鞅方法在股指期权定价中的应用

Ｖ Ｖ １ Ｖ２ Ｖ ２ ｄ Ｖ ＝ μ Ｓ ＋ ＋ ２ Ｓ ｄ ｔ＋ σ Ｓ ｄ Ｗ． σ Ｓ ｔ ２ Ｓ Ｓ
（ ） ７ 又由 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ– Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ方程知
Ｑ Ｑ Ｑ Ｑ 其中 ： 且Δ Ｓ 为期初股价 ， Ｗｔ Ｗｔ ＝ Ｗｔ －Ｗ０ ， Δ ～ Ｑ ）． Ｎ （ ０， ｔ
（（
）
）
２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ Ｘ ２ ｄ Ｔ －ｔ ． ＝ｄ σ槡 ２ ＝ １－ Ｔ －ｔ σ槡 证明 由于
（）（ ）
（
， 证明 股票的价格过 程 满 足 式 （ 应 用Ｉ １） ｔ ｏ定 理， 有 由引理 １ 知
（）（ ）
（
）
（）（ ）
（ ）
（ ）（
）
注： 假设股票指数的 年 红 利 率 为 ｑ ， 则股票指数期权的定价 公式为
ｔ ｒ Ｔ－ ｔ － － ｑ Ｔ－ Ｖ ＝Ｓ ｅ Ｎｄ ｅ Ｘ Ｎｄ ０ １ － ２ ．
（ ）
（） ）
（）
Ｖ ＝Ｓ ｅ ０Ｎ ｄ １ －
其中
（）
（ ） ｒ Ｔ－ ｔ －
ＸＮ ｄ ２ ．
ｒ Ｔ－ ｔ － Ｖ ＝ｅ ＥＳ Ｔ －Ｘ ．
Leabharlann Baidu
）
（
）
σ ｄ Ｐ （ ） ｄ ｌ ｎ Ｓ ｔ＋σ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ３ （ ｔ ＝ μ－ ２
进而求得在测度 Ｐ 下 ， 股票价格的动态过程为 １２ Ｐ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ． ｐ μ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２
Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ ）． 其中 Δ 且Δ Ｗｔ Ｗｔ ０， ｔ ＝ Ｗｔ － Ｗ０ ， ～Ｎ （ Ｐ Ｑ 令 Ｗｔ ＝ Ｗｔ ＋
股票指数期权是在股票指数期货合约的基础上 期权购买者付给期权的出售方一笔期权费 ， 产生的 ． 以取得在未来某个 时 间 或 该 时 间 之 前 ， 以某种价格 水平 ， 即股指水平 买 进 或 卖 出 某 种 股 票 指 数 合 约 的 选择权 ． 第一份普通股指期权合约于 １ ９ ８ ３ 年 ３ 月在 该期权的标的物是标准· 芝加哥期权交易所 出 现 ． 普尔 １ 随后 ， 美国证券交易所和纽约 ０ ０ 种股票指数 ． 证券交易所迅速引 进 了 指 数 期 权 交 易 ． 指数期权以 其价值决定于作为标的 普通股股价指数作 为 标 的 ， 的股价指数的价值 及 其 变 化 ． 股指期权必须用现金 清算的现金 额 度 等 于 指 数 现 值 与 敲 定 价 格 之 交割 ． 差与该期权的乘数之积 ． 股指期权是一种基于股票价格指数的衍生产 品． 然而作为不同的衍生产品 ， 两者产品性质有较大 差异 ． 股指期权买 卖 双 方 的 权 利 义 务 关 系 和 风 险 收 这将使交易风险放大 ， 并对风险防控 益是不对称的 ， 与交易 、 结算制度提出更高的要求 ． 有关 股 指 期权 的 研究较少， 并且多集中在股指 期 权 的 市 场 价 格 的 统 计 分 析 描 述． 本文从 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ －
ｒ－
