诱导公式(1)
数学人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
归 思 想
tan(180 ° -α) = -tanα
诱导公式（一）
sin(2k ) +sin sin( ) sin
公 式
cos(2k
) cos
cos( ) cos
公 式
一 tan(2k ) + tan tan( ) tan 二
公 sin( ) sin 式 cos( ) cos 三 tan( ) tan
)
2
sin tan . cos
变式
3. 已 知
f(α)
＝
cos π2＋α sin 32π－α cos－π－αtanπ－α
，
则
f
－25π 3
的值为
____解_．析：因为f(α)＝cocsos－π2π＋－ααsitnan32ππ－－αα
＝ －sin －cos
αα－－ccsoiosnsααα＝cos
例3.化简:
cos(
)sin(3
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
解：
( sin )( cos )( sin )cos[5 ( )]
原式
( cos )sin(
)[ sin(
2
)]sin[4 (
)]
2
sin2 cos[ cos( )]
2
( cos )sin[( sin )]sin(
3
sin(2 + 2 ) sin 2
3
3
sin（ ） sin
3
3
3 2
(3)
sin(
16 3
)
sin
16 3
sin(5
3
)
sin(
诱导公式1课件
又∵α 为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角，
∴sin(75°＋α)＝－ 1－cos275°＋α
＝－ 1－132＝－2 32， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－13＋2 3 2＝2
2－1 3.
课堂典例讲练
•诱导公式(一)的应用
•
求下列各式的值：
• (1)tan405°－sin450°＋cos750°；
2 2.
• 5．tan690°的值为________．
[答案]
－
3 3
[解析]
tan690°＝tan(2×360°－30°)＝－tan30°＝－
3 3.
6．已知 cos(75°＋α)＝13，其中 α 为第三象限角，求 cos(105° －α)＋sin(α－105°)的值．
[解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)， ∵cos(75°＋α)＝13>0，
＝ 22× 23－ 23×1＝
6－2 4
3 .
(2)原式＝cos(2π－π6)sin(4π－π3)＋tan174π ＝cos(－π6)sin(－π3)＋tan(4π＋π4) ＝－cosπ6sinπ3＋tanπ4 ＝－ 23× 23＋1 ＝－34＋1＝14.
(2015·山东潍坊高一期末测试)sin(－1 050°)＝( )
sin216° • ＝sin(180°＋36°)＝－sin36°.
• 4．cos(－945°)的值等于________．
[答案]
－
2 2
[ 解 析 ] cos( － 945°) ＝ cos945°＝ cos(2×360°＋ 225°) ＝
高中数学人教B版必修四第一单元：1.2.4 诱导公式(一)
1.2.4诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点一角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系思考角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？梳理诱导公式(一)知识点二角α与－α的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(二)知识点三角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？思考2根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(三)特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin11π4； (3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°).反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或二来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°).命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.类型二 利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若将本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.322.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－334.sin 750°＝________.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.答案精析问题导学知识点一思考 角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等． 梳理 cos α sin α tan α知识点二思考1 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y )．思考2 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 梳理 cos α －sin α －tan α知识点三思考1 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称．P 2(－x ，－y )．思考2 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 梳理 －cos α －sin α tan α题型探究例1 (1)cos 210°＝－32. (2)sin 11π4＝22. (3)sin(－43π6)＝12. (4)cos(－1 920°)＝－12. 跟踪训练1 解 (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 例2 D跟踪训练2 解 由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π. 把α＝π4，α＝34π分别代入②， 得cos β＝32或cos β＝－32. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π. ∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π. 例3 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究 解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.综上，原式＝－tan α.跟踪训练3 (1)1 (2)12当堂训练1．A 2.C 3.D 4.125．解 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.。
1.3诱导公式(一)
3
任意负角的 三角函数
用公式三
任意正角的 三角函数
用公式一 锐角的 三角函数 用公式 二或四 0°～360°的 角的三角函数
例题 2：化简： cos(180°+α )²sin(α +360°) sin(-α -180°)²cos(-180°-α ) 课堂练习： 1．填表： α sinα cosα tanα α sinα cosα tanα 2．教材 p27 练习 1、2、3、4 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
（二）新课教学 1. 诱导公式一及其用途，教师板书公式一： sin(k²360°+α )=sinα ， cos(k²360°+α )=cosα ， tan(k²360°+α )=tanα ，k∈Z. 由公式一把任意角 转化为 0 ， 360 内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
o o
我们对 0 , 90
2kπ +α π +α -α π -α
单位圆和三角函数定义 与α 的终边的位置 关系
2．公式记忆方法： 函数名不变，符号看象限.
