阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明阿波罗尼斯圆逆定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个在两个圆相交的情况下的关系。
本文将为您详细介绍阿波罗尼斯圆逆定理的证明过程。
首先，我们来研究两个相交的圆。
设圆A的半径为r，圆心为O1，而圆B的半径为R，圆心为O2。
此时，我们可以通过连接两个圆心形成的直线来研究它们的关系。
根据几何关系，如果两个圆相交于两个点，那么它们与圆心连线的垂直平分线将交于一点，此点我们称之为A点。
同样，我们可以得到另外一个点，我们称之为B点。
此时，将圆A和圆B的圆心连线延长到A点和B点，分别交于E和F。
由于A点和B点分别是两个圆的相交点，所以AE和BF是两个圆的切线。
接下来，我们来证明AE和BF的长度相等。
首先，我们可以通过AO1和OO2的长度关系求得AO1的长度是r/(R-r)倍的OO2，而AO2的长度则是R/(R-r)倍的OO1。
我们可以根据勾股定理得出OO1²=OO2²+r²和OO1²=R²+OO2²。
将这两个等式合并起来，我们可以得到OO1²=OO2²+r²=R²+OO2²。
由于OO1和OO2是两个圆心之间的距离，所以它们是常数，我们可以将其记为d。
现在，我们来求AE的长度。
我们可以使用勾股定理，假设AE=x，那么AO1²=x²+(r-d)²。
同样，我们可以求得BF的长度，假设BF=y，那么AO2²=y²+(R-d)²。
接下来，我们再次利用前面的等式OO1²=OO2²+r²=R²+OO2²，将它们合并起来，得到x²+(r-d)²=y²+(R-d)²。
由于OO1²=OO2²+r²=R²+OO2²是常数，所以我们可以将其记为c，我们可以进一步化简得到x²-y²=c-2dr+R²-r²。
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线X 角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BNANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。
证明：不妨设1>λ1,1,1,1,-=-=+=+==λλλλλλaBQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：λλλλλλλλ=-=-=-=-+=+=-=⋅=BC ACa AC a BC a a a BC AB AC a BQ BP BC 则于是,1,111122222222222222从而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O 上任意点到B A ,两点距离之比等于常数。
高中数学阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯（Apollonius）圆法二：设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得k PBPA= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。
这个定理的证明方法很多。
下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC∵AB：AC＝BM：MC，∴AB：AD ＝AB：AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.∵BN：CN＝AB：AC∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∴∠1＝∠2∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n∴PN平分∠BPE∵∠APB＋∠BPE＝180º，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90º∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BN ANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。
高中数学阿氏圆的相关结论
高中数学阿氏圆的相关结论
阿波罗尼斯圆的二级结论，或者说阿波罗尼斯圆的性质：
1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比A内分AB和外分AB所得的两个分点；
2、直线CM平分LACB，直线CN平分∠ACB的外角；
3、AM/BM=AN/BN；
4、CM⊥CN；
5、λ>1时，点B在圆0内；0<λ<1,点A在圆O内；
6、若AC,AD是切线，则CD与40的交点即为B；
7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF;
由阿波罗尼斯圆得到的阿波罗尼斯圆定理
阿波罗尼斯圆定理是在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。
这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。
阿波罗尼斯圆一般指阿氏圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题 解析版
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③【定理】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2aλ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．【结论2】因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．【结论4】过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．【结论6】过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图③，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE=12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，则椭圆两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 斜率均存在且不为0时，可设P x 0,y 0 (x 0≠±a 且y 0≠±b )，过P 的椭圆的切线方程为y -y 0=k x -x 0 k ≠0 ，由y -y 0=k x -x 0 ,x 2a2+y 2b2=1,得a 2k 2+b 2 x 2-2ka 2kx 0-y 0 x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ,k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b2x 20-a2，由已知PA ⊥PB ,∴k PA ⋅k PB =-1,∴y 20-b 2x 20-a2=-1,∴x 20+y 20=a 2+b 2,∴点P 的坐标满足方程x 2+y 2=a 2+b 2．②当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为±a ,b 或a ,±b ，此时点P 也在圆x 2+y 2=a 2+b 2上．综上所述：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆x 2+y 2=a 2+b 2上的动点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两条切线PA ,PB ，则PA ⊥PB ．