微分几何曲面的第一基本形式

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微分几何课件

3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个点 x ，有一个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向量函数，记作 r r ( x), x G, 例如设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有

微分几何曲面的第一基本形式课件

03
整合第一基本形式，得到 $ds^2 = (u^2 + v^2)du^2 +
2uvdudv + (u^2 + v^2)dv^2$。
04
结果分析和讨论
01
通过计算结果，可以得出该曲面的第一基本形式，进
一步分析曲面的性质和特点。
02
可以使用该方法计算其他类型的曲面，并比较不同曲
面之间的差异和相似之处。
第一基本形式与度量张量的关系
第一基本形式与度量张量之间有着紧密的联系，它们共同构成了
曲面的几何结构。
度量张量是曲面上各点处长度、面积和体积等的度量标准，而第一基本形式则提供了曲面上各点
处的曲率信息。
通过第一基本形式和度量张量的结合，我们可以更好地理解和研
究曲面的形状和性质。
2023
PART 04
张量在物理学中的应用张量在物理学中可以用来描述物体的运动状态和相互作用，如力学、电磁学、相对论等领域。
2023
PART 03
第一基本形式的定义和性质
REPORTING
第一基本形式的定义
第一基本形式是曲面上的测地曲率的一种表达形式，它与曲面的第一基本张量有着密切的
关系。
在曲面上的任意一点，第一基本形式可以定义为曲面的第一基本张量与该点处切线
空间同胚的空间。
第一基本形式是微分几何中用于描述曲面上的点与点之间的距离、
方向和曲率的一种方式。
研究目的和意义
理解第一基本形式可以帮助我们更好地理解曲面的几何性质和特征。
通过研究第一基本形式，我们可以研究曲面的形状、大小和曲率等重要指标。
第一基本形式在微分几何中具有重要的理论和应用价值。

