鞅方法在股指期权定价中的应用
期权定价的基本原理及方法
一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
鞅方法在期权定价中的应用
在 期 权 定 价 中鞅 的 应 用 还 有 指数 半 鞅 的 期 权 定 价 方 法 、 偶 鞅 测 对 度 的期 权 定 价 方 法 、 续 鞅 期 权 定 价 方 法 等 等 。 连
一
￣ ｐ［ 圭 ＝ ｛印 ｅ－
（ — ）】
０ ｆ
（ ３ ）
（ ４）
又 如 在 计 算 美 式 买 权 价 格 的 上 下 界 时 ， 先 假 定 Ｔ为 到 期 时 间 ． 首 Ｋ 为 执 行 价 格 ．时 刻 买 权 的价 格 为 ： ｔ
大 学 学 报 ，０ ８２ （ ）１ ～ ４ ２ ０ ，８ ２ ： １ １
通 过 公 式 （ ） 贴 现 价 格 过 程 Ｓ 遵 循 鞅 分 布 。 １来 ，
ｓ ＝Ｓ ， Ｓ ＝（ ＋ｒ Ｓ １ ） （） １
【］薛 红 ， 玉 成 ． 在 未 定 权 益 定 价 中 的 应 用． ｔ ：ｗ ｗｖｒｌ ． ４ 彭 鞅 ｈｔ ／ ｗ ．ｅ ｉ ｐ／ ｙｂ ｃｍ Ｑ Ｋ ｎ８ １ ｏ ／ ｉ ａ／２
５ Ｙ／ ０ ０ ／ １ ８ ２ ．ｔ ８ ２ ０ ０３ ９ ８ ５ ２ ｈ ｍ
二 、 方 法 的 应 用 鞅
鞅 作 为 特 殊 的随 机 过 程 满 足 如 下 的条 件 ： 据 过 程 在 ｓ 刻 之 前 根 时 的 变 化 规 律 ．其 在 将 来 某 一 时 刻 ｔ 期 望 值 等 于 过 程 在 该 时 刻 ｓ的 的
值 。 如 在 公 平 赌 博 过 程 中 ， ｚｔ 示 某 一 赌 徒 在 ｔ 刻 所 拥 有 的本 用 （表 ） 时
完全市场中的资产定价--有限离散时间情形
完全市场中的资产定价--有限离散时间情形韩琦;包守鸿;胡永云【摘要】In this paper, we discussed asset pricing of single period model and multi-period model based on the complete market and limited discrete time situations. First, we gave the concept of the risk-free return and defined risk neutral probability by the concept of risk-free return. Based on risk neutral probability, we got the formula of asset rice. Second, by means of the risk neutral probability, we discussed multiphase asset pricing model, and got the stock pricing equation, particularly we got the European call option equation and discount price of asset price is a martingale about risk neutral proba-bility.% 研究完全市场中有限离散时间情形下的资产定价问题。
首先，给出了无风险收益的概念，借助无风险收益定义了一种风险中性概率。
基于这个概率，得到了资产的价格等于随机现金流与随机贴现因子乘积的期望，而且资产的价格还等于资产支付关于 q 的期望对无风险收益的贴现值。
其次，借助无风险概率考虑了资产在多期情形下的资产定价，得出了相应的股票期权公式，尤其作为推论给出了欧式看涨期权的定价公式，并对资产价格过程的鞅性作了讨论【期刊名称】《金融理论与实践》【年(卷),期】2012(000)009【总页数】5页(P6-10)【关键词】状态价格;无风险利率;风险中性概率;鞅;无套利;贴现【作者】韩琦;包守鸿;胡永云【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】F830.9金融资产的定价问题是现代金融理论的一个基本问题，以金融资产为标的资产的期权，是主要的金融衍生品，它是金融工程的主要工具，也是构成其他金融衍生产品的基础。
B值鞅的性质及鞅方法在金融市场中的应用
目录五邑大学硕士学位论文独创性声明......................................................2 摘要.............................................................................................3 Abstract .......................................................................................4 第一章 绪论 (6)1.1 B 值鞅型序列的基本定义.........................................................6 1.2 鞅方法应用在金融投资市场中的若干命题和理 (7)第二章 B 值鞅型序列性质的再探讨 (9)2.1 引言及预备知识.....................................................................9 2.2 主要结果与证明 (9)第三章 B 值鞅的RNP 及鞅不等式 (13)3.1 引言及预备知识.....................................................................13 3.2 主要结果与证明 (13)第四章 寻求财富过程和最优策略的一种优化的鞅方法 (16)4.1 引言………………………………………………………………………16 4.2 预备知识…………………………………………………………………17 4.3 寻找log()T Z密度...............................................................19 4.4 最优化问题的解决...............................................................23 4.4.1 价值函数的获取..................................................................23 4.4.2 财富过程的获取..................................................................23 4.4.3 最优策略的获取..................................................................25 4.5 结论 (26)本论文主要结论..............................................................................27 攻读学位期间发表的论文..................................................................29 致谢.............................................................................................30 参考文献 (31)五邑大学硕士学位论文独创性声明秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
鞅定价方法
鞅定价方法嘿，朋友！今天咱来聊聊鞅定价方法。
你知道吗，这鞅定价方法就像是一把神奇的钥匙，能打开金融世界里那神秘莫测的大门。
想象一下，金融市场就像一个巨大的迷宫，各种资产价格起起伏伏，让人眼花缭乱。
而鞅定价方法呢，就像是我们在迷宫里的指南针，帮我们找到正确的方向。
它可不是随随便便就出现的哦！那可是金融学者们经过无数次的思考和探索才发现的宝贝。
它基于一种很特别的理念，就好像是在告诉我们，市场里的价格变化虽然看似杂乱无章，但其实背后有着一定的规律可循。
比如说股票价格吧，它一会儿涨，一会儿跌，让人摸不着头脑。
但用鞅定价方法去分析，嘿，你就能发现一些有意思的东西。
它能让我们更清楚地看到价格波动的本质，就像给我们戴上了一副特殊的眼镜，让我们能看清那些隐藏起来的细节。
而且啊，这鞅定价方法可实用了呢！它能帮助投资者做出更明智的决策。
就好比你要去一个陌生的地方，有了一张详细的地图，是不是心里就更有底啦？鞅定价方法就是这样一张金融市场的“地图”。
你说，要是没有它，我们在金融的海洋里不就像没头苍蝇一样乱撞吗？那得损失多少机会，又得吃多少亏呀！所以说，鞅定价方法真的是太重要啦。
它能让我们对金融产品的价值有更准确的判断，不至于被那些表面的波动所迷惑。
这就像是一个聪明的侦探，能透过层层迷雾，找到事情的真相。
咱再想想，要是没有这样的方法，那些金融专家们怎么能在复杂的市场中如鱼得水呢？他们肯定是靠着这些厉害的工具呀！总之呢，鞅定价方法就是金融领域里的一颗璀璨明星，照亮了我们在金融世界里前行的道路。
它让我们能更好地理解市场，更好地把握机会。
你可别小瞧了它哟，说不定哪天它就能帮你在金融市场里大赚一笔呢！所以呀，一定要好好了解它，掌握它，让它为你所用。
怎么样，是不是觉得鞅定价方法很神奇呀？是不是也想赶紧去研究研究呢？哈哈！。
Black-Scholes公式的推导 - 鞅方法(风险中性定价方法)
~ 故 Vt = E ( e − r (T −t ) ( ST − K ) + |Ft) ˆ (( S − K ) + |Ft)， = e − r ( T −t ) E T
= dSt µ St dt + σ St dWt ， 0 ≤ t ≤ T , 设在客观测度P下， St 的动态为：
ˆ 公式可得: d ( 由 Ito
⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 dz ， 2π
1
1
= e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 rT − ( z −σ T ) 2 2
⋅
令 u = z − σ T , d 2 = d1 + σ T =
σ T
(ln
S0 1 + ( r + σ 2 )T ) ， K 2
J1 = e
− rT
∫
∞
−d 2
−∞
− K )+ ⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 − 2 z2 − K)⋅ e dz 2π
11=e− T∫σ∞ 1π
(ln
1 K −( r − σ 2 )T ) 2 S0
( S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
= J1 − J 2
令 d1 = −
1
σ T
∞
(ln
K S 1 1 1 − ( r − σ 2 )T ) = (ln 0 + ( r − σ 2 )T ) ， S0 K 2 2 σ T
故
∂g = −re − rt C (t , S ) + e − rt Ct (t , S ) ； ∂t ∂g = e − rt CS (t , S ) ； ∂S
第一讲 金融数学简介
四、金融数学的基础理论和最新进展
基础理论：
（1）证券组合的选择理论；
（2）资本性资产的定价理论（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）；
（3）套利定价理论（APT，Arbitrage Pricing Theory）
（4） Black-Scholes 期权定价公式；
第一讲 金融数学与金融工程介绍
一、金融数学介绍
金融数学是一门新兴的边缘科学, 是数学与金融学的 交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的, 其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资 产的定价理论。
近年来, 由于金融理论的长足进步、现代信息技术的 飞速发展以及金融市场的动荡, 金融创新步伐日益加快, 新 的金融产品、金融服务在市场上层出不穷，资金的流动也显 著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及 投资决策分析显得空前重要, 这些问题是现代金融理论与实
践中的核心问题。
由于所研究问题的复杂性,单纯的描述型方法已不适应 现代金融学研究的需要。现代金融学已从单纯的描述型学 科转变成分析型学科，通过建立证券市场的数学模型, 研 究其运行规律, 并正在向工程化阶段转变。人们把研制、 开发和实施新型金融产品的科学称为金融工程。而把相应 的数学上的建模、分析、计算称为金融数学。金融工程是 金融创新实现的手段, 金融数学是金融工程的基础, 并促 使金融工具不断创新。
进行的经济最优增长问题。从此以后,随机最优控制方 法已经应用到多数的金融经济学领域。
（2）鞅理论 现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在金融
市场是有效的假定下,证券（股票）的价格可以等价于一个鞅 随机过程。由Karatzas 和Shreve年等1999人倡导的鞅方法 直接把鞅理论引入到现代金融理论中,利用等价鞅测度的概念 研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市 场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生 金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论 的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生 证券定价问题,从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目
鞅方法在股指期权定价中的应用
２ 股 票交 易连 续 进行 ， 存 在交 易 费用 及 交 易 ） 不
税．
３ 股票 在期 权持 有期 内无 红利 支付 ． ）
１ ２ 等价鞅 测 度 的概 念 。
股 指 期 权 是 一 种 基 于 股 票 价格 指 数 的 衍 生 产 品。 然而 作 为不 同的衍 生产 品 ， 者产 品性 质有较 大 两
鞅 方 法 在 股 指 期权 定 价 中 的应 用
张 凯 凡
（ 北 工 业 大 学 理 学 院 ，湖北 武 汉 ４ ０ ６ ） 湖 ３ ０８
［ 摘
