微分几何曲面的第一基本形式

定理：两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件 是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基 本形式。
推论 仅由第一基本形式所确定的曲面的性质（内蕴性 质）在等距变换下是不变的. 注 曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是 等距不变的
例：证明平面和圆柱面等距
分析只要找到一个参数变换使第一基本形式相同即可
由于
S1 : r1 r1(u1, v1) r1(u1(u, v), v1(u, v)) r1(u, v)
这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中 我们总假定在对应点有相同的参数。
2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意对应曲 线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。
第二节 曲面的第一基本形式
1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) ,
或
r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
若
s
表rr示(t弧) 长rr有u ddutds2rrvdddvtrr
2
或 drr
r (ru
du
rrudu
r rv
dv)2
rrvdv
r ru
r ru
du 2
r 2ru
r rvdudv
r rv
r rv
dv
2
所以
Edu2 2Fdudv Gdv2
称为曲面的第一基本形式。其中
E ru ru , F ru rv , G rv rv
称为第一类基本量。
3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式
即第一基本量成比例： E1:E=F1:F=G1:G.
对和1上任意两方向du : dv和 u : v有
cos
Edu u F (du v dv u) Gdv v
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 E u2 2F u v G v2
cos
E1du u F1(du v dv u) G1dv v
则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程
是 E F( A v ) G( A) v 0
B u
B u
即
v BE AF
u BF AG
2、4 曲面域的面积
如图,用坐标曲线把曲面
分成若干小块,每块的面积
为
d
ru
du
rv dv
ru rv dudv
(u,v dv) (u du,v dv)
Edu2 2Fdudv Gdv2 Eu2 2Fuv Gv2
3、特别 （1） (d) ( ) Eduu F(duv udv) Gdvv 0
（2）对于坐标曲线的交角，有
cos dr r ru rv F dr r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3 正交曲线簇和正交轨线
曲面
S
到
S1
的变换
给定两曲面： S：r r (u, v)
S1：r1
r1 (u1 ,
v1 )
如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：
u1 u1(u, v) ， v1 v1(u, v)
其中u1(u, v), v1(u, v)
(u, v) 连续，有连续的偏导数，且
(u1, v1)
0
这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。
.
E1du2 2F1dudv G1dv2 E1 u2 2F1 u v G1 v2
rvdv
ru du
P(u, v)
(u du,v)
d
ru
rv dudv
EG F 2 dudv
D
D
D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
(ru
rv
)
2
ru2rv2
(ru
rv
)
2
EG
F
2
0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都 与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一 基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
1、把两个向 量 dr rudu rvdv和 r ruu rvv 间的交角 称为方向（ du : dv ）和（ u :v ）间的角。
2、设两方向的夹角为 ，则
cos dr r (rudu rvdv)(ruu rvv)
dr r
dr2 r 2
Eduu F(duv udv) Gdvv
定义 曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面 的内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为 曲面的内蕴性质
一个问题是什么样的曲面具有相同的第一基本形 式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一 基本形式，为了研究这个问题必须使不同的曲面 有相同的参数表示。也即下节的等距变换。
2、5 等距变换
1)
与等距变换一样，下面假定曲面在对应点有相同参数。 什么样的两曲面保角呢？有下定理：
定理：两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是 第一基本形式成比例。
充分性：设两个曲面的第一基本形式为：
I Edu2 2Fdudv Gdv2.
I1 E1du2 2F1dudv G1dv2.
由此可知 I1 2 (u, v), (u, v) 0,
r {x, y, z(x, y)}
rx
{1,0,
p},
ry
{0,1, q},
p z , q z . x y
E
rx
Hale Waihona Puke Baidurx
1
p2, F
rx
ry
pq, G
ry
ry
1
q2
(1 p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2
4、第一基本形式是正定的。 事实上，E ru ru ru2 0, G rv2 0, EG F 2 ru2rv2 (ru rv )2 0. 也可从 ds2 直接得到。
设有两曲线 Adu Bdv 0 , C(u, v)u D(u, v)v 0
如果它们正交，则 Eduu F(duv udv) Gdvv 0
或 E F( dv v ) G dv v 0 du u du u
即 E F(A C)G A C 0 B D BD
若另给出一簇曲线 Adu Bdv 0 ,
证：平面和圆柱面的第一基本形式分别为
I平 du2 dv2, I圆柱 R2d 2 dz2
作
1u R
其雅可比行列式不为零有
z v
I圆柱 R2d 2 dz2 du2 dv2 I平
2.6 保角变换
定义 曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲 线的交角相等，则这个变换称为保角变换(保形变换)