系统数学模型仿真与控制

Y=f(X)
结果集 因变量集 响应集 输出集
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映射f(.)是解析式
原因集 自变量集 激励集 输入集
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工业系统数学模型的最常用形式
工业系统数学模型的最常用形式是系统的某种本
质特征的数学表达式，如曲线、函数、代数方程、 微分方程、差分方程、积分方程、数学规划模型 等等等，常称为解析模型； 工程中，很多机械、电气或液压系统的运动规律 都可以基于物理定律用微分方程来描述，求解这 些微分方程，就可以了解系统在某种输入信号作 用下的输出响应。
将元器件的特性视为理想（采用理想模型）； 线性化：忽略次要的非线性因素，或工作点附
近小范围内近似线性化； 降阶； 忽略小参数，如寄生电容、寄生电感、微漏磁、 微升温、微散热； 若干个小参数合并（系统集结）。
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解析模型例：RC系统
R ui(t)
i(t)
C
uo(t)
训练目的
了解系统数学模型的建立方法； 利用模型进行时域分析，初步了解频域分析； 了解系统仿真的意义。
1
这些东西有什么共同之处？



儿童玩具汽车、枪、积木 航模、车模 服装店里的假人模特 质点、点电荷 理想气体 理想运算放大器 房地产模型 市区平面地图 风洞 作战沙盘
y(t ) 1(t ) e

t T
86.5%
63.2%
98.2%
95%
99.3%
±5%
一阶系统的时域 性能指标用调整 时间ts(输出量达 到并停留在允许 误差带所需的最 小时间)表示
我们研究的对象是工业系统，略去的属性是我们
认为在某种情形下不重要的。
构建系统的数学模型，可以认识系统内部各元件
之间的关系，从内部描述系统，可以有针对性地 设计和改造系统。
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工业系统的数学模型
工业系统的数学模型描述系统在某一方面的规律，
给出了原因集(自变量集、激励集、输入集)到结 果集(因变量集、响应集、输出集)之间的一个映 射关系； 一般地，这种关系可以描述为
0
t T 2T 3T 4T 5T 6T
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一阶系统的单位阶跃响应
时间常数不同，快速性不同，无快速性与稳定性 的冲突。
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一阶系统的单位阶跃响应
d T y(t ) y(t ) x(t ) dt x(t ) 1(t )
y( t ) x(t)=1(t)

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物理定律
牛顿力学定律（平动、转动） 基尔霍夫定律 法拉第电磁感应定律
傅立叶传热定律
牛顿冷却定律
动力学概念的推广：系统中的量是时间的函数，
具有时间变化率，如：化学反应动力学、热动力 学、流体力学。
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用分析法建立解析模型
常作一些简化，如：
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用分析法建立解析模型
必须对系统的内部结构、元器件特性及参数有足
够的了解； 影响动态特性的因素是各种储能元件：如
机械惯量（质量、转动惯量）； 电磁惯量（电容、电感）； 热惯量（热容）。

几种易于储存的能量形式：
弹性势能、重力势能； 动能、转动动能； 电场能、磁场能、热能等等。
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系统模型的用途

预计系统响应：给定激励，可以预知响应结果； 系统分析：了解系统内部结构、元件参数对系统特 性的影响；

系统校正：根据要求调整结构或参数，改善系统特 性，如引入局部反馈、加入微分(超前)或积分(滞后)；
仿真：为系统仿真提供基础； 控制：为选择控制策略和设计控制器提供依据。

ui(t) RC d dt
uo(t)
1 u (t ) Ri(t ) i (t )dt C d RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt
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典型一阶系统模型的标准形式
d y(t ) T y (t ) x(t ) dt
y(t)项系数为1； T称为时间常数，RC、热容量和热阻、容积和
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模型（Model）是什么？
略去对象不重要的属性，保留重要的属性； 成为一个新的对象； 新对象称为原对象的模型；
可以是有形实体、也可以是一个概念；
从真实对象中提炼而得，性质单纯； 利用模型便于研究对象的性质和特点。
3
数学模型
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个
特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要 的假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学 结构； 是用数学语言对一部分现实世界的描述；

本次课内容。
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用分析法建立解析模型
从系统输入端到输出端，循信息流，依据各变量
所遵循的力学、电磁学、热力学、化学、生物学 定律、元器件和部件的外部特性，依次列写出各 元器件、部件的方程； 联立诸方程，消去中间变量，化简，得到描述系 统输入量与输出量之间关系的微分方程，一般输 入量写在方程右边； 整理成标准形式（在齐次方程即零激励情形下整 理）。
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系统建模—解析模型的建立
实验法：依据系统对某些典型激励信号的响应或
其它数据建立数学模型，Black box 系统辨识
典型激励信号如阶跃、斜坡、正弦； 系统特性测试。

分析法、解析法：依据系统本身所遵循的有关定
律列写表达式，Mechanism analysis, White box
流阻等； 若x(t)为单位阶跃， y(t)为阶跃响应。
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一阶系统的单位阶跃响应
五个特征点
y(t) 1
y 1 e

t

86.5%
63.2%
98.2%
99.3%
95%
0
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T
2T
3T
4T
5T
t
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一阶系统的单位阶跃响应
误差带
y
1 5% 0.632 2%
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
借用方程的类型对系统分类

非线性方程、线性方程 时变、定常方程 方程的阶数 系统的阶数
非线性系统、线性系统
时变系统、定常系统
若方程不含时间变量，称为静态模型，如地形模型。
本课程仅讨论一、二阶线性定常系统，原因是：
1)可以得到精确的解析结果；
2)很多实际系统可认为是此类； 3)有些重要结果可在高阶系统中借用。