要 ］介 绍 了股 指 期 权 ， 利 用 等 价 鞅 测 度 定 理 给 出股 指 期 权 定 价 的 一 般 公 式 ， 究 了股 指 期 权 的 风 险 管 理 的 并 研
差 异． 指期 权买 卖 双 方 的权 利 义 务 关 系 和 风 险收 股
一
设 【， ， ｌ Ｑ Ｆ Ｐ 是一概率空间， Ｆ 是Ｆ的完备子盯
代数 的 一 个 增 加 族 ， 足 Ｆ —Ｖ Ｆ 其 中 Ｆ 满 ， 。一
益 是不对 称 的 ， 将使 交易 风险放 大 ， 这 并对 风险 防控 与交 易 、 结算 制度 提 出更 高 的要求 ． 有关 股指 期权 的研 究 较少 ， 并且 多 集 中在 股 指 期 权 的 市 场 价 格 的 统 计 分 析 描 述 ． 文 从 Ｂ ａｋ 本 ｌｃ — Ｓ ｈ ｌｓ１ 型 出发 利 用 等 价 鞅 测 度 定 理 得 到 了股 ｃ ｏｅ＿模
差 与该期 权 的乘数 之积 ．
其 中 ： 表股 票在 ｔ ｓ代 时刻 的价 格 ； 表债券 ； Ｂ代
表 示股 票 的期望 收益 率 ； 表示 波 动 率 ； ｒ为无 风 险 利率 ， ， ， ｒ均 为 常 数 ； 表 示 在 概 率 测 度 Ｐ ｄ
美国灾害保险期货期权风险中性定价的鞅方法探究
美国灾害保险期货期权风险中性定价的鞅方法探究
陈婷婷;王玉文
【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2015(031)002
【摘要】在考虑连续情形、几何平均保险期货价格的基础上研究欧式看涨保险期货期权的定价,运用风险中性定价的鞅方法,最终给出了连续情形、几何平均欧式看涨保险期货期权的定价.
【总页数】3页(P9-11)
【作者】陈婷婷;王玉文
【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.浮动敲定价格几何平均亚式期权的风险中性定价 [J], 曹桂兰;王勇;
2.浮动敲定价格几何平均亚式期权的风险中性定价 [J], 曹桂兰;王勇
3.非风险中性定价意义下幂函数族期权定价模型 [J], 潘坚;郭豫芳
4.美国灾害保险期货期权风险中性定价的偏微分方程方法探究 [J], 陈婷婷
5.美国巨灾灾害保险期货期权的保险精算定价 [J], 亢铁莹;王玉文
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Black-Scholes期权定价模型的拓展
生产品， 它的定价很早就受到人们的极大关注，因 为其定价过程与股票价格有着很大的联系．９０ １０ 年
险变 动情 况 下 的欧 式 期权 定 价 公式 ．１７ ９ ６年 ， Ｍｅ ｏ ｒ ｎ建立了扩散 一 ｔ 跳跃方式下的欧式期权定价
Ｌ ｕｓＢ ｃｅ ｅ ｌ ｏ ｉ ａｈｌｒｌ ｉＩ 首次提 出股票价格变化过程可 以
的、 信息 不对 称 的 、 在套 利和 跳跃 式 波动 的不 断 存
（ ＝ ） ） ， ）， ｔ ） ） ， ， ＋ ） ｑ ） ＋ （ 一 ） ｄ ， （ ｄ
推导出了直至今 日最著名的ＢａｋＳｈ ｌ 期权定价 ｌ —ｃｏ ｓ ｃ ｅ
方程Ｉ 但是， ｌ ｋＳｈ ｌ 期权定价方程中的参 ３ ． Ｂａ ．ｃｏ ｓ ｃ ｅ
数（ 股票收益率 、市场波动率等） 多为常数， 而且忽 略了交易费用及标的资产 的红利支付， 这两点显
阐述了完备市场和等价鞅测度之间的唯—性关系Ｌ ７ Ｊ ， 但他们没有给 出非完备市场条件下等价鞅的表述
ＢａｋＳｈ ｌ 期权定价模型的拓展 ｌ —ｃｏｅ ｃ ｓ
郭 翱， 丙振 徐 ，于利伟
（ 宁波大 学 理学院， 江 宁波 ３ ５ １ ） 浙 １２ １
摘要 ：假 定动 态风 险资产 价格 遵从扩散 一跳 跃 复合 泊松 过程 ，无风 险利 率 、股 票收 益率 、市场波
动率 、股 票红 利等 均为 自适应过 程，利 用 随机微 分 方程 和鞅 方法，得 到 了资产投 资组合 贴现 过程 鞅 成 立的条件 ．在相 同测度 下，考虑 到 交 易费用和 红利 支付 ，对 经典 ＢａｋＳｈｌｓ ｌ ．ｃｏｅ 方程进 行 了修 ｃ
在 ＢａｋＳｈｌ 期权定价模型建立之后， ９ ｌ —ｃｏ ｓ ｃ ｅ １７ ９ 年 Ｈ ｒｓｎ Ｋ ｅｓ ａ ｉ 和 ｒ 等人提出并发展了等价鞅测度 ｒｏ ｐ 方法， 得出了无套利和等价鞅测度等价的结论， 并 首次提出了 自 融资的概念；９ １ Ｈ ｒｓｎ Ｐ ｓａ １８ 年 ａ ｉ 和 ｌｋ ｒｏ ｉ
金融数学模型在外汇期权定价中的应用
毕业论文（设计）开题报告题目：金融数学模型在外汇期权定价中的应用学生姓名：指导教师：系别：专业、班级：学号：填表时间： 2010年xx月xx日一、立题依据（目的意义，国内外研究现状、水平与发展趋势）金融数学是一门新兴边缘学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视。
未定权益的定价和套期保值理论是金融数学研究的核心问题之一，它涉及现代余融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论、数理统计等学科。
它的理论研究不仅丰富和发展了现代金融学，而且对数学的许多分支起到了推动力的作用。
在跨国公司竞争自热化的时代，对汇率风险的控制和转移已经成为各公司重心之一，能否控制好风险汇率成为了企业生死存亡的关键。
研究意义：金融数学是一门新兴边缘学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视，1997年Nobel经济学奖授予Scholes和Merton，就是为了奖励他们在期权定价(如著名Black--Scholes公式)II等金融数学方面的贡献。
随着金融市场的蓬勃发展，金融市场呈现出高度的不确定性与高风险性，特别是这几年金融衍生工具给国际金融业造成巨大冲击，促使学术界和实业界开始考虑如何正确评估衍生产品的风险性，如何加强对资产投资组合的风险管理，这客观上为人们对金融衍生证券的重视创造了前提条件。
其次，由于未定权益定价的基本原理已融于其它的经济理论中，这使得关于未定权益定价一般原理的探索、期权定价模型的建立及其实证检验分析被金融学界越来越重视。
再次，金融数学模型的建立，对金融市场风险分析、预测与监控有着非常重要的作用。
国内外研究现状、水平与发展趋势：金融数学的历史最早可以追溯到1900年法国数学家巴歇里埃(Bachelier L．)的博士论文——“投机的理论”。
这位法国天才在Einstein和Wiener(正式建立了Brown运动的数学模型1905年)之前就已经认识了Wiener函数的一些重要性质，即扩散方程和Brown运动的极值分布，并在其博士论文投机理论(The Theorv ofSpeculation)中首次用Brown运动来描述股票价格的变化，并给出了欧式买权的定价公式。
鞅方法在股票市场中的应用
鞅方法在股票市场中的应用作者：李年平杨莉周俊来源：《经济研究导刊》2009年第18期摘要:从股票市场出发,通过对指数O—U模型期权定价进行再分析,在此基础上引入概率测度p*,从而在指数鞅成立条件下利用买卖平价关系得到定价公式,并应用于上证综合指数与深证成分指数收益率分析,得到股票市场的一般性结论。
关键词:鞅方法;股票市场;等价鞅测度;上证综合指数;深证成分指数中图分类号:F830.91文献标志码:A文章编号:1673-291X(2009)18-0074-02一、引言自1953年Doob首次系统地提出鞅论以来,作为有效的理论工具已广泛应用到各个领域,如马氏过程、点过程、估计理论、随机过程等。
在这些应用中,等价鞅测度成为了分析金融产品定价,消费金融投机套利机会,降低金融产品投资风险的主要工具。
在中国股票市场中,等价鞅测度是定价期权的关键,鞅假设是检验中国股票市场弱势有效性[1]的基础,面对金融危机中的股票市场,如何利用鞅方法对股票市场进行期权定价的有效分析呢?文献[2]给出了零时刻的定价公式,而本文从鞅方法基本内容出发,通过对股票市场中指数O—U模型期权定价进行再分析,得到对股票市场中的期权定价加入有效性假设研究的基础上的股票市场结论。
二、预备知识1.鞅的定义。
为了便于后面的说明,现在引入鞅的定义。
由于研究股票市场需要,故定义贴现股票价格过程的鞅测度。
在等价鞅测度下,下面命题对研究股票收益率十分必要。
命题[4]:在等价鞅测度下,每一种风险资产的期望收益率都等于无风险资产收益率。
三、主要结论为了研究股票市场期权定价加入有效性假设的一般性结论,先定义弱势有效市场假设。
定义4[1]:弱势有效市场的市场效率最低,是指当前股票价格能够充分的反映股票本身历史价格所包含的信息,在这种市场上,股票价格过去的变动趋势对于判断价格的未来走势没有任何关系,股票价格是相对独立的。
弱势在文献[2]中,对指数O—U模型给出了零时刻的价格定价公式,在这基础上,我们引入p*等价鞅测度,而在期权定价的鞅方法中最重要是找到等价鞅测度[5],使得贴现的股票价格过程是鞅。
鞅在期权定价中的应用
The Annals of Applied Probability1999,Vol.9,No.2,504–528PRICING CONTINGENT CLAIMS ON STOCKSDRIVEN BY L´EVY PROCESSES1By Terence ChanHeriot-Watt UniversityWe consider the problem of pricing contingent claims on a stock whose price process is modelled by a geometric L´e vy process,in exact analogy withthe ubiquitous geometric Brownian motion model.Because the noise pro-cess has jumps of random sizes,such a market is incomplete and there isnot a unique equivalent martingale measure.We study several approachesto pricing options which all make use of an equivalent martingale measurethat is in different respects“closest”to the underlying canonical measure,the main ones being the F¨o llmer–Schweizer minimal measure and the mar-tingale measure which has minimum relative entropy with respect to thecanonical measure.It is shown that the minimum relative entropy measureis that constructed via the Esscher transform,while the F¨o llmer–Schweizermeasure corresponds to another natural analogue of the classical Black–Scholes measure.1.Introduction.We consider the problem of pricing contingent claims on a stock whose price at time t,S t,is modelled by a geometric L´e vy processdS t=σt S t−dY t+b t S t−dtwhere Y is a general L´e vy process(satisfying some additional conditions)and not merely a Brownian motion.The classical option pricing theory of Black and Scholes relies on the fact that the payoff of every contingent claim can be duplicated by a portfolio consisting of investments in the underlying stock and in a bond paying a riskless rate of interest;in other words,the risk of buying or writing an option can be completely hedged against.In such complete mar-kets,there is a unique measure which is equivalent to the canonical measure (the“real world”measure)and which makes the discounted price process a martingale.The unique fair price of a contingent claim is then the expectation under this martingale measure of the discounted payoff at maturity,which is essentially the content of the famous Black–Scholes formula.For the stock prices described above,there are many equivalent measures under which the discounted price process is a martingale,in contrast to the geometric Brownian model.In other words,such a market is incomplete—that is,contingent claims cannot in general be hedged by a suitable portfolio. Because there does not exist a unique equivalent martingale measure,it is not possible simply to use the martingale measure to price a contingent claim in the manner just described.Instead,additional criteria must be used to select