集是（）A．()1,1-B．()(),11,-∞-+∞C．()0,1D．()(),01,-∞+∞4．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef xx的图像大致为5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z为正数，且235x y z==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 6．（2015山东）设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞ 五、高频考点+重点题型考点一、指数幂根式的化简运算例1、化简下列各式：(1) [(0.06415)－2.5]23－3338－π0 = (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0) =(3) 设，则的值为对点训练1.若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1 D ．(a －14)4＝1a对点训练2.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作片和最厚镜片的同学分别为（） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学对点训练3.(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t 分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt 求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k 约等于(参考数据：ln 3≈1.099)( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 考点三、指数函数图像与性质的运用11223x x-+=1x x -+例2.设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（）A. (−∞ ， −1]B. (0 ， +∞)C. (−1 ， 0)D. (−∞ ， 0)对点训练1.已知函数211,0,()221,0,x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩则不等式()20x f x ->的解集是（）A ．(1,0)(0,1)-B ．(1,1)-C ．(0,1)D ．(1,)-+∞对点训练2.若2x2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是A ．[18,2) B ．[18,2] C ．(−∞,18] D ．[2,+∞)考点三、指数型函数性质与图像考察例3（1）已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0．53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c ．（2）如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为（）A ．3B ．13C ．-5D ．3或13．（3）函数的值域是_________.（4）【多选题】若函数1()x x f x e e -=-，则下述正确的有（） A ． ()f x 在R 上单调递增B ．()f x 的值域为(0,)+∞C ． ()y f x =的图象关于点1(,0)2对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x =对称对点训练1．(2021·四川宜宾模拟)若函数f (x )＝2·a x ＋m －n (a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m ＋n ＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－2 对点训练2．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．对点训练3.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）22811(31)3x x y x --+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．考点四、比较大小例4．(2021·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是( )A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1对点训练1．(2021·江西上饶摸底)已知a ＝20.4，b ＝90.2，c ＝(43)3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a对点训练2.（2020·江苏启东中学模拟）设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M≤NC ．M ＜ND ．M ＞N对点训练3.（2021·河南高三月考（理））设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（） A ．a b D ．无法比较巩固训练一、单项选择题1．（2021·浙江高三月考）当0x >时，“函数()31xy a -=-的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（）A ．13a C ．23<a D ．1a >2.若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有 ( ) A ．a ＝1或2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0且a ≠13．已知函数f (x )＝7(13)1077x a x a x a x --+≤⎧⎨>⎩，，，是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是 _．A. a >13B. 13<a ≤611C. a <611D. 13<a <6114．方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．A. log 32B. 1C. log 23D. 25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是________．6．（2021·山东高三三模）已知111,,,a b a M a N a P b a b<<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（） A ．N M P << B ．P M N << C ．M P N << D ．P N M <<二、多项选择题7.（2021·全国高三专题练习）函数()()22xxa f x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．8．关于函数f (x )＝14x ＋2的性质，下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形三、填空题9．(2021·安徽省淮南五中模拟)已知函数f (x )＝e |x |，将函数f (x )的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象，函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x >5，若对于任意的x ∈[3，λ](λ>3)，都有h (x )≥g (x )，则实数λ的最大值为________． 10．已知x +x −1=3 ，则x 32+x −32的值为__________．四、解答题11．（2020·江西九江一中调研）已知函数f (x )＝34231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ax(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 12．已知函数f (x )＝3x －13|x |．(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．专题09指数与指数函数--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型解析四、真题感悟1.（2021新高考1卷）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1 【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：12. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（）A. 224y x x =++B. 4sin sin y x x=+C. 222x x y -=+D. 4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．3.（2020北京卷6】已知函数12)(--=x x f x，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞+∞【答案】D【解析】不等式()0f x >化为21,xx 在同一直角坐标系下作出y=2x ，y=x+1的图象（如图），得不等式()0f x >的解集是(0,1)，故选D ．【答案】B 【解析】当0<x 时，因为0--<xxe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x ，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e，故排除C ，选B ． 5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则A ．235x y z <，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ． 6．（2015山东）设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是A ．2[,1]3 B ．[0,1] C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】C 【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥．五、高频考点+重点题型考点一、指数幂根式的化简运算例1、化简下列各式：(4) [(0.06415)－2.5]23－3338－π0 = (5)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0) =(6) 设，则的值为【答案】（1）0（2）ab （3）7解析 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32313－1 ＝52－32－1＝0. (2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab . （3）,.对点训练1.若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a －14)4＝1a 【答案】D【解析】对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a －14)4＝1a ，故D 正确。

