油气数学地质
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i =1 i
NWU / Chen Gang
如何实现随机数的连乘，是蒙特卡罗模拟的核心问题。 我们把随机变量的大于累积分布函数视作随机变量的总 体，把计算机上产生的伪随机数视为人们在做随机抽样， 把各储量参数分布中抽出的子样连乘，就获得一个随机 储量子样，经过无数次参数子样连乘就得到很多个随机 储量子样。这样，就可做出储量的大于累积概率分布曲 线，亦称储量期望曲线。
NWU / Chen Gang
三、“概率加”求油区的储量期望曲线
以上只是一个单元层或单元区块的储量，如何实现单元层 或单元块累加从而得到全油区的储量，这是一个随机变量 的累加问题。实现随机变量累加与实现随机变量连乘的方 法基本相同，不同之处只是单层或单块储量样本值是储量 各参数样本值之积，而全油区储量样本值则是分层或分块 储量样本值之和 蒙特卡罗法最后提供的结果是储量大于累积概率分布曲 线－即储量期望曲线。这条曲线是对储量的完整描述， 实际应用时主要采用曲线的几个数学特征值来描述它的 主要特征。
NWU / Chen Gang
我国使用的探明储量可靠性要求达到70～80％的概率，一般 选用数学期望值附近概率10～15％的储量作为置信区间，其 中探明储量选用10％、基本探明储量选用15％。 数学期望置信区间的相对波动：
期望值－储量下(或上)限值 相对波动＝ 期望值
若储量范围值选用期望值附近概率10～15％的储量值，则 陡的期望曲线置信区间窄，相对波动小，表示储量可靠程 度高；平缓的期望曲线置信区间大，相对波动大，表示储 量可靠程度低。
a ≤ x ≤ xp xp < x ≤ b x为其它值
x<a a ≤ x ≤ xp
xp < x ≤ b
x>b
NWU / Chen Gang
•正态分布模型
( x − µ )2 2σ 2
P( x ) =
1
σ 2π
e
−
− ∞ < x < +∞
AF ( x ) = 1 − ∫
x
1
−∞
σ 2π
e
−
( y − µ )2 2σ 2
NWU / Chen Gang
一、基本含义
蒙特卡罗 (Monte-Carlo) 法 又称概率统计法或统计模拟法，它 以概率论为理论基础，以容积法计算公式为基本公式，将主要 储量参数示为有一定取值范围的随机变量，运用概率统计方法 计算并提供一条储量概率分布曲线－储量期望曲线，据此预测 不同可靠程度的油气地质储量。 蒙特卡罗法的基本思想可以概括为 :欲求给定问题的数值解 , 则先构造一个表征给定问题的概率模型 Y=f(X1,X2,…,Xn),使 得要求的数值解恰好是该概率模型式的某个数字特征(如数学 期望)，而这个数字特征又可用统计的方法求得其估计值，把 这个估计值作为给定问题的近似值。
N1=q×[h1×φ1×S1oi] N1=q×[h1×φ1×S1oi] N2=q×[h2×φ2×S2oi] …………………… Nn=q×[hn×φn×Snoi]
许多随机储量样本构成储量样本总体 关于统计模拟过程的抽样次数，理论上越多越好，实际上抽 样次数逐渐增至储量分布曲线形态稳定为止，当n=5000时曲 线已相当稳定，基本可以满足精度要求。因此，计算机上一 般n值选用5000。
2( x − a ) (b − a )( x − a ) p 2( b − x ) P( x ) = (b − a )(b − x p ) 0
1 ( x − a) 2 1− (b − a )( x p − a ) AF ( x ) = (b − a )(b − x p ) − (b − x ) 2 1 − (b − a )(b − x p ) 0
dy
NWU / Chen Gang
