一类Dirichlet边值问题多解的存在性
p(t)-Laplace 常微分方程的 Dirichlet 边值问题
Vu′(t),u(t) ′ ≥ 0.
(2.5)
∴
[(1 | u(t) |2)′]′ = [1 Vu(t),u(t) ′]′
2
2
= 1 [ Vu′(t),u(t) + Vu(t),u′(t) ]′ 2
= 1 [ Vu′(t),u(t) ′ + Vu(t),u′(t) ′] 2
≥0
(2.6)
若 存 在 t1 ∈[a,b], 使 得 | u(t1) |> R. 由 于 | u(a) |=| u(b) |= 0 < R, 由 t ∈[a,b] 上 u(t) 的连续性，可以找到 τ 和 σ > τ 使得
The Dirichlet Boundary-value Problems of p(t)-Laplacian Ordinary Differential Equations
⎧−(w(t) | u′(t) |p(t)−2 u′(t))′ + w(t) f (t,u(t)) = 0, ⎨ ⎩u(a) = u(b) = 0,
t ∈(a,b) a < b.
在一定条件下证明了解的存在性。 关键词：加权常微分方程；解的存在性
1．引言
设 N ≥ 1, f :[a,b]× RN → RN 连续，
∫ 定义 T : X → X ∗ 为 T (u),v = | u′ |p(t)−2u′v′dt, ∀v ∈ X .
∫ F : X → X ∗ 为 F (u),v = f (t,u)vdt, ∀v ∈ X .
引理 1.3.：(见 6] ) T : X → X ∗ 是一有界，连续且严格单调算子。 引理 1.4.：(见 [2] ) F : X → X ∗ 满足当 X 中的 un → u 时，对应 X ∗ 中的 F (un ) → F (u). 引理 1.5.： (见 [2] ) W 1, p(t) (I , RN , wdt) a C(I , RN ).
二阶微分系统一维P-Laplacian非奇异离散Dirichlet边值问题
中图分类号： １５ ８ Ｏ ７， ０
文献标识码： Ａ
１ 引言
维ＰＬ ｐａｉｎ 程 边 值 问 题 来 源 于 非 牛 顿 流 体 理 论 、 多 孔 媒 质 中 的气 体 湍 流 、Ｐ — ａ ｌｃａ 方 — Ｌ ｐａ ｉｎ 圆方程 的径 向解 等 问题 中，并有着 广泛 的应用背 景 。近年 来 ，对含ＰＬ ｐａｉｎ ａｌ ａ椭 ｃ — ａ ｌ ａ 算 ｃ
程
数
学
学
报
第２ 卷 ５
ｌ是 一 个Ｂａｓｈ 问 。 若 对 任 意（，）∈ Ｒ １ ） ｎ ｃ空 Ｙ ，使 得 对 任 意ｉ∈ Ｎ，（， 满 足（） ） ） １且（， 满 足Ｄ ｒ ｈｅ边界条件 ，则称 （， 是 问题 （） ｉ ｃｌ ｉ ｔ ） １的解 。 本 文 中 ， 若 （１一Ｘ ，Ｙ 一 Ｙ）∈ 五 或 （ １～ ，１一 Ｙ）∈ Ｒ ） ２ １ ２ ｘ ２Ｙ ２ ，则 记 （１Ｙ）＞ ，１ （２Ｙ） （ ，１ （２ ２） Ｘ ，２ 或 Ｙ） Ｘ， ） ，其中 （ ＝［ ＋ ｛ ｝ Ｒ ｙ 五 ０ ∞） ０ ， ＝ ［ ＋ 。 ， ＼ ０ ∞） ， ） 另外，若 ｘＹ ＞ （，）（，） （，），则称 向量（， 是正（ ，） ００（ ｙ ００） ） 或非负） 。 向量
一
子的边值 问题正解的研 究 日趋增多，但 是对 二阶微分 系统一维ＰＬ ｐａ ｉＭ￣ — ａ ｌ ａ 奇异离散Ｄｉｃ ｌ ｃ ｒ ｈｅ ｉ ｔ
边值 问题正解 的研究相对较少。蒋，张等 在文献 ［ 中研究 了边值 问题 １ ］
Ｊ△ △ （ ）＋ｑ）（ （） ， ｉ １ ， ） ［ ） （ｆｉ ＝０ ∈｛， ・ （ 一１］ ｉ ， ） ２ 一， ｌ （ ＝ ＋１＝０ ０ （ ） ， ） ＝１ ， ， ２
一类三阶两点边值问题解的存在性
一类三阶两点边值问题解的存在性【摘要】本文系统地讨论了一类三阶两点边值问题解的存在性。
在介绍了研究背景、问题描述和研究意义。
然后在正文中从边值问题的定义开始，逐步展开对解的存在性证明、相关数学理论、现有研究成果和数学模型建立的讨论。
在对解的存在性进行深入探讨，提出了未来研究方向，并对整篇文章进行了总结。
通过本文的研究，可以更好地理解这一类边值问题的解的存在性，为未来的研究提供了重要的参考。
【关键词】一类三阶两点边值问题、存在性、引言、问题描述、研究意义、边值问题的定义、解的存在性证明、相关数学理论、现有研究成果、数学模型建立、结论、解的存在性讨论、未来研究方向、总结1. 引言1.1 研究背景在解决一类三阶两点边值问题的过程中，研究背景至关重要。
对于这类问题，我们首先需要了解其起源和发展历程。
三阶两点边值问题是数学分析中的一个重要研究课题，旨在研究如何找到满足特定条件的函数解。
这类问题源于对工程实践中的实际情况进行建模和分析，通过数学方法来求解现实问题。
随着数学理论的不断发展和深化，三阶两点边值问题的研究也日益深入。
这类问题具有较高的理论研究价值和实际应用意义，因此吸引了众多数学家和工程师的关注。
在今天这个信息化和智能化的时代，解决三阶两点边值问题已经成为一项重要的研究课题。
通过深入研究这类问题，我们可以更好地理解数学模型的建立和解法技巧，为实际问题的解决提供有力的支撑。
研究背景对于解决一类三阶两点边值问题具有重要意义。
只有深入了解问题的起源和发展历程，我们才能更好地把握问题的本质，找到解决问题的有效方法。