最新微分几何陈维桓第三章讲稿

微分几何陈维桓第三章讲稿目录第三章曲面的第一基本形式 (27)§ 3.1 正则参数曲面 (27)一、参数曲面 (27)二、参数变换 (28)三、正则曲面 (28)四、正则曲面的例子 (29)§ 3.2 切平面和法线 (33)一、曲面的切空间，切平面和法线 (33)二、连续可微函数的等值面 (34)三、微分«Skip Record If...»的几何意义 . (34)§ 3.3 第一基本形式 (35)§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 (37)§ 3.5 保长对应和保角对应 (38)一、曲面到曲面的连续可微映射 (38)二、切映射 (38)三、保长对应(等距对应) (40)四、保角对应(共形对应) (41)§ 3.6 可展曲面 (42)第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应§ 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面«Skip Record If...»的一个区域(region ，即连通开集)«Skip Record If...»到«Skip Record If...»中的一个连续映射«Skip Record If...»的象集«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»中的一个参数曲面(parameterized surface). 在«Skip Record If...»中取定正交标架«Skip Record If...»«Skip Record If...»，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面«Skip Record If...»可以通过参数(parameter)«Skip Record If...»表示成参数方程«Skip Record If...» «Skip Record If...»， (1.1)或写成向量参数方程«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.2)为了使用微积分工具，本书中要求向量函数«Skip Record If...»都是3次以上连续«Skip Record If...»-曲线：让«Skip Record If...»固定，«Skip Record If...»变化，向量«Skip Record If...»的终点描出的轨迹.«Skip Record If...»-曲线，参数曲线网.直观上，参数曲面«Skip Record If...»就是将平面中的区域«Skip Record If...»经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间«Skip Record If...»中的结果.曲纹坐标«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».r 00(,)r u v一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点«Skip Record If...»与该点的参数«Skip Record If...»之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.定义设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»中的参数曲面. 如果在«Skip Record If...»点，两条参数曲线的切向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (1.3)线性无关，即«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»或«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的正则点(regular point). 如果«Skip Record If...»上每一点都是正则点，则称«Skip Record If...»是正则参数曲面.以下总假定«Skip Record If...»是正则曲面. 在正则曲面上每一点«Skip RecordIf...»，由于«Skip Record If...»， (1.4)通过重新选取正交标架«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...».根据反函数定理，存在«Skip Record If...»的邻域«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»有连续可微的反函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...».此时有«Skip Record If...»的邻域«Skip Record If...»和同胚映射«Skip Record If...». 从而有连续映射«Skip Record If...». 于是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的邻域«Skip Record If...»内可用参数方程表示为«Skip Record If...»， (*) 或表示为一个二元函数«Skip Record If...»的图像，其中«Skip Record If...». (1.5)上式称为曲面片«Skip Record If...»的Monge形式，或称为«Skip Record If...»的显式方程.从(*)式可见«Skip Record If...»是一一对应，从而«Skip Record If...»也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了«Skip Record If...»局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面«Skip Record If...»与其定义域«Skip Record If...»之间总是一一对应的，从而参数«Skip Record If...»可以作为曲面上点«Skip Record If...»的曲纹坐标.反之，由显式方程«Skip Record If...»表示的曲面总是正则的：如果«Skip Record If...»， (1.6)则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面«Skip Record If...»，规定«Skip Record If...»所指的一侧为«Skip Record If...»的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换«Skip Record If...» (1.8) 满足：(1) «Skip Record If...»是«Skip Record If...»的3次以上连续可微函数；(2) «Skip Record If...»处处不为零.这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当«Skip Record If...»时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换.根据复合函数的求导法则，在新的参数下，«Skip Record If...»， «Skip Record If...».因此«Skip Record If...». (1.10) 上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将«Skip Record If...»与«Skip Record If...»等同，赋予普通的度量拓扑，即以«Skip Record If...»的标准度量确定的拓扑.定义1.1设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点«Skip Record If...»，存在«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的一个邻域«Skip Record If...»(«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的邻域)，和«Skip Record If...»中的一个区域«Skip Record If...»，以及同胚«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中一个正则参数曲面«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域«Skip Record If...»和同胚«Skip Record If...»的逆映射«Skip Record If...»合在一起，将«Skip Record If...»称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart).注 «Skip Record If...»的拓扑是作为«Skip Record If...»的子集从«Skip Record If...»诱导的相对拓扑，即作为«Skip Record If...»的拓扑子空间的拓扑.如果两个局部参数化«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，那么正则参数曲面«Skip Record If...»就有两个参数表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...». 由此自然产生了参数变换«Skip Record If...».利用正则参数曲面«Skip Record If...»的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的.直观上看，正则曲面«Skip Record If...»是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为指标集)，使得«Skip Record If...»构成«Skip Record If...»的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.例1.1 圆柱面(cylinder) «Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.15)其中«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，圆柱面上少了一条直线«Skip Record If...».如果取«Skip Record If...»，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»是任意阶连续可微的. 又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：(,)r u v 121(r U U -⋂1r 2r 21r«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 例1.2 球面(sphere) «Skip Record If...»，参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.16)其中«Skip Record If...». 由于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以球面是正则曲面.例1.3 旋转面(revolution surface)设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»平面上一条曲线，其中«Skip Record If...». 将«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转得到的旋转面«Skip Record If...»参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.18)旋转面«Skip Record If...»上的u -曲线称为纬线圆，v -曲线称为经线. 因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，(,)r u v (,)r θϕ«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以当«Skip Record If...»是正则曲线，并且«Skip Record If...»时，«Skip Record例1.4 正螺面(hericoid)设两条直线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»垂直相交. 将直线«Skip Record If...»一方面绕«Skip Record If...»作匀速转动，同时沿«Skip Record If...»作匀速滑动，«Skip Record If...»的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线«Skip Record If...»为x轴，«Skip Record If...»为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.19) 由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»可知正螺面是正则曲面.简单来说，直纹面就是由单参数直线族«Skip Record If...»构成的曲面.设«Skip Record If...» («Skip Record If...»)是一条空间正则曲线. 在«Skip RecordIf...»上对应于参数«Skip Record If...»的每一点有一条直线«Skip Record If...»，其方向向量为«Skip Record If...». 这条直线的参数方程可以写成«Skip Record If...».让«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内变动，所有这些直线就拼成一个曲面«Skip Record If...»，称为直纹面. 它的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.20)曲线«Skip Record If...»称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线«Skip Record If...»都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面«Skip Record If...»的«Skip Record If...»-曲线.为了保证直纹面的正则性，要求«Skip Record If...». (1.21)因为直母线的方向向量«Skip Record If...»，通过参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，可设«Skip Record If...».再通过选取新的准线«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即«Skip Record If...». 因为«Skip Record If...»，只须取«Skip Record If...»即可.1. 当«Skip Record If...»为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面«SkipRecord If...»称为柱面(cylindrical surface).2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面«Skip Record If...»称为锥面(cone). ()a u ()a u3. 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»称为切线曲面(tangent surface)，由准线«Skip Record If...»的所有切线构成.这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论.课外作业：习题2，5§ 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中一个正则曲面，«Skip Record If...»是曲面上点的曲纹坐标. 设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上任意一个固定点. 则«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的一条可微(参数)曲线«Skip Record If...»可以表示为«Skip Record If...»， (2.2)其中«Skip Record If...» (2.1)是«Skip Record If...»中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...»，正是«Skip Record If...»点的位置向量. 曲线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切向量为定义2.1 曲面«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的一个切向量(tangent vector).命题曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切向量全体记为«Skip Record If...»，它是一个2维实向量空间，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个基. 事实上，«Skip Record If...»，称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切空间(tangent space).证明记«Skip Record If...». 由(2.3)可见«Skip Record If...». 反之，对任意«Skip Record If...»，令«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»是过«Skip Record If...»的可微曲线，并且 r x 00(,)r u v v =«Skip Record If...».所以«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于«SkipRecord If...»线性无关，它们构成«Skip Record If...»的基. □在空间«Skip Record If...»中，经过点«Skip Record If...»，以两个不共线向量«Skip Record If...»为方向向量的平面称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2.6)它的单位法向量(unit normal vector)为«Skip Record If...». (2.7)经过点«Skip Record If...»且垂直于«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切平面的直线称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的法线(normal line). 它的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2.8)曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 二、连续可微函数的等值面设«Skip Record If...»是一个区域，«Skip Record If...»是定义在«Skip Record If...»上的连续可微函数. 对于一个常数«Skip Record If...»，集合«Skip Record If...»称为函数«Skip Record If...»的等值面. 如果在«Skip Record If...»的每一点，都有«Skip Record If...»， (2.9)则等值面«Skip Record If...»是一个正则曲面. 事实上，设在«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，则方程«Skip Record If...» (2.10)在«Skip Record If...»点的邻近确定了一个隐函数«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».nu r vr于是等值面«Skip Record If...»局部地可以用参数方程表示为«Skip Record If...». (2.11) 由于«Skip Record If...»，等值面«Skip Record If...»是正则曲面.在等值面上每一点«Skip Record If...»，梯度向量«Skip Record If...»是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底«Skip Record If...».由(2.10)两边分别对«Skip Record If...»求偏导数并注意«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...»，«Skip Record If...».三、微分«Skip Record If...»的几何意义设曲面«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...».微分得到«Skip Record If...». (2.13)将«Skip Record If...»看作4个独立的变量，则对于(2.13)中«Skip Record If...»的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值«Skip Record If...»来表示曲面上的一个切方向.自然，这时要求«Skip Record If...»不能全为0.变量«Skip Record If...»是切向量«Skip Record If...»关于切空间«Skip Record If...»的基底«Skip Record If...»的分量，因此是向量空间«Skip Record If...»上的线性函数，即«Skip Record If...»(对偶空间). 事实上，按照定义«Skip Record If...».同理，«Skip Record If...».注. 由于切空间的自然基底«Skip Record If...»一般不是单位正交的，在把«Skip Record If...»看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底«Skip Record If...»的度量系数(参看下一节).课外作业：习题1，3，5.§ 3.3 第一基本形式设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中一个正则参数曲面. 