（ （（ ） （ （（ ）
）
１２ Ｑ σ ｔ＋σ ΔＷｔ － Ｘ ＝ ２
） ） ） ）
０
Ｑ ， 随机过程 Ｗｔ ｓ ａ ｎ ｏ ｖ 定理得 ： ０ ≤ｔ ≤ Ｔ 是 Ω， Ｆ，
（
） （
）， 由 引 理 ２ 通 过 解 其 中 ， Ｚ ～ Ｎ（ ０， １ １２ ） Ｓ ｅ ｘ Ｔ －ｔ Ｔ －ｔ Ｚ － Ｘ ＝ ０， ＋σ 槡 ｐ ｒ－ σ （ ０ ２
９ ８
湖 北 工 业 大 学 学 报
２ ０ １ １ 年第 ５ 期
２ 股指期权风险管理
股指期权为购买者提供了非常好的规避市场系 统风险的工具 ， 但对于股指期权的出售方来说 ， 一方 面得到了期权费的 收 入 ， 另一方面也面临如何对冲
３］ 其暴 露 头 寸 的 问 题 ［ 笔者将衍生证券的价格变化 ．
ｄ １ ＝
（）
其中 ｌ ｎ
（）（
２ Ｓ ０ σ （ ） Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ｑ＋ Ｘ ２ ， Ｔ －ｔ σ槡
）
２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ＋ Ｘ ２ ， ｄ １ ＝ Ｔ －ｔ σ槡
（）（ ）
ｌ ｎ
ｄ ２ ＝
（）（
２ Ｓ ０ σ （ ） Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ｑ－ Ｘ ２ Ｔ －ｔ． ＝ｄ σ槡 １－ Ｔ －ｔ σ槡

［ （ ） 文章编号 ］ １ ０ ０ ３－４ ６ ８ ４ ２ ０ １ １ ０ ５ ０ ０ ９ ６ ０ ３ － －
鞅方法在股指期权定价中的应用
张凯凡
（ ） 湖北工业大学理学院 ，湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ８ ［ 摘 要 ］介绍了股指期权 ， 并利用等价鞅测度定理给出股指期 权 定 价 的 一 般 公 式 ， 研究了股指期权的风险管理的 并指明研究的价值与意义 ． Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ套期保值方法 ， ［ 关键词 ］股指期权 ；等价鞅测度 ； Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ公式 ；套期保值 － ［ 中图分类号 ］ Ｆ ８ ３ ０． １ ９ ［ ：Ａ 文献标识码 ］
那么随着时间的变化 ， 投资者可以随着 Ｖ 和 Ｓ 的变 化瞬时重新调整资 产 组 合 ， 通过对资产组合瞬时调 ）的实施 （ ， 整 Δ（ 以平衡股价 Ｓ 的变化 ） 投资者可以 ｔ 保证每一个瞬间都有 ｄ ｄ ｔ ． Π ＝ｒ Π ） ， ， ）＝ ０ 成 如果 Π（ 则 意 味 着 对 于 所 有ｔ ０ ＝０ ｔ Π（ 立． 因此不管ｔ 时 刻 股 票 价 格 Ｓ 为 多 少 ， 投资者的 股票头寸与股指期权头寸处于平衡状态 ．
（ ）） （ ∫（ ） ）
０
ｒ－μ 由 ｄ ｓ ＜ $， σ
［］ ］ 文［ 知， 再由 Ｍ ２ ＺＴ 是鞅 ， ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｅ ｒ ｔ ｉ ｎ ｉ ｒ ｓ ａ ｎ ｏ ｖ２ －Ｍ －Ｇ
Ｐ （ ·）表 示 在 定理 ， 称 Ｑ 是Ｐ 的 等 价 鞅 测 度 ． 其中 Ｅ
测度 Ｐ 下的数学期望 ．
［］ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ１ 模型出 发 利 用 等 价 鞅 测 度 定 理 得 到 了 股
股票 ， 它们分别满足