通过对研究背景的分析和回顾，我们可以更好地指导我们的研究方向，提高研究的质量和效率。
1.2 问题描述边值问题是数学分析中的重要问题之一，从其名称可知，边值问题是需要在边界条件下求解的数学问题。
在数学上，我们经常需要研究不同类型的边值问题，其中一类典型的问题就是三阶两点边值问题。
这类问题在实际应用中具有重要的意义，例如在工程领域中的热传导问题、结构力学问题等方面都会涉及到这类边值问题。
二阶离p-Laplacian方程Dirichlet边值问题多重正解的存在性
２ 准 备知 识
定义 ２１ 设 Ｘ ： （ ｌ １ 是 一个 Ｂａａｈ空 间， 是 ｘ 中的 一个锥 ，， ． Ｘ， ．） １１ ｎｃ Ｐ ０是 Ｐ 上的非 负 连续 凸泛 函， 是 Ｐ上 的非负连续 凹泛 函， 是 Ｐ上 的非负连续 泛 函， 并设 常数 ａｂｄＣ ． ，，， ＞０ 定
（． １１ ） （． １） ２
至少三个正解的存在性． 这里， （ ＝『 ＿ ・（ ｓ ｓ 。８ ） ｌ ｐ＞１ 是一个 ｐ Ｌ ｐａｉ 算子， 中 ） — ａｌ ａ ｃｎ 其
＝ａ＋ １ 吉 ） （ ，
，是 Ｎｉ Ｔ ×（，。 上的非 负连 续 函数 ， ＮＩ， ］ 的非 负连续 函数 ． ｌ ］ ０。） ， ｑ是 ｌＴ 上 近年 来 ， 已有 多篇 文 献 利用 Ｌｇｅｔ ｌａ ｅｇｔ Ｗｉｉｍｓ定理及 其各 种推 广形式 证 明差分 方 程多个 正解 的存 在性 ． — ｌ 例如 ， 在文
义 凸集
Ｐ（，） ｛ ｄ ＝ ｚ∈Ｐ ： （） ＞ ７ｚ ＜ｄ； Ｐ（，ｚ ，） ｘ∈Ｐ ： Ｏ ｂｄ ＝ ， ｂ （）７ ≤ｄ； ， （） ）
Ｐ（，，，，，） ∈Ｐ： （） （） Ｃ７ ｄ ； ０ ｂｃｄ ＝｛ ｂ ， ｘ Ｏ ，（） ）
Ｐ（， ，，） ｘ∈Ｐ ： ７矽 ａｄ ： ａ （）７ｚ ｄ ． ， （） ）
１ 。当 ｔ ∈Ｎ（， ） 令 ＝ ０ ０ 时， ｒ ＝０ ： ｔ 显然有 ０＜ ＜ １ 由式 （．） ， ， ， ３２ 知
（．） ３２
钆 ，）（ （ 砉 ； ｌ （ 吾 １ｔ０ 乱 １． “ ＋ 一）） （ ｆ ） （ ： ） ｆ
２ 。当 ｔ ∈Ⅳ（， ＋１ 时 ， Ｏ： ＝ ＋１ ： Ｔ ， 时有 ０＜ 入＜１ 由式 （． 知 ） 令 ｌ ， ， ＋－ 此 ｌａ ， ３２ ）
一类三阶两点边值问题解的存在性
一类三阶两点边值问题解的存在性一类三阶两点边值问题是指具有以下形式的微分方程：y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))在区间[a, b]上，同时满足以下边界条件：y(a) = y_0, \quad y(b) = y_1y_0, y_1是已知常数。
我们需要关注方程的连续性和可导性。
根据连续性理论，如果f在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一的解y(x)在该区间上存在。
对于三阶微分方程，我们需要更高级的连续性条件来保证解的存在性。
这里我们引入分析学中的一个重要概念：Lipschitz条件。
如果函数f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意(x,y,y',y'')和(x,z,z',z'')，有|f(x,y,y',y'') - f(x,z,z',z'')| \leq L(|y-z| + |y'-z'| + |y''-z''|)那么我们可以得到Peano存在性定理和Picard-Lindelöf存在唯一性定理。
根据Peano存在性定理，对于三阶微分方程y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))，如果f(x,y,y',y'')在闭区间[a, b]上连续，则存在至少一个解y(x)在该区间上存在。
Peano 存在性定理不能保证解的唯一性。
Picard-Lindelöf存在唯一性定理则给出了解的唯一性的条件。
如果f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，并且在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一解y(x)在该区间上存在。
一类退化椭圆方程解的存在性及弱极大值原理
一类退化椭圆方程解的存在性及弱极大值原理在这篇硕士学位论文中,主要考虑了一类带Dirichlet边值的退化椭圆型方程解的存在性与极大值原理,其中a(x)非负可测,在(?)的零测度闭子集上退化,可积性满足通过单调算子的办法得到在f∈Lp(Ω),1<p<2时,方程在
H01,a(Ω)∩Lq(Ω)中弱解的存在性,通过分析带权Sobolev空间的性质,得到弱解的弱极大值原理.全文共分五章：第一章,介绍这类退化模型的物理背景,研究这类问题的已有理论和方法.第二章,给出了本文用到的一些基础知识.第三章,主要研究了一类带权Sobolev空间的基本性质.第四章,证明了解的存在性和弱极大值原理.第五章,总结与展望.。
二阶脉冲微分方程Dirichlet边值问题解的存在性