则«Skip Record If...» (3.1) 是曲面上任意一点«Skip Record If...»处的切向量，这个向量作为«Skip Record If...»中的向量可以计算它的长度. 令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3.2) 这三个函数«Skip Record If...»称为曲面«Skip Record If...»的第一类基本量.而矩阵«Skip Record If...» (3.3) 称为切空间(关于基底«Skip Record If...»)的度量矩阵(metric matrix).由于«Skip Record If...»的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量«Skip Record If...»的定义，有«Skip Record If...».这是一个关于变量«Skip Record If...»的二次型，称为曲面«Skip Record If...»的第一基本形式(first fundamental form)，记为«Skip Record If...». (3.4) 对曲面«Skip Record If...»作可允许的参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (3.5) 并记«Skip Record If...».则由微分形式的不变性得«Skip Record If...». (*)记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为«Skip Record If...». (3.10) 则有«Skip Record If...»， (3.7, 3.9)«Skip Record If...». (3.8) 因此在新的参数«Skip Record If...»下，度量矩阵成为«Skip Record If...»， (3.12) 从而第一类基本量之间的关系为«Skip Record If...» (3.13) 在新的参数«Skip Record If...»下，第一基本形式保持不变：«Skip Record If...».因此第一基本形式与参数选择无关，也与«Skip Record If...»的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：«Skip Record If...».如果«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是«Skip Record If...»处的两个切向量，则它们的内积为«Skip Record If...». (3.15) 因此切向量«Skip Record If...»的长度为«Skip Record If...». (3.16) 两个切向量«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之间的夹角«Skip Record If...»满足«Skip Record If...». (3.17) 它们相互正交的充分必要条件是«Skip Record If...». (3.18) 定理3.1 在参数曲面«Skip Record If...»上，参数曲线网是正交曲线网«Skip Record If...». □对于参数曲面«Skip Record If...»上的一条曲线«Skip Record If...»，它的弧长为«Skip Record If...». (3.21) 定义称«Skip Record If...»为曲面«Skip Record If...», «Skip Record If...»的面积元素，称«Skip Record If...» (3.18) 为曲面«Skip Record If...»的面积.命题曲面上曲线的弧长«Skip Record If...»，曲面的面积元素«Skip Record If...»以及曲面的面积«Skip Record If...»都是几何量. 证明假设参数变换为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».则在新参数«Skip Record If...»下，«Skip Record If...»的参数方程«Skip Record If...»与原参数方程«Skip Record If...»之间满足«Skip Record If...».1. 曲线的参数方程由«Skip Record If...»变成了«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».2. 由(3.12)可见，在新参数«Skip Record If...»下，第一类基本量«Skip Record If...»满足«Skip Record If...».其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的逆映射«Skip Record If...»的Jacobi 行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，«Skip Record If...».所以在新参数«Skip Record If...»下的面积元素«Skip Record If...».3. 根据二重积分的变量代换公式，有«Skip Record If...». □例1 求旋转面«Skip Record If...»的第一基本形式.解 «Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为«Skip Record If...». (3.24)这说明在旋转面上经线(v -曲线)和纬线(u -曲线)构成正交参数曲线网. □例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程.解设正则参数曲面«Skip Record If...»的第一基本形式是«Skip Record If...».再设二等分角轨线的切向量为1r r ϕ=1r 1D α«Skip Record If...».由题意，它与u-曲线的夹角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为«Skip Record If...»，v-曲线的切方向为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».将«Skip Record If...»和«Skip Record If...»代入上式，得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，所以上式可化简为«Skip Record If...»， (3.25) 或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为«Skip Record If...».□注求解一阶常微分方程初值问题«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)得到的解«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的一条曲线«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»的每一点«Skip Record If...»，切方向«Skip Record If...»与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等.固定«Skip Record If...»，让初始条件«Skip Record If...»变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.课外作业：习题2，5，8§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：«Skip Record If...».问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设«Skip Record If...»是定义在区域«Skip Record If...»上的连续可微的1次微分形式，且«Skip Record If...»处处不为零. 则对于任意一点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某个邻域«Skip Record If...»内存在积分因子，即有定义在«Skip Record If...»上的非零连续可微函数«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»是某个定义在«Skip Record If...»上的连续可微函数«Skip Record If...»的全微分：«Skip Record If...».引理的证明见附录§1定理1.2.定理4.1假定在曲面«Skip Record If...»上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场«Skip Record If...», «Skip Record If...». 则对每一点«Skip Record If...»，必有«Skip Record If...»点的一个邻域«Skip Record If...»，使得在«Skip Record If...»上存在新的参数«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...».分析：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.2) 则由«Skip Record If...»线性无关可知«Skip Record If...». (4.3)如果这样的可允许参数变换«Skip Record If...»存在，则应有函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (4.5) 即有«Skip Record If...». (4.7) 在上述等式两边取逆矩阵得«Skip Record If...». (4.8) 因此逆参数变换«Skip Record If...»应满足«Skip Record If...» (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.10)由引理可知存在积分因子«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»是全微分，即有函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»使得«Skip Record If...» (4.11) 由此可见«Skip Record If...». (4.12) 因为«Skip Record If...»，参数变换«Skip Record If...»是可允许的. 在新的参数«Skip Record If...»下，«Skip Record If...»同理有«Skip Record If...». □注满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得«Skip Record If...».定理4.2 在曲面«Skip Record If...»上每一点«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»点的一个邻域«Skip Record If...»，使得在«Skip Record If...»上存在新的参数«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...».证明. 取向量场«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»线性无关，且«Skip Record If...». □注在曲面«Skip Record If...»上，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则«Skip Record If...»是曲面上的单位正交切向量场，称为«Skip Record If...»的Schmidt正交化.课外作业：习题1，3§ 3.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面«Skip Record If...»和«Skip Record If...». 因为曲面上的点«Skip Record If...»与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面«Skip Record If...»到曲面«Skip Record If...»的映射«Skip Record If...»可以通过它们的参数表示出来，即有映射«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，或«Skip Record If...».«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»将映射«Skip Record If...»通过它们的参数用两个函数表示出来，则有«Skip Record If...» (5.1)如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射«Skip Record If...»是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.以下总假定映射«Skip Record If...»有足够的连续可微性.二、切映射设两个曲面«Skip Record If...»的参数方程分别为«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 映射«Skip Record If...»是连续可微的，它的参数表示为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». (5.1)’则对每一点«Skip Record If...»，可以通过下面的方法定义一个线性映射«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...». (5.9)上面定义的映射«Skip Record If...»称为由连续可微映射«Skip Record If...»诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射«Skip Record If...»把«Skip Record If...»映为«Skip Record If...».在(5.9)中令«Skip Record If...»，可知«Skip Record If...»在切映射«Skip Record If...»下的象是«Skip Record If...». (5.9)’由于每个切向量«Skip Record If...»都是«Skip Record If...»上的某一过«Skip Record If...»点的曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (5.2)在«Skip Record If...»点的切向量：«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»点的曲纹坐标，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：«Skip Record If...»将«Skip Record If...»上的曲线«Skip Record If...»映为«Skip Record If...»上的曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (5.3)定义«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的切向量，即«Skip Record If...» (5.5)«Skip Record If...»«Skip Record If...». (5.4)在(5.3)’中分别取«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...». (5.7)1D因此切映射«Skip Record If...»在自然基«Skip Record If...»下的矩阵恰好是映射«Skip Record If...»的Jacobi 矩阵. 由此可知在«Skip Record If...»点切映射«Skip Record If...»是线性同构，当且仅当在«Skip Record If...»点映射(5.1)’的Jacobi 行列式«Skip Record If...».定理5.1 设映射«Skip Record If...»是(3次以上)连续可微的. 如果在«Skip RecordIf...»点切映射«Skip Record If...»是线性同构，则分别有«Skip Record If...»点的邻域«Skip Record If...»和«Skip Record If...»点的邻域«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，以及«Skip Record If...»上的参数系«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，使得映射«Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 这种参数系称为映射«Skip Record If...»的适用参数系.证明设«Skip Record If...»的参数方程分别为«Skip Record If...»和«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...».由条件，«Skip Record If...». 设«Skip Record If...»点的曲纹坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的曲纹坐标为«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»是连续的，存在«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的邻域«Skip Record If...»，使得在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»，且在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»有连续可微的反函数«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的邻域. 在«SkipRecord If...»上对曲面«Skip Record If...»作参数变换«Skip Record If...». 在«Skip Record If...»上对曲面«Skip Record If...»作参数变换«Skip Record If...». 则在新的参数下，«Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...».«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «SkipRecord If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»三、保长对应(等距对应)设«Skip Record If...»是连续可微映射，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»的曲纹坐标. «Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，对于曲面«Skip Record If...»上的任意一个二次微分式«Skip Record If...»， (5.11)ψ1|U ϕ1Ωψ11(,)u v 22(,)(,)u v u v =我们可定义曲面«Skip Record If...»上的一个二次微分式«Skip Record If...»， (5.12) 其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (5.15) 其中«Skip Record If...»作为复合函数，是«Skip Record If...»的函数，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»(5.13)«Skip Record If...»二次微分式«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»上的二次微分式«Skip Record If...»经过映射«Skip Record If...»拉回(pull back)到«Skip Record If...»上的二次微分式.简单来说，«Skip Record If...»就是将«Skip Record If...»代入(5.11)右端而得.例曲面«Skip Record If...»上的第一基本形式«Skip Record If...»是一个二次微分式. 拉回到«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»，上式可以简单地写成«Skip Record If...» (*)定义5.1设映射«Skip Record If...»是3次以上连续可微的. 如果对每一点«Skip Record If...»，切映射«Skip Record If...»都保持切向量的长度，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则称«Skip Record If...»是从«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry).注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若«Skip Record If...»是等距对应，则有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度.而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有«Skip Record If...».注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应«Skip Record If...»，在每一点«Skip Record If...»，切映射«Skip Record If...»都是线性同构，从而局部地«Skip Record If...»是微分同胚，存在适用参数系.由(5.9)’可知«Skip Record If...».利用(*)得到«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的第一基本形式. 于是有定理5.2设映射«Skip Record If...»是3次以上连续可微的. 则«Skip Record If...»是等距对应的充分必要条件是。