证明：设P 点坐标x 0,y 0 ，由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k x -x 0，得a 2k 2+b 2x 2-2ka 2kx 0-y 0x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ，k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a 2，x 20+y 20=a 2+b 2，k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a2=-1，PA ⊥PB ．【结论2】设P 为蒙日圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2上任一点，过点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线，交椭圆于点A ,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值k OP⋅k AB=-b2a2．【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值k OA⋅k PA=-b2a2，且OB,PB的斜率乘积为定值k OB⋅k PB=-b2a2(垂径定理的推广)．【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标x0,y0，直线OP斜率k OP=y0x0，由切点弦公式得到AB方程x0xa2+y0yb2=1，k AB=-b2x0a2y0，k OP⋅k AB=-b2a2，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP,CD的斜率乘积为定值k OP⋅k CD=-b2a2．【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,OB的斜率乘积为定值：k OP⋅k CD=-b4a4．【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SΔAOB的最大值为ab2，SΔAOB的最小值为a2b2a2+b2．【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B，则SΔAPB的最大值为a4a2+b2,SΔAPB的最小值为b4a2+b2．二、题型精讲精练1设A ，B 是平面上两点，则满足PA PB=k (其中k 为常数，k ≠0且k ≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A 6,0 ，B 62,0，且k =2.(1)求点P 所在圆M 的方程.(2)已知圆Ω:x +2 2+y -2 2=5与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD =∠FCD .【详解】(1)解：由题意可得，PA PB=2，即PA =2PB ，则x -6 2+y 2=2x -622+y 2，整理得x 2+y 2=3，即圆M 的方程为x 2+y 2=3.(2)证明：对于圆Ω，令y =0，得x =-1或x =-3，所以C -3,0 ，D -1,0 .设直线l 的方程为x =ty -1，E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 .由x =ty -1,x 2+y 2=3,得1+t 2 y 2-2ty -2=0，则y 1+y 2=2t 1+t 2，y 1y 2=-21+t 2.k CE +k CF =y 1x 1+3+y 2x 2+3=y 1x 2+3 +y 2x 1+3 x 1+3 x 2+3=y 1y 2t +2 +y 2ty 1+2 x 1+3 x 2+3 =2×ty 1y 2+y 1+y 2x 1+3 x 2+3 =2×-2t 1+t 2+2t 1+t 2x 1+3 x 2+3 =0则直线EC 与FC 关于x 轴对称，即∠ECD =∠FCD .2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点为5,0 ，离心率为53．(I )求椭圆C 的标准方程；(II )若动点P x 0,y 0 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【详解】(I )可知c =5，又e =c a =5a =53,∴a =3,b 2=a 2-c 2=9-5=4，故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1．(II )设两切线为l 1,l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知P ±3,2 或P 3,±2 ．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0,l 2的斜率为-1k，l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 29+y 24=1，得9k 2+4 x 2+18k y 0-kx 0 x +9y 0-kx 0 2-4 =0，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得18k 2y 0-kx 02-36y 0-kx 0 2-4 9k 2+4 =0,∴4y 0-kx 0 2-49k 2+4 =0，整理得x 20-9 k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0(*)，∴k 是方程(*)的一个根，同理-1k是方程(*)的另一个根，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13x ≠±3 ，又P ±3,2 或P 3,±2 满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A -1,0 和B 2,1 ，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny -2=0(m ,n >0)对称，则2m +5n的最小值是()A.10B.20C.30D.40【答案】B【分析】点P 的轨迹为圆，直线mx +ny -2=0过圆心，得5m +2n =2，利用基本不等式求2m +5n的最小值.【详解】设点P 的坐标为x ,y ，因为PA =2PB ，则PA 2=2PB 2，即x +1 2+y 2=2x -2 2+y -1 2 ，所以点P 的轨迹方程为(x -5)2+(y -2)2=20，因为P 点的轨迹关于直线mx +ny -2=0m >0,n >0 对称，所以圆心5,2 在此直线上，即5m +2n =2，所以2m +5n =125m +2n 2m +5n =1220+4n m +25m n ≥10+12×24n m ⋅25m n=20，当且仅当4n m =25m n ，即m =15,n =12时，等号成立，所以2m +5n的最小值是20.故选：B .2.(2023·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.32【答案】A【分析】由题可得动点M 的轨迹方程x -5c 3 2+y 2=16c 29，可得12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，即求.【详解】设M x ,y ，E -c ,0 ,F c ,0 ，由ME MF=2，可得x +c2+y 2=2x -c 2+y 2=2，化简得x -5c 3 2+y 2=16c 29.∵△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，∴12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，∴b 2=13a 2=a 2-c 2，即c 2=23a 2，∴e =63．