第60卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021300二阶脉冲微分方程D i r i c h le t边值问题解的存在性何 婷(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理,研究二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=ìîíïïïï0解的存在性,其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p <1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.设存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.关键词:非线性微分方程;脉冲;L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理;D i r i c h l e t 边值问题中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0475-06E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o r S e c o n d -O r d e r I m pu l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t B o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s H ET i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ,t h e a u t h o r s t u d i e s e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s f o r s e c o n d -o r d e r i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s -u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,w h e r e c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ,t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n δ(x )=0w h e n x ʂ0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1,po i n t s 0<x 1<x 2< <x p<1a n d 0<y 1<y 2< <y q <1a r e g i v e n i m p u l s e p o i n t s .T h e r ee x i s t p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1]s u c ht h a t h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.K e y w o r d s :n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;i m p u l s e ;L e r a y -S c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ;D i r i c h l e t b o u n d a r y va l u e p r ob l e m 收稿日期:2021-08-08.作者简介:何 婷(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事常微分方程边值问题的研究,E -m a i l :h e t i n g 3522896862@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061064).1 引言与主要结果考虑二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,(1)其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p<1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u , x ɪ[0,1], u ɪℝ.(2) 问题(1)在物理㊁数学和工程等领域应用广泛[1-5].本文首先在条件(2)下证明问题(1)解的存在性;其次证明问题(1)等价于-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k , k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0,Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k ,k =1,2, ,r ìîíïïïï.(3)关于脉冲微分方程(3)这类方程目前已有很多研究成果[6-11].