2024年新高考数学复习知识梳理与题型归纳第9讲指数与指数函数教师版

第9讲指数与指数函数思维导图知识梳理1.指数与指数运算(1)根式的性质①(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)．②当n 是奇数时，n a n ＝a ；当n 是偶数时，n a n ＝|a ，a ≥0，a ，a <0.(2)分数指数幂的意义①a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②a r as ＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )；③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．2．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．3．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域为R ，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，应分a >1与0<a <1来研究核心素养分析幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。

本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。

专题6 指数与指数函数5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)

专题06指数与指数函数5题型分类1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈n 称为根指数，a 称为根底数．（2）根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.（3）指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈；(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2、指数函数xy a=01a<<1a>图象性质①定义域R，值域(0)+∞，②01a=，即时0x=，1y=，图象都经过(01)，点③x a a=，即1x=时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x<时，1xa>；0x>时，01xa<<0x<时，01xa<<；0x>时，1xa>⑥既不是奇函数，也不是偶函数（一）指数运算及指数方程、指数不等式（二）指数函数的图像及性质，则实数．．2024·山东）已知函数y =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，(x y a =图像大致是（）．．2024高一上·福建福州·期中）指数函数xb a ⎛⎫⎪⎝⎭的图象如图所示，则二次函数）A ．．C ．．3-6．（2024·四川）函数112xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的图象大致是（．．2024高一·广东河源·期中）若直线与函数()10,1xy a a a =->≠的图象有两个公共点，则值范围是.4：指数函数单调性及应用2024·江苏）不等式224xx-<的解集为.2024高一·上海·专题练习）不等式3(1)12x -⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为．2024高三·全国·专题练习）函数1x +的单调递增区间为2024高二下·宁夏银川·期末）若函数121x =+,则该函数在(-∞,+∞)上是．单调递减无最小值．单调递减有最小值．单调递增无最大值．单调递增有最大值2024·全国）已知函数()(e f x -=23,,22f b f c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c b a>>D ．c的取值范围是（三）指数函数中的恒成立问题一、单选题1．（2024高三上·陕西西安·期中）若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠2．（2024高三·山东·学业考试）函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠3．（2024高三·全国·专题练习）当x >0时，函数()()21xf x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是（）A ．1<|a |<2B ．|a |<1C ．|aD ．|a4．（2024高一上·福建福州·阶段练习）函数()f x =（）A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,)∞∞-+5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞6．（2024高三上·湖北武汉·开学考试）设函数()3xf x b =+，函数()f x 的图像经过第一､三､四象限，则()()()1g b f b f b =--的取值范围为（）A ．20,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭7．（2024·江西）已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的关系式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2024·北京）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=9．（2024·天津）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a11．（2024高二下·安徽宣城·阶段练习）定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，有（）A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．（2024·海南·模拟预测）不等式212e 2e xx x x -->++-的解集为（）A ．()()1,22,-⋃+∞B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞+∞ D ．()(),12,-∞-+∞ 13．（2024·全国）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，14．（2024·全国）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞15．