•任意分布模型 以某油田孔隙度(Φ)为例求取任意分布函数的方法步骤： (1) 从已知的Φ随机变量样本观测值中选出最大值Φmax 和最 小值Φmin，求得极差值ΦR=Φmax-Φmin。 (2)根据样本容量大小，将Φ样本观测值分为m个区间，区间 步长DΦ=ΦR/n； (3)求区间界值Φ(I)=Φmin+DΦ(I-1)，I=1,2,3,…,n+1。 (4)求出样品值落在各区间的频数、频率P(Φ)。 (5)以随机变量Φ为横坐标、频率为纵坐标，做出密度分布图。 (6) 从极大值Φmax 一端开始逐个区间累加，得到 AF(Φ)，做 出大于累加概率分布曲线。
i
∏
j =1
ij
（Xij表示第i个局部地质单元的第j个地质参数）
(3) 经 “ 概率加 ” 求含油气区的总储量 N：利用局部地质单元 储量Ni的概率分布及其提供的不同概率下Ni取值，经“概率 加 ” 获取不同概率下的含油气区的总储量 N 和 N 的概率分布 －储量期望曲线。一个含油气区的储量N是该区域m个地质 m 单元储量累加，即： N = ∑ N
NWU / Chen Gang
二、数学基础与数学模型
•均匀分布模型
1 b − a P( x ) = 0
0 x − b AF ( x ) = a − b 1
a≤ x≤b x为其它值
x≥b a< x<b x≤a
NWU / Chen Gang
•三角形分布模型
NWU / Chen Gang
二、“概率乘”求单元储量期望曲线
(1)计算储量参数的随机抽样值 以 [0,1]区间产生的伪随机数作为参考分布函数纵坐标上 概率 “入口值 ”，它对应的参数值就是该参数的一个随机 抽样值－ “出口值 ”。由于参数分布函数的一个区间内只 有一个点，落在两点之间的参数值则可用线性插值法计 算，以孔隙度为例，其公式为：
NWU / Cห้องสมุดไป่ตู้en Gang
三、相关问题讨论
储量的可靠程度：准确度／风险系数／概率。 三级储量标准的可靠程度：
储量级别 探明已开发 探明未开发 基本探明 概算(控制) 可能(预测) 准确度 1.0 0.8± 0.7± 0.5± 0.35~0.6 0~0.1 0.4~0.8 0.1~0.4 0.5~0.7 0.1~0.4 αC αD 风险系数 1.0 0.75~0.9 概率 1.0 1.0 建议风险系数 及符号 1.0 0.8~0.9 αA αB
NWU / Chen Gang
石油与天然气数学地质
§7.3储量期望曲线的应用
•数学期望 •数学期望的置信区间 •相关问题讨论
NWU / Chen Gang
一、数学期望
根据概率论的定义，随机变量进行长期或大量观测所得数值 的平均值就是随机变量的数学期望。 储量的大于累积概率分布曲线所代表的大于累积概率分布函 数，包含了全部可能出现的储量，既包含了数值大的储量参 数计算的大储量数字，也包含了数值小的储量参数计算的小 储量数字。怎样选用一个数字来代表全油区的储量呢？数学 期望是储量期望曲线上最重要的特征值。 数学期望： 用来描述全油区储量的总体水平的储量期望曲线 的积分值即所有储量的算术平均值。
NWU / Chen Gang
(3)绘制单元储量概率分布曲线 依据大量的随机储量样本数据，绘制单元储量的大于累积 概率分布曲线。由于模拟的随机储量样本容量很大，样本 区间可划分为100个，随机储量样本的极大值和极小值可直 接用储量参数的极大值和极小值的乘积获得：
Nmax=q×[hmax×φmax×Smax] Nmin=q×[hmin×φmin×Smin]
NWU / Chen Gang