其中L i u 等[6]研究了-u ᵡ(t )+g (t )u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[0,T ],u (0)=u (T )=0,Δu ᶄ(t j )=u ᶄ(t +j )-u ᶄ(t -j )=I j (u (t j )), j =1,2, ,ìîíïïïïm (4)在非线性项满足次线性㊁超线性和渐近线性3种情形下解的存在性,其中0=t 0<t 1<t 2< <t m <t m +1=T ,g ɪL ɕ[0,T ],f ɪC ([0,T ]ˑℝ,ℝ),I j ɪC (ℝ,ℝ),j =1,2, ,m .针对次线性情形,文献[6]用临界点理论证明了问题(4)解的存在性,得到如下结果:定理1[6] 假设:1)存在a ,b >0,γɪ[0,1),使得f (t ,u )ɤa +b u γ, (t ,u )ɪ[0,T ]ˑℝ; 2)存在a j ,b j >0,γj ɪ[0,1)(j =1,2, ,m ),使得I j (u )ɤa j +b j uγj, u ɪℝ, j =1,2, ,m ; 3)F (t ,u )=ʏu 0f (t ,s )d s 关于u 是凸函数,F (t ,u )ȡ0,t ɪ[0,T ];4)ʏsI j (t )d t 是凹函数,ʏsI j (t )d t ȡ0,s ɪℝ,j =1,2, ,m .当存在 t ɪ[0,T ]使得g ( t )>0时,问题(3)至少有一个解.本文在f (t ,u )至多线性增长的条件下讨论二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题(1)解的存在性.本文总假设:(H 1)c ɪC [0,1];(H 2)h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得式(2)成立;(H 3)14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+12(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1)<1.本文主要结果如下:定理2 假设(H 1)~(H 3)成立,则脉冲问题(1)存在一个解u =u (x ),且满足 u C [0,1]ɤR ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-214ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i +12(m i n c +(x )+π2)-1/2 p L 2(0,1éëêêùûúú).674 吉林大学学报(理学版) 第60卷注1 带D i r a c 形脉冲问题的特征可参见文献[12-13],问题(1)这种形式有利于在泛函框架下定义弱解.注2 本文研究结果不仅得到了问题(1)解的存在性,还确定了解的上界.2 弱解的正则性令H ʒ=W 01,2(0,1),问题(1)的弱解u ɪH 满足下列积分等式:ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ10c (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1c iu (x i)v (x i)=ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðq j =1h jv (y j), v ɪH .(5)定义{z 1,z 2, ,z r }ʒ={x 1,x 2, ,x p }ɣ{y 1,y 2, ,y q }, 1ɤr ɤp +q ;0=z 0<z 1<z 2< <z r <z r +1=1;I k =(z k -1,z k ), k =1,2, ,r +1; (0,1)\{z 1,z 2, ,z r }=ɣr +1k =1I k ;c k =c i 0,z k =x i 0,0,其他{;h k =h j 0,z k =h j 0,0,其他{.令D (I )(I ⊂ℝ)表示在I 上带有紧支撑的无穷次可微函数全体,k ɪ{1,2, ,r +1},选择v ɪD (I k ),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\I k ,则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏI ku ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d []τv ᶄ(x )d x =0.(6)因为对任意的v ɪD (I k ),式(6)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ=a , x ɪI k,(7)从而u ɪC 1(I k ).又由式(7)得u ᵡ(x )-c (x )u (x )+h (x ,u (x ))=0, x ɪI k ,(8)从而u ɪC 2(I k ).因此问题(1)在区间ɣr +1k =1I k 逐点成立.令0<η<m i n {z k -z k -1,z k +1-z k },选择v ɪD (z k -η,z k +η),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\(z k -η,z k +η),则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏz k +ηz k -ηu ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k)d τ[+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh j δ(τ-z k)d ]τv ᶄ(x )d x =0.