（2024·北京）已知函数1()12xf x =x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=16．（2024·北京西城·三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x=C ．()2xf x =D ．()2f x x=17．（2024高一·全国·课后作业）函数()(0,1)x f x a a a =>≠对于任意的实数x 、y 都有（）A ．()()()f xy f x f y =B ．()()()f x y f x f y +=C ．()()()f xy f x f y =+D ．()()()f x y f x f y +=+18．（2024高一上·浙江温州·期中）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<19．（2024高一上·北京西城·期中）若函数1(0,1)x y a b a a =+->≠的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A ．01a <<且0b >B ．1a >且0b >C ．01a <<且0b <D ．1a >且0b <20．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数x y b a =⋅在[],2b 上的最大值与最小值的和为6，则=a （）A ．2或3-B ．3-C ．2D ．12-21．（2024·陕西西安·一模）已知实数a 、b 满足2222a b a b +<+，则a 、b 的大小关系为（）A ．a b>B ．a b=C ．a b<D ．不能确定22．（2024·陕西）下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（）A ．()3f x x=B ．()3xf x =C ．()23f x x=D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭23．（2024·全国）已知4213332,3,25a b c ===，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b24．（2024高一上·云南楚雄·阶段练习）若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝ex ，则有（）A ．f （2）<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f （2）C ．f （2）<g (0)<f (3)D ．g (0)<f （2）<f (3)25．（2024高一上·吉林·）函数()()231x x f x a a a =--(0a >，且1a ≠)在区间[)0,∞+上单调递增，则实数a的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎫⎪⎣⎭C ．(D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭26．（2024·河南平顶山·模拟预测）甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．=1x -或2x =27．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,328．（2024·上海长宁·一模）函数()()2e axf x b =-的大致图像如图，则实数a ，b 的取值只可能是（）A ．0,1a b >>B ．0,01a b ><<C ．0,1a b <>D ．0,01a b <<<29．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，则12m n+的最小值为（）A ．8B ．24C ．4D ．630．（2024·全国·模拟预测）已知函数()121122441x xf x x =++++--，则不等式()()223f x f x +>的解集为（）A ．()()2,11,-⋃+∞B ．()()1,13,-+∞ C ．()1,13,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()()3,13,-+∞ 31．（2024·全国）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题32．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，函数()1f x +为偶函数，当[]0,1x ∈时，()e x f x m =+，则（）A ．1m =-B ．()()2=f x f x -C ．()()8f x f x +=D ．()2023e 1f =-33．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数且满足(1)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，()f x =(0x a b a +>且1)a ≠．若(1)(4)12f f -+=，则（）A ．4,16a b ==-B ．3,9a b =-=-C ．(2022)0f =D ．202182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭34．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数x y a b =-（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．1b a >B ．1a b +>C ．1a b >D ．21b a -<35．（2024高三·全国·专题练习）对任意实数1a >，函数()111x y a -=-+的图象必过定点(),A m n ，()xn f x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为[0，2]，()()()2g x f x f x =+，则下列结论正确的是（）A ．1m =，2n =B ．()g x 的定义域为[0，1]C ．()g x 的值域为[2，6]D ．()g x 的值域为[2，20]36．（2024高一上·山东泰安·期末）函数()()22x xa f x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．37．（2024·浙江绍兴·模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中n P 为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（）A ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈下降趋势B ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈摆动变化C ．