（五）课后练习 基础训练（7）
（六）板书设计 公式一：
各角与α 的终边对称关系
例题
5
公式二 公式三 公式四 用公式的步骤
教 学 反 思
6
所以，我们只需研究180 ,180 ,360 与 的同名三角函数的关系即研究了 与 的关系了。
2
3. 提问： （1）锐角 的终边与 180 的终边位置关系如何？ （2）写出 的终边与 180 的终边与单位圆交点 P, P ' 的坐标。 （3）任意角 与 180 呢？ 启发学生理解：任意 与 180 的终边都是关于原点中心对称的。 则有 P( x, y), P '( x, y) ，由正弦函数、余弦函数的定义 y
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案【高中数学】
《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。
1.3.1三角函数的诱导公式(一)
7 (3) si n 与 sin 的值关系如何？ 6 6
讲授新课
对于任意角 ，sin与sin( ＋ ) 的关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题一： (4) sin与sin(π+)、cos与cos(π+)、
tan与tan(π+)关系如何？
讲授新课
诱导公式(二)
sin( π ) sin cos( π ) cos tan( π ) tan
讲授新课
诱导公式(二)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 求(π+)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
讲授新课
例1．求下列三角函数值．
(1) cos 225 7 ( 2) si n ( ) 6 4 ( 3) tan ( ) 3
0
讲授新课
Байду номын сангаас思考下列问题二： 对于任意角 ，sin与sin(－ )的
1.3三角函数的 诱导公式
复习
同角三角函数的关系
1 sin 1 sin (1) 2 tan 1 sin 1 sin
试确定是等式成立的角 的集合。
cos 1 sin .( k , k Z ) 1 sin cos 2
( 2)已 知si n cos
关系如何呢？
与(－)角的终边位置关系如何？
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式 第1课时 诱导公式(1)【课件】
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第 课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
高二数学诱导公式1
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
公式（一）
cos( k 2 ) cos sin( k 2 ) sin
tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
f ( 2k ) f ()(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º~360º
sin(－α)=－sinα, cos(－α)=cosα; tan(－α)=－tanα.
y
P(x,y)
x O
-
P'(x,-y)
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
；美国夏校 https:///summer-school
公式(三):
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
y P(x,y)
x
+ O
P'(-x,-y)
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
；
上下功夫。 口福和眼福俱饱矣，耳福呢？ 无一座城市致力于“音容”，无一处居所以“寂静”命名。 我们几乎满足了肉体所有部位，唯独冷遇了耳朵。 甚至连冷遇都不算，是折磨，是羞辱。 做一只现代耳朵真的太不幸了，古人枉造了“悦耳”一词，实在对不住，我们更多的是“虐耳”。 有个说法叫“花开的声音”，一直，我当作一个比喻和诗意幻觉，直到遇一画家，她说从前在老家，中国最东北的荒野，夏天暴雨后，她去坡上挖野菜，总能听见苕树梅绽放的声音，四
051-诱导公式1
7.2.3 三角函数的诱导公式学习目标 1.借助圆的对称性理解诱导公式一、二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．知识点 公式一～四思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？答案1．若sin(π＋α)＝13，则sin α＝ . 2．若cos(π－α)＝13，则cos α＝ .3．已知tan α＝6，则tan(－α)＝ . 4．sin 585°＝ .一、给角求值例1 求下列三角函数值：(1)cos(－480°)＋sin 210°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3·cos 23π6·tan 37π6.反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或二来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 跟踪训练1 sin 5π6＋tan 7π4－cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝ .二、给值(式)求值例2 (1)(多选)已知cos(π－α)＝－35，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．－35 D.35(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ .延伸探究若本例(2)中的条件不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6？跟踪训练2 ：已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35 B.35 C ．±35 D.45三、化简求值例3 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)； (2)sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°).1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55 C.55 D.2552．sin 780°＋tan 240°的值是( )A.332B.32C.12＋ 3D ．－12＋33．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.354．化简：cos (3π－α)sin (－π＋α)·tan(2π－α)＝ .5.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于．1．sin 240°＋cos(－150°)的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．1 D.32．(多选)已知sin(π－α)＝13，则cos(α－2 020π)的值为( )A.23 2 B ．－23 2 C.13 D ．－133．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( )A ．cos CB ．－cosC C ．sin CD ．－sin C4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43 D.35．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．－513 D.5136．计算：sin ⎝⎛⎭⎫－19π3cos 7π6＝ .7．已知sin(－π－α)＝35，且α为第二象限角，则sin (π－α)tan (α－2π)＝ .8．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝ ，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－9π4＝ .9．化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)； (2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.10．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．。
三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一)常用的诱导公式有以下几组：三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式(一)
sin α cos α
2 2
(3)2sin α - 3 sin α cos α +5cos α .
