高中数学三角函数疑点难点讲解

高中数学三角函数疑点难点讲解

【考点审视】

1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）

2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。

3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。

4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。

5、掌握)sin(ϕω+=x A y 等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。

6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。

7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。

8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、

概念不清

例1．若α、β为第三象限角，且βα>，则（

）

（A）βαcos cos >（B）βαcos cos <（C）βαcos cos =（D）以上都不对错解

选（A）

分析：角的概念不清，误将象限角看成类似23,(ππ区间角。如取3

4,672π

βππα=

+=，可知（A）不对。用排除法，可知应选（D）。二、

以偏概全

例2．已知m =βsin ，求βcos 的值及相应β的取值范围。错解

当β是第一、四象限时，2

1cos m -=β，当β是第二、三象限时，2

1cos m --=β。

分析：把β限制为象限角时，只考虑1||

0cos ),(2

=∈+

=βπ

πβZ k k ；当0=m 时，1cos ),(=∈=βπβZ k k ，或1cos -=β。三、

忽略隐含条件

例3．若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。错解

移项得1cos sin >+x x ，两边平方得)

(222,02sin Z k k x k x ∈+<<>πππ那么即)(2

Z k k x k ∈+

<<π

ππ分析：忽略了满足不等式的x 在第一象限，上述解法引进了1cos sin -<+x x 。正解：1cos sin >+x x 即14sin(2>+

π

x ，由2

2)4sin(>

+πx 得)(4

32442Z k k x k ∈+<+<+

π

ππππ∴)(2

22Z k k x k ∈+

<<π

ππ四、

忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性

例4．设α、β为锐角，且α+β︒=120，讨论函数βα2

2

cos cos +=y 的最值。错解)cos(2

1

1)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++

=y

可见，当1)cos(-=-βα时，23max =

y ；当1)cos(=-βα时，2

1min =y 。分析：由已知得︒<<︒90,30βα，∴︒<-<︒-6060βα，则1)cos(2

1

≤-<βα∴当1)cos(=-βα，即︒==60βα时，2

1

min =y ，最大值不存在。五、

忽视应用均值不等式的条件

例5．求函数)20,0(sin cos 2

222π

<<>>+=x b a x

b x a y 的最小值。错解

)12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()

1(2

222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab x

b x a y ∴当12sin =x 时，ab

y 4min =分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解：

2

222222222222)(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=当且仅当x b x a cot tan =，即a

b x =

tan ，时，2

min )(b a y +=专题四：三角函数

【经典题例】

例1：点P 从（1，0）出发，沿单位圆12

2

=+y x 逆时针方向运动3

2π

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（）

（A ）2

3,21(-

（B ）2

1,23(--

（C ）)2

3

,21(--

（D ）2

1,23(-

[思路分析]记POQ ∠=α，由三角函数定义可知Q 点的坐标),(y x 满足ααsin ,cos r y r x ==，故选（A ）[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。

例2：求函数x x

x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.

[思路分析] =)(x f 2

1

2sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+

=+=--=x x x x x x x 所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是

43，最小值是4

1

.[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。

例3：已知2

,4(,41)24sin()24sin(

π

πααπαπ∈=-⋅+，1cot tan sin 22--+ααα求的值.

[思路分析]∵)

24

cos()24sin()24sin()24sin(απ

απαπαπ+⋅+=-⋅+,4cos 21)42sin(21ααπ=+=∴得.214cos =α又.12

5),2,4(παππα=∈所以于是

α

α

ααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222

-+

-=-+-=--+