微分几何2.2曲面的第一基本形式

例如，椭球面的第一基本形式为$ds^2 = dr^2 + r^2dtheta^2 + r^2sinh^2theta dphi^2$，其中$r$是椭球面上的点到原点的距离，$theta$和 $phi$是椭球面上的方向角。
THANKS
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VS
球面的曲率等于其第一基本形式中 $dr^2$、$r^2dtheta^2$和 $r^2sin^2theta dphi^2$的系数之比，即$frac{d^2r}{dr^2} = frac{1}{dr^2} + frac{1}{r^2sin^2theta}$。
其他曲面的第一基本形式
对于其他曲面，如椭球面、双曲面等，其第一基本形式可以根据其定义和性质进行推导。
定义曲面的参数
首先，选择适当的参数来描述曲面上的点。常用的参数有u、v等。
整合公式
将E、F和G整合成第一基本形式的公式。
推导过程中的注意事项
参数选取的合理性
在选择参数时，应确保其能够覆盖整个曲面，且在参数变化过程中不会出现自交点。
计算的准确性
在计算过程中，要确保各项计算的准确性，特别是涉及到微分和积分的计算。
1 2
航空航天工程
在航空航天工程中，第一基本形式被用来描述飞行器的运动轨迹和姿态，例如飞机和火箭的发射和导航。
机械工程
在机械工程中，第一基本形式被用来描述机械的运动状态和规律，例如机器的运转和振动。
3
土木工程
在土木工程中，第一基本形式被用来描述结构的形状和稳定性，例如桥梁和建筑的设计和施工。
平面曲线的曲率等于其第一基本形式中$dx^2$和$dy^2$的系数之比，即$frac{d^2s}{ds^2} = frac{1}{dx^2} + frac{1}{dy^2}$。

微分几何公式

第一章小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1）切线 αλρ+=r2）法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3）弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4）密切平面 0)(=⋅-γr R5）从切平面 0)(=⋅-βr R6）主法线 βλρ+=r 7）副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1）自然方程：)()(s s K K ττ==2）基本定理：第二章曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。

微分几何曲面第一基本形式

微分几何曲面第一基本形式
微分几何是研究流形及其上的几何结构的数学学科。

在微分几何中，曲面是最简单的一类流形。

曲面具有平坦的形状，可以用一维曲线组成的二维平面来描述。

曲面的第一基本形式是描述曲面上的内部几何特征的工具。

它是由曲面上的切向量和曲面上的度量张量所确定的。

切向量是与曲面上的点相切的向量，可以用来描述曲面上的切平面的方向。

而度量张量则是用来测量曲面上的长度、角度和曲率等几何量的。

具体来说，设曲面S为一个二维流形，曲面上的点p可以由两个参数u和v来确定，即p = (u, v)。

在这个参数化下，曲面上的切向量可以通过对u和v求偏导数来求得。

切向量的长度可以通过计算内积来得到。

曲面上的度量张量是一个二阶张量，用来描述曲面的内在几何特征。

它可以通过计算切向量之间的内积来得到。

度量张量的坐标表示为：
g = E du^2 + 2F du dv + G dv^2
其中E、F和G是曲面上的度量系数，分别表示在u和v方向上的度量。

它们可以通过计算曲面上的基向量的内积来得到。

曲面的第一基本形式有许多重要的应用。

例如，它可以用来计算曲面上的曲率，描述曲面上的最短路径以及计算曲面上的面积等。

通过研究曲面的第一基本形式，我们可以深入理解曲面的几何性质，并进一步推导出更多的几何定理和结论。

总之，曲面的第一基本形式是微分几何中描述曲面上的内部几何特征的重要工具。

通过分析曲面的切向量和度量张量，我们可以了解曲面的形状、曲率和其他几何特征。

对于研究曲面的性质和应用具有重要意义。

微分几何知识点整理——特殊曲线分析

微分几何——特殊曲线分析特殊曲线分析1．直纹面：由连续族直线的轨迹形成的曲面:(,)()()S r u v a u b u v =+。

这里直纹面的v 曲线是直纹面的直母线，u 为一族与其相交的曲线。

2．常Gauss 曲率曲面对于正常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222cos )I du dv =+；对于Gauss 曲率恒为0的曲面，曲面的第一基本形式为22I du dv =+；对于负常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222c )I du h dv =+. 定理1 具有相同的Gauss 曲率的曲面总是等距等价的，这种等价也是局部的.3．可展曲面：直纹面沿着它的每条直母线都只有一个切平面，或者说沿直母线，法向量平行，称其为可展曲面。

定理2 直纹面S 可展⇔ ()'(),(),'()0a u b u b u =.定理3 可展曲面局部地或为柱面，或为锥面，或为某条空间曲线的切线曲面.定理4 无平点的曲面为可展曲面⇔高斯曲率0K ≡.4．全脐点曲面：全部由脐点构成的曲面，曲面上满足L M N E F G==。

定理5 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是平面或球面（或它们的一部分）.5．极小曲面：平均曲率恒为0的曲面。

平面、正螺面都是极小曲面。

由公式222()EN FM GL H EG F -+=-，其充要条件是20EN FM GL -+=。

极小曲面是使面积的第一变分变为零的曲面。

除平面外旋转极小曲面必为悬链面，直纹极小曲面必为正螺面。

相关命题命题1 常高斯曲率曲面中的常平均曲面是全脐点曲面（平面/球面）或圆柱面. 推论1.1 可展曲面中的常平均曲率曲面是平面或圆柱面.推论1.2 极小曲面中的常高斯曲率曲面是平面.命题2 直纹面中的常Gauss 曲率曲面是可展曲面.命题3 直纹面中的常平均曲率曲面是平面、正螺面或圆柱面.推论3.1 直纹面中的极小曲面是平面和正螺面.相关图示所有可展曲面都是直纹面，且仅有柱面、锥面、切线面三种，如下图：常高斯曲率旋转曲面，在高斯曲率小于零时是伪球面：极小旋转曲面是悬链面：。

曲面第一第二基本形式

曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。

曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。

对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。

这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。

通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。

曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。

它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。

具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。

曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。

它们描述了曲面上的曲率信息。

具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。

通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。

这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。

总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。

通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。

微分几何答案(第二章)

第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。

3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。

解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。

cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。

—解椭圆柱面 x 2y 2 1 的参数方程为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。

微分几何曲面的第一基本形式概述

第二节曲面的第一基本形式 1、给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
du dv r (t ) ru rv 或 dt dt 若 s 表示弧长有 2 2
所以
dr ru du rv dv
4、第一基本形式是正定的。
2 2 2 2 2 2 E r r r 0 , G r 0 , EG F r r ( r r ) 0. 事实上， u u u v u v u v
2 也可从 ds 直接得到。
1、把两个向量 dr ru du rv dv和 r ruu rvv 间的交角称为方向（ du : dv ）和（ u : v ）间的角。 2、设两方向的夹角为，则
D D D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
2 2 2 2 (ru rv ) ru rv (ru rv ) EG F 2 0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
（2）对于坐标曲线的交角，有
dr r ru rv F cos dr r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3
பைடு நூலகம்
正交曲线簇和正交轨线
设有两曲线 Adu Bdv 0 , C(u, v)u D(u, v)v 0
如果它们正交，则 Eduu F (duv udv) Gdvv 0
2、4

