ADI-FDTD方法

g1 = r1 / b1
g i = (ri − ai g i −1 ) / (bi − ai xi −1 )
这两种方法都是利用高 斯消元的原理，通过前 向和后向迭代 进行求解，其计算量正 比于未知数的个数 n，而不是正比于 n 3。
n 同理，通过（5'）求 E x +1分量时，随着 x坐标的变化逐行扫描组 成
2
2
（17）
（18）
由于p, q取值都大于1，可以得出：
1 ± j pq − 1 ε1 = p
（19）
同样，为了计算过程二的增长因子ε 2，将平面波本征模代入过程二的 式（5）（6）（7）
∆t k y ∆y E x0ε 2 = E x 0 + j ε∆y sin 2 H z 0 ε 2 ∆t k x ∆x E y 0ε 2 = E y 0 − j H z0 sin ε∆x 2
n 时刻E xn +1 , E y +1 , H zn +1分量的大小。
可以发现，两个过程中 对于磁场和电场的值都 是同时计算的。
3.对角型线性方程组求解 对角型线性方程组求解
将（4）代入（3）中，可以得到：
E
n+ 1 2 y
(
i − 1, j + 1
2
2 εµ ∆x 2 n + 1 n 1 + 2 ⋅ E y 2 i, j + 1 + E y + 2 i + 1, j + 1 − 2 2 2 ∆t
v max ∆ t ≤ 1 1 1 1 + + (∆x) 2 (∆y ) 2 (∆z ) 2
其中v max 为电磁波在媒质中传播的最大相速。 如果时间步长不满足上述条件，将导致FDTD计算发散。
FDTD方法的扩展：
网络并行FDTD方法 时域多分辨小波（MRTD）方法 伪谱时域差分（PSTD）方法 简化时域有限差分（RFDTD）方法 交替方向隐式时域差分（ADI-FDTD）方法
（9） （10） （11）
H z = H z 0ε1 exp{− j(k x x + k y y)}
其中k x , k y 分别代表沿x, y方向的波数，ε 1代表过程一的增长因子。
将平面波本征模代入过程一的式（2）（3）（4）可以得到以下关系：
∆t k y ∆y E x0ε 1 = E x 0 + j ε∆y sin 2 H z 0 ∆t k x ∆x E y 0ε 1 = E y 0 − j H z 0ε 1 sin ε∆x 2
在ADI-FDTD中 空间离散仍采用 图（a）所示的 Yee元胞
（1）
把ADI技术应用到FDTD的迭代公式中，需要把第n步到 第n + 1步的计算分成两次来进行。
具体的迭代公式为：
过程一： 1 , j = E xn i + 1 , j + ∆t E i+ 2ε∆y 2 2 ⋅ H zn i + 1 , j + 1 − H zn i + 1 , j − 1 2 2 2 2
)
(
)
(
) )}
（3’）
2 εµ ∆x n E y i, j + 1 + 2 µ∆x ⋅ H zn i + 1 , j + 1 − H zn i − 1 , j + 1 = − 2 ∆t 2 2 2 2 ∆t ห้องสมุดไป่ตู้ ∆x n n + E xn i + 1 , j + 1 − E xn i + 1 , j + E x i − 1 , j − E x i − 1 , j + 1 ∆y 2 2 2 2
T = T + ∆T 2
T > Tmax
结束
图1 ADI − FDTD（二维TE波）的计算流程图
4.稳定性证明 稳定性证明
应用冯·诺依曼方法来分析上面公式中两个过程的稳定性， 设
Ex = Ex0ε1 exp{− j(k x x + k y y)}
E y = E y 0ε1 exp{− j(k x x + k y y )}
n+ 1 2 x
( { (
)
(
)
)
(
)}
（2）
E
⋅H
{
n+ 1 2 y
n+ 1 2 z
∆t (i, j + 1 2 ) = E (i, j + 1 2 ) − 2ε∆x (i + 1 2 , j + 12 ) − H (i + 1 2 , j − 1 2 )}
n y n+ 1 2 z
{ (
n+ 1 2
{ (i + 1, j + 12)− E (i, j + 12)}
n+ 1 2 y
)
(
)}
（7）
在过程一中，通过（2）（4）可算出计算区域各个网格点在n + 1 ~ 时刻E
n+ 1 2 x
2
,E
n+ 1 2 y
,H
n+ 1 2 z
分量的大小。
在过程二中，通过（5）（7）可算出计算区域各个 网格点在n + 1 ~
n+ i + 1 , j + 1 = Hz 2 2
)
1
2
∆t (i + 1 2 , j + 1 2 ) + 2µ∆y
∆t ⋅ E xn +1 i + 1 , j + 1 − E xn +1 i + 1 , j − 2 µ∆y 2 2 ⋅ Ey
(
)
{ (
)
)
{ (
)
(
(
)
(
通过（3'）求E
b1 a 2
n+ 1 2 y
分量时，随着 y坐标的变化逐行（具有 相同x坐标）
x1 r1 x r 2 2 ⋅ K = K c n −1 x n −1 rn −1 bn x n rn
i = N − 1, N − 2, K,1 : xi = xi − g i +1 xi +1
方法二： For i = 1 : x1 = c1 / b1 For For For
i = 2,3,K, N − 1 : xi = ci / (bi − ai xi −1 ) i = N : xi = (ri − ai g i −1 ) / (bi − ai xi −1 ) i = N − 1, N − 2,K,1 : xi = g i − xi xi +1
{ (
{ (i + 1, j + 12)− E (i, j + 12)}
n+ 1 2 n+ 1 2 y
)
(
)}
（4）
过程二： E
n +1 x
(
⋅ H zn +1
E
n +1 y
{ (
n+ i + 1 , j = Ex 2
1 , j + ∆t i+ 2ε∆y 2 i + 1 , j + 1 − H zn +1 i + 1 , j − 1 2 2 2 2
线性方程组，该线性方 程组同样也为对角型系 统，可以按照相同 的方式求解。 通过上面的分析，可以 得到 ADI − FDTD 方法的计算流程，如图 所示：
开始
T =0
过程一 （2）（3'）（4）
T = T + ∆T
分别更新 E x , E y , H z
2
过程二 （5'）（6）（7） 分别更新 E x , E y , H z
(
)
{ (
)
(
{ (
)
(
)
(
)
(
)}
将（7）代入（5）中，可以得到：
E
n +1 x
(
2 n n 1 , j − 1 − 2 εµ ∆y + 2 ⋅ E x +1 i + 1 , j + E x +1 i + 1 , j + 1 i+ 2 2 2 ∆t 2
1 2
)
(
)
)
(
)}
（5）
⋅H
{
(
i, j + 1
n+ 1 2 z
∆t ) = E (i, j + 1 2 )− 2ε∆x 2 (i + 1 2 , j + 12 ) − H (i + 1 2 , j − 1 2 )}
n+ 1 2 y n+ 1 2 z
（6）
H
n +1 z
(
（12）
（13）
H z 0ε 1 = H z 0
k y ∆y ∆t ∆t k x ∆x E x0 − j sin sin + j E y 0ε 1 µ∆y 2 µ∆x 2
（14）
整理成为矩阵的形式 :
−
ε1 − 1
扫描组成线性方程组， 该线性方程组为对角型 系统，其数学模型为：