(9)因为对于任意的v ɪD (z k -η,z k +η),式(9)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k )d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh jδ(τ-z k)d τ=a , x ɪ(z k-η,z k+η).(10)由式(10)得Δu ᶄ(z k )ʒ=c k u (z k )-h k .(11)由于HC [0,1],所以u ɪC [0,1].而u ᶄ分段连续,点z 1,z 2, ,z r 为第一类间断点.问题(1)等价于问题774 第3期 何 婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k ,k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0{,(12)带脉冲条件Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k , k =1,2, ,r .(13) 满足式(12),(13)的函数u 即为脉冲问题(1)的古典解,通过上述证明可知每个弱解都是古典解.另一方面,每个古典解显然都是弱解.3 引 理对于任意连续函数r (x )ȡ0(x ɪ[0,1])及实数r i ȡ0(i =1,2, ,p ),在空间H 中定义如下内积:(u ,v )=ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ1r (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1r i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH ,则范数 u =(u ,u )1/2.设f (x )(x ɪ[0,1])和f i (i =1,2, ,p )为连续函数,定义算子F :H ңH 为(F (u ),v )=ʏ1f (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1f i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH .(14)定义算子S :H ңH 为(S (u ),v )=ʏ1h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j ), u ,v ɪH .(15)由于HC [0,1],因此F 为线性紧算子,S 为非线性紧算子.引理1 若u ɪH ,则u C [0,1]ɤ12u , u L 2(0,1)ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2u . 证明:对任意u ɪH ,由文献[14]有 u C [0,1]ɤ12 u ᶄ L 2(0,1), u L 2(0,1)ɤ1πu ᶄ L 2(0,1),则 u2C [0,1]ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ14u 2, u 2L 2(0,1)=m i n r (x )+π2m i n r (x )+π2ʏ10(u (x ))2d x ɤ1m i n r (x )+π2ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ1m i n r (x )+π2 u 2.证毕.引理2 对于由式(14)定义的算子F :H ңH ,有F (u ) ɤ14ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()i u .证明:由于u ɪH ,F :H ңH ,所以F (u )ɪH ,F (u ) =s u p v ɤ1(F (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10f (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1f iu (x i)v (x i)ɤs u p v ɤ1u C [0,1] v C [0,1]ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()iɤ14ʏ10f (x )d x +ðp i =1f ()iu .874 吉林大学学报(理学版) 第60卷证毕.引理3 对于由式(15)定义的算子S :H ңH ,有S (u ) ɤ12(m i n r (x )+π2)-1/2 p L 2(0,1) u +(m i n r (x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j . 