Ｐ ， （ ） ｄ Ｓ Ｓ ｄ ｔ＋σ Ｓ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） １ （ ｔ ＝μ ｔ ｔ
１ － （ ） Ｂ Ｂ ｄ ｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ２ （ ｔ ｄ ｔ ＝ｒ 其中 ： Ｓ ｔ 时刻的价格 ； Ｂ ｔ 代表股票在 ｔ 代表债券 ； μ 表示股票的期望收益率 ； ｒ 为无风险 σ 表示波动率 ；
且 Ｑ 上的一维布朗运动 ，
Ｐ Ｑ ｄ Ｗｔ Ｗｔ ＝ｄ ＋
）
［（
）
］
得
（ ）
ｒ－μ ， ｄ ｔ σ
（ ） ５ 所以 ，
（ ） Ｅ（ ＺＴ ＩＡ ）＝ ＰＱ （ Ａ） ． ６ （ Ａ ＦＴ ） ）表示 在 测 度 Ｐ 下 的 数 学 期 望 ； · 其中 ： Ｅ（ Ｉ Ａ 是Ａ ）表示在测度 Ｑ 下的概率 ． · 的示性函数 ； 将（ ＰＱ （ ５） ） 代入 （ 得到 ３
（
２
）
１２ Ｑ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ， ｐ ｒ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２ 得
（（
）
）
（（
）
）
（ ） ４
ｒ Ｔ－ ｔ － Ｖ ＝ｅ ＥＳ ｅ ｘ ｐ ｒ－ ０
（
由定义１及 Ｇ ｄ ｓ， ｉ ｒ － ∫（ σμ）
ｔ
１２ （ ） ｒ Ｔ－ ｔ － ） ｅ ＥＳ ｅ ｘ Ｔ－ ｔ Ｔ －ｔ Ｚ －Ｘ ＋ σ槡 ｐ ｒ－ σ （ ０ ２
Ｐ 利率 ， 表示在概率测度Ｐ ｒ 均 为 常 数； ｄ Ｗｔ σ， μ，
下布朗运动在ｔ 时刻的瞬间增量 ． ） 股票交易连 续 进 行 ， 不存在交易费用及交易 ２ 税． ） 股票在期权持有期内无红利支付 ． ３ １． ２ 等价鞅测度的槪念 设 Ω， Ｆ， Ｐ 是一概率空间 ， Ｆ σ ｎ 是Ｆ 的完备子 满 足 Ｆ ＝ ∨ｎ 其中 Ｆ Ｆｎ ， － 代数的一个增 加 族 ， ０ ＝
（ ， 即 与其标的资产的价格变化的比率记为 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ Δ）
Ｃ ． Ｓ 其中 Ｓ 为股票指数价格的微小 变 化 ， Ｃ 为相应的 股指看涨期权的变化 ． Δ＝
设 Ｖ 为 某 股 指 期 权 的 价 格， 该股指期权的标 — — 股票指数的价格 Ｓ 类似于支付连续红利股票 的— ， 的价格 ． 设连续红利率为 ｒ 股票指数满足 ｄ Ｓ Ｓ ｄ ｔ＋σ Ｓ ｄ Ｗ （ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ｔ ＝μ ｔ ｔ 由Ｉ 有 Ｖ 为 Ｓ 和ｔ的函数 ， ｔ ｏ 定理 ，
Ｐ ， Ｐ 是风险概率测度 ，Ｗｔ ０ ≤ｔ≤ Ｔ 是该 Ω｝， ｛ φ， Ｐ 概率空间上的一维标准布朗运动 ， Ｆ ｔ 是由 Ｗｔ 产生
（
）
（
）
的σ － 代数 ． 若测度 Ｑ 满足 ｄ Ｑ ｘ ＝ｅ ｐ ｄ Ｐ
指期权定价的一般 公 式 ， 并研究了股指期权的风险 管理的 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ套期保值方法 ．
（ ∫
ｔ
ｒ－μ Ｐ １ ｄ Ｗｓ － ０ ２ σ
∫（
ｔ
０
ｒ－μ ｄ ｓ ＝ σ
２
））
２
ｒ－μ Ｐ １ ｒ－μ ｅ ｘ ｔ． ΔＷｔ － ｐ ２ σ σ
ｄ Ｑ， １ Ｐ 令Ｚ 因为 Ｅ ｅ ｘ ｐ ｔ ＝ ｄ Ｐ ２
ｔ
２
（
１ 模型与公式
