第三讲 秩亏自由网平差

T
K = (NN)− BT PB X = N(NN)− BT PB
解：
ˆ X = N(NN)− BT PL
广义逆矩阵的概念
1）广义逆 ）广义逆A 1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列 、定义： 矩阵方程的A-定义为A的广义逆
nm mn nm
AA A = A
nm
−
2、广义逆 -的计算 、广义逆A A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。 A是列满秩时 A−1 = (AT A)−1 AT L A是行满秩时 −1 T T −1
经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。 一些特殊用途的控制网，如变形观测网、 一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测 网等，一般为自由网。 网等，一般为自由网。
1、经典自由网平差 、
例：
选定x3的高程为已知， 选定x3的高程为已知，则可列出误差方程 x3的高程为已知 为：
v1 1 0 l1 ˆ v = −1 1 x1 − l 2 x 2 ˆ2 l v3 0 −1 3
秩亏自由网平差： 秩亏自由网平差： 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数 而且又设所有网点坐标为参数， 据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平 差问题称为秩亏自由网平差。 差问题称为秩亏自由网平差。
思考： 思考：
在没有起算数据的网中， 在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数 相等？ 相等？ 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网 GPS 的秩亏数各是多少？ 的秩亏数各是多少？
求最小范数的法方程解过程： 求最小范数的法方程解过程：
ˆ 即求下列数学解： 即求下列数学解： NX − BT PL = 0 ˆ ˆ XT X = m in
ˆ Φ= XT X −2KT (NX − BT PL) = m in
得：
2XT −2KT N = 0 X = N K = NK
T
NNK − B PB = 0
第三讲 秩亏自由网平差
上节广义最小二乘准则： 1、基本模型为：
ˆ Vx = X − Lx , P x ˆ V = BX − L, P
2、平差准则：
V B ˆ L V = = X − Vx I Lx D 0 2 ∆ P =σ0 0 DX
法方程：
ˆ 2 −1 x1 l1 −l2 −1 2 x − l −l = 0 ˆ2 2 3
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解：
ˆ x1 2 −1 l1 −l2 x = −1 2 l −l 2 3 ˆ2
T d1 du uu u1
V B l ˆ V = = T x− 0 Vg S Px P∆ P= 0 0 I
经典平差法的条件： 经典平差法的条件： 是在控制网中必需设定 设定足够的坐标起算数据； 设定
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也可设定各点的高程近似值时，取x3的已知 ˆ 高程为近似值，但 x = 0 。（即设一点 的高程为已知）其函数模型为：
3
ˆ v1 1 0 −1 x1 l1 v = −1 1 0 x − l ˆ 2 2 2 v3 0 −1 1 x3 l3 ˆ ˆ x3 = 0
1 0 −1 −1 1 −1 −1 −1 A = ,A = 1 1 0 −1 0 −1 −1 −1 0 A− = 0 −1 0 0 0 0
• 可以验证：
AA A = A
−
2）广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆） ）广义逆 广义逆、 广义逆 伪逆）
A = A (A A) R
A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
降阶法： 降阶法：
• 在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某 一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇 异方阵的广义逆A-。 • 可见A-不唯一。 −1 1 0 • 例如： A = 0 −1 1 ， A = 2 d = 3−2 =1 R ） ， （
−1
∆
V PV +V PV = m in ∆
T T x x x
V PV = min
T
以上即为极大验后估计的等价解法！ 以上即为极大验后估计的等价解法！
ˆ Vx = X − Lx , P x ˆ V = BX − L, P
T T x x x
∆
V PV +V PV = m in ∆
∂(V PV) ∂(V PV ) ∆ + =0 ∂X ∂X T T 2 P B+ 2 x P = 0 V ∆ V x T ˆ ˆ B P (BX − L) + P (X − L ) = 0
附加条件的前提: 附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未
知数的估计量是最优的. 知数的估计量是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范 数解! 数解!