2 2
2
探究四、易错辨析 化简 1 2sin(- )cos(2π ) . sin(-6π )-cos(- 4π)
四、当堂检测 1、对于诱导公式中的角α ,下列说法正确的是( ) A.α 一定是锐角 B.0≤α <2π C.α 一定是正角 D.α 是使公式有意义的任意角 2、cos315°+tan420°+sin(-60°)+tan(-60°)的值是( ) A. 2 3
济南市长清中学
探究二、利用诱导公式证明三角恒等式 2 求证:tan(2π -α )sin(-2π -α )costan(2 012π -α )= 1 ,求下列各式的值.
3
(1) 4sin 2cos ; 5cos 3sin
2 2 (2) 2sin α cos α ;
2
B. 2 3
2
C. 3 2 3
6
D. 3 2 3
6
3、已知函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),其中 a,b,α ,β 都是非零实数,且满足 f(2010)=-1,则 f(2012)等于( )A.-1 B.0 C.1 D.2
π ,则 tan(2π -α )的值为( 4、已知 sin(2π +α )=log8 1 ,且α ∈ ,0 4 2
济南市长清中学 高一
编号：B4-6 课型：新授课 编制人： 李震
数学 导学案
审核人： 李震 年级主任： 班级： 姓名：
课题：诱导公式（一） 【课程学习目标】 1、会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式.(难点) 2、掌握角α 与α +k²2π (k∈Z)、α 与-α 的三角函数间的关系.(重点、易错点) 【独学内容】 一、知识导学： 问题 1、角α 与α +k²2π (k∈Z)的三角函数间的关系 cos(α +k²2π )= , sin(α +k²2π )= , tan(α +k²2π )= . 通常,称上述公式为诱导公式(一). 问题 2、角α 与-α 的三角函数间的关系 cos(-α )= , sin(-α )= , tan(-α )= . 通常,称上述公式为诱导公式(二). 二、基础学习交流 1、tan300°＋sin450°的值为 。 4 2、已知 cos(π ＋θ )＝－ ，θ 是第一象限角，则 sin（π ＋θ ）= 5 3、 已知 cos(12π -3)=p,用 p 表示 tan(-3)= 4、若 cos( . 。 ， tanθ = 。 个性笔记
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223.【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255 B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55.2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________.解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
5.3(一) 诱导公式(一)
反思 感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
跟踪训练3 化简下列各式：
cosπ＋α·sin2π＋α
(1)
；
sin－α－π·cos－π－α
12345
课堂小结
1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性； (2)诱导公式. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：符号的确定.
第五章 三角函数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四. 2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 公式二
1.角π＋α与角α的终边关于 原点 对称.如图所示.
3.已知tan α＝6，则tan(－α)＝ －6 .
4.sin 585°＝
－
2 2
.
解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)
＝－sin
45°＝－
2 2.
2 题型探究
PART TWO
一、给角求值
例1 求值： (1)cos－361π；
解
cos－361π＝cos－6π＋56π＝cos
－
3 3
.
解析 cosα＋56π＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3 3.
延伸探究 1.若本例(2)中的条件不变，如何求 cosα－136π？ 解 cosα－136π＝cos136π－α ＝cos2π＋π6－α ＝cosπ6－α＝ 33.
5.3诱导公式(一)课件-高一上学期数学人教A版【02】
2 诱导公式 y
O
P1(x, y)
x
由三角函数的定义得：
角α的终边与单位圆的交点P1坐标 为(x,y).