故选：A ．3.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P -12,0 且λ=2，若点B 1,1 ，则2MP +MB 的最小值为()A.6B.7C.10D.11【答案】C【分析】根据点M 的轨迹方程可得Q -2,0 ，结合条件可得2MP +MB =MQ +MB ≥QB ，即得.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a2+y 2，又P -12,0 ，所以MP =x +122+y 2．因为MQ MP=λ且λ=2，所以x -a2+y 2x +122+y 2=2，整理可得x 2+y 2+4+2a 3x =a 2-13，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以4+2a3=0a 2-13=1，解得a =-2，所以Q -2,0 ，又MQ =2MP ，所以2MP +MB =MQ +MB ，因为B 1,1 ，所以2MP +MB 的最小值为BQ =1+22+1-0 2=10．故选：C ．4.(2023·广西·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P 到A 2,0 ，B -2,0 的距离比为3，则点P 到直线l ：22x -y -2=0的距离的最大值是()A.32+23B.2+23C.43D.63【答案】A【分析】先由题意求出点P 的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点P x ,y ，则PA PB=x -22+y 2x +2 2+y2=3，∴x -22+y 2x +2 2+y 2=3，化简得点P 的轨迹方程为x +4 2+y 2=12，∴点P 的轨迹是以-4,0 为圆心，半径r =23的圆.圆心-4,0 到直线l ：22x -y -2=0的距离d =-82-222 2+-12=32，∴点P 到直线l 最大距离为d +r =32+2 3.故选：A .5.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，动点M 满足MA =2MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是()A.-133,133B.-143,143C.-153,153D.-43,43【答案】C【分析】设点M x ,y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意点1,b 在圆C 的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点M x ,y ，∵MA =2MO ，∴(x +2)2+y 2=4x 2+4y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：3x 2+3y 2-4x -4=0，又直线l :y =k x -1 +b 恒过点1,b ，若对任意实数k 直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，∴1,b 在圆C 的内部或圆上，所以3+3b 2-8≤0，所以3b 2≤5，解得-153≤b ≤153，即b 的取值范围为-153,153.故选：C6.(2023·全国·校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ,B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法错误的是()A.C 的方程为(x +4)2+y 2=16B.当A ,B ,P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得|MO |=2|MA |D.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设P x ,y ，由PAPB =12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得(x +4)2+y 2=16，故A 正确；当A ,B ,P 三点不共线时，OA OB =12=PA PB，所以PO 是∠APB 的角平分线，所以∠APO =∠BPO ，故B 正确；设M x ,y ,则x 2+y 2=2x +2 2+y 2，化简得x +832+y 2=169，因为-4+832+0-02=43<4-43，所以C 上不存在点M ，使得|MO |=2|MA |，故C 错误；因为PA PB=12，所以PB =2PA ，所以PB +2PD =2PA +2PD ≥2AD =45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故D 正确.故选：C .7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知平面上两定点A ，B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个侧面ABB 1A 1上运动，且满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为()A.8π3B.4π3C.3πD.15π2【答案】B【分析】根据阿氏圆的定义分析得P 点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r .因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×6=4.设圆O 与AB 交于点M .由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2.又MB =4-BO =4-a ，所以MA =2MB =8-2a .又MA +MB =6，所以8-2a +4-a =6，解得a =2，所以O 2,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4的球.当点P 在侧面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ，BB 1分别交于点M ，R ，所以点P 在侧面ABB 1A 1内的轨迹为MR.因为在Rt △RBO 中，RO =4，BO =2，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×4=4π3，所以点P 在侧面ABB 1A 1内部的轨迹长为4π3.故选：B.二、多选题8.(2023秋·云南保山·高三统考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A-1,0,B2,0，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4B.曲线C与圆C :x2+(y-2)2=4外切C.曲线C被直线l:x+y=0截得的弦长为22D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+3y=0的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点P x,y，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C 的半径分析判断.【详解】对于A，设P x,y，由定义PAPB=12，得(x+1)2+y2(x-2)2+y2=12，化简整理得(x+2)2+y2=4，故A正确；对于B，C的圆心为-2,0，半径r1=2；C 的圆心为0,2，半径r2=2；圆心距CC =22≠r1+r2，故B错误；对于C，圆心C-2,0到直线l:x+y=0的距离d=22=2，所以弦长为2r12-d2=22，故C正确；对于D，圆心C-2,0到直线m:x+3y=0的距离d=22=1，半径r=2，所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.