1、秩亏法方程的最小范数解（直接解法）
设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为 设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为 X,
平差那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解, 平差那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解, 将不可能取得唯一确定的估计量; 将不可能取得唯一确定的估计量;
解决方法:为了得唯一确定的估计量, 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最
小二乘原则基础上附加另外条件; 小二乘原则基础上附加另外条件; 附加另外条件
X N K = ST P x pxS AT Pl Q Q AT Pl 12 = 11 O O Q Q O 21 22
−1
解法方程， 解法方程，得X解 解
T ˆ X = Q1 A P l 1
QˆX = Q1N 11 Q 1 Xˆ
这就成为附有条件的间接平差了。
2、秩亏自由网平差 秩亏自由网平差
如果不假设起始高程， 如果不假设起始高程，设 网中全部待定点为参数， 网中全部待定点为参数，则 误差方程为： 误差方程为：
ˆ v1 1 0 −1 x1 l1 v = −1 1 0 x − l ˆ2 2 2 v3 0 −1 1 x3 l3 ˆ
T T x x x ∆ x x
ˆ −(BT P L + PL ) = 0 (B P B+ P )X ∆ x ∆ x x
T
V B ˆ L V = = X − Vx I Lx 0 D ∆ P =σ 0 DX
2 0 −1
V PV = min
−1 −1
D 0 L 2 ∆ I σ0 L = 0 0 DX x
−1
秩亏自由网平差
所介绍的秩亏自由网平差应用于： 自由网”的平差； “自由网”的平差； 观测方程的系数阵是列亏的(即：不需假定必 观测方程的系数阵是列亏的 即 要起算数据) 要起算数据 ；
二、秩亏自由网平差原理
秩亏自由网平差的函数模型为 ˆ ˆ L = BX + d
n1 nu u1 n1
相应的误差方程为
ˆ V = Bx −l
随机模型为 法方程为
2 2 D =σ0QLL =σ0 P−1
ˆ − BT Pl = 0 B PBX
T
问题的提出:在秩亏自由网平差中, 问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差
2、附加条件法（是一种实用算法） 附加条件法（是一种实用算法）
自由网误差方程为 为消除秩亏， 为消除秩亏，附加条件
ˆ V = BX −l
T ˆ S P X =o x uu u1
du
按最小二乘原则，作函数 Φ=VT PV +2KT (ST P X) = m 按最小二乘原则， ˆ in x 得法方程
N ST p x ˆ pxS X AT Pl = O K O
1、定义：满足下列四个条件，即 、定义：满足下列四个条件，
AA+ A = A A+ AA+ = A (AA+ )T = AA+ (A+ A)T = A+ A
2、 A+的计算 、 当A为对称方阵时： 为对称方阵时： 为对称方阵时
A = A(AA) A(AA) A
+
−
−
值得说明的是： 值得说明的是：
1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义 ）因广义逆不唯一，但可以证明， 逆（NN）-代入上式后，求得的 向量却是相同的 ） 代入上式后，求得的X向量却是相同的 ，故X有唯一解！ 有唯一解！ 有唯一解 2）以上解法又称为“直接解法”。 ）以上解法又称为“直接解法”
或者，整理得： 或者，整理得：
ˆ x = (N + SPST )−1 BT Pl x Qˆˆ = (N + SPS ) B PB(N + SPS ) xx x x
T T −1 T −1
V PV V PV ˆ σ = = f n −(u −d)
2 0
T
T
3. 伪观测值法
数学模型: 数学模型
ˆ V = Bx − l , P∆ ˆ Vg = S Px x, I
T
B ∂(VT PV) ∂V T T =2 P V = 2 P = 0 V ˆ ˆ ∂X ∂X I BT BT BT I PV = 0 0 B ˆ L D 2 ∆ I σ0 ( I X − L ) = 0 0 DX x D 0 B ˆ 2 ∆ I σ0 X − BT I 0 DX
组法方程： 组法方程：
ˆ − BT Pl = 0 B PBx
T
法方程系数阵： 法方程系数阵：
2 −1 −1 BT PB = −1 2 −1 −1 −1 2
可见，系数阵的行列式等于零,即是一个奇异阵， 可见，系数阵的行列式等于零,即是一个奇异阵， 方程有无穷多组解。 方程有无穷多组解。 产生秩亏的原因： 产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起 算数据个数。 算数据个数。 秩亏数d 就是秩亏自由网中的基准亏损数， 秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R'（ d=R'（B）-R（B） （ R‘（B）是B的列满秩数，R（B）是实际秩数。） （ 的列满秩数， 是实际秩数。）
精度估计
参数估值的协因数阵： 参数估值的协因数阵：
QXX = N(NN)− BT PQ (NN)− N PB ˆˆ = N(NN)− N(NN)− N = N+ 单位权方差估值仍为： 单位权方差估值仍为：
VT PV VT PV ˆ2 σ0 = = n − R(A) n −r
R(A)=等于所选参数个数 秩亏数 等于所选参数个数u-秩亏数 等于所选参数个数 秩亏数d
2 2 2 X = (XT X) = x1 + x2 +L+ xn 1 2
称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。 称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。 最小范数满足条件,称为最小范数条件, 最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为
X =m 或 T X =m in X in
法方程若有一解X满足其范数最小, 法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小 范数解。 范数解。
不考虑参数的先验统计特性。 不考虑参数的先验统计特性。
一、问题的提出
自由网： 自由网：
当控制网中没有必要的起算数据时，通常称为 自由网。
附合网、独立网： 附合网、独立网：
当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的 起算数据的网，称为附合网；等于必要起算数据， 称独立网。
自由网平差方法分为： 自由网平差方法分为：