证明:由于u ɪH ,S :H ңH ,所以S (u )ɪH ,再结合条件(H 2),利用H öl d e r 不等式和M i n k o w s k i 不等式,有S (u ) =s u p v ɤ1(S (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j)ɤs u p v ɤ1ʏ10(h (x ,u (x )))2d ()x 1/2ʏ10(v (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1h jɤs u p v ɤ1v L 2(0,1)ʏ10(q (x )+p (x )u (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1hj ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2ʏ10(q (x ))2d ()x 1/2+ʏ10(p (x )u (x ))2d ()x 1/2+12ðqj =1h j ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j.证毕.引理4(L e r a y-S c a u d e r 不动点定理)[15] 设E 是B a n a c h 空间,算子T :E ңE 全连续,若集合{ x x ɪE ,x =θT x ,0<θ<1}有界,则T 在闭球A ⊂E 中必存在不动点,其中A ={x x ɪE , x ɤR }, R =s u p{ x x =θT x ,0<θ<1}.4 主要结果的证明下面证明定理2.令c +和c -分别表示c (x )的正部和负部,对应c ʃ=m a x {ʃc (x ),0},即c (x )=c +(x )-c -(x ).则问题(1)可以改写为-u ᵡ(x )+c +(x )u (x )+ðc i >0c i δ(x -x i )u (x )=c -(x )u (x )-ðc i<0c i δ(x -x i )u (x )+h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïïïï.(16)取r (x )=c +(x ),r i =c i ,c i >0,0,c i <0{;f (x )=c -(x ),fi =0,c i >0,-c i ,c i <0{.则根据式(14),(15)算子的定义,问题(16)的弱解等价于算子方程u =F c -(u )+S (u )(17)的不动点,其中F c -,S :H ңH 为全连续算子.引入u =θ(F c -(u )+S (u )), θɪ(0,1).(18)设u 为式(18)的解,则根据引理2和引理3,有 u = θ(F c -(u )+S (u )) ɤ F c -(u ) + S (u ) <14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()iu +(m i n c +(x )+π2)-1/2ˑq L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j,从而974 第3期 何 婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性u C [0,1]<(m i n c +(x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L2(0,1éëêùûú).令R ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1éëêùûú),则 u C [0,1]<R .根据引理4,当θ=1时,存在一个u ɪC [0,1]满足式(17),即脉冲问题(1)存在一个解u ɪC [0,1]满足 u C [0,1]ɤR .定理2证毕.参考文献[1] R A C H ㊃UN K O V ÁI ,T V R D Y 'M.E x i s t e n c eR e s u l t s f o r I m p u l s i v e S e c o n d -O r d e r P e r i o d i cP r o b l e m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p pl ,2004,59(1/2):133-146.[2] S U N Y ,Z HU D M.E x i s t e n c eT h e o r e m s f o r a S e c o n dO r d e rT h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t h I m p u l s e s [J ].A p p lM a t hJC h i n e s eU 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s ,2008:22-23.)(责任编辑:赵立芹)084 吉林大学学报(理学版) 第60卷。
六阶含参微分方程Dirichlet边值问题解的存在性
Ｖｏ ． ＮＯ．２ １７
２０ ０ ８年 ６月
Ｊ ｎ ２ ８ ｕ ． ００
六 阶 含 参微 分 方程 Ｄ ｒ ｈｅ 边 值 问题 解 的存 在 性 ｉｃ ｌｔ ｉ
孙 娟
（ 山西 大 学 数 学科 学 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