当01,23n k P P =≥时，n 的最小值为3D ．当011,32n k P P =-≤时，n 的最小值为338．（2024·山东聊城·二模）已知函数()221xx f x =+，则（）A ．函数()f x 是增函数B ．曲线()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的值域为0,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =有且仅有两条斜率为15的切线39．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈，则1111y x +-可能等于（）A ．-1B ．2-C ．3-D ．0三、填空题40．（2024高三上·黑龙江七台河·期中）设函数(), 02, 0x ax b x f x x +<⎧=⎨≥⎩，且(2)3f -=，(1)(1)f f -=，则()f x 的解析式为．41．（2024·上海·模拟预测）已知()2,01,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，则()f x 的值域是；42．（2024·全国·模拟预测）使函数()e xf x a =-的值域为[0,)+∞的一个a 的值为．43．（2024·山东）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b +=.44．（2024·海南·模拟预测）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a ．45．（2024高三·全国·对口高考）函数12(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n >、，则12m n+的最小值为．46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数13(01)x y a a a ，-=+>≠过定点P ，如果点P 是函数2()f x x bx c =++的顶点，那么,b c 的值分别为47．（2024高二下·河北石家庄·期中）若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为．48．（2024高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数(31)22,1()2,1ax a x a x f x x -+-≥⎧=⎨<⎩满足对于任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围为49．（2024高三·全国·专题练习）函数2651()()3x x f x -+=的单调递减区间为50．（2024·福建）若函数()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于．51．（2024·江苏）若30.618,[,1),a a k k k =∈+∈Z ，则k =．52．（2024·山东）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝.53．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数()f x =的定义域为.54．（2024·上海杨浦·模拟预测）若函数()y f x =为偶函数，且当0x <时，()21x f x =-，则(1)f =.55．（2024·上海金山·一模）若0x >时，指数函数()23xy m =-的值总大于1，则实数m 的取值范围是.56．（2024高三上·山西运城·阶段练习）已知函数()1e e xxf x a -=+⋅是奇函数，则=a .57．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()()021g x f x x =+-的定义域为.（用区间或集合作答）58．（2024·福建厦门·一模）若函数()f x 的值域为(]0,1，且满足()()11f x f x +=-，则()f x 的解析式可以是()f x =.59．（2024高三下·河北·阶段练习）在0.20.20.154,0.1,2sin 3,10-这4个数中，最小的是，最大的是．60．（2024·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为.61．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()0,1x f x a a a =>≠在[]1,2内的最大值是最小值的两倍，且()()31,1log 1,01f x xg x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，则()123g g ⎛⎫+=⎪⎝⎭62．（2024·上海浦东新·模拟预测）设()1122xx f x a ⎛⎫+ -⎝=⎪⎭.若函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞ ，则关于x 的不等式()xa f a ≥的解集为.63．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()21(0)2x a f x b a a-=+>-的图象关于坐标原点对称，则a b +=.64．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b =，则32a b +=．四、解答题65．（2024高一·全国·课后作业）已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)ax 是指数函数．（1）求f (x )的表达式；（2）判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性，并加以证明．66．（2004·北京）当01a <<时，解关于x的不等式：2x a -<，67．（2024高一上·海南海口·阶段练习）已知函数()122xxf x =-.(1)若()2f x =，求x 的值；(2)若()()220tf t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.68．（2024高一上·河北保定·期中）已知函数()24313ax x f x -+⎛⎫⎪⎝⎭=．(1)若1a =-，求()f x 的单调区间(2)若()f x 有最大值3，求a 的值(3)若()f x 的值域是()0,∞+，求a 的值69．（2024·上海虹口·二模）已知函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数.(1)求实数b 的值，并证明()f x 在R 上单调递增；(2)已知0a >且1a ≠，若对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.。