故选：ACD.9.(2024·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，点P满足PAPB=2，点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0B.直线3x+4y=0与曲线C有公共点C.曲线C被x轴截得的弦长为42D.△ABP面积的最大值为22【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合PAPB=2，设P x,y，从而可以得到曲线C的方程；通过计算圆心到直线3x+4y=0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到x轴的距离d，结合d2+l22=r2，得到曲线C被x轴截得的弦长l，从而判断C的正确性；AB的长度确定，所以△ABP面积的最大值即为点P到AB距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设P x,y，对于选项A，因为PAPB=2，所以x-12+y2x-32+y2=2，化简得x2+y2-10x+17=0，故A正确；对于选项B，因为曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以圆心为5,0，半径为22，计算圆心5,0到直线3x +4y=0的距离为d=3>22，所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线C的圆心在x轴上，所以被x轴截得的弦即为直径，所以曲线C被x轴截得的弦长为42，故C正确；对于选项D，因为A(1,0)，B(3,0)，所以AB=2,故S△ABP=12⋅AB⋅y p =y p ，而曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以y p∈-22,22，即S△ABP的最大值为22，故D正确.故选：ACD10.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12．设点P的轨迹为C，则( )．A.轨迹C的方程为x+42+y2=9B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线D.在C上存在点M，使得MO=2MA【答案】BC【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹C的方程可判断A；设D m，0，E n，0，由两点间的距离公式结合轨迹C的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设M x，y，由MO=2MA求出点M的轨迹方程与x2+y2+8x=0联立，可判断D.【详解】对于A，在平面直角坐标系xOy中，A-2，0，B4，0，点P满足PAPB=12，设P x，y，则x+22+y2x-42+y2=12，化简得x2+y2+8x=0，即x+42+y2=16，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12，设D m，0，E n，0，则x-n2+y2=2x-m2+y2，化简得3x2+3y2-8m-2nx+4m2-n2=0，由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0，可得8m-2n=-24，4m2-n2=0，解得m=-6，n=-12或m=-2，n=4(舍去)，所以B正确；对于C，当A，B，P三点不共线时，OAOB =12=PAPB，可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；对于D，若在C上存在点M，使得MO=2MA，可设M x，y，则x2+y2=2x+22+y2，化简得x2+y2+163x+163=0，与x2+y2+8x=0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC．11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是()A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.当A ，B ，P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】ABD【分析】对于A ，通过直接法求出点P 的轨迹方程即可判断；对于B ，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；对于C ，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点M 轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；对于D ，将PB +2PD 转化为2PA +2PD 进行判断即可.【详解】设P x ,y ，(P 不与A ，B 重合)∵A -2,0 ，B 4,0 ，∴PA =x +22+y 2，PB =x -42+y 2，∴PAPB=12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得x +4 2+y 2=16，∴点P 的轨迹曲线C 是以C -4,0 为圆心，半径r =4的圆，对于A ，曲线C 的方程为x +4 2+y 2=16，故选项A 正确；对于B ，由已知，OA =2，OB =4，∴OA OB=12=PA PB，∴当A ，B ，P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线，∴∠APO =∠BPO ，故选项B 正确；对于C ，若MO =2MA ，则MO MA=2，由题意，M 点轨迹是圆，设M x ,y ，由MO MA=2得x 2+y 2x +22+y 2=2，化简得点M 轨迹方程为x +832+y 2=169，即点M 的轨迹是圆心为C -83,0 ，半径r =43的圆，圆C 与圆C 的圆心距CC =-4+832+0-0 2=43<r -r =83，∴圆C 与圆C 的位置关系为内含，圆C 与圆C 无公共点，∴C 上不存在点M ，使得MO =2MA ，故选项C 错误；对于D ，∵PA PB=12，∴PB =2PA ，∴PB +2PD =2PA +2PD =2PA +PD ≥2AD =2×-2-22+0-2 2=45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故选项D 正确.故选：ABD .三、填空题12.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O 0,0 ，A 3,0 ，动点P 满足PO PA=12，则点P 的轨迹方程是．【答案】x +1 2+y 2=4【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．【详解】设P x ,y ，PO PA=12即x 2+y 2x -32+y 2=12，整理得：x 2+y 2+2x -3=0即x +1 2+y 2=4．故答案为：x +1 2+y 2=4．13.(2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足PA PB=2，则PA ⋅PB的范围为.【答案】-2,18【分析】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，由题可得点P 轨迹方程，后可得答案.