200271 微分几何作业(专升本)

《微分几何》作业一. 填空题1. 曲面的第一基本形式为（）。

2. 空间曲线的基本公式是（）。

3. 曲面),(v u r r =在任一点（u ，v ）的单位法向量公式为（）4. 空间曲线)(s r r=的切向量为（）。

5. 曲线的主法向量β 总是指向曲线（）。

6. 曲面),(v u r r =上正常点满足的条件为（）7. 曲线的挠率表达式为（）。

8. 曲面上曲率线满足的微分方程为（）。

9. 在曲面S: )(v u,r r =上，u 线的微分方程是( )。

10.设}x ,62,{},31,0{-=-=b a ，若a ∥b 则 ( )。

11.可展曲面上每一点都是 ( )点。

12.曲线)(t r r=在0t t =点的切线方程为（）。

13．设曲线C ：r =r (s), 则C 在s 0处的主法线方程是．14．设α，β，γ是曲线C ：r =r (s)的三个基本单位向量，则α)βγ+(= ． 15．设a =｛1，0， 0｝，b =｛0，2，0｝， c =｛0，0，6｝，则（a ，b ，2c ）= ．16 若向量函数r =r (t)的终点始终在中心为坐标原点, 半径为2的球面上，则 r r '= ．17．若曲线在一点的挠率τ＞0, 则曲线在该点是旋的．18．在曲面上一点，如果对于任意方向，法曲率都是零，则该点是曲面上的点．19．已知向量{}3 ,2 ,1=a , {}1 , ,1x -=b ．若a b ⊥,则=x ． 20．设n 是非零向量,且0===cn bn an , 则()c b a ⨯= ．21．曲线)(s r r =在0s s =处的密切平面方程是．22．设曲线:C )(s r r =的曲率是()s κ,则r= ．23．空间曲线论基本公式是．24．根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的和．二. 判断题1. 空间内两自由向量一定共面。

微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网

1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)

F (u, v)
其中，c为待定常数；每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。特别地，当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ，此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）

微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念

2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅

微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课

t1 2
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义曲面( S )与( S )之间的一个变换，则称这个变换如果使曲面上对应曲线的交角相等，为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理两个曲面之间的变换是保角变换它们第一基本形式成比例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例，证：则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u