１． １ 模型的基本假设 ） 市场为有效的无摩擦市场 ， 有两种资产 ： 一种 １ 是无风险资产 ， 称 为 债 券， 另 一 种 是 风 险 资 产， 称为
Ｓ Ｓ Ｔ Ｔ ， ， ＝ｒ－ ｎ ＹＴ ＝ｌ ｎ 引理 ２ 设 ＸＴ ＝ｌ Ｓ Ｓ μ ２ 则 ＸＴ ， ２， ＹＴ 的联合分布函数 σ／ Ｔ －ｘ ＋μ Ｐ ＸＴ ｘ， ＹＴ ｙ｝ ＝Ｎ － ｛ Ｔ σ槡
２ Ｔ ＋２ －ｘ ＋μ ｙ． ｅ ｘ ｐ μ ２ Ｎ σ Ｔ σ槡 不支付红利的股票指 定 理 １ 在 以 上 假 设 下 ， 数期权的定价
２ Ｘ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ － ｒ－ Ｓ０ ２ Ｚ ＝ａ ＝ ． Ｔ －ｔ σ槡
（）（ ）
）
ｒ Ｔ－ ｔ ｒ Ｔ－ ｔ － Ｖ ＝ｅ ＥＳ ｅ Ｎ － ａ－ ０
（
σ ｄ Ｑ ｄ ｌ ｎ Ｓ ｔ＋σ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． （ ｔ ＝ ｒ－ ２
所以在测度 Ｑ 下 ， 有 １２ Ｑ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ． ｐ ｒ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２
［ 收稿日期 ］ ２ ０ １ １－０ ５－１ ８ ［ ，男 ，湖北红安人 ， 作者简介 ］张凯凡 （ 湖北工业大学讲师 ， 研究方向为应用数学 １ ９ ７ ７－ ）
６ 卷第 ５ 期 张凯凡 鞅方法在股指期权定价中的应用 第２
９ ７
引理 １ 在测度 Ｑ 下 ， 股票价格的动态过程为 １２ Ｑ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ． ｐ ｒ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２
第２ ６ 卷第 ５ 期 Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６ Ｎ ｏ ． ５
湖 北 工 业 大 学 学 报 ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ Ｊ ｙ ｇ ｙ
２ ０ １ １年１ ０月 Ｏ ｃ ｔ ． ２ ０ １ １
（ ）
２
Ｔ －ｔ － ＸＮ （ σ槡 －ａ） ＝
ｒ Ｔ－ ｔ Ｓ Ｔ －ｔ － Ｘ ｅ Ｎ（ ． －ａ） σ槡 ０Ｎ － ａ－
（ ））
（
）
（（ ）
（ ）
（（
））
（（
）
）
则
２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ Ｘ ２ ， ｄ ２ ＝－ａ ＝ Ｔ －ｔ σ槡 ２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ Ｘ ２ ｄ Ｔ －ｔ ＝ ． σ槡 １ ＝ ａ－ Ｔ －ｔ σ槡
３ 小结
股票指数期权的重要功能是能为市场投资者提 供一套套期保值的 有 效 工 具 ， 达到了规避风险的目 的． 股指 期 权 成 为 金 融 衍 生 品 市 场 主 流 产 品 ． 股指 但它诞生之后却 期权虽然产生时间 晚 于 股 指 期 货 ， 显示出了强大的 生 命 力 ， 以 其 方 便、 灵 活、 可操作性 伴 强等特点受到投资 者 尤 其 是 套 期 保 值 者 的 青 睐 ， 随着交易品种的不断创新 ， 交易量持续攀升 ， 成为当 今金融衍生品市场 里 最 闪 耀 的 明 星 ． 我国股指期权 在这个环境下研究股指期权是 于２ ０ １ ０ 年 ４ 月推出 ， 非常有意义的 ．