九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律：数字变化类》(三)(Word版,带答案)

九年级中考数学考点提升训练——专题：
《找规律：数字变化类》（三）
1．观察下列三行数：
﹣3，9，﹣27，81，﹣243，… ﹣5，7，﹣29，79，﹣245… ﹣1，3，﹣9，27，﹣81… （1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？ （3）分别取这三行数的第6个数，计算这三个数的和．
2．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答问题． 第1个等式：a 1＝＝×（1﹣）； 第2个等式：a 2＝＝×（﹣）； 第3个等式：a 3＝＝×（﹣）； 第4个等式：a 4＝＝
×（
﹣
）；
…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；
（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ ＝ （n 为正整数）； （3）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a n 的值．3．设f （x ）＝
，例如f （1）＝
＝
，f （2）＝
＝，＝＝＝，＝＝＝，…
（1）直接写出结果：f
（4）
＝，＝；
（2）计算：f
（1）+f
（2）
++f
（3）
++f
（4）
++……+f
（100）
+．
4．将网格中相邻的两个数分别加上同一个数，称为一步变换，比如，我们可以用三步变换将网格1变成网格2，变换过程如图．
（1）请用两步变换将网格3变成网格1．
（2）请用三步变换将网格4变成网格1．
（3）当ab 满足什么条件时，网格5通过若干步变换可以变成网格6，请利用网格7中的字母简要说明理由．
5．将一张边长为1的正方形纸片A ，对折一次可得纸片A 1，再将纸片A 1对折得纸片A 2，依次对折后的纸片A 3、A 4、A 5、…A n ．
（1）纸片A 3的面积P 3＝ ，纸片A 5的面积P 5＝ ；
（2）设S 5＝P 1+P 2+P 3+P 4+P 5，求S 5的值，小东同学再求S 5时用以下方法解： 设 S 5＝++++①
2S 5＝1+
+
+
+
②
由②﹣①得S 5＝
（3）请你模仿小东同学的解题思路求：1+6+62+63+64+…+62015的值．
6．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个
不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算：＝，＝，＝，＝，＝，＝．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
7．探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题
（1）请计算1+3+5+7+9+11＝；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+19＝；
（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝；
（4）请用上述规律计算：21+23+25+ (99)
8．研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）请你找出规律井计算7×9+1＝＝（）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律：．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：＝．
9．计算下列各式：
（1）1﹣＝；
（2）＝；
（3）＝；
你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：．
10．一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个．
（1）写出列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y（用x、n表示）．（2）当n＝20时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？
参考答案
1．解：（1）∴﹣3＝（﹣1）131，9＝（﹣1）232，﹣27＝（﹣1）333，81＝（﹣1）434，…， ∴第1行第n 个数为（﹣3）n ；
（2）第二行数与第一行数的每一个相对应的数加上﹣2，
即；（﹣1）131﹣2，（﹣1）232﹣2，（﹣1）333﹣2，（﹣1）434﹣2… 第三行数与第一行数的每一个相对应的数乘以，
即×（﹣1）131，
×（﹣1）232，
×（﹣1）333，
×（﹣1）434…
（3）第一行数的第6个数为（﹣1）636＝36； 第二行数的第6个数为（﹣1）636﹣2＝36﹣2； 第一行数的第6个数为
×（﹣1）1036＝35；
这三个数的和为36+36﹣2+35＝1699． 2．解：根据观察知， （1）＝
×（﹣）， 故答案为：，
×（
﹣
）；
（2）第n 个等式为＝
（﹣）；
故答案为：，
（﹣
）；
（3）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a n ＝×（1﹣
）+
×（
﹣
）+
×（
﹣
）+
×（
﹣
）+…+
×（
﹣） ＝×（1﹣+
﹣+
﹣
+…+
﹣
）
＝
×（1﹣
）
＝×＝
3．解：（1）由题意可知：f
（4）＝＝；f
（）
＝；
（2）f（）＝，
∴f（x）+f（）＝1，
∴原式＝+1+1…+1＝99
故答案为：（1）；；（2）99
4．解：（1）如图，
（2）如图，由（1）可得，网格4变成网格1，
所以a﹣2b+k＝1，b﹣2+k+m＝0，b﹣a+m+n＝0，1﹣2b+n＝0，解得，k＝1﹣a+2b，m＝a﹣b，n＝2b﹣1；
（3）当满足a＝b＝0时，交换网格7中的字母a
1和a
2
可得，
由网格5变换成网格6，理由如下：
观察网格6中数字的特点，仅有一格数字为1，其他数字均为0，观察网格5中的整式，仅有一个整式1﹣2b中有常数项1，
所以只要取a＝0，b＝0，
这时仅有a
2
＝1﹣2b＝1，其他各网格的值都为0，
所以只要把a
1和a
2
交换，其他都不变．
所以当满足a＝b＝0时，交换网格7中的字母a
1和a
2
可由网格5变换成网格6，
5．解：（1）纸片A
3的面积P
3
＝，纸片A
5
的面积P
5
＝；
（2）S
5
＝1﹣＝；
（3）设S＝1+6+62+63+64+ (62015)
则6S＝6+62+63+64+ (62016)
5S﹣S＝62016﹣1，
S＝．
6．解：（1）＝＝56
答：共有56种选法．
（2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15，因为+＝，+＝，
所以C k n+∁
n k+1＝C
n+1
k+1．
（3）++++…+
＝+++…+
＝+…+
＝
＝
＝165．
7．解：（1）∵1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，∴1+3+5+7+9+11＝62＝36．
故答案为：36；
（2）∵1+3+5+7+9+…+19共有10个数，
∴1+3+5+7+9+…+19＝102＝100．
故答案为：100；
（3）由（1）（2）得，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2．
故答案为：n2；
（4）原式＝21+23+25+…+99
＝（1+3+5+7+...+97+99）﹣（1+3+5+7+ (19)
＝（）2﹣102
＝2500﹣100
＝2400．
8．解：（1）7×9+1＝64＝82；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．（3）原式＝＝．
故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．
9．解：（1）1﹣＝；
（2）（1﹣）（1﹣）＝；
（3）（）（1﹣）（1﹣）＝；
故答案为：；；；
原式＝
＝．
10．解：（1）当列车停靠在第x个车站时，
邮政车厢上需要卸下已经通过的（x﹣1）个车站发给该站的邮包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个车站的邮包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
车站序号在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1 n﹣1
2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
……
n0
由上表可得，y＝x（n﹣x）．
答：列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y＝x（n﹣x）．
（2）当n＝20时，y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
当x＝10时，y取得最大值．
答：列车在第10个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．。