［ 要 ］ 文 章 主 要 运 用 临 界 点 理 论 和 Ｍｏ ｓ 摘 ｒ ｅ理 论 ， 到 一 类 六 阶 含 参 微 分 方 程 Ｄｉｉｈ ｅ 得 ｒ ｌｔ边 值 ｃ
现 义 分 子 ：ｏ］Ｃ，￣ ：（一Ｇ，（ｓ∈０］∈０］ 知 ｝ 定 积 算 Ｋ ［１￣［１Ｉ Ｋ￡ ｊ（）ｓ ， ［１“［１易 ｛ ∈ ｃ，－ Ｏ］Ｔ “） ￡“）ｆ ，， ，・ Ｎ － ｓ ｄ
一
｛
） 是 Ｋ 的 部 特 征值 ， 相应 的 标准 正交 特 征 函数 为 ） ｗ一 ｛ ｉ志 ） ， Ｋ ： ｏ １ 厂 ｓ ｗ 且 ｎ ｃ［ ， ］一
方 在 ［ ］ 的 ：） 』（））ｆ ［ ］其 Ｇ［ ］ ［ ］ ０］ 程 ｃ， 中 解 （： ｆ ｄ ∈０ ＇ 中 ： ， × ０ 一［ 是 ｏ １ “ ｆ Ｇ，（ｓ ， ｓｓ ， １ ０ １ ， ， １ １
Ｉ）“ ｔ 。 Ｇｎ数 ＝（ ｔ≤ ． ｛ 。’ 的ｒ函， ｃ ＝ 。Ｓｔ１ ＂＝： ＇ ｅ 层 ， ｛二： “（（： ｅ －： Ｅ （：１ ）０ ０ ０ ｕ ） 一 ｔ ｓ Ｉ一， ； Ｓ ） １ ０
维普资讯
第 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ＮＯＲＭＡｌ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｏ ） Ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ Ｓ ｉ
问 题 解 的 存 在 性 和 多 解 性 结 果 ， 虑 的 具 体 问 题 为 ：一 Ｕ ￡ 考 “ （）＋ ａ “ （）一 ”￡ ＋ ２ ￡ “ ￡ （） ＂ ｕ（）一 ／（ ， ￡
四阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性
（ ， ［ “ ， ） （ ） （ ， ） ｄ ， ， ∈ Ｈ “ ） ２一 （ ＋ “ ， ＋ “ ｕ ］ “
相应 的范数记 为 Ｉ １ 根 据 Ｒ ｅｚ Ｊ・ｌ ． ｉｓ 定理 …和 Ｈｊ
收 稿 日期 ：０ ０ １ ０ ２ １ ０ ２
Ｃ ［ ，］ 紧嵌 入知 ， ０ １是 存在 Ｈｊ上 的线 性对 称 紧算 子 Ｋ
（ ，Ｈ一 。（ Ｂ） ） （ 一 （） ｄ“ ∈ Ｋ ： ｊ（— （）， ＋ （ Ａ￡“ ）ｆ， Ｈ． “ ） ［Ｉ ￡“ ） ，］，
因 此 泛 函
（ 一 １ Ｉ （ ，）（￡，］一 Ｆ，出 “ 专 ［ 。 Ｂ）“＋Ａ）“ （ ）一 ） ＋（， “ （ ） “ ￡ “
ｒ 一
由 Ａ（・） Ｂ（・） ｉ 性 知 ， 在 Ｇ≥ １ 使 得 ， 的 车续 存 ，
０ 引 言
我 们 主 要 考 虑 下 面 四 阶 Ｄ ｒ ｈｅ 边 值 问 题 ： ｉ ｃ ｌｔ ｉ
ｆ 一 （ ｆ ） “ Ｂ（） ＋Ａ（） ｆ“一 Ｖ ｚ“ ， ∈ Ｅ ，２ Ｆ（， ） ｆ ｏ１ ，
…
１（ ）一 Ｍ １ “０ （ ）一 Ｕ（）一 “（）一 ０ ｔ０ ｐ １ ，
［ ，］ Ｒ且满 足条件 ： ０ １ ×Ｒ 一
～
其 中 Ａ（）Ｂ（） Ｎ×『 对称 阵 ， ・） ， 是 ＼ 『 Ａ（ 连续 ， Ｂ（・） 连续 可 微且 （ ．， ≥ ｌ ｌ，ｔ ∈Ｅ ，］ Ｆ： Ｂ（）７ ２ ） 。 （， ） ｏ １ ×Ｒ ．
（ 对任意 ∈Ｒ Ｆ（・， 是 可测 函数 ， Ａ） ， ） 对几 乎处处 的 ｔ ０ １ ， ｔ ） 连续可 策 函数 ， ∈［ ，］ Ｆ（，・ 是 且存 在 ａ ∈ Ｃ（ Ｒ一， ） ｂ Ｅ ，］ Ｒ ， 得 Ｒ ， ∈Ｌ （ｏ １ ， ） 使 ｝ ｆ ’ ≤ （ ｏ １６￡ ，ｌＶ ｔｚ ≤ （ Ｆ（， ）｝三ａ １２ ） （） Ｆ（， ）１ ａ ｊ ｝６ ， ｚ ∈ Ｒ ａ ｃ ｔ Ｅ ， ］ ７ ） （） ，．． ∈ ｏ １ ．
带有Sigmoidal型响应函数反应扩散模型的正解
（
∈ａ 力，
＝ ＝ ０，
其中 ， ａ ， Ａ 、 Ｂ 、 ｂ 、 ｒ 都是正常数． 容易证明 ， 若 、 是 问题（ ２ ） 的非负解 ， 并且 Ｍ ０ ， 移 ≠０ ， 那么一定 有
ｕ （ ｘ ）＞ Ｏ ， （ ）＞ ０在 上 成 立 ， 这 种解 称 为 问 题
第 ４期
邵
翠， 等： 带有 Ｓ ｉ ｇ ｍｏ ｉ ｄ ａ ｌ 型 响应 函数反应扩散模 型的正解
５ ３ ５
Ａ （ ０ ） ． 考 虑下 面 的半 线性 椭 圆型方 程 ：
一
里采用文献 ［ １ ８ ］ 的框架来讨论 问题 （ ２ ） ． 为此 ， 引
Ａｗ ： ａＷ 一 １ ， ０ ，
Ｅ
；
入一些记号． Ｅ＝［ （ ） ］ ， 其 中 （ ） ＝｛ Ｗ∈
（ ４ ）
Ｗ ＝０， 戈∈ ａ
Ｃ （ ） ： ｌ ｍ ＝０｝ ； ｍ － ． Ｋ Ｘ Ｋ ， 其 中 Ｋ＝｛ Ｗ∈ ｃ （ ） ： ｔ ｔ Ｊ （ 戈 ） １０ ＞ ｝ ； Ｄ＝｛ （ ， 口 ） ∈Ｉ Ｖ ： Ｍ＜ ｎ ， ＜ Ｒ｝ ．
Ｊ ｕ ｌ ｙ ， ２ ０ １ ３
Ｖ０ １ ． ３ ６． Ｎｏ ． ４
带有 Ｓ ｉ ｇ ｍ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ 型响应 函数反应扩散模 型的正解
邵 翠， 陈文 彦