区域勘探早期：一般把储量参数的分布粗略地视为对称型分 布(如正态分布或均匀分布)，它们的数学期望和众数都在曲 线的中部，因此通常选用储量期望曲线上概率50％处的储量 作为数学期望值－代表全油田最大可能的储量。 勘探评价阶段：样品测试数据大量增加，储量参数的分布往 往采用大量实际资料统计出来的任意分布函数，相应的储量 概率分布曲线也是任意分布函数，曲线为偏态不对称型，数 学期望不固定在概率50％处，需要具体计算： •一种算法是在蒙特卡罗模拟过程中将产生的所有随机储量累 加，求它们的算术平均值，即数学期望； •另一种近似算法是采用美国地质调查所提出的平均值计算方 法，首先在分布曲线上取概率为10％、50％和90％的三个储 量值，然后对它们依次乘以加权系数 0.3、 0.4和 0.3，分别得 出三个新的储量值，再把他们相加，其和即为平均值。
NWU / Chen Gang
N=100AhφSoiρo/Boi
基本方法实现 (1)求容积法储量公式中每个随机地质变量的分布函数：借 助一定的数学模型(均匀分布模型、三角分布模型、正态分 布模型等)，建立每个随机地质变量的分布函数，得到随机 变量(h、φ和 Soi)的期望曲线与任一概率对应的随机变量值。 (2) 经 “ 概率乘 ” 求局部地质单元的储量 Ni：利用随机变量的 期望曲线获得一组随机抽样的随机地质变量(h、φ和Soi)的 观测值，经“概率乘”求取局部地质单元石油储量Ni和Ni的概 率分布。 N = p x
石油与天然气数学地质
Chapter7 蒙特卡罗法与油气储量估算
§7.1Monte-Carlo原理方法概述 §7.3储量期望曲线的生成 §7.3储量期望曲线的应用 ＊问题思考与讨论
NWU / Chen Gang
石油与天然气数学地质
§7.1 Monte-Carlo原理方法概述
•基本含义与类型 •数学基础与数学模型 •基本原理与方法步骤
NWU / Chen Gang
二、数学期望的置信区间
储量期望曲线中不同概率水平的储量范围表示不同认识程 度或不同级别的储量： 油田评价初期，取概率90～10％的储量作为置信区间： •概率90％的储量－[证实储量] •概率50％的储量－[证实储量＋概算储量]－数学期望 •概率10％的储量－[证实储量＋概算储量＋可能储量]
(mod M )
γ n +1 = (αγ n + β )(mod M )
式中 xn、xn+1 分别为第 n 次、第 n+1 次的伪随机数； α－乘子系数；β－增量；M—模； γn、 γn+1－[0,1] 区间上第n步和第n+1步的伪随机数。 递推公式的数学意义是 γ n+1 与 (αγ n+β) 对模M同余。伪随机数 为0～M之间的任意数。要使生成的伪随机数变换为[0,1]区间 上均匀分布的随机数，只要将γn+1/M即可。
NWU / Chen Gang
三、基本原理与方法步骤
蒙特卡罗法石油资源预测是以概率论为理论基础，以容积法 公式为基本计算公式，将主要储量参数示为有一定取值范围 的随机变量，运用概率统计方法计算并提供一条储量概率分 布曲线，据此预测不同可靠程度的油气地质储量。 基本公式为： 式中：N 为原油地质储量(× 104t)，A为含油面积(km2)，h为 平均有效厚度 (m)，φ为平均有效孔隙度， Soi 为平均原始含 油饱和度，ρo为平均地面脱气原油密度(t/m3)，Boi为平均地 层原油体积系数(Boi=V地层/V地面)。 随机变量：一定储量计算单元内的A、ρo和Boi通常被看作基 本不受随机事件影响的定值， h、φ和 Soi 数值随勘探程度、 钻井位置、取样多少及分析精度等而发生随机变化，可将其 视为服从某一分布的随机变量。
NWU / Chen Gang
蒙特卡罗法求给定问题数值解的过程大致包括四步： ①构造给定问题的概率模型Y=f(X1,X2,…,Xn). ②对概率模型中的随机变量(X1,X2,…,Xn)进行观测抽样， 获得随机变量的n组观测值(X1i,X2i,…,Xni；i=1,2,…). ③根据随机变量的观测值由概率模型式求的随机变量 的一系列估算值y1，y2，… ④用统计方法由y1，y2，…求出给定问题的近似解.
