数字控制器的直接设计方法之一(精)

— 与对象结构有关的设计：按照某一期望的闭环响应φ(z) 或期望的误差响应等来设计D(z) ，D(z)的结构依赖于对象
G(z)的结构
参数优化的低阶控制算法

D(z)结构的确定
◆
带有零阶保持器的对象的Z传递函数为：
Q( z ) q0 q1 z 1 qn z n d G( z ) z 1 n P( z ) p0 p1 z pn z ◆ 所要直接设计的线性数字控制器的一般形式假定为： A( z ) a0 a1 z 1 am z m D( z ) B( z ) b0 b1 z 1 bl z l ◆ 从在线运算的要求出发，通常期望数字控制器有较低 的阶数，其中最简单的形式是令 l m 0 ，这时 有 D( z ) a0 ，相当于一比例控制作用
第六章 数字控制器的直接设计 方法之一
杨根科 上海交通大学自动化系 2005年9月
内容提要

概述 参数优化的低阶控制算法 最少拍随动系统的设计


最少拍无波纹随动系统的设计
惯性因子法


非最少的有限拍控制
大林算法
小结
概述

数字PID控制算法，是基于模拟系统PID调节器的设计，并 在计算机上数字模拟实现的，这种方法称为模拟化设计。 该方法对一般的调节系统是完全可行的，但它要求较小的 采样周期，只能实现简单的控制算法
G ( z ) g i z i
i 0
概述（5）
◆
Z变换的性质
★ ★ ★ ★ ★
线性性 延迟定理 超前定理 阻尼定理 微分定理
Z [af (t ) bg (t )] aF ( z ) bG( z )
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
k 1 Z [ f (t kT )] z F ( z ) f (iT ) z i i 0 k
Z [ f (t )e at )] F ( ze aT )
Z [tf (t ))] Tz
k 0
dF ( z ) dz
★
★ ★
初值定理
终值定理
lim f (kT ) lim F ( z )
z
lim f (kT ) lim ( z 1) F ( z )
k z 1
从而得到现时控制量 u(k) 的计算式 l 1m u (k ) ai e(k i) b j u (k j ) b0 i 0 j 1
引入中间函数 C ( z ) E ( z )
因此可得到算法
b z
i 1 i
l
i
，则 U ( z ) C ( z ) ai z i
*
对上式进行拉氏变换，可以得到
L[ x (t )] x(iT )e iTs
*
i 0
引入记号 Z e
Ts
i 0
* i 由上式可以定义一种新的变换 X ( z ) Z [ x (t )] x(iT ) z
Baidu Nhomakorabea

它称为采样信号的Z变换
i 0
概述（3）
◆
Z传递函数
设离散系统的输入脉冲系列为{xi}，输出脉冲系列为 {yi}，它们的Z变换分别为X(z)和Y(z)，则可定义该离散 系统的Z传递函数为
式中， u(k ) u(k ) u 系数
，M为所考虑的优化时域，r为权
— 按照上式的最小化来确定控制器参数 ai ，是一个参数 优化问题，可以通过离线计算，采用搜索法、梯度下降法 等优化方法来求解。一旦参数 ai 确定，控制算法就可以在 线实现
为保证调节器的物理可实现性，要求 ， ， 通常取 b0 0 a0 0 b0 1
概述（8）
★
直接数字实现 — 直接对Z传递函数取Z反变换(推导)，即：
b0u(k ) b1u(k 1) bl u (k l ) a0e(k ) a1e(k 1) amu (k m)
Y ( z) G( z) X ( z)
它表征了离散系统对采样信号的输入输出传递性能
概述（4）
◆
Z传递函数的求解步骤（已知系统的连续传递函数G(s)）
★
根据G(s)求出系统脉冲响应函数
g (t ) L1[G(s)]
★ ★
确定系统脉冲响应函数在采样时刻 t iT 的值 g i 根据Z变换定义得到系统的Z传递函数
参数优化的低阶控制算法（2）
◆
z 如果要消除静差，即在期望值发生阶跃变化 R( z ) z 1 （ ）时，偏差 e 0 ，即
e lim( z 1) E ( z ) lim( z 1)
z 1 z 1
R( z ) P( z ) B( z ) lim z 1 D( z )G ( z ) z 1 P( z ) B( z ) Q( z ) A( z )
Unit Impulse Response
Unit Impulse Response
Unit Impulse Response
Unit Impulse Response
Unit Impulse Response
Unit Impulse Response
Unit Impulse Response
参数优化的低阶控制算法（3）

通过某一优化准则确定D(z)的参数
— 通常把采样时刻控制偏差的平方和作为品质函数最小 化，如果考虑控制能量的最小化，则还应加入控制偏差项， 即控制量与其终值之差，这一品质函数可写为：
2 2 J e ( k ) r u (k ) k 0 M
Stability Analysis
Example : Second-Order System
Stability Analysis
Stability Analysis
数字控制器的直接设计方法