第04讲指数与指数函数(四大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
__________
(0,1)
过定点_____，即x＝0时，y＝1
性质
y>1
0<y<1
当x>0时，_____；当x<0时，______
增函数
在(－∞，＋∞)上是_______
0<y<1
y>1
当x<0时，_____；当x>0时，_______
即所求实数m的取值范围为(−∞, 0]．
故答案为：(−∞, 0]．
题型三：指数函数中的恒成立问题
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）设 =
2 −2−
，当
2
∈ R时， 2 + + 1 > 0恒成立，则实数m的
取值范围是____________．
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，
且 → +∞, → −, () → 2 ，与图象相符，所以 < 0 ，
当() = 0时，e = ，
故选：C．
题型二：指数函数的图像及性质
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = −4 + 1（ > 0且 ≠ 1）的图象恒过定点A，若点A的坐
掌握指数幂的运算性质.
一个基本点, 常与二次函数、幂函数、
（2）通过实例，了解指数函
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
大小的比较和函数方程问题.
数的实际意义，会画指数函

指数与指数函数知识点及题型归纳总结

指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，00，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故00且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①00且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12；当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a,b 的值.（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。

指数与指数函数知识点及题型归纳总结

指数与指数函数知识点及题型归纳总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ?R )； (2)mm n n a a a-=( m ,n ?R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ?R )； (4)(ab )m =a m b m (m ?R )； (5)pp aa-=1(p ?Q )(6)m m n na a =(m ,n ?N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ?1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0且a ?1)的图像和性质如表2-6所示.y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+?) (2)值域：(0,+?) (3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数.(4)在R 上是减函数.(5)0<y <1?x >0y =1?x =0 y >1?x <0(5)0<y <1?x <0y =1?x =0 y >1?x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ?0(?0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例化简并求值.(1)若a =2，b =41的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ?N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.解析：1==2211. 当a =2，b =4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327，()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723.(3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，所以nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014.变式1 设2a =5b =m ，且ab+=112，则m =( ).B. 10C. 20D. 100二、指数方程例解下列方程(1)9x -4?3x +3=0；(2)()()x x ⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x =(3x )2；对于()()x x ⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x -4?3x +3=0?(3x )2-4?3x +3=0，令t=3x (t>0)，则原方程变形为t 2-4t+3=0，得t 1=1，t 2=3，即x =131或x =233，故x 1=0，x 2=1.故原方程的解为x 1=0，x 2=1.(2)由()()x x ⋅=29643827，可得()x ⨯=33294383即()()x =33443，所以()()x -=33344，得x =-3.故原方程的解为x =-3.变式1 方程9x -6?3x -7=0的解是________. 变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例若对x ?[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ?[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对?x ?[1,2]，不等式x +m >1恒成立?函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}. 变式1 已知对任意x ?R ，不等式()x mx m xx-+++>22241122恒成立，求m 的取值范围. 变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ?R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 题型2 指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例函数()x b f x a -=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，00，得b <0，故选D.评注：若本题中的函数变为()x f x a b =-，则答案又应是什么由图2-14可知?(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到x y a b =-的图像，故00且a ?1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0C. 0<a <1且b <0D. a >1且b <0变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ?1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①00且a ?1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数?(x )=a x (a >0且a ?1)的图像过定点(0,1)，又函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像是由函数?(x )=a x (a >0且a ?1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像过定点(-1,1).变式1 函数?(x )=a x+1(a >0且a ?1)的图像过定点________. 变式2 函数?(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ?(x )=x a -1(a >0且a ?1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________. 二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例函数?(x )=a x (a >0且a ?1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12；当a >1时，函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得a a =232，又a >1，所以a =32.综上所述，a 的值是12或32.评注：函数?(x )=a x (a >0且a ?1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得.所以||a a a -=22，解得a =12或a =32.变式1 函数?(x )=a x (a >0且a ?1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____. 变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ?([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. []B. [4,16]D. [4,12]例函数x x y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数x x y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+?)上单调递减，在(-?,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以x x y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+?). 变式1 函数()f x =的单调增区间是________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ?[-3,2])的单调区间及值域. 变式3 已知0?x ?2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =?(x )在(-?,+?)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x k f x k ≤>，取函数?(x )=2-|x |，当k =12时，函数?k (x )的单调增区间为( ). A. (-?,0]B. [0,+?)C. (-?,-1]D. [1,+?)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ?R ，若方程?(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________.题型3 指数函数中的恒成立问题思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例设()x x f x a =++⋅124(x ?R)，当x ?(-?,-1]时，?(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ?1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值.解析：因为当x ?(-?,1]时，?(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ?1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ?1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ?1)，a >u (x )max ，x ?(-?,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-?,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34. 故实数a 的取值范围为(-34,+?). 变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ?1). (1)判断函数?(x )的奇偶性； (2)讨论函数?(x )的单调性；(3)当x ?[-1,1]时，?(x )?b 恒成立，求实数b 的取值范围.变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a,b 的值.（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.变式3 已知函数1()22x x f x =-，若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则有（） A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 0a >且1a ≠2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22x x f x -=-是（） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340x x a ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10x f x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()x f x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。