【详解】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，因为AB =3，所以A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，因为PA PB=2，所以x +322+y 2=2⋅x -322+y 2，整理得x 2+y 2-5x +94=0，即x -522+y 2=4.y 2=4-x -522≥0⇒x ∈12,92.又PA =-32-x ,-y ，PB =32-x ,-y ，则PA ⋅PB =x 2+y 2-94=x 2+4-x -52 2-94=5x -92，则PA ⋅PB ∈-2,18 .故答案为：-2,1814.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC ，BC =6,sin B =12sin C ，当△ABC 的面积最大时，则AC 的长为.【答案】25【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点A 的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点A 的坐标，最后求解AC 的长度即可．【详解】解：因为sin B =12sin C ，由正弦定理可得b =12c ，即c =2b ，因为BC =6，不妨令B (-3,0)，C (3,0)，建立如图所示的平面直角坐标系，设点A 的坐标为A x ,y y ≠0 ，点A 的轨迹方程满足：(x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2，整理可得：(x -5)2+y 2=16，y ≠0 ，即点A 的轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(除与x 轴两交点外)，当点A 的坐标A (5,4)或A (5,-4)时三角形的面积最大，其最大值为S =12×6×4=12，由勾股定理可得AC =22+42=25．故答案为：25．15.(2023·河北衡水·校联考二模)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -3,1 ,B -3,6 ，点P 是满足λ=63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.【答案】106+123【分析】由阿氏圆的定义得到点P 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.【详解】设P x ,y ，由阿氏圆的定义可得PA PB=63，即(x +3)2+(y -1)2(x +3)2+(y -6)2=23，化简得x 2+y 2+6x +18y -60=0.所以(x +3)2+(y +9)2=150，所以点P 在圆心为-3,-9 ，半径为56的圆上，因为抛物线C :y =16x 2的焦点为F .所以F 0,32，因为(0+3)2+32+92=4774<150.所以点F 在圆(x +3)2+(y +9)2=150内，因为点F 到与圆心的距离为4774=4772，所以过点F 的最短弦长为2150-4774=123，过点F 的最长弦长为2150=106，所以过点F 的最长弦与最短弦的和为106+123.故答案为：106+12316.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为．【答案】43π+32π【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，结合题意可得点P 在空间内的轨迹为以O 1,0 为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy 如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r ，因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×3=2，设圆O 与AB 交于点M ，由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2，又MB =2-BO =2-a ，所以MA =2MB =4-2a ，又MA +MB =3，所以4-2a +2-a =3，解得a =1，所以O 1,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为2的球，当点P 在面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ,BB 1分别交于点M ,R ，所以点P 在面ABB 1A 1内的轨迹为MR，因为在Rt △RBO 中，RO =2,BO =1，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×2=2π3，所以点P 在面ABB 1A 1内部的轨迹长为2π3，同理，点P 在面ABCD 内部的轨迹长为2π3，当点P 在面BCC 1B 1内部时，如图3所示，因为OB ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 长为半径的圆，截面圆与BB 1,BC 分别交于点R ,Q ，且BP =OP 2-OB 2=4-1=3，所以点P 在面BCC 1B 1内的轨迹为RQ，且RQ=π2×3=32π，综上，点P 的轨迹长度为2π3+2π3+32π=43π+32π.故答案为：43π+32π.【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)18.(2023·全国·高三专题练习)平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB=k 且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆C 1上的动点P 满足：PO PA=2(其中O 为坐标原点，A 点的坐标为0,3 .(1)直线L ︰y =x 上任取一点Q ，作圆C 1的切线，切点分别为M ，N ，求四边形QMC 1N 面积的最小值；(2)在(1)的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.【答案】(1)4；(2)证明见解析，1,3 .【分析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，求出点P 的轨迹方程为x 2+(y -4)2=4，求出S QMC 1N =2S △QMC 1=2QM ，QM =|C 1Q |2-4，求出|QM |最小值即得解；(2)设Q a ,a ，两圆方程相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，即得解.【详解】(1)解：设点P 的坐标为x ,y ，根据题设条件有P ∈P PO =2PA ， 所以有x 2+y 2=2x 2+y -3 2，化简得x 2+(y -4)2=4. 所以S QMC 1N =2S △QMC 1=2×12C 1M ⋅QM =2QM QM =C 1Q |2- C 1M |2=|C 1Q |2-4，由题知，当C 1Q ⊥L 时，此时C 1Q =d =0-42=22，|QM |最小，即四边形QMC 1N 面积取得最小值4.(2)解；设Q a ,a ，由几何性质，可知M ，N 两点在以C 1Q 为直径的圆上，此圆的方程为x x -a +y -4 y -a =0，而直线MN 是此圆与圆C 1的相交弦所在直线，相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，所以直线MN 恒过定点1,3 .19.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【答案】(1)x 28+y 26=1；(2)①13,1 ；②y =52x -102．