数字控制器的直接设计方法
— 参数优化方法：首先确定D(z)的结构，然后通过某一优
化指标求出D(z)中的参数
i 1
m
l 1 c ( k ) e ( k ) b c ( k i ) i b0 i 1 m u (k ) a c(k i ) i
概述（9）
★
串接数字实现
— 将Z传递函数分解成一系列串接的离散传递环节
D( z ) Dk ( z )
卷积定理
k Z f (kT iT ) g (iT ) F ( z )G ( z ) i 0
概述（6）
◆
开环和闭环系统的Z传递函数：注意采样开关的位置
概述（7）
◆
Z传递函数的计算机实现
★
数字调节器的传递函数D(z)，一般可以写成如下形式：
U ( z ) a0 a1 z 1 am z m D( z ) E ( z ) b0 b1 z 1 bl z l
Unit Impulse Response
稳定性和动态响应的关系 (2)
★
在采样系统稳定的情况下，对应于单位圆内或单位圆上 不同位置的极点，对同一输入将有不同的动态响应
Example : First-Order System
Example : First-Order System
Stability Analysis
k 1 p
其中，每个环节 Dk ( z ) 的Z传递函数都为简单的一阶 或二阶有理分式形式，从而可以用直接方法实现， 而整个计算可通过这些子环节串接而成
概述（10）
★
并行数字实现 — 将Z传递函数分解成一系列并联的离散传递环节
D( z ) Dk ( z )
p k 1
其中，每个环节Dk ( z ) 的Z传递函数为常数、纯时延或 易于用直接方法实现的简单的一阶或二阶形式，控制量 的计算可由他们给出分分量求和得到
稳定性和动态响应的关系 1/20
◆
采样系统的极点与稳定性和动态响应的关系
★
如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的
单位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入， 系统的输出收敛于某一有限值；如果某一极点 zj 在单 位圆上，则系统处于稳定的边缘，对于有界的输入， 系统的输出持续地等幅振荡；如果 G(z) 的极点至少有 一个在单位圆外，则采样系统是不稳定的，对于有界 的输入，系统的输出发散
Control System
S
1 eTs 1 Z( G p ( s)) (1 z 1 ) Z ( G p (s)) s s
Characteristic Equation


Roots of Characteristic Equation Roots may be real Roots may be complex conjugate pairs Roots affect of stability Stability can be assessed by examining the roots of the characteristic equation
— 当 m 1
其控制算法为 u(k ) u(k 1) a0e(k ) a1e(k 1)
a0 a1 z 1 a2 z 2 D( z ) — 当 m 2 时，得到二阶控制器 1 z 1 其控制算法为 u(k ) u(k 1) a0e(k ) a1e(k 1) a2e(k 2)
Closed-Loop System Transfer Function 4/
Input 5/
Response to Given Command Input 6/
Transfer Function Reconstruction 7/
Response to Given Command Input 8/
Control System Example 1/13
Control System Example 2/
1 eTs 1 1 Z( G p ( s )) (1 z ) Z ( G p ( s )) s s
Discrete Transfer Functions 3/
1 eTs k p 1 Z( ) k p (1 z 1 ) Z ( 2 ) s s s Tz 1 1 k p (1 z ) (1 z 1 )2
概述 Z-transfer Examples
概述 Zero Hold

Zero Hold
输入(t) 输出 1(t)- 1(t-t) s-变换, (1-e-ts)/s
e*

Gh(s)e*
概述 Computer Control System
符号Um: manoeuvre Y c: controlled value

由于控制任务需要，当所选择的采样周期较大或对控制质 量要求较高时，就需要从被控对象的特性出发，直接根据 采样理论来设计数字控制器，这种方法称为直接数字设计。 它完全根据采样系统的特点进行分析与综合，并导出相应 的控制规律，比模拟化设计更具有一般性。无论采样周期
大小，直接数字设计都适用
概述（2）

采样系统的Z变换
◆
Z变换的定义
对连续信号x(t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号 x*(t)，它也可以看作是连续信号对脉冲系列δ的调制，即
x (t ) x(0) (t ) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T ) x(iT ) (t iT )
则有 B(1) 0 ，即数字控制器D(z)有一个极点，因此，在 消除静差的要求下，数字控制器的最简单结构为
A( z ) a0 a1 z 1 am z m D( z ) B( z ) 1 z 1
a0 a1 z 1 时，得到一阶控制器D( z ) 1 z 1
Response to Given Command Input 9/
Response to Given Command Input 10/
Response to Given Command Input 11/
Response to Given Command Input 12/
Response to Given Command Input 13/