角-α的终边与单位圆的交点P3的
坐标为
．
2 诱导公式
y
P1(x, y)
O
x
P3 (x, - y)
诱导公式（三）
sin( ) sin, cos( ) cos, tan() tan.
2 诱导公式
y
P1(x, y)
O
x
2 诱导公式 y
P1(x, y)
O
x
P2
由三角函数的定义得：
角α的终边与单位圆的交点P1坐标 为(x,y).
角π+α的终边与单位圆的交点P2的
坐标为
．
2 诱导公式
P1(x, y)
O
x
诱导公式（二）
sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan.
P4 (x, y)
y
r=1 α
O
α的终边
P1(x, y)
x A(1,0)
P3 (x, - y)
2 诱导公式
公式比对记忆
（公式一）
sin() sin ， cos() cos ， tan() tan.
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan .
（公式二）
.
2
2
2
（3）已知 cos( ) 3 ，且 3 ，则 sin( 2 )
3 5
.
6
52
2
3
（4）已知 sin(
)
3 ，则 cos( )
3 3
.
诱导公式(一)
图形
公式二
公式
sin(π+α)= _-_s_i_n__α__, cos(π+α)= _-_c_o_s__α__, tan(π+α)= _t_a_n__α__.
公式三
sin(-α)= _-_s_i_n__α__, cos(-α)= _c_o_s__α__, tan(-α)= _-_t_a_n__α__.
3
【思路导引】1.先利用诱导公式化简已知、未知的三角函数,再用同角三角函 数关系求值. 2.先分析所求的角与已知角的关系,再用诱导公式转化求值.
【解题策略】 解决给值求值问题的策略 (1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件式与所求式之间的角的关系,再选 取恰当的诱导公式进行转化. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
5
5
5
【变式探究】
若将典例中代数式改为：tan +tan 2 +tan 3 +tan 4 +tan 5 +
7
7
7
7
7
tan 6 ，怎么化简？
7
【解析】原式=tan +tan 2+tan 3+ tan
7
7
7
( +3ta)n
7
+( 2)
7
tan ( =)tan
7
+tan
7
+2tan
7
-ta3n
【跟踪训练】 1.角α的终边在直线y=2x上,则 sin（ ） cos（ ）=( )
sin（ ） cos（ ）
A. 1 B.1 C.3 D.-1
3
2.tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°)=________. 3.设k为整数,化简: sin（k－）cos［（k－1）－］.
数学人教A版必修第一册5.3诱导公式(1)
给值(式)求值问题
A.m22－1
B.m22＋1
C.1－2m2
D．－m22＋1
(2)已知 cos(α－75°)＝－13，且 α 为第四象限角，求 sin(105°＋α)的值．
[思路点拨]
(1 化简已知和所求三角函数式 → 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
(105°＋α)－(α－75°)＝180°
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般 可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
用 三―公 或 ―→式 一
任意正角的 三角函数
பைடு நூலகம்
用―公―式→一
0～2π的角 的三角函数
用 二―公 或―→式 四
锐角的三 角函数
22
布置作业
课后习题1、2
利用诱导公式化简问题
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
(2)
cos(α－75°)＝－13，α为第四象限角
→
求sin(α－75°)
→
用sin(180°＋α)＝－sin
α求值
13
【例 2】 (1)已知 sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，
则 sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A.m22－1
B.m22＋1 C.1－2m2 D．－m22＋1
解得sin(α－75°)＝－5 2626，
cos(α－75°)＝
5.3诱导公式(第一课时)课件(人教版)
(3)sin2kπ＋23πcoskπ＋43π(k∈Z)．
－sinα－sinα
＝ －cosαsinα
＝－csoinsαα
＝－tanα.
例 3 化简下列各式：
(2) 1s＋in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
1＋2sin360°－70°cos360°＋70°
4－tanα
＝－sin(α－55°)＝2
2 3.
－2＋3×3
＝
＝7.
4－3
例 3 化简下列各式：
题型三 三角函数式的化简
(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α；
sin2π－α
(2) 1s＋ in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
·sin－αcos－α cos2π－α [解] (1)原式＝
解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30° ＋2×360°)＋tan(135°＋360°)
＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
答案
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－243π.