高一指数与指数函数知识点+例题+练习含答案

1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中a >0，b >0，s ，t ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 (5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂a m n可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (5)函数y ＝21＋x a (a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )1．函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的图象经过定点坐标为__________．答案 (1,1)解析令x －1＝0得x ＝1，此时y ＝a 0＝1，所以点(1,1)与a 无关，所以函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,1)．2．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案 ④解析函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合． 3．计算：3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝________.答案 1解析3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝312×131332×316×213－lg 4－lg 25＝3－lg 100＝3－2＝1.4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)(－278)－23＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解 (1)原式＝1122323311233a b a b ab a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3111111226333＋－＋＋－－a b ＝ab －1. (2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________________________________________________________________________. (2)(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式＝253125641000-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2×432×a 32b32-10a 32b32-＝85. 题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是________． ①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．答案 (1)④ (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系，下列判断正确的是________．①关于y 轴对称； ②关于x 轴对称； ③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. 答案 (1)① (2)④ 解析 (1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x＝2－x ， ∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图， ∵a f (c )>f (b )，结合图象知 0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c <2.题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________． ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3>0.93.1.(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 (1)②④ (2)a >c >b解析 (1)①中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； ④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，正确． (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525 即b <c ，又a c ＝⎝⎛⎭⎫3525⎝⎛⎭⎫2525＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－3,1)解析当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1422－x x 的值域为__________．答案 (1)(－∞，4] (2)(0,4]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象可得0<y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0<y ≤4.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的单调减区间为_________________________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析 (1)因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． [失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －2)，x ≥1，则f (log 27)的值为________．答案 74解析由于log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，log 27－2＝log 274<1，因此f (log 27)＝f (log 27－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 274＝227log 4＝74. 2．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是__________．答案 a >b >c解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是____________．答案 [2，＋∞)解析由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.5．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.答案 2 解析原式＝113133442222 2.331＋－＝⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．已知函数y ＝a x ＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，如图所示，则4a －1＋1b 的最小值为______．答案 92解析由函数y ＝a x＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋22b a －1·a －12b＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 0解析当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 9．已知函数()43132－＋＝ax x f x ⎛⎫⎪⎝⎭(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0，又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是____________．答案 f (－4)>f (1)解析由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．12．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为________．答案 ②解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，②符合要求．13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34. 14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2) 解析原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x 4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，2x4x ＋1，x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝(1222x x -)＋(221221＋2＋2－x x x x )(41x ＋1)(42x ＋1)＝(21x －22x )(1－212＋x x )(41x ＋1)(42x ＋1)， ∵0<x 1<x 2<1，1222，x x ∴< 120221＋＝，x x >∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12，或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.。