曲面的第一基本形式在曲面论中的作用

曲面的第一基本形式在曲面论中的作用微分几何学主要是运用数学分析的理论研究空间曲线或曲面在它一点领域的性质，是研究一般的曲线在小范围上的性质的数学分类学科．1827年高斯发表的《关于曲面的一般研究》著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础．高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内在几何学．主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等．他的理论奠定了近代形式曲面论的基础． 1 曲面的第一基本形式的定义及计算公式给出曲面S ：),(v u r r =上的曲线（C ）;)(),(t v v t u u ==或)](),([t v t u r = ．对于曲线（C ）有dtdv r dt du r dt dr v u +=,或者dv r du r dr u u +=．若以s 表示曲面上曲线的弧长，则=+==222)(dv r du r dr ds v v 22222dv r dudv r r du r v v u u ++．令v u v v u u r r F r r G r r E ===,,，则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=．这是关于v d u d,的一个二次形式，称为曲面S 的第一基本形式．表示为 222Gdv Fdudv Edu I ++=它的系数v v v u u u r r G r r F r r E ===,, 称为曲面S 的第一基本量[1]（P67-68）．例求球面}sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r = 的第一基本形式．解 }sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r =．可得出}0,cos cos ,sin cos {ψθψθψR R r -=}cos ,.sin sin ,cos sin {θψθψθθR R R r --=由此得到曲面的第一基本量为222,0,cos R r r G r r F R r r E ======θθθψψψθ ．因而22222cos θψθd R d R I +=．曲面的第一基本形式在曲面论中占有非常重要的地位．而对于曲面的特殊参数表示),,(y x z z =有yz q q r x z p p r y x z y x r y x ∂∂==∂∂===},,1,0{,}.,0,1{)},,(,,{ ．由定义得221,,1q r r G pq r r F p r r E y y y x x x +====+==．曲面的第一基本形式为 2222)1(2)1(dy q pqdxdy dx p I ++++=．由上式知0,022>=>=v u r G r E ，又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式0)()(22222>⨯=-=-v u v u u r r r r r r F EG v ．因此第一基本量G F E ,,满足不等式0,0,02>->>F EG G E ．这表明第一基本形式是正定的，这个结论也可由2ds I =直接得出． 2 第一基本形式在求曲线弧长的作用由曲面的第一基本形式的定义知以s 表示曲面上曲线的弧长,则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线（C ）上两点)(),(00t B t A ．则弧长为 S=⎰⎰++=101022)(2)(t t t t dt dtdv G dt dv dt du F dt du E dt dt ds 从而对曲线弧长的求法提供了一种更简洁的解法．3 利用第一基本形式求曲面上两方向的夹角前面已经提到过曲面),(v u r =上一点(00,v u )的切方向称曲面上的方向，它只能表示为dv v u r du v u r dr v u ),(),(0000 +=．其中),(00v u r u 和),(00v u r v 是过),(00v u 点的坐标曲线的切向量．给定了曲面的参数表示式后u r 和v r 是已知的，因此给出了一方向dr 就等于给出一对值,,dv du 不过方向和dr 的长度无关，所以给出dv du :就能确定曲面的一方向．我们以后经常用（d ）dr ,或dv du :表示曲面上的一方向[1]（P80-82）．给出曲面上两方向（dv du :）和(v u δδ:),我们把向量dv r du r dr v u +=和v r u r r v u δδδ+=间的夹角称为方向（dv du :）和（v u δδ:)间的角．即222222)(cos v G v u F u E Gdv Fdudv Edu vGdu u dv v du F u Edu δδδδδδδδθ+++++++=．由这个公式可以推出曲面上两个方向（dv du :）和(v u δδ:)垂直的条件是：v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++)(0=．例在曲面上一点，含dv du ,的二次方程：0222=++Rdv Qdudv Pdu 确定两个切方向（dv du :）和（v u δδ:）．证明这两个方向互相垂直的充要条件是02=+-GP FQ ER ．证明因为dv du ,不能同时为0．不妨假设0≠dv ．让0222=++Rdv Qdudv Pdu 两端同除以2dv 可以化为 02)(2=++R dvdu Q dv du P 又因为方程有两个切方向（d ）和(δ)，所以v u dv du P Q v u dv du δδδδ⋅⋅-=+2PR =．但是两方向（d ）和（δ）垂直，则有0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ．即 0)(=+++⋅G vu dv du F v u dv du Eδδδδ．从而得 02=+-+⋅G P Q F P R E ．所以 02=+-GP FQ ER ．此外我们还可以求出坐标曲线u -曲线（v =常数）和v -曲线（u =常数）的夹角ω的表达式，因为u r 和v r 是坐标曲线的切向量，所以v u r r,间的夹角ω为: EG F r r r r v v u u =⋅= ωcos ．由此推出曲面的坐标网是正交的必要条件是0=F ．4 正交曲线族和正交轨线给出两族曲线00=+=+v D u C Bdv Adu δδ，　如果它们正交，由0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ可以得出0)(=⋅+++uv du dv G u v du dv F E δδδδ （１）即 0)(=⋅++-DC B A GD C B A FE 或 0)(=++-GAC BC ADF EBD ．如果给出一族曲线0=+Bdv Adu则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线．从(1)中可以看出正交轨线的微分方程是0)()(=-++-+uv B A u v B A F E δδδδ 即 AGBF AF BE u v ---=δδ 5 利用第一基本形式可求曲面域的面积设曲面S ：),(v u r = 给出曲面S 上一个区域D ，我们将推导其面积的计算公式．首先把曲面域用坐标曲线u=常数与v=常数剖分成完整的和不完整的曲边四边形． u-曲线和v-曲线越密，那些完整的曲边四边形就越接近平行四边形，而那些不完整的曲边四边形的面积子整个曲面域面积里所占的比重就越小，以至于可以略去．取以点),(),,(),,(dv v u dv v du u v u +++为顶点的曲边四边形，可以近似地把它换成切平面上的平行四边形．这个平行四边形一以切于坐标曲线的向量du r u 与dv r v 为边．我们把所取的曲边四边形的面积可以认为近似地等于du r u ,dv r v 为边的平行四边形的面积．由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以他们夹角的正弦．于是上述的平行四边形的面积dudv r r dv r du r d v u v u ⨯=⨯=σ．因此曲面域D 的面积σ可由二重积分来表示：σ的面积=dudv r r d Dv u ⎰⎰⎰⎰⨯= σ 这里的区域D 是曲面域D 相应的),(v u 平面上的区域．由于 0)()(22222>-=-=⨯F EG r r r r r r v u v u v u所以σ 的面积=dudv F EG D⎰⎰-2．由此我们看到的曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的夹角以及曲面域的面积都可以用第一基本形式G F E ,,来表示．仅由第一基本形式出发所建立的集合性质称为曲面的内在性质（或内蕴性），以上这些性质都是曲面的内蕴性质．6 等距变换和保角变换上的作用定义1[1]（P75-78）曲面之间的一个变换．如果它保持曲面上任意趋向的长度不变，则这个变化称为等距变换（保长变换）．定义2[1]（P78-81）曲面之间的一个变换．如果使曲面上对应曲线的夹角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）．显然每一个等距变换都是保角变换，但保角变换一般不是等距变换．而我们在上面所述的曲面的弧长，夹角．，曲面与的面积等都是等距不变量（保长不变量）．今后我们把曲面上这种仅仅由G F E ,,表示出来的几何量称曲面的内蕴量．利用等距变换的概念，我们可以把曲面进行一种分类：使等距等价的曲面属于同一类，不等距等价的曲面属于不同类，根据这种分类，则每一个可展曲面和平面是同类的．我们说根据等距等价的曲面有相同的内在性质，因为这样的性质不因曲面的弯曲而改变．当曲面受到弯曲时，曲面的外表（曲面与其所在的外界空间的关系）改变了，但内在性质没有变．例如我们可以把一张弯曲成各式各样的可展曲面，从外表看，他们很不相像，但它们却有完全相同的内在性质．必须指出的是，无论谈等距变换、弯曲、贴合或内在性质，一般总是限于有关曲面的一定范围以内．例如在悬链面和正螺面的等距对应中，悬链面上每一个圆仅仅对应于一条圆柱螺线的一段；圆是闭曲线而圆柱螺线则不是，这两个曲面不但“局部”的内在性质是相同的，而且相关大面积的内在性质也是相同的，但我们不说，它们有相同的“整体（如果不是指相对的整体而是指绝对的整体）的内在性质．”7 曲面的高斯曲率的应用在曲面论的许多问题中，运用的较多的是高斯曲率．设21,k k 为曲面上的一点的主曲率，则它们的乘积21k k 称为曲面在这一点的高斯曲率．通常以K 表示，即,2221FEG M LN k k K --== 其中vu v u vv uv uu v u u r r r r n n r M n r N n r L r G r r F r E ⨯⨯=⋅=⋅=⋅=>==>=,,,,0,,022．那么如何运用高斯曲率确定曲面的第一基本形式需要进一步的验证．假设曲面S 的高斯曲率是常数．在曲面上取测地平行坐标系),(v u ,因而它的第一基本形式为22),(dv v u G du I +=且),(v u G ．满足条件：0),0(,1).0(==v G v G u ．根据高斯曲率的内蕴表达式，有uu u u v vG G E G G E EG K )(1}])([])({[1-=+-= 所以G 作为u的函数，满足二阶常数齐次方程0)(=+G K G uu ．初始条件是0),0()(,1),0(==v G v G u ，根据K 的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分别是（1）0>K );cos(u K G =(2)0=K 1=G ；（3）0<K ).(u K ch G -=则常曲率曲面的第一基本形式分别为）：[2]（P62-78）若S 有正常数高斯曲率K , ;)(cos 222dv u K du I += 若S 的高斯曲率为零， 22dv du I +=，若S 有负常数高斯曲率K ，222)(dv u K ch du I -+=．由上面的结论可推出：由相同的常数高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保长对应．由此不难看出，高斯曲率是曲面的内蕴量．在曲面论的研究中发挥了重要作用．对上面的课题的研究只是曲面的第一基本形式的重要推广，而更为重要的是引用曲面的第一基本形式为以后讨论曲面弯曲性质的第二基本形式共同构成了曲面论的基本定律．故对于后面的曲线网及各种曲率都离不开第一基本形式的作用，这里着重讨论了高斯曲率，因为所研究的曲面都是和这个曲率相关的，以及后面的测地线曲率都是和Causs 曲率相关的．而Causs 又有第一基本形式的参数决定，所以第一基本形式是很重要的．8 第一基本形式在实践中的应用在生活实践中，很多方面都涉及到微分几何知识．如何灵活而有效的利用曲面的微分几何知识，显得至关重要．在外形设计上，把它作为曲面造型的辅助工具，是一项富有实用价值的研究课题．近年来这方面的研究也较为活泼，已有相当多的文献给出参数曲面，网络曲面，点云曲面上的测地线的计算方法，以及在蓬帆制造[3]（P137－139）、切割或油漆路径设计、光路径设计[4](1467-1475)、流程模拟活动轮廓、机器人行走路径规划等工业领域的应用．还在工程技术的应用、复杂曲面的外板的展开，这种技术在飞机机身、汽车外壳、轮船船体、涡轮叶片、薄壳屋顶等外形设计中有着实际的应用，这一切的一切都与曲面的第一基本形式是不可分割的．。

微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式

2.4 曲面域的面积
D
v v ) P3 (u u, v v ) ru u
P1 (u u, v ) P ( u, v ) PP 1 r ( u u, v ) r ( u, v ) ( ru 1 )u ru u. ( u 0时) PP2 r (u, v v ) r (u, v ) (rv 2 )v rv v. (v 0时) PP 1 PP 2 d ru u rv v ru rv dudv
曲纹坐标方程有关，不需要知道曲线的形状 .
2.2 曲面上两方向的交角
( S )在点P (u, v )处的两个切方向定义已给曲面称相应的切向量 (d ) du : dv和( ) u : v， dr rudu rv dv和r ruu rvv 之间的夹角为这两个切方向 (d )和( )之间的夹角 .(0 ) 计算公式 dr r dr r cos , dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) cos 2 dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) 2
则ds Edu 2Fdudv Gdv .
2 2 2
称为曲面的第一基本形式. 记作I .
即
其中
I Edu 2Fdudv Gdv 2 2 E ru , F ru rv , G rv
2
2
称为曲面的第一类基本量. 对于曲面S : z z( x, y )，有r { x, y, z( x, y)} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}，其中p ，q ， x y 2 2 2 2 E rx 1 p , F rx ry pq, G ry 1 q .