Φ = Φ i −1
γ − γ ( i −1) + [Φ i − Φ i −1 ] γ i − γ ( i −1)
同理可以分别求得储量参数h、φ和Soi的n个随机抽样值
NWU / Chen Gang
(2)计算储量的随机样本值 将上述三个主要储量参数的随机抽样值连乘并乘以常数 q，即可得到一系列随机储量样本值：
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石油与天然气数学地质
7.2 储量期望曲线的生成
•随机数的产生 •“概率乘”求单元储量期望曲线 •“概率加”求油区的储量期望曲线
NWU / Chen Gang
一、随机数的产生
混合同余法产生伪随机数序列的递推同余式为：
x n +1 ≡ αx n + β γ n +1 = x n +1 / M
NWU / Chen Gang
如何实现随机数的连乘，是蒙特卡罗模拟的核心问题。 我们把随机变量的大于累积分布函数视作随机变量的总 体，把计算机上产生的伪随机数视为人们在做随机抽样， 把各储量参数分布中抽出的子样连乘，就获得一个随机 储量子样，经过无数次参数子样连乘就得到很多个随机 储量子样。这样，就可做出储量的大于累积概率分布曲 线，亦称储量期望曲线。
NWU / Chen Gang
三、“概率加”求油区的储量期望曲线
以上只是一个单元层或单元区块的储量，如何实现单元层 或单元块累加从而得到全油区的储量，这是一个随机变量 的累加问题。实现随机变量累加与实现随机变量连乘的方 法基本相同，不同之处只是单层或单块储量样本值是储量 各参数样本值之积，而全油区储量样本值则是分层或分块 储量样本值之和 蒙特卡罗法最后提供的结果是储量大于累积概率分布曲 线－即储量期望曲线。这条曲线是对储量的完整描述， 实际应用时主要采用曲线的几个数学特征值来描述它的 主要特征。
NWU / Chen Gang
我国使用的探明储量可靠性要求达到70～80％的概率，一般 选用数学期望值附近概率10～15％的储量作为置信区间，其 中探明储量选用10％、基本探明储量选用15％。 数学期望置信区间的相对波动：
期望值－储量下(或上)限值 相对波动＝ 期望值
若储量范围值选用期望值附近概率10～15％的储量值，则 陡的期望曲线置信区间窄，相对波动小，表示储量可靠程 度高；平缓的期望曲线置信区间大，相对波动大，表示储 量可靠程度低。
a ≤ x ≤ xp xp < x ≤ b x为其它值
x<a a ≤ x ≤ xp
xp < x ≤ b
x>b
NWU / Chen Gang
•正态分布模型
( x − µ )2 2σ 2
P( x ) =
1
σ 2π
e
−
− ∞ < x < +∞
AF ( x ) = 1 − ∫
x
1
−∞
σ 2π
e
−
( y − µ )2 2σ 2
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一、基本含义
蒙特卡罗 (Monte-Carlo) 法 又称概率统计法或统计模拟法，它 以概率论为理论基础，以容积法计算公式为基本公式，将主要 储量参数示为有一定取值范围的随机变量，运用概率统计方法 计算并提供一条储量概率分布曲线－储量期望曲线，据此预测 不同可靠程度的油气地质储量。 蒙特卡罗法的基本思想可以概括为 :欲求给定问题的数值解 , 则先构造一个表征给定问题的概率模型 Y=f(X1,X2,…,Xn),使 得要求的数值解恰好是该概率模型式的某个数字特征(如数学 期望)，而这个数字特征又可用统计的方法求得其估计值，把 这个估计值作为给定问题的近似值。
N1=q×[h1×φ1×S1oi] N1=q×[h1×φ1×S1oi] N2=q×[h2×φ2×S2oi] …………………… Nn=q×[hn×φn×Snoi]
许多随机储量样本构成储量样本总体 关于统计模拟过程的抽样次数，理论上越多越好，实际上抽 样次数逐渐增至储量分布曲线形态稳定为止，当n=5000时曲 线已相当稳定，基本可以满足精度要求。因此，计算机上一 般n值选用5000。
2( x − a ) (b − a )( x − a ) p 2( b − x ) P( x ) = (b − a )(b − x p ) 0
1 ( x − a) 2 1− (b − a )( x p − a ) AF ( x ) = (b − a )(b − x p ) − (b − x ) 2 1 − (b − a )(b − x p ) 0
dy