【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MA为常数，求得系数，得到椭圆方程；(2)①首先由面积比值求得BS DS=BF DF，令BF DF=λ，则BF =λFD，利用坐标表示向量，求得λ=35-2x 0，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S ，T ，F 在以B ，D 为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得BF DF=2r -BF 2r +DF，求得r ，再根据1BF-1DF=2-2x 0322-12x 0=229，求得x 0,y 0，即可计算直线方程.【详解】(1)方法(1)特殊值法，令M ±2,0 ，c -2a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2∴a 2=8，b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1方法(2)设M x ,y ，由题意MF MA=x -c2+y 2x -a 2+y2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22，c =2．∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1．方法(3)设M x ,y ，则x 2+y 2=4．由题意MF MA=x -c 2+y 2x -a2+y2=x -c 2+4-x 2x -a2+4-x2=c 2+4-2cxa 2+4-2ax∵MF MA为常数，∴c 2+4a 2+4=c a ，又c a =12，解得：a 2=8，c 2=2，故b 2=a 2-c 2=6∴椭圆C 的方程为x 28+y 26=1(2)①由S △SBF S △SDF =12SB ⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)。
大招二 阿波罗尼斯圆
大招二 阿波罗尼斯圆1、“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点A,B,设P 点在同一平面上且满足,λ=PBPA 当10≠>λλ且时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
(1=λ时P 点的轨迹是线段AB的中垂线)2、阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：A,B 为两已知点，P ,Q 分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到A,B 两点的距离之比为λ.【解析】依题意，由距离公式：√(x +c)2+y 2=λ√(x −c)2+y 2, 化简得：（1−λ2）2x 2+（1−λ2）2y 2+2c (1+λ2)x +(1−λ2)c 2=0(1)【讨论】方程的图形是什么？①当λ=1时，得c 2=0,也就时线段F 1F 2的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直线);②当λ≠1时，方程(1)变形为:01)1(222222=+-+++c c y x λλ,化成标准形式：),2()12()11(222222-=+•-+-λλλλc y c x 这是以)0,11(22c •-+λλ为圆心，且半径122-=λλc r 的圆.(定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”)。
性质1.当1>λ时，点B 在圆内，点A 在圆外；当10<<λ时，点A 在圆内，点B 在圆外.性质2.因,2AQ AP AC •=AC 是圆O 的一条切线。
若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然.性质 3.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为,12212-=λλc PQ 面积为22)12(-λλπc 性质4.过点A 作圆O 的切线AC(C 为切点)，则CP ,CQ 分别为ACB ∠的内、外角平分线.性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦EF,则AB 平分EAF ∠. 例1、满足条件AB=2,AC=BC 2的ABC ∆的面积最大值是_______.【解析】显然这又是以例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，因为有c=1,2=λ,代入阿波罗公式得:，8)3(22=+-y x 设圆心为M ，显然当轴时x CM ⊥，ABC ∆的面积最大，此时22=CM ，.2222221)(max =••=∴∆ABC S评注：既然ABC ∆存在，说明其轨迹不包括与x 轴的两个交点P 、Q,现在问：P 、Q 这两点究竟有什么性质？ 由于,2==CB CA PB PA ACB CP ∆∴为的内角平分线；同理，ACB CP ∆∴为的外角平分线.这就是说，P 、Q 分别是线段PQ 的内分点和外分点，而PQ 正是阿氏圆的直径.于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又称为“内外圆”.因此，又有如下的轴上简洁解法: 动点C 到定点)0,1()0,1(B A 和-距离之比为2，则有121-=+x x ，,223016)12(212222±=⇒=+-⇒+-=++⇒x x x x x x x 得为内分点，2231-=x .2232为外分点+=x 圆半径,22)(2112=-=x x r 即为三角形高的最大值，即ABC ∆高的最大值为22.故ABC ∆的面积的最大值是22.例2、已知两定点),0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足,2PB PA =则点P 的轨迹所包围的面积等于( )π.A π4.B π8.C π9.D【解析】显然这又是以个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决.。
阿波罗尼斯圆的二级结论
阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯所提出的一种几何学理论。
在这个理论中，阿波罗尼斯提出了两个重要的结论，称为阿波罗尼斯圆的一级结论和二级结论。
阿波罗尼斯圆的一级结论是：对于一个圆，在它的任意三点确定的直线上，这三点的距离比都相等。
阿波罗尼斯圆的二级结论是：对于一个圆，在它的任意三点确定的平面上，这三点确定的三角形面积比都相等。
这两个结论都是在圆的性质上进行的推论，证明了圆是一种特殊的几何形。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A,，设P 点在同一平面上且满足,PBPA当且1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：B A,为两已知点，Q P,分别为线段AB 的定比为)1(的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A,两点的距离之比为.证（以1为例）设QBAQ PBAP a AB,，则1,1,1,1a BQ aAQa PBa AP.由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222aBCAB ACaBQPB BC于是,1,122aACaBC.BCAC而C Q P ,,同时在到B A,两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A,两点的距离之比恒为.性质1.当1时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。
性质2.因AQ AP AC2，过AC 是圆O 的一条切线。