Received April1997;revised November1997.1Supported in part by the Carnegie Trust for the Universities of Scotland.AMS1991subject classifications.Primary90A09,60G35;secondary60J30,60J75.Key words and phrases.Option pricing,incomplete market,equivalent martingale measures.504OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES505an appropriate martingale measure from among the uncountably many such measures with which to price a contingent claim.Many different approaches to this problem have been proposed in recent years but there is as yet no definitive way of pricing contingent claims in incomplete markets which is preferable to the other possible methods in all situations.Moreover,compared to the large body of work devoted tofinding new approaches to option pricing in incomplete markets,relatively little seems to have been done to compare and to investigate the relationship between the various approaches.Part of the aim of this paper is to go a little way toward redressing the balance.For our particular model,we shall concentrate on various approaches to pricing options which are all based on the idea of using an equivalent martingale measure that is in different respects“closest”to the underlying canonical measure,the main ones being the F¨o llmer–Schweizer minimal measure and the martingale measure which has minimum relative entropy with respect to the canonical measure.2.Description of the model.Before describing the model,wefirst re-view some preliminary results concerning L´e vy processes.For a more detailed treatment,the reader is referred to Protter(1990),Jacod and Shiryaev(1987) and Liptser and Shiryayev(1989).A L´e vy process Y t is simply a process with stationary and independent increments:in other words,Y s+t−Y s is independent of Y u u≤s and has the same distribution as Y t−Y0.All L´e vy processes are semimartingales and throughout this paper we adopt the convention that all L´e vy processes are right continuous with left limits(cadlag).Since Y has stationary independent increments,its characteristic function must take the formE exp −iθY t =exp −tψ θfor some functionψ,called the L´e vy exponent of Y.The L´e vy–Khintchine formula says that2 1 ψ θ =c22θ2+iαθ+ x <1 1−e−iθx−iθx ν dx + x ≥1 1−e−iθx ν dxforα,c∈R and for someσ-finite measureνon R\ 0 satisfying2 2 min 1 x2 ν dx <∞The measureνis called the L´e vy measure of Y.The L´e vy–Khintchine formula(2.1)is intimately connected to the structure of the process Y itself,in particular to the L´e vy decomposition of Y,which we describe below.From the L´e vy–Khintchine formula we can deduce that Y must be a linear combination of a Brownian motion and a quadratic pure jump process X which is independent of the Brownian motion.[A process is506T.CHANsaid to be quadratic pure jump if the continuous part of its quadratic variation X c≡0,in which case its quadratic variation becomes simplyX t= 0<s≤t X s 2where X s=X s−X s−is the jump size at time s.]It will be convenient to explicitly separate out the Brownian component from the quadratic pure jump component X and we therefore write2 3 Y t=cB t+X twhere B is a standard Brownian motion on R and X is quadratic pure jump. We now proceed to describe the L´e vy decomposition of X[the full L´e vy de-composition of Y is then obtained by combining this with(2.3)].Let Q dt dx be a Poisson measure on R+×R\ 0 with expectation(or intensity)measure dt×ν whereνis the L´e vy measure introduced earlier and dt denotes Lebesgue measure.The measureν(or more precisely dt×ν)is also sometimes called the compensator of Q.The L´e vy decomposition of X says that2 4 X t= x <1 x Q 0 t dx −tν dx + x ≥1 x Q 0 t dx +t E X1− x ≥1 xν dx= x <1 x Q 0 t dx −tν dx + x ≥1 x Q 0 t dx +αtwhere we have putα=E X1− x ≥1 xν dxThe parameterαis called the drift of the L´e vy process X.For the purposes of our model,we require the process Y to satisfy certain additional conditions.The key assumption we require of Y is that2 5 E exp −hY1 <∞for all h∈ −h1 h2 ,where0<h1,h2≤∞.This implies that Y t hasfinite moments of all orders, and in particular,E X1 <∞.In terms of the L´e vy measureνof X we havex ≥1 e−hxν dx <∞(2.6a)x ≥1 xγe−hxν dx <∞∀γ>0(2.6b)x ≥1 xν dx <∞(2.6c)OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES507 for all h∈ −h1 h2 .[Note that as(2.6a)holds for all h in an open interval, (2.6b)and(2.6c)follow from(2.6a).]With these assumptions in mind,(2.4)can be rewritten as2 7 X t= R x Q 0 t dx −tν dx +t E X1 =M t+atwhere M t= R x Q 0 t dx −tν dx is a martingale and a=E X1 .Ob-serve that(2.7)gives the Doob decomposition of X as the sum of a martingale and a previsible process offinite variation.Even though a is not the drift of X in the sense in which the term is usually understood(αis the drift in the technical sense),we shall see later that a plays the role of a drift contribution from the jump component of Y.We refer to a(or more correctly,the process t→at)as the previsible part of X.In addition,(2.5)implies that instead of the characteristic function,one could consider the Laplace transform of Y t instead.By a slight abuse of nota-tion,we also useψto denote the“L´e vy exponent”and write E exp −θY t = exp −tψ θ .Bearing in mind the simplified decomposition(2.7)for processes satisfying(2.5),the L´e vy–Khintchine formula(2.1)now becomes2 8 ψ θ =−c2θ22+aθ+ R 1−e−θx−θx ν dxA very similar analysis can be carried out for more general semimartingales with jumps and in particular for processes with independent but not neces-sarily stationary increments.Jacod and Shiryaev(1987)have a full treat-ment.A random measure Q dt dx is also associated with such a process, but it is not necessarily a Poisson measure.As in the case of L´e vy processes, the measure Q describes the mechanism by which jumps of the process oc-cur.The compensator of Q is the unique previsible measureν dt dx such that Q 0 t −ν 0 t is a martingale for any Borel set ⊂R\ 0 .If the process in question has independent increments,the measureνis neces-sarily deterministic,so Q is an inhomogeneous Poisson measure.