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•任意分布模型 以某油田孔隙度(Φ)为例求取任意分布函数的方法步骤： (1) 从已知的Φ随机变量样本观测值中选出最大值Φmax 和最 小值Φmin，求得极差值ΦR=Φmax-Φmin。 (2)根据样本容量大小，将Φ样本观测值分为m个区间，区间 步长DΦ=ΦR/n； (3)求区间界值Φ(I)=Φmin+DΦ(I-1)，I=1,2,3,…,n+1。 (4)求出样品值落在各区间的频数、频率P(Φ)。 (5)以随机变量Φ为横坐标、频率为纵坐标，做出密度分布图。 (6) 从极大值Φmax 一端开始逐个区间累加，得到 AF(Φ)，做 出大于累加概率分布曲线。
i
∏
j =1
ij
（Xij表示第i个局部地质单元的第j个地质参数）
(3) 经 “ 概率加 ” 求含油气区的总储量 N：利用局部地质单元 储量Ni的概率分布及其提供的不同概率下Ni取值，经“概率 加 ” 获取不同概率下的含油气区的总储量 N 和 N 的概率分布 －储量期望曲线。一个含油气区的储量N是该区域m个地质 m 单元储量累加，即： N = ∑ N
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二、数学基础与数学模型
•均匀分布模型
1 b − a P( x ) = 0
0 x − b AF ( x ) = a − b 1
a≤ x≤b x为其它值
x≥b a< x<b x≤a
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•三角形分布模型
NWU / Chen Gang
二、“概率乘”求单元储量期望曲线
(1)计算储量参数的随机抽样值 以 [0,1]区间产生的伪随机数作为参考分布函数纵坐标上 概率 “入口值 ”，它对应的参数值就是该参数的一个随机 抽样值－ “出口值 ”。由于参数分布函数的一个区间内只 有一个点，落在两点之间的参数值则可用线性插值法计 算，以孔隙度为例，其公式为：
NWU / Cห้องสมุดไป่ตู้en Gang
三、相关问题讨论
储量的可靠程度：准确度／风险系数／概率。 三级储量标准的可靠程度：
储量级别 探明已开发 探明未开发 基本探明 概算(控制) 可能(预测) 准确度 1.0 0.8± 0.7± 0.5± 0.35~0.6 0~0.1 0.4~0.8 0.1~0.4 0.5~0.7 0.1~0.4 αC αD 风险系数 1.0 0.75~0.9 概率 1.0 1.0 建议风险系数 及符号 1.0 0.8~0.9 αA αB
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石油与天然气数学地质
§7.3储量期望曲线的应用
•数学期望 •数学期望的置信区间 •相关问题讨论
NWU / Chen Gang
一、数学期望
根据概率论的定义，随机变量进行长期或大量观测所得数值 的平均值就是随机变量的数学期望。 储量的大于累积概率分布曲线所代表的大于累积概率分布函 数，包含了全部可能出现的储量，既包含了数值大的储量参 数计算的大储量数字，也包含了数值小的储量参数计算的小 储量数字。怎样选用一个数字来代表全油区的储量呢？数学 期望是储量期望曲线上最重要的特征值。 数学期望： 用来描述全油区储量的总体水平的储量期望曲线 的积分值即所有储量的算术平均值。
NWU / Chen Gang
(3)绘制单元储量概率分布曲线 依据大量的随机储量样本数据，绘制单元储量的大于累积 概率分布曲线。由于模拟的随机储量样本容量很大，样本 区间可划分为100个，随机储量样本的极大值和极小值可直 接用储量参数的极大值和极小值的乘积获得：
Nmax=q×[hmax×φmax×Smax] Nmin=q×[hmin×φmin×Smin]
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区域勘探早期：一般把储量参数的分布粗略地视为对称型分 布(如正态分布或均匀分布)，它们的数学期望和众数都在曲 线的中部，因此通常选用储量期望曲线上概率50％处的储量 作为数学期望值－代表全油田最大可能的储量。 勘探评价阶段：样品测试数据大量增加，储量参数的分布往 往采用大量实际资料统计出来的任意分布函数，相应的储量 概率分布曲线也是任意分布函数，曲线为偏态不对称型，数 学期望不固定在概率50％处，需要具体计算： •一种算法是在蒙特卡罗模拟过程中将产生的所有随机储量累 加，求它们的算术平均值，即数学期望； •另一种近似算法是采用美国地质调查所提出的平均值计算方 法，首先在分布曲线上取概率为10％、50％和90％的三个储 量值，然后对它们依次乘以加权系数 0.3、 0.4和 0.3，分别得 出三个新的储量值，再把他们相加，其和即为平均值。