若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122aPQ，面积为.122a性质4.过点A 作圆O 的切线C AC(为切点），则CQ CP,分别为ACB 的内、外角平分线。
性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF 数学应用1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(aa 求点P 的轨迹.2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM2，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A 如果动点P 满足PB PA 2，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2的ABC 面积的最大值是___________.5.在等腰ABC 中，BD AC AB ,是腰AC 上的中线，且,3BD 则ABC 面积的最大值是___________.6.已知P A ),0,2(是圆16)4(:22yxC 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得21PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22yx C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有?21PBPA 若存在，求出B A,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC 中，AD AC AB ,2是A 的平分线，且.kAC AD（1）求k的取值范围；（2）若ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.Welcome To Download 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
阿波罗尼斯圆相关结论
阿波罗尼斯圆相关结论阿波罗尼斯圆也被称为桑德曼圆，是17世纪德国数学家奥古斯特·桑德曼提出的一个关于半径的的几何性质的定理。
它是圆内接四边形的内接圆，四边形的四个角点关于这条内切圆的四个切点关于圆心均对称。
该定理可用如下数学证明：首先，考虑圆心（O）和两个相邻的角点（A、B）组成的三角形，计算出两个角的夹角$\angle AOB$ 。
其次，考虑刚刚的三角形的对称形，将第二个角点（B）移动到第一个角点（A）的对称点（B'），此时$\angle AOB' = 2 \angle AOB$，两个角点关于圆心O对称，对于任意一条半径OA和OB'，可知OA=OB'，两条半径关于圆心O对称。
由此，可以证明，当四个角点关于圆心O对称时，四边形内接圆也即为桑德曼圆。
桑德曼圆的几何特性很容易证明。
该圆的半径为$r =\frac{\overline{OA}}{\cos{\frac{\angle AOB}{2}}} =\frac{\overline{OB'}}{\cos{\frac{\angle AOB'}{2}}}$，其中$\overline{OA}$是四边形的边长，对于任意的边长，桑德曼圆的半径总是有定值。
此外，桑德曼圆的形状也非常简单，它也称为数学上的精美之物，也就是说，将它当作一个装饰品，可以在家庭、学校等各个场合中被应用。
由于桑德曼圆形状简单，多应用在各种绘图实际中。
比如由桑德曼圆形所构成的菱形，可以表示多种空间关系——重点在于这种表达方式比把多面体拆成多个三角形更体现出结构而非一个实体的特征。
另外，桑德曼圆定理也可以用于近曲线的曲率的计算，因为近曲线的拐点通常出现在桑德曼圆的两个切点上。
换句话说，圆的曲率可以直接由曲线两个关联的桑德曼圆半径计算而得出。
阿波罗尼斯圆在物理学中的应用
阿波罗尼斯圆在物理学中的应用阿波罗尼斯圆是一个有着许多独特性质的几何形状，它在物理学领域中具有广泛应用。
本文将探讨阿波罗尼斯圆在物理学中的应用，并阐述其在光学、声学以及电磁学等方面的重要作用。
一. 光学中的应用阿波罗尼斯圆在光学中被广泛使用，尤其是在设计凸透镜时。
凸透镜是一种呈凸形的光学元件，能够将光线聚焦或发散。
通过研究阿波罗尼斯圆的曲率特性，可以更好地设计凸透镜的形状，以实现更高的光学性能。
例如，在望远镜的设计中，阿波罗尼斯圆被用来设计主透镜的形状。
通过精确计算曲率半径和透镜的中心位置，可以使望远镜的成像更加清晰和准确。
此外，阿波罗尼斯圆的使用还能有效地减少光学畸变，提高望远镜的分辨率和观测效果。
二. 声学中的应用除了光学，阿波罗尼斯圆在声学领域中也有重要的应用。
其中一个示例是在扩音器设计中的应用。
扩音器是一种将声音放大的装置，通过研究阿波罗尼斯圆的声学特性，可以设计出形状更加合理的扩音器。
阿波罗尼斯圆的设计可以使扩音器的声波更加均匀地传播，减少声音的衰减和畸变。
这种设计不仅能够提高扩音器的音质，还可以增加扩音器的音量和覆盖范围，满足不同环境下的音频需求。
三. 电磁学中的应用在电磁学中，阿波罗尼斯圆被广泛应用于天线的设计。
天线是一种将电磁波转换为电信号或电信号转换为电磁波的装置。
通过研究阿波罗尼斯圆的电磁波传播特性，可以更好地设计天线的形状和尺寸，以实现更好的信号接收和发送效果。
阿波罗尼斯圆的应用能够提高天线的方向性和增益，减少信号的衰减和干扰。
在通信领域，通过合理利用阿波罗尼斯圆的设计，可以提高信号传输的质量和可靠性，满足不同应用场景下的通信需求。
总结综上所述，阿波罗尼斯圆在物理学中的应用十分广泛且重要。
其在光学、声学和电磁学等领域的运用，提升了相关技术的性能和效果。
通过合理利用阿波罗尼斯圆的独特特性，可以为相关领域的研究和应用带来更多的机遇和突破。
随着科学技术的不断进步，相信阿波罗尼斯圆在物理学中的应用将会越来越深入，为人类带来更多的创新和发展。
阿波罗尼斯圆的角平分线证明
阿波罗尼斯圆的角平分线证明摘要：1.阿波罗尼斯圆的概述2.阿波罗尼斯圆的角平分线的定义3.阿波罗尼斯圆的角平分线的证明方法4.阿波罗尼斯圆的角平分线的应用5.总结正文：【1.阿波罗尼斯圆的概述】阿波罗尼斯圆，又称为九点圆，是一个在数学领域具有重要地位的圆。
阿波罗尼斯圆的定义是：在平面直角坐标系中，设有三个点A、B、C 不共线，则以这三个点为直径的圆称为阿波罗尼斯圆。
阿波罗尼斯圆在几何学、解析几何等领域有着广泛的应用。
【2.阿波罗尼斯圆的角平分线的定义】阿波罗尼斯圆的角平分线是指从圆上一点出发，将圆周分为两个相等部分的线段。
设在阿波罗尼斯圆上任取两点M、N，MN 为圆的直径，P 为MN 的中点，以P 为顶点作圆周角平分线，将圆分为两个相等的部分。
【3.阿波罗尼斯圆的角平分线的证明方法】为了证明阿波罗尼斯圆的角平分线，我们可以通过构造辅助圆来进行证明。
以下是证明过程：（1）在阿波罗尼斯圆上任取两点M、N，连接MN 并延长至与圆相交于点E、F；（2）分别以ME、MF 为直径作圆，与阿波罗尼斯圆相交于点P1、P2；（3）连接P1、P2 并延长至与阿波罗尼斯圆相交于点P；（4）证明四边形P1P2EP 是矩形。
根据步骤（1）至（3），我们可以发现四边形P1P2EP 具有以下性质：1）P1P2 = PE = PF，因为以ME、MF 为直径的圆与阿波罗尼斯圆相切，所以PE = PF；2）∠P1PE = ∠P2PF，因为PE = PF，所以∠P1PE = ∠P2PF；3）∠P1P2E = ∠P2P1F，同理可证。
根据上述性质，我们可以得出四边形P1P2EP 是矩形。
（5）根据矩形的性质，我们知道对角线互相平分且相等，所以有PP1 = PP2。
又因为P1、P2 在阿波罗尼斯圆上，所以PP1 = PP2 = PE = PF。
因此，P 是圆周角平分线。
【4.阿波罗尼斯圆的角平分线的应用】阿波罗尼斯圆的角平分线在几何学、解析几何等领域有着广泛的应用。
阿波罗斯尼圆定理
阿波罗斯尼圆定理阿波罗斯尼圆定理（ApolloniusCircleTheorem）是欧几里得几何中著名的定理之一，它揭示了三个圆的几何特性。