4 曲面的第一基本形式

微分几何Differential Geometry 第4 讲曲面第一基本形式3,=(,),,S E r r u v P S ∀∈设是的曲面其参数方程为则span{,}P u v T S r r =,,P u v X T S X r r X λμ∀∈=+的长度平方为.,,2,,22〉〈+〉〈+〉〈=〉〈u u v u u u r r r r r r X X μμλλGF E X X 222,μμλλ++=〉〈,,,,,,u u u v v v E r r F r r G r r =〈〉=〈〉=〈〉如果令()((),()),(,),r t r u t v t t a b =∈曲面曲线的参数方程为d d d ,d d d u v r u v P r r t t t=+曲线在点的切向量为22d d d d d d ,,2,,d d d d d d u u u v v v r r u u v v r r r r r r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫〈〉=〈〉+〈〉⋅+〈〉 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,d |()|d .b b a a s s s r t t Γ'==⎰⎰设表示曲线的弧长则由空间曲线弧长定义()((),( ))S r t r u t v t =定义曲面上曲线的1弧长定义为22d d d d d d ,,2,,d d d d d d u u u v v v r r u u v v r r r r r r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫〈〉=〈〉+〈〉⋅+〈〉 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭|()|d b as r t t '=⎰22d d d d 2.d d d d u u v v E F G t t t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a t t v G t v t u F t u E .d d d d d d d 2d d 22222d d d d d d 2d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛t v G t v t u F t u E t s 所以222d d d 2d d v G v u F u E s ++=可得一个二次微分式22d (d )s s =曲面的第一基本形式.0>系数矩阵.d d )d ,d (⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=u u G F F E v u 22I=d 2d d d S E u F u v E v S 定义2曲面上的二次微分式++为曲第一基面的本形式.d ,d S u v 正则曲面的第一基本形式是的正命题1定二次型.00 ,E G >>由定义可知：证明.2I ds =所以是正定二次型.2|u v g EG F r r =-=⨯|为第一基本形式的系数行列式.,,E F G S 函数称为曲面的第一基本量.正则曲面的第一基本形式与参数选命题2择无关.22)(v u r r F EG G F F E ⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛〉〈=r r d ,d I曲面的第一基本形式正则曲面的第一基本形式与参数选命题2择无关. 证明(,)d ,r u v r 记向量值函数的一阶微分式为d ={d (,),d (,),d (,)}r x u v y u v z u v ={d d ,d d ,d d }u v u v u v x u x v y u y v z u z v +++={,,}d {,,}d u u u v v v x y z u x y z v+d d u v r u r v=+2I d d ,d r r r ==〈〉,d d d 2d 22v G v u F u E ++=由一阶微分形式的可知:曲面的第一基本形式与参数选形式不变性择无关.(),(0),r t t t t t →+∆∆→考虑曲面曲线当时()(),r t r t t →+∆曲线的改变量为d d ()()()d d u u u u r r t t r t r r t t t∆=+∆-≈+∆.ΔΔΔΔ2ΔΔv v G v u F u u E ++u v r u r v =∆+∆()(+)()r t r t t r t ∆-则曲面曲线增量的长度平方约为00I lim(2)u v E u u F u v G v v ∆→∆→=∆∆+∆∆+∆∆则,第一基本形式是曲面曲线增量长度平方的极限形式或者说它是曲面曲线弧长微元的的平方.2d s =.第一基本形式的几何意义例子,1d d d d :==⎩⎨⎧==Γtv t u t v t u 解,sinh ,0,12t G F E ===沿曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba t t v G t v t u F t u E s .d d d d d d d 2d d 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a t t v t t u d d d sinh d d 222⎰+=b at t d sinh 12⎰=b at t d cosh .sinh sinh a b -=例1.,d sinh d I 222的弧长到从：求曲面曲线为设曲面的第一基本形式b a v u v u u =Γ+=例子例2.)0,,(的第一基本形式求平面y x r = ).0,1,0(),0,0,1(==y x r r 求偏导数可得解,1,0,1===⇒G F E .d d I 22y x +=所以例3.I ))(,sin )(,cos )((的求旋转曲面u g v u f v u f r = 解),,sin ,cos (g v f v f r u '''= ),0,cos ,sin (v f v f r v -= ,0,,,22=〉〈='+'=〉〈=⇒v u u u r r F g f r r E ,,2f r r G v v =〉〈= .d )(d ))()((I 2222v u f u u g u f +'+'=所以特别则曲面为球面当),(,sin ,cos 2R S u R g u R f ==.d cos d I 22222v u R u R +=曲面曲线的夹角.d d d 2d I 22v G v u F u E ++=曲面第一基本形式为))(),(:),(),(:111111t v v t u u t v t u u P S ==Γ=ΓΓΓ的参数方程分别为和点的曲线上两条交与设曲面,δδδd d d 1v r u r r v r u r r v u v u +=+=ΓΓ和的切方向分别为和设|δ||d |δd cos r r r r ⋅⋅=θ.δδδ2δd d d 2d δd )δd δd (δd 2222v G v u F u E v G v u F u E v v G v v u u F u u E +++++++=.11θ夹角点的切方向之间的在和点的夹角是在和P P ΓΓΓΓ定义41ΓΓθ.0δd )δd δd (δd δ,d =+++⇒v v G v v u u F u u E r r 正交的充要条件是曲面上的两个切方向例子例4.:,d )(d I 12222的夹角和：求曲面上的曲线为设曲面的第一基本形式v u v u v a u u =Γ-=Γ++=解,,0,1,,)0,0(21a G F E P P ====ΓΓ点处在点 1:1δ:δ,11d :d 1=-=ΓΓv u v u ：由于的切向为与2222δδδ2δd d d 2d δd )δd δd (δd cos vG v u F u E v G v u F u E vv G v v u u F u u E +++++++=θ2222222δδd d δd δd va u v a u v v a u u +++=,1122a a +-=.11arccos 22aa +-=θ所以注记.,线的切方向即可面的第一基本形式和曲只要知道曲曲面和曲线的形状解这类题目不需要知道曲面域的面积r vO u Dv v Δ+u vuu Δ+),(v u P ),Δ(v u u Q +)Δ,Δ(v v u u R ++)Δ,(v v u M +,0,.u v PQRM ∆∆→由微元法,当时曲线四边形的面积近似等于切平面上一个小平行四边形的面积d ,d .u v r u r v 这个小平行四边形以为边,平行四边形的面积等于边长外积的绝对值即区域的面积微元v u r r v r u r v u v u d d |||d d |d ⨯=⨯=σ,d d 2v u F EG -=2=d d .D EG F u v σ-⎰⎰所以区域的面积为S 把曲面上仅由第一基本量决定的几何性质和几何量称为曲定义5内蕴面的性和内蕴量.例子例5.1,d )(d I 2222积所围的曲边三角形的面和求曲线式为已知曲面的第一基本形=±=++=v av u v a u u 解.10,:≤≤≤≤-v a u a D u v O )1,(a )1,(a -2222d )(d I v a u u ++=222au F EG +=-⎰⎰⎰⎰+=-=D D vu a u v u F EG A d d )(d d 222⎰⎰-+=a a u a u v d d 2210⎰+=au a u 022d 2a a u u a a u u 022222|)]ln(22[2++++=).21ln(222++=a a相关结论).,(I ),(I ),,(),(:,),,(,:11133v u v u v u r v u r S S E v u r r E S =ψ=ψ=则曲面变为它将曲面变换的合同是中的正则曲面是如果即证明0()T+,(,),T (3),P P P P r u v O ψ=⋅=∈设是合同变换11()T,()T,u u v v r r r r =⋅=⋅则〉〈=u u r r E )(,)(111 ,,,E r r T r T r u u u u =〉〈=〉⋅⋅〈= 1111,,,,E F G S 设是曲面的第一基本量则11=,,F FG G 同理可得:=1.S S 即曲面与曲面的第一基本形式相同命题33.E 正则曲面的第一基本形式在的合同变换下不变小结221.I d 2d d d S E u F u v G v =++曲面的第一基本形式：,,E F G 函数为曲面的第一基本量.)).((由曲面的第一基本量决定的几内蕴量性何量性质质:,,.求曲面曲线的弧长曲面曲线的夹角曲应:面域的面积用I 2.与曲面的参数变换和合同变换无关；,d d S u v 正则曲面的第一基本形式是的正定命题二次型.感谢大家的聆听！。

