平面向量的数量积及运算律经典练习题

第十一教时

教材：平面向量的数量积及运算律

目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的

一些简单应用。

过程：

一、复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。

二、 导入新课：

1． 力做的功：

W = |F |⋅|s |cos θ

θ是F 与s 的夹角

2． 定义：平面向量数量积（内积）的定义，a ⋅b = |a ||b |cos θ， 并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅ 3．

4

． 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1︒

两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。 2︒两个向量的数量积称为内积，写成a

⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，

而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。

3︒在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，

不能推出b =0。因为其中cos θ有可能为0。这就得性质2。

4︒已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c a = c 如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|

b ⋅

c = |b ||c |cos α = |b ||OA| ⇒ab =bc 但a ≠ c

5︒在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )

显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般

a 与c 不共线。

5． 例题、P116—117 例一 （略） 三、投影的概念及两个向量的数量积的性质：

1．“投影”的概念：作图

定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。 注意：1︒投影也是一个数量，不是向量。 2︒当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |。 2．向量的数量积的几何意义：

数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积。 3．两个向量的数量积的性质：

设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。 1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0

3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |。 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||

C

θ = 0︒ O

A B

A

O

1

O

B

1O

O

1

4︒cos θ =

|

|||b a b

a ⋅ 5︒|a ⋅

b | ≤ |a ||b |

四、例题：《教学与测试》P151 第72课 例一（略） 五、小结：向量数量积的概念、几何意义、性质、投影 六、作业： P119 练习

习题5.6 1—6