[For L´e vy processes,the stationarity of increments implies thatν dt dx =dtν dx .] The compensator can also be characterized as the unique previsible measure such that2 9 E 0 t × H s x Q ds dx =E 0 t × H s x ν ds dxfor any Borel set and any previsible process H.We also have an analogue of the L´e vy–Khintchine formula:E exp −θX t =exp −ψX t θ where 2 10 ψX t θ =a tθ+ R 1−exp −θx −θx ν 0 t dxwhere a t=E X t is the previsible part of X.Together with the quadratic variation of the continuous part of X(which is zero if X is quadratic pure jump as in our case),the compensator measure and previsible part form the508T.CHANthree components of the characteristics of a semimartingale.The following result is also worth noting:for any measurable function f t x ,2 11 0<s≤t f s X s = t0 R f s x Q ds dxNext,we recall Itˆo’s formula for cadlag semimartingales.If X1 X2 X n are cadlag semimartingales and f a C2function,thenf X1t···X n t −f X10···X n0= t0f i X1s−···X n s− dX i s+12 t0f i j X1s−···X n s− d X i X j c s+ 0<s≤t f X1s···X n s −f X1s−···X n s− −f i X1s−···X n s− X i swhere X i X j c is the continuous part of the mutual variation of X i and X j, f i=∂f/∂x i,f i j=∂2f/∂x i∂x j and we have used index summation convention. This will often be abbreviated tod f X1t X2t···X n t=f i X1t−···X n t− dX i t+12f i j X1t−···X n t− d X i X j c t+f X1t···X n t −f X1t−···X n t− −f i X1t−···X n t− X i t Turning now to a description of the model,on a probability space t P ,let Y t=cB t+X t=cB t+M t+at be a L´e vy process of the form described earlier,satisfying the condition(2.5).We assume that thefiltration t is the minimal one generated by Y.The stock price S t is the solution of the stochastic differential equation2 12 dS t=σt S t−dY t+b t S t−dt=σt S t− c dB t+dM t + aσt+b t S t−dtwhere the coefficientsσt and b t are deterministic continuous functions.Equa-tion(2.12)has an explicit solution[see Protter(1991)]given by2 13 S t=S0exp t0σs dY s+ t0 b s−c2σ2s2 ds× 0<s≤t 1+σs Y s exp −σs Y s=S0exp t0cσs dB s+ t0σs dM s+ t0 aσs+b s−c2σ2s2 ds × 0<s≤t 1+σs M s exp −σs M sFrom this we see thatσ S u u≤t = t and so a contingent claim T expiring at time T may be regarded as a nonnegative T-measurable random variable.OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES509 The Doob decomposition of Y suggests that b t+aσt rather than b t should be regarded as the drift in(2.12).Although in practice,a and b cannot be estimated separately and consequently there is no need to add a drift to X separately from b in(2.12),we have chosen to consider the parameters a and b separately for convenience,because the value of a is often implicit in the specification of a particular process as X and so cannot be chosen indepen-dently(e.g.,if we specify that X be a Poisson process of rateλ,this forces a=λ).In order to ensure that S t≥0for all t almost surely,we needσt M t≥−1 for all t.This in turn implies that the jumps of X must be bounded on at least one side,that is,either bounded from below or bounded from above. Suppose that X t= M t∈ −c1 c2 which is equivalent to saying that the L´e vy measureνis supported on −c1 c2 where c1,c2≥0and one(but not both)of c1,c2may be infinite.This implies that at least one of h1,h2in(2.5) must be infinite.In order to ensure that S t≥0we need2 14 −1c2≤σt≤1c1for all t.As far as the Brownian component of Y is concerned,the sign of the volatilityσis inconsequential,but if one were to keep to the usual convention thatσ>0, then(2.14)shows that the jumps of X should be bounded from below(i.e., c1<∞).The conditions(2.5)and(2.14)will of course rule out any processes with“fat-tailed”distributions such as stable processes.However,the allowable L´e vy processes here include all the processes considered in Gerber and Shiu (1994):for example the gamma,the inverse Gaussian,the Poisson and the difference of two independent Poisson processes.The riskless rate of interest is given by a deterministic continuous function r t and the value P t of a bond or bank account paying this rate of interest evolves according to the ODE˙P t=r t P tAs withσand b,we could also allow r to be adapted to t ,although this is a less useful generalization in practice.For notational convenience,we denote byˆS t the discounted stock price defined by2 15 ˆS t=exp − t0r s ds S tIt will be seen in the next section that,in this model,there are many mea-sures,equivalent to the underlying canonical measure P,which makesˆS t a martingale.We conclude this section by briefly mentioning some other similar models which have been considered by various authors.Bardhan and Chao(1993)con-sidered a similar model where the noise consists of several Brownian motions and several point processes whose jumps are all of size1but whose intensities510T.CHANmay not be time-homogeneous and may be random.However,the contingent claims they considered are on more than one stock,where the number of stocks exactly equals the total number of noise terms(Brownian motions and point processes).This,together with the fact that the jump sizes arefixed,ensure that their model is complete.Aase(1988)is essentially an attempt at a more general model than that of Bardhan and Chao,where the point process may have random jump sizes but still afinite number of jumps in anyfinite time interval.Unfortunately,Aase(1988)claims that the model is also complete even though there are more than one equivalent martingale measure;this is false because it contradicts a well-known theorem of Harrison and Pliska (1981,1983)to the effect that completeness of the market is equivalent to uniqueness of the equivalent martingale measure.Indeed,Aase(1988)claims that every martingale can be represented as an integral with respect toˆS t,in the form2 16 t0θs dˆS swhereθt is a previsible process.(The existence of such a representation is equivalent to completeness.)This is false,as the martingale representation theorem[see,e.g.,Jacod and Shiryaev(1987)]for the jump processes consid-ered in Aase(1988)(which includes certain classes of L´e vy processes)says that every martingale has the representationt0H s x ˜Q ds dx −˜ν ds dxwhere˜Q ds dx is a random jump measure whose compensator is˜ν—analogous,respectively to the Poisson and L´e vy measures associated with a L´e vy process—and where H s x is a previsible Borel function(see the next section for a precise definition).We shall see in the next section that, under any equivalent martingale measure,the jump part ofˆS t has the representationt0γs d˜M s= t0 Rγs x ˜Q ds dx −˜ν ds dxHence,in order that the representation(2.16)holds,we need H s x =θsγs x, which of course is not true in general.Finally,Gerber and Shiu(1994)con-sider the case where the stock price is modelled by a process of the form exp σY t+bt ,whereσand b are constants and Y is a L´e vy process satisfying (2.5).This has many similarities with our present model and both are obvious generalizations of the geometric Brownian model.The program carried out in the next section can be equally well carried out for the Gerber–Shiu model, often with only fairly minor modifications.Each model has its own advantages and disadvantages.The main advantage of the Gerber–Shiu model is that the jumps of X can be of any size and do not have to be bounded from one side. The present model based on(2.12)describes the price dynamics in a mannerOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES511 which is intuitively more natural and is also more appealing in other mathe-matical respects.This is because the starting point of the classical geometric Brownian model is(2.12);that the price S t also has the form exp σ Y t+b t isa direct consequence of the stochastic calculus involved,in particular,Itˆo’s for-mula.For discontinuous L´e vy processes,Itˆo’s formula is rather different and so a model which takes as its starting point a differential equation like(2.12) and then takes account of the differences in the underlying stochastic calculus in the subsequent computations is more likely to lead to simpler calculations and more attractive results.This point is illustrated in Section3.3in relation to the Esscher transform and minimum relative entropy measure.Gerber and Shiu(1994)deal only with pricing contingent claims by Esscher transforms, without explaining why the Esscher transform is a particularly appropriate martingale measure to use.[However,in their response to the discussions that follow their paper,they give a justification of the Esscher transform in terms of utility;see page175of Gerber and Shiu(1994).]We shall show that it is the martingale measure which has minimum relative entropy with respect to the canonical measure.3.Equivalent martingale measures and pricing formulas.We be-gin by characterizing all equivalent martingale measures Q under which the discounted price processˆS defined at(2.15)is a t -martingale.To this end, wefirst need to characterize all the measures which are absolutely continuous with respect to P.We continue to use the notation established in the previous section.In particular,Y t=cB t+X t is a L´e vy process satisfying(2.5)and X t is a quadratic pure jump L´e vy process with L´e vy measureνsupported on a subset of −c1 c2 ,where at least one of c1,c2isfinite.The Doob–Meyer decompo-sition of X is given by X t=M t+at,where M is a quadratic pure jump martingale with M0=0and a=E X1 .If Q dt dx is the Poisson measure associated with X,let M dt dx =Q dt dx −dtν dx denote the compen-sated measure.Thus,for example,the martingale part of X can be written as M t= t0 R x M ds dx .Further,expectations under the canonical measure P will be denoted by E · while expectations with respect to any other measure Q will be denoted by Q · .Let denote the previsibleσ-algebra on ×R+associated with thefiltra-tion t and let˜ = × ,where is the Borelσ-algebra on R.A function H ω t x which is˜ -measurable will be called Borel previsible.Thus,sup-pressing the explicit dependence onω,a Borel previsible function or process H t x is one such that the process t→H t x is previsible forfixed x and the function x→H t x is Borel-measurable forfixed t.Lemma3.1.Let G t and H t x be previsible and Borel previsible processes respectively.Suppose thatE t0G2s ds <∞512T.CHANand H≥0,H t 0 =1for all t≥0.Let h t x be another Borel previsible process such that3 1 R H t x −1−h t x ν dx <∞Define a process Z t by3 2 Z t=exp t0G s dB s−12 t0G2s ds+ t0 R h s x M ds dx− 0 t ×R H s x −1−h s x ν dx ds × 0<s≤t H s X s exp −h s X sThen Z is a nonnegative local martingale with Z0=1and Z is positive if and only if H>0.Remark.The process h referred to in Lemma3.1is,of course,not unique. However,given H,it is essentially unique in the following sense:suppose that h t x and f t x are two Borel previsible processes such that(3.1)holds;then because R f t x −h t x ν dx <∞,it is an easy exercise to check that the process Z is unchanged if h is replaced by f in(3.2):simply write f= h+ f−h .[However,note that it is crucial that R f t x −h t x ν dx <∞: the terms involving h in(3.2)do not cancel precisely because R h t x ν dx may diverge.]Thus,once H isfixed,Z does not depend on the choice of the process h satisfying(3.1).Of course,the easiest and most obvious choice of h is h≡H−1 However,in the present context,particularly in connection with the Esscher transform discussed below,it is useful to allow more general choices of h.In the case where x→H t x is twice-differentiable,the natural choice of h t x ish t x =x ∂H∂x t 0 =h t x say,for then H t x ∼1+h t x+O x2 as x→0and because of(2.6c)we simply have to choose H so thatx ≥1H t x ν dx <∞We shall henceforth assume that h t x =h t x is related to H t x in this way.Proof of Lemma3.1.It is clear that Z is nonnegative(resp.,positive)if and only if H≥0(resp.,H>0).That Z is a local martingale is a simpleOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES513consequence of Itˆo’s formula;indeed,noting that Z t−Z t−=Z t− H t X t −1 ,Itˆo’s formula givesZ t=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R h s x Z s−M ds dx− t0 R Z s− H s x −1−h s x ν dx ds+ 0<s≤t Z s− H t X t −1−h s X s=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R h s x Z s−M ds dx+ t0 R Z s− H s x −1−h s x M ds dx=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R Z s− H s x −1 M ds dxThis last expression is a local martingale.2The processes G,H and h can be chosen so that E Z t =1for all t,in which case Z is a martingale.The next result is essentially a summary of Theorems3.24and5.19in Chapter III of Jacod and Shiryaev(1987)as they apply to the present setting.Theorem3.2.Let˜P be a measure which is absolutely continuous with re-spect to P on T.Thend˜Pd P T=Z Twhere Z is as in Lemma3.1,for some G,H and h for which E Z T =1. Moreover,under˜P,the process3 3 ˜B t=B t− t0G s dsis a Brownian motion and the process X is a quadratic pure jump process with compensator measure given by˜ν dt dx =dt˜νt dx ,where3 4 ˜νt dx =H t x ν dxand previsible part given by3 5 ˜a t=˜P X t =at+ t0 R x H s x −1 ν dx dsRemark.Jacod and Shiryaev(1987)treat only the case that h≡H−1 for the process Z in Lemma3.1.Also,in their treatment of characteristics of general