曲面的第一基本形式

对于曲线(C)有
rr(t)
r ru
du dt
r rv
dv dt
或 drr rrudu rrvdv ，
若以s表示曲面上曲线的弧长，则
ds２=drr
2
=(rru du
r ru
2du
2
rrvdv)2
2rru
r rvdudv
rrv2
dv
2
微分几何第15讲 4
曲面的第一基本形式
ds2 =drr 2 rru2du2 2rru rrvdudv rrv2dv2
若曲面方程为 z z(x, y)，则可化为参数方程
rr {x, y, z(x, y)},
r rx E
{1,
r rx
0, r rx
z} {1, 0, x 1 p2, F
p},
r rx
rry
r ry
{0,1, pq,
z } y
G
rry
{0,1, q}, rry 1
q2,
第一基本形式
(1+p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2.
又du dv, u v
cos
1 a2 1 a2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arccos
1 a2 1 a2
.
微分几何第15讲 15
作业： P81 3，5，6
谢谢！
微分几何第15讲 16
微分几何第15讲 14
例题4
cos
Edu u F (du v dv u) Gdv v
Edu2 2Fdudv Gdv2 E u2 2F u v G v2
∵E(0,0) =1，F(0,0) =0， G(0,0) a2.

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Edu2 2Fdudv Gdv2 Eu2 2Fuv Gv2
3、特别（1） (d) ( ) Eduu F(duv udv) Gdvv 0
（2）对于坐标曲线的交角，有
cos dr r ru rv F dr r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3 正交曲线簇和正交轨线
.
E1du2 2F1dudv G1dv2 E1 u2 2F1 u v G1 v2
1、把两个向量 dr rudu rvdv和 r ruu rvv 间的交角称为方向（ du : dv ）和（ u :v ）间的角。
2、设两方向的夹角为，则
cos dr r (rudu rvdv)(ruu rvv)
dr r
dr2 r 2
Eduu F(duv udv) Gdvv
第二节曲面的第一基本形式
1、给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) ,
或
r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
若
s
表rr示(t弧) 长rr有u ddutds2rrvdddvtrr
2
或 drr
r (ru
du
rrudu
曲面
S
到
S1
的变换
给定两曲面： S：r r (u, v)
S1：r1
r1 (u1 ,
v1 )
如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：
u1 u1(u, v) ， v1 v1(u, v)
其中u1(u, v), v1(u, v)
(u, v) 连续，有连续的偏导数，且
(u1, v1)
0
这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。
设有两曲线 Adu Bdv 0 , C(u, v)u D(u, v)v 0
如果它们正交，则 Eduu F(duv udv) Gdvv 0
或 E F( dv v ) G dv v 0 du u du u
即 E F(A C)G A C 0 B D BD
若另给出一簇曲线 Adu Bdv 0 ,
定义曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面的内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为曲面的内蕴性质
一个问题是什么样的曲面具有相同的第一基本形式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一基本形式，为了研究这个问题必须使不同的曲面有相同的参数表示。也即下节的等距变换。
2、5 等距变换
1)
则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程
是 E F( A v ) G( A) v 0
B u
B u
即
v BE AF
u BF AG
2、4 曲面域的面积
如图,用坐标曲线把曲面
分成若干小块,每块的面积
为
d
ru
du
rv dv
ru rv dudv
(u,v dv) (u du,v dv)
与等距变换一样，下面假定曲面在对应点有相同参数。什么样的两曲面保角呢？有下定理：
定理：两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是第一基本形式成比例。
充分性：设两个曲面的第一基本形式为：
I Edu2 2Fdudv Gdv2.
I1 E1du2 2F1dudv G1dv2.
由此可知 I1 2 (u, v), (u, v) 0,
由于
S1 : r1 r1(u1, v1) r1(u1(u, v), v1(u, v)) r1(u, v)
这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。
2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意对应曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。
r {x, y, z(x, y)}
rx
{1,0,
p},
ry
{0,1, q},
p z , q z . x y
E
rx
rx
1
p2, F
rx
ry
pq, G
ry
ry
1
q2
(1 p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2
4、第一基本形式是正定的。事实上，E ru ru ru2 0, G rv2 0, EG F 2 ru2rv2 (ru rv )2 0. 也可从 ds2 直接得到。
定理：两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基本形式。
推论仅由第一基本形式所确定的曲面的性质（内蕴性质）在等距变换下是不变的. 注曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是等距不变的
例：证明平面和圆柱面等距
分析只要找到一个参数变换使第一基本形式相同即可
r rv
dv)2
rrvdv
r ru
r ru
du 2
r 2ru
r rvdudv
r rv
r rv
dv
2
所以
Edu2 2Fdudv Gdv2
称为曲面的第一基本形式。其中
E ru ru , F ru rv , G rv rv
称为第一类基本量。
3、用显函数样 z = z (x ,v
ru du
P(u, v)
(u du,v)
d
ru
rv dudv
EG F 2 dudv
D
D
D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
(ru
rv
)
2
ru2rv2
(ru
rv
)
2
EG
F
2
0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
证：平面和圆柱面的第一基本形式分别为
I平 du2 dv2, I圆柱 R2d 2 dz2
作
1u R
其雅可比行列式不为零有
z v
I圆柱 R2d 2 dz2 du2 dv2 I平
2.6 保角变换
定义曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换(保形变换)
即第一基本量成比例： E1:E=F1:F=G1:G.
对和1上任意两方向du : dv和 u : v有
cos
Edu u F (du v dv u) Gdv v
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 E u2 2F u v G v2
cos
E1du u F1(du v dv u) G1dv v