指数与指数函数题型归类解析

指数与指数函数题型归类解析一、化简与计算问题.例12233a b解：原式21121123333333411333(39)(3)(27)a a b b a b a a a b a-++-=--211211333333411333(39)(3)(27)(27)a a b b a b a b a a b a++---=-11333323[()(3)](27)0(27)a b a b a a b ---==-.例2 已知：11223x x-+=，求33222232x x x x --++++的值.解：法一：11223x x-+=①，∴11222()9x x -+=，即17x x -+=两边再平方，可得2247x x-+=②将①两边立方，可得3113122223327x x x x x x---+⋅+⋅+=③即331122223()27x xx x --+++=将①代入③得，332218x x-+=，∴33222232x x x x --++++18334727+==+.法二：设12x t =，则121xt -=，13t t +=，22129t t++= 原式3232422421113()(1)3112()t t t t t t t t t t++++-+==+++3(71)33497-+==. 二、指数恒等式的证明问题.例3 设a ，b ，c R +∈，且346abc==.求证：1112c a b-=. 证明：设346abc==(0)k k =>，于是有13a k =，14b k =，16ck =，∴11112c a c ak k k-÷==.又122bk===，∴1112c abk k-=.由底数相同，幂相等的两指数相等得：1112c a b-=. 三、与指数函数性质有关的问题（如定义域、值域及单调区间）.例4 求函数1(2y =.解：令1()2u y =，u =，228t x x =-++.∵228x x -++≥0，即2-≤x ≤4，∴定义域为[2,4]-. ∵2228(1)9,[2,4]x x x x -++=--+∈- ∴0≤t ≤9，0≤u ≤3，18≤y ≤1. 因此函数的值域为1[,1]8.∵当－2≤1x ＜2x ≤1时，211128t x x =-++＜222228t x x =-++，∴1u =2u 111()2uy =＞221()2uy =. 因此，当[2,1]x ∈-时，函数为减函数.∵当1≤1x ＜2x ≤4时，1t ＞2t ，∴1u ＞2u ，1y ＜2y ，因此，当[1,4]x ∈时，函数为增函数. 四、利用指数函数求参数的取值范围. 例5 已知函数2()()(2x x af x a a a a -=--＞0，且1)a ≠是R 上的增函数，求a 的取值范围.解：()f x 的定义域为R ，设1x ，2x ∈R 且1x ＜2x ，则2211212()()()2x x x x af x f x a a a a a ---=--+- 211221()(1)2x x x x a a a a a a-=-+-⋅由于a ＞0且1a ≠，∴1211x x a a +⋅＞0.∵()f x 为增函数，则212(2)()xxa a a --＞0.于是有212200x x a a a ⎧->⎪⎨->⎪⎩或212200x x a a a ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，解得a或0＜a ＜1.。

指数运算与指数函数(题型非常全面)

授课对象授课教师授课时间授课题目指数运算与指数函数课型专题使用教具人教版教材教学目标教学重点和难点梳理知识点参考教材教学流程及授课详案一，指数运算(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．经典例题如下 1．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.2．下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1 B ． 122·a a a ＝ C ． 2348＝ D ． 213313a a a ÷=－ 3．()2032127110.528-⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( )A ． 13- B ．13 C ． 43 D ． 734．设1122a am --=，则21a a+= ( )A ． m 2－2 B ． 2－m 2 C ． m 2＋2 D ． m 2 5．若()3412x --有意义，则x 的取值范围是（）A ． x R ∈ B ． 12x ≠C ． 12x ≤D ． 12x <6．有下列各式：①n na a =；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③44333x y x y +=+；④()23655=-.其中正确的个数是( )A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37．下列说法：①16的4次方根是2；② 416 的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时， n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时， n a 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ． ①③④ B． ②③④ C． ②③ D． ③④8．化简的结果为________．9．⑴求值： 210.7513110.02781369---⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10，①若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a +＝________. ②.若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝-------- 二，指数函数题型一指数函数的定义与表示【例1】求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=【例2】求下列函数的定义域和值域：1．xa y -=1 2．31)21(+=x y【例3】求下列函数的定义域、值域(1)110.4x y -=； (2)513x y -=. (3)21x y =+【例4】求下列函数的定义域 (1)13xy =;(2)51y x =-.*．函数2(55)xy m m m =-+是指数函数，则有（）A.1m =或4m =B.1m =C.4m =D.0m >或1m ≠题型二;指数恒过点例5，已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．例6.若函数f(x)=2x +b-1(b ∈R)的图象不经过第二象限,则b 的取值范围为( )A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.(-∞,0]例7：.若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________________．例8：，函数323x y -=+恒过定点例9：．函数（，且）的图象一定经过的点是( )A ．B ．C ．D ．例10．如果1,1a b ><-，那么函数()xf x a b =+的图象在（） A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限题型三比较大小【例5】已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___bca a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___b ca a ；④__a abc ．【例6】比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．C.2-a <2cD.2a +2c <210.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.11.(本小题满分12分)设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．12，函数()2f x x bx c =-+满足()()11f x f x +=-，且()03f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是。

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