semimartingales,Jacod and Shiryaev(1987)introduce truncation functions,and the corresponding results in Theorem3.24of that book depend514T.CHANin part on the choice of truncation function.In the present situation,assump-tion(2.6c)renders the introduction of truncation functions unnecessary.Turning now to the problem of pricing a contingent claim T,we wish to find an equivalent measure Q under which the discounted price processˆS t as defined in(2.15)is a martingale;the price of T is then Q exp − T0r s ds T . By Theorem3.2,under Q,X has Doob–Meyer decomposition3 6 X t=˜M t+at+ t0 R x H s x −1 ν dx dswhere˜M is a Q-martingale.In fact,˜M t=M t− t0 R x H s x −1 ν dx dswhere M is the P-martingale in the Doob–Meyer decomposition of X under P. Note that ˜M t= M t.Therefore,writing the discounted share priceˆS t in terms of the Q-martingale˜M and Q-Brownian motion˜B,we haveˆS t=S0exp t0cσs dB s+ t0σs dM s+ t0 aσs+b s−r s−c2σ2s2 ds × 0<s≤t 1+σs M s exp −σs M s=S0exp t0cσs d˜B s+ t0σs d˜M s+ t0 aσs+cσs G s+b s−r s−c2σ2s2 ds+ t0σs R x H s x −1 ν dx ds × 0<s≤t 1+σs ˜M s e−σs ˜M sSinceexp t0cσs d˜B s+ t0σs d˜M s− t0c2σ2s2ds 0<s≤t 1+σs ˜M s exp −σs ˜M sis a Q-martingale,a necessary and sufficient condition forˆS to be a martingale under Q is the existence of G and H for which the process Z in Lemma3.1isa positive martingale and such that3 7 cσs G s+aσs+b s−r s+ Rσs x H s x −1 ν dx =0for all s,almost surely.Note that h does not appear in(3.7),which is another reflection of the fact that h is essentially unique,given H,in the sense of the remark following Lemma3.1.It will turn out that G and H are in fact deterministic functions in all the cases considered in the sequel;in this case, (2.5)ensures that Z in Lemma3.1is a positive martingale and the key con-dition for an equivalent martingale measure is then(3.7).Moreover,B andOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES515 X are still independent and have independent increments under Q in this connection,note that˜νis a deterministic measure.Of course,(3.7)does not specify G and H,and hence the equivalent martin-gale measure Q,uniquely.Below,we examine various approaches to choosingG and H based on other criteria,additional to(3.7).3.1.The F¨o llmer–Schweizer minimal measure.Recall that when the noise Y in(2.12)is just a standard Brownian motion,the unique equivalent mar-tingale measure Q is obtained by3 8 d Q d P T=Z Twhere Z satisfiesdZ t=γt Z t dB tand the processγis chosen so as to makeˆS a martingale under Q.In the present setting,a natural analogue of this would be to use the martingale measure Q defined by(3.8),where the Radon–Nikodym derivative Z is now given bydZ t=γt Z t− c dB t+dM tor equivalently3 9 Z t=1+ t0γs Z s− c dB s+dM sIn other words,the Brownian motion in the classical Black–Scholes setting has been replaced by the martingale part of the noise process Y.We saw in the proof of Lemma3.1that,in general,Z t=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R Z s− H s x −1 M ds dx Comparing this last expression with(3.9),we see that we require3 10 H s x −1=c−1G s x=h s xso thatγs=c−1G s.[When c=0,this just boils down to G≡0 H s x −1=γs x.]To obtain a martingale measure,we now use the martingale condition (3.7)together with(3.10).Puttingv= R x2ν dxit is easily verified that the solution to(3.7)and(3.10)is3 11G s=c r s−b s−aσsσs c2+v H s x −1= r s−b s−aσsσs c2+vx516T.CHANIn(3.9),we therefore have3 12 γs=r s−b s−aσsσs c2+vFinally,we need some conditions to ensure that H s X s >0;otherwise, the measure we have obtained will not be a probability measure but only a signed measure.Since we are assuming throughout this paper that the jump size X∈ −c1 c2 ,we require the right-hand side of(3.11)of be greater than −1for all x∈ −c1 c2 ,which is equivalent to the condition that3 13 −1c2< r s−b s−aσsσs c2+v<1c1So far,we have done nothing more than show that one can obtain an equiv-alent martingale measure by drawing an obvious analogy with the classical Black–Scholes setting.It turns out,however,that the martingale measure given by(3.8),(3.9)and(3.12)is precisely the F¨o llmer–Schweizer minimal measure introduced in F¨o llmer and Schweizer(1991),which we shall proceed to show.The minimal measure is closely connected to a hedging portfolio,which minimizes the risk involved in trying to duplicate a contingent claim T(pro-vided such a portfolio exists).We briefly sketch the main ideas below,following closely the treatment in F¨o llmer and Schweizer(1991)but omitting some of the technical assumptions not essential to the exposition.We adopt the notational convention that for any quantity f t,the discounted quantity will be denoted byˆf t=exp − t0r s ds f t.The value V t of any hedg-ing portfolio can be written as V t=ξt S t+ηt exp t0r s ds and hence the discounted value isˆV t=ξtˆS t+ηtwhereξandηare,respectively,the number of units of stock and bond.Only strategies for which V T= T P-a.s.are admissible.Define the cumulative cost at time t byC t=ˆV t− t0ξs dˆS sand the remaining risk byE C T−C t 2 t(In complete markets,C t is constant and hence the risk is zero.)The idea is to look for strategies ξ η which minimizes the remaining risk in a local sense: the risk is minimal under all“infinitesimal perturbations”of the strategy at time t.This is equivalent to the following precise technical definition.Definition3.1.An admissible strategy ξ η is called optimal if the asso-ciated cost C is a square-integrable martingale orthogonal to the martingale part(in the Doob decomposition)ofˆS under P.。
金融数学蔡明超答案