NWU / Chen Gang
N=100AhφSoiρo/Boi
基本方法实现 (1)求容积法储量公式中每个随机地质变量的分布函数：借 助一定的数学模型(均匀分布模型、三角分布模型、正态分 布模型等)，建立每个随机地质变量的分布函数，得到随机 变量(h、φ和 Soi)的期望曲线与任一概率对应的随机变量值。 (2) 经 “ 概率乘 ” 求局部地质单元的储量 Ni：利用随机变量的 期望曲线获得一组随机抽样的随机地质变量(h、φ和Soi)的 观测值，经“概率乘”求取局部地质单元石油储量Ni和Ni的概 率分布。 N = p x
石油与天然气数学地质
Chapter7 蒙特卡罗法与油气储量估算
§7.1Monte-Carlo原理方法概述 §7.3储量期望曲线的生成 §7.3储量期望曲线的应用 ＊问题思考与讨论
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§7.1 Monte-Carlo原理方法概述
•基本含义与类型 •数学基础与数学模型 •基本原理与方法步骤
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二、数学期望的置信区间
储量期望曲线中不同概率水平的储量范围表示不同认识程 度或不同级别的储量： 油田评价初期，取概率90～10％的储量作为置信区间： •概率90％的储量－[证实储量] •概率50％的储量－[证实储量＋概算储量]－数学期望 •概率10％的储量－[证实储量＋概算储量＋可能储量]
(mod M )
γ n +1 = (αγ n + β )(mod M )
式中 xn、xn+1 分别为第 n 次、第 n+1 次的伪随机数； α－乘子系数；β－增量；M—模； γn、 γn+1－[0,1] 区间上第n步和第n+1步的伪随机数。 递推公式的数学意义是 γ n+1 与 (αγ n+β) 对模M同余。伪随机数 为0～M之间的任意数。要使生成的伪随机数变换为[0,1]区间 上均匀分布的随机数，只要将γn+1/M即可。
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三、基本原理与方法步骤
蒙特卡罗法石油资源预测是以概率论为理论基础，以容积法 公式为基本计算公式，将主要储量参数示为有一定取值范围 的随机变量，运用概率统计方法计算并提供一条储量概率分 布曲线，据此预测不同可靠程度的油气地质储量。 基本公式为： 式中：N 为原油地质储量(× 104t)，A为含油面积(km2)，h为 平均有效厚度 (m)，φ为平均有效孔隙度， Soi 为平均原始含 油饱和度，ρo为平均地面脱气原油密度(t/m3)，Boi为平均地 层原油体积系数(Boi=V地层/V地面)。 随机变量：一定储量计算单元内的A、ρo和Boi通常被看作基 本不受随机事件影响的定值， h、φ和 Soi 数值随勘探程度、 钻井位置、取样多少及分析精度等而发生随机变化，可将其 视为服从某一分布的随机变量。
NWU / Chen Gang
蒙特卡罗法求给定问题数值解的过程大致包括四步： ①构造给定问题的概率模型Y=f(X1,X2,…,Xn). ②对概率模型中的随机变量(X1,X2,…,Xn)进行观测抽样， 获得随机变量的n组观测值(X1i,X2i,…,Xni；i=1,2,…). ③根据随机变量的观测值由概率模型式求的随机变量 的一系列估算值y1，y2，… ④用统计方法由y1，y2，…求出给定问题的近似解.
Φ = Φ i −1
γ − γ ( i −1) + [Φ i − Φ i −1 ] γ i − γ ( i −1)
同理可以分别求得储量参数h、φ和Soi的n个随机抽样值
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(2)计算储量的随机样本值 将上述三个主要储量参数的随机抽样值连乘并乘以常数 q，即可得到一系列随机储量样本值：
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石油与天然气数学地质
7.2 储量期望曲线的生成
•随机数的产生 •“概率乘”求单元储量期望曲线 •“概率加”求油区的储量期望曲线
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一、随机数的产生
混合同余法产生伪随机数序列的递推同余式为：
x n +1 ≡ αx n + β γ n +1 = x n +1 / M