终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终 y 边
o
x π+α的终边
α的终边
P(x ， y)
y
o x Q(-x，-y) π+α的终边
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
高1数学-三角函数-诱导公式
高一数学诱导公式知识点1.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.2.诱导公式的记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．3.诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 4.诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．题型一 给角求值【例1】求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]．【过关练习】1.求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．2.sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.323.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12 D.3＋12题型二 给值求值问题【例1】已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．【过关练习】1.已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.253.若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－324.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．5.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值．题型三 三角函数式的化简【例1】化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【过关练习】1.化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).2.化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).题型四 利用诱导公式证明恒等式【例1】求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.【过关练习】1.求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.题型五 诱导公式的综合应用【例1】已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【过关练习】1.已知角α终边经过点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．2.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .【补救练习】1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－122.若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－323.化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．4.已知sin(π＋α)＝－13.计算： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．1.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．22.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 3.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－136.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2237.已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .1.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 22.已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D.3 3.式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ . 4.若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．5.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．。
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（1）sin 7
6
（2）cos 11
4
（3）tan(1560o)
例9 判断下列函数值的符号
(1) sin 430 o
(2) cos( 21 )
5
(3) cos( 11 ) sin( 11 )
7
5
数学运用
例8、化简：
s
cos(180 0 ) sin( 360 0 ) in( 180 0 ) cos(180 0
探究
研究角α与 -α 的三角函数值之间的关系
角与 的终边分别与单位圆相交于点P和点P' P若P(x,y)，则点P'坐标是___(_x_,_-y_).
由正弦、余弦的定义可知：
sin y cos x tan y
x
P' sin( ) y cos( ) x tan( ) y y
三角函数的诱导公式(1)
熟记［0，
π 2
］内各三角函数值
（1）sino=o
1
sin 6 = 2
2
sin 4 = 2
3
sin 3 = 2
sin 2 =1
（2）coso=1
3
2
cos 6 = 2 sin 4 = 2
1
cos 3 = 2 cos 2 =0
（3）tano=0
3
tan 6 = 3 tan 4 =1
)
.
解：先对各个因式进行化简，
cos(180 0 ) cos, sin(360 0 ) sin,
sin( 180 0 ) sin[(180- 0 )] sin(180 0 )
(sin) sin
cos(180 0 ) cos[(180 0 )] cos(180 0 )
xx
于是我们得到一组公式(公式四)：sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
运用
例3 判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) 1 cos x
（2）g(x) x sin x
例 5 求值
(1) sin(60o )
(2) cos( )
4
(3) sin( 4 )
3
合作探究
推导诱导公式二 请同学们思考如何推导角α与π-α的三角函 数值之间的关系。
公式四
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
例 6 求值
(1) sin 19
4 (2) cos480o
(3) cos( 7 )
6
回顾
sin( 2k ) sin (k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
（公式一）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
tan 3 = 3 tan 2 不存在
诱导公式一：
sin(α＋k·360°)＝sinα (k∈z) cos(α＋k·360°)＝cosα (k∈z） tan(α＋k·360°) ＝ tanα (k∈z)
终边相同的角的同一三角函数值相等
1 运用公式时， k∈z不能省略！
2 此公式表明求任意角的三角函数 值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
tan( ) y y
x x
sin( ) sin
公式三 cos( ) cos
tan( ) tan
y
O
P' (x, y)
P(x,y)
x
例 2 求值
(1) sin 570 o
(2) cos( 2 )
cos
原式 cos sin 1. sin ( cos )
解题一般步骤
任意角的 三角函数
正角的三 角函数
0到2π的角 的三角函数
锐角三 角函数
求值
负化正，大化小，化到锐角就行了
作业:
课后练习 习题1，2，3
例 1 求值
(1) sin 420 o
(2) cos( 23 )
6
合作探究
研究角α与π+α的角的三角函数值之间的关系
如图，利用单位圆作出任意角α与单位圆相交于点Ｐ（ｘ，ｙ）
由正弦、余弦的定义可知：
sin y
cos x tan y
x
sin( ) y cos( ) x
（公式三）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式二）
（公式四）
这四组公式都叫做三角函数的诱导公式
数学运用
例题讲解
例7求值：