金融数学蔡明超答案【篇一：金融学书单】学，兹威博迪，罗伯特莫顿（中文版）2、asset pricing 2005， john h. cochrane3、dynamic asset pricing , duffie4、continuous-time finance robert c. merton6、the handbook of fixed income securities 7the,frank j. fabozzi7、investments--bodie, kane, marcus 5ed8、principle of financial engineering，salih n. neftci9、financial engineering and computation,yuh-dauh lyuu11、a benchmark of quantative finace,eckhard platen12、dynamic structure modeling,sanjay k. nawalkha13、numerical methods for finance,jhon a.d.appleby14、corporate fiance 6e,ross?westerfield?jaffe15、corporate finance-theory practice，pascal quiry maurizio dallocchio yann le fur antonio salvi16、the theory of corporate finance，jean tirole17、handbook of corporate finance1,william t. ziemba18、handbook of corporate finance2,william t. ziemba19、principles of corporate finance, seventhedition,brealey?meyers20、mergers, acquisitions and corporate restructuring,patricka. gaughan21、mergers, acquisitions and corporaterestructuring,chandrashekar krishnamurti vishwanath s.r.22、the economics of money,banking and financial markets,mishkin23、monetary economics,jagdish handa24、monetary theory and policy，carl e. walsh25、financial markets and institutions 5e,peter howells and keith bain26、handbook of finance financial markets and instruments - (2008),frank j. fabozzi27、microeconomics of banking 2e,xavier freixas and jean-charles rochet28、the economics of exchange rates,lucio sarno29、handbook of international banking 2003,andrew w. mullineux30、international finance--putting theory into practice,piet sercu31、advances in behavioral finance,richard h. thaler32、股市趋势技术分析33、资本市场的混沌与秩序(第二版)34、专业投机原理35、通向金融王国的自由之路36、非理性繁荣37、伟大的博弈38、国际金融钱荣堃南开大学出版社39、公司财务原理布雷利等著，方曙红等译，机械工业出版社40、投资学博迪、凯恩、马库斯著，陈收、杨艳译机械工业出版社41、货币银行学易纲、吴有昌著上海人民出版社42、财政学陈共著中国人民大学出版社43、本杰明-格雷厄姆：《证券分析》(securities analysis)44、理查斯-盖斯特：《金融体系中的投资银行》(investment banking in financial system)45、布鲁斯-格林威尔：《价值投资》(value investing)46、彼得-伯恩斯坦：《有效资产管理》(the intelligent asset allocater)47、理查德-费里：《指数基金》(all about index funds)48、大卫-史文森：《机构投资与基金管理的创新》(pioneering portfolio management)49、斯蒂芬-戴维斯：《银行并购：经验与教训》(bank mergers: lessons for the future)50、financial management and analysis, frank j.fabozzi51、货币金融学，米什金，中国人民大学出版社，199852、金融市场学，郑振龙，高等教育出版社53、资本市场的混沌与秩序，彼得斯，经济科学出版社，199954、finance, zvi bodie, robert c.merton,中国人民大学出版社，200055、货币、信用与商业，马歇尔56、资本市场：机构与工具，frank j.fabozzi,佛朗哥.莫地利安尼，经济科学出版社，2th,199857、the financial analyst’s handbook,sumner n.lenving58、资本理论及其收益率，罗伯特.索络，商务印书馆，199259、货币、银行与经济，托马斯.梅耶60、货币与资本市场，8th,peter.s.rose,中国人民大学出版社，200661、金融工具手册，frank.j.fabozzi,上海人民出版社，2006.762、金融体系：原理与组织，埃德温.尼夫，中国人民大学出版社，200563、管制、放松与重新管制，艾伦.加特，经济科学出版社，199964、corporate finance,rose,westerfield,5th edition, mcgraw-hill65、maximizing corporate value, george m.norton66、应用公司理财67、公司财务原理，布雷利迈尔斯,东北财经大学出版社68、现代企业财务管理，11th詹姆斯.c.范霍恩，经济科学出版社，200269、financial market and corporate strategy, glinbratt,70、时间序列分析预测与控制，george e.p box71、金融数学与分析技术，蔡明超72、计量经济模型与经济预测，平尼克.鲁宾费尔德，机械工业出版社73、金融数学，joseph stampfli,蔡明超译，机械工业出版社，2005.474、金融时间序列分析，ruey.s.tsay,机械工业出版社，2006.475、微观金融学及其数学基础，昭宇，清华大学出版社，2003.1176、计量经济分析方法与建模：eviews应用与及实例，高铁梅，清华大学出版社，200677、固定收益证券，布鲁斯.塔夫曼，科文（香港）出版社78、债券市场分析与战略，frank j.fabozzi79、全球金融市场的固定收益分析80、国际金融市场：价格与政策，2th,richard m.levich,机械工业出版社，200181、国际货币与金融，迈尔斯.梅尔文82、国际经济学，保罗.克鲁格曼，5th,中国人民大学出版社，200283、期权交易入门，e-book84、futures,forwards,options and swaps:theory and practice85、衍生产品，郑振龙，武汉大学出版社86、金融工程，约翰.马歇尔，维普尔.班赛尔，清华大学出版社，199887、financial risk manager handbook,philippe jorion88、米勒.莫顿论金融衍生工具，清华大学出版社，199989、asset-based finance,by citibank90、期权、期货与其他衍生产品，约翰.赫尔，3th,华夏出版社91、金融工程学，骆伦茨.格利茨，经济科学出版社92、金融工程学案例，斯科特.梅森，东北财经大学出版社，2001.493、options,futures other derivatives,fifth editon,hall94、投资圣经，沃伦.巴非特，台海出版社95、证券分析，本杰明.格雷汉姆，海南出版社，199596、资产选择－投资的有效分散化，哈里.马克维茨，经贸出版社97、投资学，威廉.夏普，中国人民大学出版社98、投资学，zvi bodie,6edition，机械工业出版社，2005.799、投资组合管理理论及应用，机械工业出版社100、金融心理学，拉斯.特维斯，中国人民大学出版社，2000101、格雷汉姆论价值投资102、新金融学：有效市场的反例，罗伯特.a.哈根，清华大学出版社，2002103、有效资产管理，威廉.波恩斯坦，上海财经大学出版社104、active equity portfolio management，frank j.fabozzi,上海财经大学出版社 105、微观银行学，哈维尔.佛雷克斯，西南财经大学出版社，1999106、handbook of international banking ,andrew w.mullineux 107、商业银行管理，5th,peter.s.rose,机械工业出版社，2004.8 108、银行信用风险分析手册，乔纳森.格林，机械工业出版社109、银行风险分析与管理，亨利.范.格罗，中国人民大学出版社110、银行资本管理：资本配置和绩效评测，克里斯.马腾，机械工业出版社，2004 111、银行管理－教程与案例，乔治.h.汉普尔，中国人民大学出版社，2002112、金融体系中的投资银行，查理斯.r.吉斯特，经济科学出版社 113、兼并与收购，中国人民大学出版社114、共同基金运作，阿尔伯特.j.弗里德曼，清华大学出版社，1998115、对冲基金手册(中文)，拉托尼奥，mcgraw-hill,2000116、指数基金，richard.a.ferri, 上海财经大学出版社117、伟大的博弈－华尔街帝国的崛起，约翰.戈登，中信出版社118、项目融资（哈佛经典），华夏出版社119、新帕尔格雷夫经济学大辞典第一、二、三、四卷：a-z，约翰.伊特维尔，经济科学出版社，1996120、公司治理学，李维安，高等教育出版社，2005121、会计学教程与案例，10th,罗伯特.n.安东尼，大卫.f.霍金斯，机械工业出版社（mcgraw-hill），2002122、《证券分析》，本杰明.格雷汉姆，海南出版社，2006，70周年纪念版123、《股史风云话投资》（stocks for the long run)，杰里米.西格尔，清华大学出版社，2004124、《投资者的未来》，杰里米.西格尔，机械工业出版社，2007 125、《与天为敌－风险探索传奇》，彼得.波恩斯坦，清华大学出版社126、《资产分配－投资者如何平衡金融风险》，罗杰.c.吉布森，机械工业出版社（mcgraw-hill)，2006127、《漫步华尔街》，伯顿.麦基尔，上海财经大学出版社，2002 128、《巴比伦富翁的理财圣经》，乔治.克拉森，学林出版社，2005129、《怎样选择成长股》，菲利普.a.菲舍，海南出版社，2006130、《金融炼金术》，乔治.索罗斯，海南出版社，1999131、《个人理财》，杰克.r.卡普尔，上海人民出版社，2006132、《1929年大崩盘》，约翰.肯尼斯.加尔布雷斯，上海财经大学出版社，2006.10 133、《解读华尔街》，杰弗里.b.里特，上海财经大学出版社（mcgraw-hill），2006 134、《金融理财原理》（上下册）（fpscc考试指定用书），中信出版社，2007135、《聪明的投资者》，本杰明.格雷汉姆，江苏人民出版社136、《共同基金常识》，约翰.博格137、《伯格投资－聪明投资者的最好50年》，约翰.博格138、《散户至上－证交会主席教你避险并反击股市黑幕》，阿瑟.莱维特，中信出版社，2005 139、《金融法概论》第5版，吴志攀著，北京大学出版社2011年版。
应用文-简析等价鞅测度及其应用
简析等价鞅测度及其应用'摘要：自从20世纪50年代后数理分析工具广泛用于金融分析领域，其中最为知名的当属M-M定理、CAMP以及无套利(APT)定理和鞅等价定理等。
在这当中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题。
并且，等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价、消除金融投机套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。
等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到。
剖析等价测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法、优化金融产品投资组合、降低金融产品投资风险将有所裨益。
\xa0关键词：鞅；测度；等价鞅测度\xa0早在1900年，法国人L.巴恰利埃在一篇关于金融投机的中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生证券的定价问题。
但是直到20世纪50年代，金融研究仅有一些含混不清的“大拇指法则”和对所观察到的财务数据的文字性描述。
然而进入50年代以后，数学工具在金融研究领域的应用蓬勃。
马科维茨1952年的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，又标志着现代金融理论的诞生。
随后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次应用无套利定理证明了以他们名字命名的M-M 定理。
同时，德布鲁（1959年）和阿罗（1964年）将一般均衡模型推广至不确定性分析当中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。
稍后，夏普（1964年）、林特内（1965年）和莫辛（1966年）共同导出了著名的资本资产定价模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡体系中证明了M-M定理。
20世纪70年代，布莱克推导出无风险不存在情况下的“零-ß\xa0CAPM”；萨缪尔森、鲁宾斯坦、克劳斯和利茨伯格导出了跨期CAPM；而莫顿则将伊藤积分引入经济分析；提出了连续时间的CAPM；另一方面，罗斯提出\xa0了与CAPM相平行的套利定价理论。
当然，上世纪70年代最具革命性意义的事件是布莱克和斯科尔斯的期权定价公式以及哈里森与克雷普斯的证券定价鞅定理。
与人民币汇率挂钩的结构性存款定价分析
