浙江高考函数与导数复习

高考函数与导数复习方法解析：纵观浙江近四年的函数与导数试题，不难发现对函数的考查力度较大，约有3-4题，并且题型涉及选择、填空与解答，难度也有易有难，难度较大的大题主要是与导数、不等式相结合的综合题。

对函数的考查主要体现在以下几个方面：1． 直接考查函数的基本概念（定义域、值域及其相关的问题）和运算，如（2004，13与分段函数有关的不等式的解集计算），（2005，3与分段函数有关的复合函数求值问题），（2006，3对对数函数值大小的比较问题），（2007，10已知分段函数的值域求定义域问题，此时要充分理解二次函数的定义，当然，此题也可以利用数形结合求解）。

（2006，12新概念函数的最值问题）。

2． 函数的重要性质（单调性和奇偶性）的考查，单独没有出题，主要是在各种题型中的渗透，如利用性质求函数的最值等。

3． 反函数在高考中主要考反函数的求法及原函数与反函数的自变量和应变量之间的关系等问题，如（2005，11求分式函数的反函数）4． 函数的图象是函数的一种重要的表示方法，也是高考的热点问题之一。

特别是与向量的结合，使图象的平移更直观，和与导数的结合，主要是考查导数的数学意义，（如2004，11及2007，8）二次函数、指数、对数函数是中学数学的重要函数模型，因而也是高考重点考查的重要对象，每年必考，如2004年12题，它以抽象函数为背景考查了二次函数方程是否有解的问题。

2005年16题，它以二次函数为背景考查了函数图像的对称性及含绝对值的不等式的解法。

（2006年16它二次函数为背景考查了函数的性质与不等式的应用，求证参数的取值范围和方程根的分布问题。

2007年理10题考查了二次函数概念的内涵，文22以二次函数为背景考查了函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识。

5． 导数的概念及其运算是导数应用的基础，要深入把握，浙江主要考查导数的数学意义，结合图形。

6． 利用导数来研究解决函数的单调性和最值问题已成为新的热点内容，对它的考查主要以大题且以压轴题的形态出现，因此难度一般较大，备考时要重点关注。

如2004年20题考查了曲线上一点切线的求法及切线与坐标轴围成的三角形的面积最值问题，难度中等。

2007年22题考查了利用导数求函数的单调区间及不等式恒成立问题的求解问题，难度较大，是区分优等生的考题。

真题训练：1．（2004，11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（ C ）(A) (B) (C) (D)【分析】本题主要考查了导函数的符号与函数单调性的关系。

属导数的简单应用。

2．（2004，12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （ B ）（A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 3．（2004，13）已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞ 。

【分析】本题主要考查了分段函数的解析概念及不等式的解法。

注意最终的结果用集合表示。

4．（2004，20）设曲线x e y x (-=≥0）在点M (),tt e -处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角表面积为S （t ）。

（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值。

解：（Ⅰ）因为,)()(x x e e x f ---='=' 所以切线l 的斜率为,t e -- 故切线l 的方程为).(t x e e y t t --=---即(1)0t t e x y e t --+-+=。

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t , 所以S （t ）=1(1)(1)2t t e t -+⋅+=21(1)2t t e -+ 从而).1)(1(21)(1t t e t S +-='-∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0, 当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0, 所以S(t)的最大值为S(1)=2e.5.(2005, 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 【分析】本题主要考查了分段函数的的复合求值问题。

解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B) 6.(2005, 11)函数y ＝2xx +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________． 解：由y ＝2x x +(x ∈R ，且x ≠－2),得x=21y y-(y ∈R,y ≠1),所以函数y ＝2x x +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是f -1=21xx-(x ∈R,x ≠1). 7.(2005, 16)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＝2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式； (Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|． 解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x q ,y q 关于原点的对称点(x,y),则020,2q qx xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,.q q x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∵点Qx q ,y q )在函数f(x)的图象上,∴-y=-x 2+2x.,故g(x)=-x 2+2x(Ⅱ)由g(x)≥f (x )－|x －1|可得2x 2-|x-1|≤0,当x ≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解,当x<1时,2x 2+x-1≤0,∴-1≤x ≤12,因此,原不等式的解集为[-1,12] 8.(2006, 3)已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则 ( A )(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1【考点分析】本题考查对数函数的性质，基础题。

解析：由10<<a 知函数()x x f a log =为减函数，由0log log <<n m a a 得1>>n m ，故选择A 。

9.(2006, 10）函数f:|1,2,3|→|1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 ( D )(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个 【考点分析】本题考查抽象函数的定义，中档题。

解析：()()()x f x f f =即()x x f =10.(2006, 12）对a,b ∈R,记max|a,b |=⎩⎨⎧≥b a b b a a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x-2||(x ∈R)的最小值是 32 .【考点分析】本题考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题。

解析：由()()21212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ，故 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+=212211x x x x x f ，其图象如右， 则()2312121min =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f 。

【名师点拔】数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养。

11.(2006, 16）设f(x)=3ax 2()32.0f x ax bx c a b c =++++=若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a ＞0且-2＜ba＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。

满分14分。

证明：（I ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>.由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>.故21ba-<<-. （II ）抛物线2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a --，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c acf a a+--=-<所以方程()0f x =在区间1+x(0,)3b a -与(,1)3ba-内分别有一实根。

故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 12.(2007, 8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）【分析】：检验易知A 、B 、C 均适合，D 中不管哪个为()f x 均不成立。

13.(2007, 10）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞【分析】：要()f μ的值域是[)0+，∞，则[)(,1]0.μ-∞-+ 可取，∞又()g x 是二次函数， 定义域连续，故()g x 不可能同时[)(,1]0.-∞-+取和，∞结合选项只能选C.14.(2007, 22）（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+．由240y x '=-=，得2x =±． 因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0，当(22)x ∈-，时，0y '<，当(2)x ∈+∞，时，0y '>， 故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，，单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则223()h x x t '=-， 当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞，时，()0h x '>，所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =．故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立．方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =．当30t x <<时，()0h t '>．当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =．因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立． （ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==．由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立． 即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立．下面证明0x 的唯一性：当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-，再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=，即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立．故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥，即200(2)(4)0x x -+≤， ①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =，所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．15．(文科2007，22)(本题15分)已知()221f x x x kx =-++．(I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明12114x x +<【答案】（Ⅰ）解：（1）当k ＝2时，()221f x x x kx =-++① 当210x -≥时，即x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得12x -±=，因为1012-<<，故舍去，所以12x -=． ②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x += 解得12x =-由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以12x -=或12x =-．(II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，因为()22 1 x 11 x 1x kx f x kx ⎧+->⎪=⎨+≤⎪⎩所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()0f x =在（0,1］上至多一个解， 若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝12-＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由()10f x =得11k x =-，所以1k ≤-； 由()20f x =得2212k x x =-， 所以712k -<<-；故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解． 当0＜x 1≤1＜x 2＜2时，11k x =-，222210x kx +-=消去k 得2121220x x x x --= 即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12114x x +<． 【高考考点】函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识【易错点】：分析问题的能力较差，分类讨论的问题考虑不全面 【备考提示】：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．需要考生有较扎实的理论知识及较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力。