该定理得名于古希腊数学家阿波罗斯尼，他在《圆论》中首次提出了这个定理。
这个定理在数学教育中也是一个重要的基础理论，为我们理解圆的性质提供了重要的帮助。
阿波罗斯尼圆定理的表述如下：给定三个圆C1、C2、C3，它们的半径分别为r1、r2、r3，它们的公共切线分别为L1、L2、L3。
则存在一个圆C，它的半径为r，且它与C1、C2、C3都相切于L1、L2、L3。
这个定理可以通过如下的步骤进行证明。
首先，我们可以构造一个圆C，它的半径为r，且它与C1、C2、C3都相切于L1、L2、L3。
然后，我们可以证明这个圆C的半径满足下面的关系式：r = (r1r2r3) / (2T)其中，T是三角形ABC的面积，A、B、C是圆C1、C2、C3的切点。
这个关系式可以通过应用圆的性质和三角形的面积公式来得到。
接下来，我们可以证明上述关系式成立。
首先，我们可以通过画图来证明存在一个圆C，它与C1、C2、C3都相切于L1、L2、L3。
然后，我们可以利用圆的性质，得到C1、C2、C3的切点A、B、C分别在圆C的半径上。
因此，三角形ABC是等边三角形，且它的边长为r1+r2、r2+r3、r3+r1。
利用海龙公式，我们可以得到三角形ABC的面积T，如下所示：T = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s=(a+b+c)/2，a=r1+r2，b=r2+r3，c=r3+r1。
因此，我们可以得到：T = √[(r1+r2+r3)(r1+r2-r3)(r2+r3-r1)(r3+r1-r2)] / 4 接下来，我们可以将上述关系式代入到r的表达式中，得到：r = (r1r2r3) / (2√[(r1+r2+r3)(r1+r2-r3)(r2+r3-r1)(r3+r1-r2)] / 4)化简可得：r = 2T / (r1+r2+r3)这个关系式就是阿波罗斯尼圆定理的结论。
阿波罗尼斯圆的角平分线证明
阿波罗尼斯圆的角平分线证明
（实用版）
目录
一、阿波罗尼斯圆的简介
二、阿波罗尼斯圆的角平分线的定义
三、证明阿波罗尼斯圆的角平分线的方法
四、结论
正文
一、阿波罗尼斯圆的简介
阿波罗尼斯圆，又称为九点圆，是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的一个圆。
阿波罗尼斯圆在一个三角形中，与三角形的三个顶点距离相等的圆。
这个圆在几何学中有着广泛的应用，是许多几何问题的关键所在。
二、阿波罗尼斯圆的角平分线的定义
阿波罗尼斯圆的角平分线，是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
在阿波罗尼斯圆中，角平分线将圆分成两个半圆，且这两个半圆的面积相等。
三、证明阿波罗尼斯圆的角平分线的方法
为了证明阿波罗尼斯圆的角平分线，我们可以使用角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边的距离相等。
我们可以证明阿波罗尼斯圆上的任意一点到角的两边的距离相等。
证明过程如下：
假设在阿波罗尼斯圆上任取一点 P，连接 PA、PB、PC 分别与三角形的三个顶点 A、B、C 相连。
由于阿波罗尼斯圆的定义，PA=PB=PC。
再连接 AC、BC，根据角平分线的性质，PA 到角 BAC 的两边距离相等，PB 到
角 ABC 的两边距离相等，PC 到角 ACB 的两边距离相等。
因此，P 点到三角形的三个角的两边距离都相等，即 P 点在阿波罗尼斯圆的角平分线上。
由此，我们证明了阿波罗尼斯圆的角平分线上的点到角的两边的距离相等，也就是证明了阿波罗尼斯圆的角平分线的存在。
四、结论
通过以上的证明，我们得出结论：阿波罗尼斯圆的角平分线存在，且角平分线上的点到角的两边的距离相等。
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯（Apollonius）圆，简称阿氏圆。
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。
这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。
设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。
证明
我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB ÷(BP-AP)，以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；
c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；
a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。
（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。
相关知识
1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。
2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。
3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。
4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。
数学阿波罗尼斯圆
数学阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆指的是：平面内到两定点的距离之比为常数（常数不能是1）的点的轨迹是一个圆。
阿波罗尼斯圆，也称为费马点椭圆，是一种数学曲线。
它的名字源于古希腊数学家阿波罗尼斯，他发现了这种特殊曲线并进行了研究。
该曲线通常被用于解决平面几何问题。
阿波罗尼斯圆在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在测量领域，阿波罗尼斯圆被用于测量两个已知点之间的距离。
具体来说，如果我们已知两个点A和B 的距离为d，那么我们就可以通过这两个点构造一个三角形，然后通过求解该三角形的阿波罗尼斯圆来得到d的值。
此外，阿波罗尼斯圆还被用于计算机图形学、机器人学等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ABBC =2 2, ， AC 16. ABC 中， AB = 2 BC AC, 则 ABC 面积的最大值为________.
问题
已知点 M ( x, y ) 与两定点 O(0,0), A(3,0) 的距离之比为
P124 B 组第 3 题）（人教 A 版必修 2
再比如 已知 BC＝2，且 AB＝2AC，求点 A 的轨迹．
探究 已知动点 M 与两定点 A 、 B 的距离之比为 ( 0) ，那么点 M 的轨迹是 什么？
小结 在平面上给定两点 A, B ，设 P 点在同一平面上且满足 PB ,
当 0 且 1 时， P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （ 1 时 P 点的轨迹是线段 AB 的中垂线） 这也可称之为圆的第二定义.
08 江苏 满足条件 AB 2, AC 2 BC 的 ABC 面积的最大值是___________.
PA
背景
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家， 与欧几里得、 阿基米德被称为亚历
山大时期数学三巨匠， 他对圆锥曲线有深刻而系统的研究， 主要研究成果集 中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
2017 东北三省一摸
ABBC =2 2, ， AC 16. ABC 中， AB = 2 BC AC, 则 ABC 面积的最大值为________.