第3章 传递函数 1

(t ) Bx
x2 ( t )
x1 ( t )
m
建立数学模型
m m
d2x = å Fi dt 2
Dynamics of mass m:
d 2 x(t ) dx(t ) = f (t ) - kx(t ) - b dt 2 dt d 2 x(t ) dx(t ) m + kx(t ) + b = f (t ) dt 2 dt
机械系统的微分方程可用牛顿第二定律推导。
输出变量y(t )
m-1
+ a0 y = bm x+ bm-1 x + b1 x + b0 x an y+ an-1 y + a1 y
所谓标准方程包含三方面的内容：
1. 将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边； 2. 各导数项按降幂排列； 3. 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物 理意义的系数。
例3-1 试列写图3.1所示机械移动系统的微分方程。给定外力f(t) 为输入量，位移x(t)为输出量。
带有阻尼的 弹簧振子
Automatic control
Lecture: Dynamic model
Automatic control
Lecture: Dynamic model
受力分析
Two masses connected by spring
LC
B
d 2u0 (t ) dt 2
+ RC
du0 (t ) dt
+ u0 (t ) = ui (t )
x
3.消去中间变量 i (t ) ，并整理有：
LC d 2 u o (t ) du (t ) + RC o + u o (t ) = u i (t ) dt 2 dt
m
d 2 x (t ) dx (t ) +B + kx (t ) = f (t ) 2 dt dt
电气系统三元件
电阻
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Lecture: Dynamic model
系统的运动微分方程式为：

kJ
d 2q dq J 2 + BJ + KJq = T dt dt
式中
J 转动体的转动惯量,单位为kg ⋅ m 2 ;
q 转角,单位为rad; BJ kJ 转动时的粘性阻尼系数 , 单位为 N ⋅ m ⋅ s ⋅ rad - 1 ; 扭转弹簧刚度 , 单位为 N ⋅ m / rad ;
2．线性系统与非线性系统
1．线性系统：系统的数学模型是线性的。线性系统最重 要的特征：满足叠加原理
x1 (t )
x2 (t )
x1 (t ) + x2 (t )
y1 (t )
y2 (t )
y1 (t ) + y2 (t )
叠加原理：系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个 外加作用的响应之和。
1
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Lecture: Dynamic model
u i (t )
i (t )
C
R
L
f (t )
k
m
ui (t )
i(t )
C
uo (t )
2.根据基尔霍夫定律和欧姆定律，列写微分方程。 di (t ) L + R ⋅ i (t ) + u o (t ) = u i (t )
dt
i (t ) = C duo (t ) dt
3.2 系统微分方程的建立
• 机械系统的微分方程 • 电气系统的微分方程
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Lecture: Dynamic model
Automatic control
Lecture: Dynamic model
3.1 Intruction
A dynamical system is an object (or a set of objects) that evolves over time, possibly under external excitations. Examples: a car, a robotic arm, a population of animals, an electrical circuit, etc. A dynamical model of a system is a set of mathematical laws explaining in a compact form and in quantitative way how the system evolves over time, usually under the effect of external excitations. Main questions about a dynamical system: 1. Understanding the system (“How X and Y influence each other ?”) 2. Simulation (“What happens if I apply action Z on the system ?”) 3. Design (“How to make the system behave the way I want ?”)
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Lecture: Dynamic model
本讲内容
第三章 传递函数
Automic Control
Dynamical models of physical systems
仲志丹 Johnsonzzd@gmail.com
3.1 概述
• 数学模型的概念 • 线性系统与非线性系统
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
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例3.3 : 试列写RLC电路微分方程。 1．明确系统的输入与输出：
输 入 为 u i (t ), 输 出 为 u 0 (t )
Lecture: Dynamic model R L
相似性
u o (t )
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Lecture: Dynamic model
Automatic control
Lecture: Dynamic model
1．线性系统的实例：a欧姆定律，b胡克定律
线性系统可以分为两种： （1）线性定常系统 能用线性常微分方程描述的系统。如：
ax" (t ) bx ' (t ) cx (t ) dy (t )
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Lecture: Dynamic model
Automatic control
Lecture: Dynamic model
3.2 系统微分方程的建立
控制理论中常见的数学模型有三种：
1. 微分方程（时域），Differential equation； 2. 传递函数（频域），Transfer function； 3. 状态方程（时域），State equation；
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Lecture: Dynamic model
Automatic control
Lecture: Dynamic model
解析法建立运动方程的步骤
3. 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输 入输出的标准方程。
输入变量x(t )
n n-1 m
3.2.1 机械系统的微分方程
M
弹簧 弹性系数K
汽车避震器 机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
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Lecture: Dynamic model
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Taipei 101's largest tuned mass damper
m来自百度文库
d 2x = å Fi dt 2
2
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Lecture: Dynamic model
机械运动系统的三要素
质量
阻尼
阻尼 阻尼系数 B
粘性阻尼模型：在物理学和工程上，阻尼的力学模型一般是一 个与速度大小成正比，与速度方向相反的力，该模型称为粘性 阻尼模型，是工程中应用最广泛的阻尼模型。 粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对运动的阻碍作用。
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Lecture: Dynamic model
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Working on a model has almost zero cost compared to real experiments (just mathematical thinking, paper writing, computer coding) However, a simulation (or any other inference obtained from the model) is as better as the dynamical model is closer to the real system Conflicting objectives: 1. Descriptive enough to capture the main behavior of the system 2. Simple enough for analyzing the system “Make everything as simple as possible, but not simpler.” – Albert Einstein Today you will learn some basics of the art of modeling dynamical systems ...
Experiments provide an answer, but have limitations: 1. maybe too expensive (example: launch a space shuttle) 2. maybe too dangerous (example: a nuclear plant) 3. maybe impossible (the system doesn’t exist yet!) In contrast, mathematical models allows us to: 1. capture the main phenomena that take place in the system (example: Newton’s law – a force on a mass produces an acceleration) 2. analyze the system (relations among dynamical variables) 3. simulate the system (=make predictions) about how the system behaves under certain conditions and excitations (in analytical form, or on a computer)
式中a、b、c、d 均为常数。 2．非线性的实例：a半导体导通特性，b铁磁化曲线 （2）线性时变系统 描述系统的线性常微分方程的系数为时间的函 数。如：
a (t ) x" (t ) b(t ) x ' (t ) c (t ) x(t ) d (t ) y (t )
本课程主要研究线性定常系统 ( LTI, Linear time-invariant system)
m
d 2 x 2 (t ) dx (t ) = k ( x1 (t ) - x2 (t ) ) - B 2 dt 2 dt
3
例3-2 试列写图3.3所示机械传动系统的微分方程。 给定转矩T为输入量，转角θ为输出量。
BJ
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3.2.2 电气系统的微分方程
解析法建立运动方程的步骤
1. 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关 系，确定出待研究元件或系统的输入量和输 出量。
输入变量x(t )
输出变量y (t )
微分方程：是时域中描述系统动态特性的数 学模型。是最基本的数学模型形式，是列写 传递函数、状态方程的基础。
2. 从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入 手），依据各元件所遵循的物理，化学，生 物等规律，列写各自方程式。