与人民币汇率挂钩的结构性存款定价分析古岩【摘要】Foreign exchange structured deposit is an innovative financing product prevalent in the current mar-ket. It pays investors floating interests which link to the performance of certain assets instead of fixed income. RMB ex - linked structured deposit is a kind of structured deposits whose return paid to the investors is related to RMB exchange rate. It' s also one kind of RMB derivatives trade in the domestic financial market. Since the innovation and reform of China financial market, the domestic financial environments have changed a lot. The main task is to see whether the pricing of current RMB ex-linked structured product under these changes is reasonable or not, and provide some suggestions for its future pricing. Study on these problems will help to understand related financial de-rivatives ' characteristics, summarize the disadvantages in products designing, pricing and marketing, and enhance the capabilities of independent innovation and achieve the sound development of this kind of products.%外汇结构性存款产品是将固定利率变为浮动利率的创新产品,其收益与某一标的挂钩.与人民币汇率挂钩的结构性存款即收益率与人民币汇率相关联的外币存款,它同时也是国内金融市场中发行交易的一种人民币衍生产品.利率市场化及汇制改革以来,我国金融环境发生较大变化,着重研究这一变化下与人民币汇率挂钩的结构性存款产品的定价问题.通过数值计算、蒙特卡洛、Matlab仿真等方法验证现有的与人民币汇率挂钩结构性存款的定价是否合理并给出定价建议.对此类问题的研究将有助于科学合理地认识相关金融衍生产品的风险收益特征,总结产品设计、定价和营销等环节中存在的问题,增强自主创新能力,推动该产品在金融市场上的良性发展.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(011)036【总页数】8页(P9123-9130)【关键词】与人民币汇率挂钩的结构性存款;定价;蒙特卡洛;Matlab【作者】古岩【作者单位】上海交通大学安泰经济与管理学院,上海200052【正文语种】中文【中图分类】F832.5随着利率市场化改革不断深化，中央银行将逐步取消对银行存贷款利率的管制，力求通过公开市场业务，形成基准利率，由这个基准利率向货币市场和资本市场传递调控信息，形成各种金融市场的利率。
等价鞅的真正用法野鹤论道
等价鞅的真正用法野鹤论道
大家都在说等价鞅，野鹤认为，等价鞅除了在单次下注中的使用外，其实还有更重要的用法没有被大家所考虑。
但是在期货中，交易者却可以通过等价鞅的巧妙反向设计来取得长期的优势。
首先，前提是你必须有一套合理的交易理念和交易方法论，然后使用等价鞅的原理来增加你的长期优势。
比如我准备投入期货市场50万元，事先设定的风险是30％，也就是15万元总亏损后就退出交易了。
如果17万开始后继续亏损，那就到14万的时候停止，等于是20万亏了30％，然后追加剩余的30万元资金，形成总资金44万元，重新开始交易。
如果回到了50万元，就留下10万元继续交易，剩下的钱提出来留作备用，如果赔到了35万，那就彻底停止交易。
这套方法的好处是什么呢？
当你10万赔了30％的时候，从17万回到20万的回报率只需要17.6%
当你20万赔了30％的时候，从44万回到50万的回报率只需要13.6%
这种方法适用于有一定资金规模的资金管理者和基金来运用。
看到很多交易者习惯于顺利的时候增加投入资金，其实在数学上是不科学的。
好端端地从获利100％变成了亏损，就是因为追加资金后你的本金基数加大导致的。
上述所讲，是严格限制在资金管理范围内的，并不涉及加死码、顺势等其他方面的理念，敬请严格区分。
交易之路曲折而孤独，分享只为自渡，愿我们一同并肩相走。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ｒ－
（ （（ ） （ （（ ）
）
１２ Ｑ σ ｔ＋σ ΔＷｔ － Ｘ ＝ ２
） ） ） ）
０
Ｑ ， 随机过程 Ｗｔ ｓ ａ ｎ ｏ ｖ 定理得 ： ０ ≤ｔ ≤ Ｔ 是 Ω， Ｆ，
（
） （
）， 由 引 理 ２ 通 过 解 其 中 ， Ｚ ～ Ｎ（ ０， １ １２ ） Ｓ ｅ ｘ Ｔ －ｔ Ｔ －ｔ Ｚ － Ｘ ＝ ０， ＋σ 槡 ｐ ｒ－ σ （ ０ ２
［］ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ１ 模型出 发 利 用 等 价 鞅 测 度 定 理 得 到 了 股
股票 ， 它们分别满足
Ｐ ， （ ） ｄ Ｓ Ｓ ｄ ｔ＋σ Ｓ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） １ （ ｔ ＝μ ｔ ｔ
１ － （ ） Ｂ Ｂ ｄ ｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ２ （ ｔ ｄ ｔ ＝ｒ 其中 ： Ｓ ｔ 时刻的价格 ； Ｂ ｔ 代表股票在 ｔ 代表债券 ； μ 表示股票的期望收益率 ； ｒ 为无风险 σ 表示波动率 ；
（ ∫
ｔ
ｒ－μ Ｐ １ ｄ Ｗｓ － ０ ２ σ
∫（
ｔ
０
ｒ－μ ｄ ｓ ＝ σ
２
））
２
ｒ－μ Ｐ １ ｒ－μ ｅ ｘ ｔ． ΔＷｔ － ｐ ２ σ σ
ｄ Ｑ， １ Ｐ 令Ｚ 因为 Ｅ ｅ ｘ ｐ ｔ ＝ ｄ Ｐ ２
ｔ
２
（
１ 模型与公式
１． １ 模型的基本假设 ） 市场为有效的无摩擦市场 ， 有两种资产 ： 一种 １ 是无风险资产 ， 称 为 债 券， 另 一 种 是 风 险 资 产， 称为
［ （ ） 文章编号 ］ １ ０ ０ ３－４ ６ ８ ４ ２ ０ １ １ ０ ５ ０ ０ ９ ６ ０ ３ － －
鞅方法在股指期权定价中的应用
张凯凡
（ ） 湖北工业大学理学院 ，湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ８ ［ 摘 要 ］介绍了股指期权 ， 并利用等价鞅测度定理给出股指期 权 定 价 的 一 般 公 式 ， 研究了股指期权的风险管理的 并指明研究的价值与意义 ． Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ套期保值方法 ， ［ 关键词 ］股指期权 ；等价鞅测度 ； Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ公式 ；套期保值 － ［ 中图分类号 ］ Ｆ ８ ３ ０． １ ９ ［ ：Ａ 文献标识码 ］
Ｐ 利率 ， 表示在概率测度Ｐ ｒ 均 为 常 数； ｄ Ｗｔ σ， μ，
下布朗运动在ｔ 时刻的瞬间增量 ． ） 股票交易连 续 进 行 ， 不存在交易费用及交易 ２ 税． ） 股票在期权持有期内无红利支付 ． ３ １． ２ 等价鞅测度的槪念 设 Ω， Ｆ， Ｐ 是一概率空间 ， Ｆ σ ｎ 是Ｆ 的完备子 满 足 Ｆ ＝ ∨ｎ 其中 Ｆ Ｆｎ ， － 代数的一个增 加 族 ， ０ ＝
２ Ｘ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ － ｒ－ Ｓ０ ２ Ｚ ＝ａ ＝ ． Ｔ －ｔ σ槡
（）（ ）
）
ｒ Ｔ－ ｔ ｒ Ｔ－ ｔ － Ｖ ＝ｅ ＥＳ ｅ Ｎ － ａ－ ０
（
σ ｄ Ｑ ｄ ｌ ｎ Ｓ ｔ＋σ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． （ ｔ ＝ ｒ－ ２
所以在测度 Ｑ 下 ， 有 １２ Ｑ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ． ｐ ｒ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２
第２ ６ 卷第 ５ 期 Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６ Ｎ ｏ ． ５
湖 北 工 业 大 学 学 报 ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ Ｊ ｙ ｇ ｙ
２ ０ １ １年１ ０月 Ｏ ｃ ｔ ． ２ ０ １ １
９ ８
湖 北 工 业 大 学 学 报
２ ０ １ １ 年第 ５ 期
２ 股指期权风险管理
股指期权为购买者提供了非常好的规避市场系 统风险的工具 ， 但对于股指期权的出售方来说 ， 一方 面得到了期权费的 收 入 ， 另一方面也面临如何对冲
３］ 其暴 露 头 寸 的 问 题 ［ 笔者将衍生证券的价格变化 ．
（ ， 即 与其标的资产的价格变化的比率记为 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ Δ）
Ｃ ． Ｓ 其中 Ｓ 为股票指数价格的微小 变 化 ， Ｃ 为相应的 股指看涨期权的变化 ． Δ＝
设 Ｖ 为 某 股 指 期 权 的 价 格， 该股指期权的标 — — 股票指数的价格 Ｓ 类似于支付连续红利股票 的— ， 的价格 ． 设连续红利率为 ｒ 股票指数满足 ｄ Ｓ Ｓ ｄ ｔ＋σ Ｓ ｄ Ｗ （ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ｔ ＝μ ｔ ｔ 由Ｉ 有 Ｖ 为 Ｓ 和ｔ的函数 ， ｔ ｏ 定理 ，
（
２
）
１２ Ｑ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ， ｐ ｒ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２ 得
（（
）
）
（（
）
）
（ ） ４
ｒ Ｔ－ ｔ － Ｖ ＝ｅ ＥＳ ｅ ｘ ｐ ｒ－ ０
（
由定义１及 Ｇ ｄ ｓ， ｉ ｒ － ∫（ σμ）
ｔ
１２ （ ） ｒ Ｔ－ ｔ － ） ｅ ＥＳ ｅ ｘ Ｔ－ ｔ Ｔ －ｔ Ｚ －Ｘ ＋ σ槡 ｐ ｒ－ σ （ ０ ２
３ 小结
股票指数期权的重要功能是能为市场投资者提 供一套套期保值的 有 效 工 具 ， 达到了规避风险的目 的． 股指 期 权 成 为 金 融 衍 生 品 市 场 主 流 产 品 ． 股指 但它诞生之后却 期权虽然产生时间 晚 于 股 指 期 货 ， 显示出了强大的 生 命 力 ， 以 其 方 便、 灵 活、 可操作性 伴 强等特点受到投资 者 尤 其 是 套 期 保 值 者 的 青 睐 ， 随着交易品种的不断创新 ， 交易量持续攀升 ， 成为当 今金融衍生品市场 里 最 闪 耀 的 明 星 ． 我国股指期权 在这个环境下研究股指期权是 于２ ０ １ ０ 年 ４ 月推出 ， 非常有意义的 ．
Ｓ Ｓ Ｔ Ｔ ， ， ＝ｒ－ ｎ ＹＴ ＝ｌ ｎ 引理 ２ 设 ＸＴ ＝ｌ Ｓ Ｓ μ ２ 则 ＸＴ ， ２， ＹＴ 的联合分布函数 σ／ Ｔ －ｘ ＋μ Ｐ ＸＴ ｘ， ＹＴ ｙ｝ ＝Ｎ － ｛ Ｔ σ槡
２ Ｔ ＋２ －ｘ ＋μ ｙ． ｅ ｘ ｐ μ ２ Ｎ σ Ｔ σ槡 不支付红利的股票指 定 理 １ 在 以 上 假 设 下 ， 数期权的定价
Ｐ ， Ｐ 是风险概率测度 ，Ｗｔ ０ ≤ｔ≤ Ｔ 是该 Ω｝， ｛ φ， Ｐ 概率空间上的一维标准布朗运动 ， Ｆ ｔ 是由 Ｗｔ 产生
（
）
（
）
的σ － 代数 ． 若测度 Ｑ 满足 ｄ Ｑ ｘ ＝ｅ ｐ ｄ Ｐ
指期权定价的一般 公 式 ， 并研究了股指期权的风险 管理的 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ套期保值方法 ．
［ 收稿日期 ］ ２ ０ １ １－０ ５－１ ８ ［ ，男 ，湖北红安人 ， 作者简介 ］张凯凡 （ 湖北工业大学讲师 ， 研究方向为应用数学 １ ９ ７ ７－ ）
６ 卷第 ５ 期 张凯凡 鞅方法在股指期权定价中的应用 第２
９ ７
引理 １ 在测度 Ｑ 下 ， 股票价格的动态过程为 １２ Ｑ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ． ｐ ｒ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２
（ ）
２
Ｔ －ｔ － ＸＮ （ σ槡 －ａ） ＝
ｒ Ｔ－ ｔ Ｓ Ｔ －ｔ － Ｘ ｅ Ｎ（ ． －ａ） σ槡 ０Ｎ － ａ－
（ ））
（
）
（（ ）
（ ）
（（
））
（（
）
）
则
２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ Ｘ ２ ， ｄ ２ ＝－ａ ＝ Ｔ －ｔ σ槡 ２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ Ｘ ２ ｄ Ｔ －ｔ ＝ ． σ槡 １ ＝ ａ－ Ｔ －ｔ σ槡
ｒ Ｔ－ ｔ － Ｖ ＝ｅ ＥＳ Ｔ －Ｘ ．
）
（
）
σ ｄ Ｐ （ ） ｄ ｌ ｎ Ｓ ｔ＋σ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ３ （ ｔ ＝ μ－ ２
进而求得在测度 Ｐ 下 ， 股票价格的动态过程为 １２ Ｐ Ｓ ｅ ｘ ΔＷｔ ． ｐ μ－ σ ｔ＋σ ｔ ＝Ｓ ２
Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ ）． 其中 Δ 且Δ Ｗｔ Ｗｔ ０， ｔ ＝ Ｗｔ － Ｗ０ ， ～Ｎ （ Ｐ Ｑ 令 Ｗｔ ＝ Ｗｔ ＋
股票指数期权是在股票指数期货合约的基础上 期权购买者付给期权的出售方一笔期权费 ， 产生的 ． 以取得在未来某个 时 间 或 该 时 间 之 前 ， 以某种价格 水平 ， 即股指水平 买 进 或 卖 出 某 种 股 票 指 数 合 约 的 选择权 ． 第一份普通股指期权合约于 １ ９ ８ ３ 年 ３ 月在 该期权的标的物是标准· 芝加哥期权交易所 出 现 ． 普尔 １ 随后 ， 美国证券交易所和纽约 ０ ０ 种股票指数 ． 证券交易所迅速引 进 了 指 数 期 权 交 易 ． 指数期权以 其价值决定于作为标的 普通股股价指数作 为 标 的 ， 的股价指数的价值 及 其 变 化 ． 股指期权必须用现金 清算的现金 额 度 等 于 指 数 现 值 与 敲 定 价 格 之 交割 ． 差与该期权的乘数之积 ． 股指期权是一种基于股票价格指数的衍生产 品． 然而作为不同的衍生产品 ， 两者产品性质有较大 差异 ． 股指期权买 卖 双 方 的 权 利 义 务 关 系 和 风 险 收 这将使交易风险放大 ， 并对风险防控 益是不对称的 ， 与交易 、 结算制度提出更高的要求 ． 有关 股 指 期权 的 研究较少， 并且多集中在股指 期 权 的 市 场 价 格 的 统 计 分 析 描 述． 本文从 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ －
ｄ １ ＝
（）
其中 ｌ ｎ
（）（
２ Ｓ ０ σ （ ） Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ｑ＋ Ｘ ２ ， Ｔ －ｔ σ槡
）
２ Ｓ ０ σ （ ） ｌ ｎ Ｔ －ｔ ＋ ｒ＋ Ｘ ２ ， ｄ １ ＝ Ｔ －ｔ σ槡
（）（ ）
ｌ ｎ
ห้องสมุดไป่ตู้ｄ ２ ＝
（）（
２ Ｓ ０ σ （ ） Ｔ －ｔ ＋ ｒ－ｑ－ Ｘ ２ Ｔ －ｔ． ＝ｄ σ槡 １－ Ｔ －ｔ σ槡