（ 安徽工业大学 工商学 院， 安徽 马鞍 山 ２ ４ ３ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 利用偏微 分方 程研究生物种群动力学 ， 已成为非线 性偏微分方程研 究领域 中 的一个重 要研究方 向． 针对具体的捕食 模型 ， 一个关键因素是 响应 函数． 主要考 虑 了一类 带有 Ｓ ｉ ｇ ｍ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ 型响应 函数 的捕食模
一类非线性奇摄动Dirichlet边值问题的匹配解法
是 边界层 问题 ． ［Ｏ 参数 忌的三 种 不 同取 值 ， 文 １３按 即 近 引入伸 长 变量
是＜ ０ 矗＞ １０＜ ｋ＜ ｌ 对 问题 作 了相应 的研究 ， ， ， ， 其 中边 界层 位置分 别 在左 端 、 端 和 内部 ． 右 我们 不 仅 将 问题 推广 到更一 般 的情形 ， 对 是一 ０和 ｋ一 １ 了 还 作 进一步 讨论 ． 虽然 这两 种 情况 与 是＜ ０ 忌＞ １的情 况 ，
（ ）＝ 口， Ｏ （ ）： ， １ ＝ ：
其解 为
—
Ｅ ｍ 一 １ｘ＋ ｃ ， （ ） ］
（） ４
其 中 Ｃ为任 意常数 ．
（） １
（） ２ （） ３
由（ ）得 问题 （ ） （ ）的零 次 外部 解 的 可 能形 ４ １一 ３
式 为
其 中 ￡ 正的小 参数 ， 为 竹∈ Ｎ ｍ ∈ ２ ａ口 常数 （ ， Ｚ， ， 为 当 为正偶 数时 ， ， ａ ≠ Ｏ ． ）
Ｎ （ ｏ Ｎ 、 边 界 层 又各 分 为 两 种 类 型 ）进 而 给 出 该 问题 解 的零 次 渐 近展 开 式 ， 广 并 改 进 了 已有 的结 果 ． Ｎ ｅ 右 ． 推
关 键 词 非 线 性 ； 摄 动 ； 界 层 ； 奇 边 匹配 ； 近 展 开 式 渐 中 图分 类 号 Ｏ１５ １ ７ ．４
一
２； － ／
：＝ ＿ ＝
＿
Ｘ （ ＞ Ｏ ０ ）
．
（ ７）
记 问题 （ ） （ ）内层 解 为 Ｙ ， （ ） 入 （ ） 到 １一 ３ 将 ７ 代 １得
￡ ” 卜 ＋ 。 一
样， 边界层 位 置也 分 别在 左 端 和 右端 ， 边 界层 函 但
泊松方程的边值问题的唯一性的证明
第一边值问题（Dirichlet问题）Dirichlet内问题我们研究方程{Δu=−fu|∂Ω=φ要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0u|∂Ω=0请注意极值原理：当Ω是有界区域，u在Ω¯上连续时，其最值只能在边界取，那就都是0，所以只有零解。
Dirichlet外问题我们研究方程{Δu=−fu|∂Ω′=φlimr→∞u=0要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0u|∂Ω′=0limr→∞u=0若有非零解，不妨设该点处u(M)>0。
考虑到limr→∞u=0，我们取球B(0,R)包裹住该点M，且取R足够大，使得边界ΓR上函数值都不超过u(M)，这与极值原理相悖。
第二边值问题（Neumann问题）Neumann内问题我们研究方程{Δu=−f∂u∂n|∂Ω=φ要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0∂u∂n|∂Ω=0但事实上并非如此，我们说明该方程的解在相差一个常数的意义下是唯一的，也就是仅有常数解。
请注意强极值原理：倘若u在Ω¯上连续，且Ω满足内切球条件，那么该方程确定的调和函数只能是常数，因若为非常数，在最大值点处∂u∂n>0，这与边界条件相违背。
Neumann外问题我们研究方程{Δu=−f∂u∂n|∂Ω′=φlimr→∞u=0要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0∂u∂n|∂Ω′=0limr→∞u=0事实上，倘若u在Ω′¯上连续，且Ω′满足外切球条件，那么该方程确定的调和函数只能是常数。
选取充分大的R使得球面ΓR与∂Ω围住一块区域，由极值原理，其最值只能在边界选取，而由强极值原理，其最值又不能在∂Ω上选取，则只能在ΓR上取到最值。
上面的结论对充分大的R都成立，取极限就知道最值只能是0，所以原方程只有零解。
第三边值问题（Robin问题）Robin内问题我们研究方程{Δu=−f∂u∂n+σu|∂Ω=φ,σ>0要说明该边值问题解唯一，只要说明下面的方程只有零解：{Δu=0∂u∂n+σu|∂Ω=0,σ>0事实上，倘若u在Ω¯上连续，且Ω满足内切球条件，那么该方程确定的调和函数只能是零。
（应用数学专业论文）半空间中浅水波方程边界层解的性态
华中科技大学硕士学位论文半空间中浅水波方程边界层解的性态姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070529摘要浅水波方程是偏微分方程中一类很重要的方程，其形式虽然简单，但包括很多有价值的性质。
一直以来，不同领域的学者都对它进行着研究。
关于它的解的存在性和稳定性已有了一些结果。
例如：L. Sundbye 对二维浅水波方程的初值问题进行了研究，得到了解的全局存在唯一性, 但是半空间中一维浅水波方程的初边值问题还有很多问题有待研究。
本文通过在点x=0附近构造边界层函数，得到了静态浅水波方程的解是收敛于边界层函数的。
另外，利用能量估计的办法得到了浅水波方程的解相对于其静态解是2L局部稳定的。
全文分为六个部分。
第一部分介绍了浅水波方程的来源和已有的一些结果。
第二部分介绍了流体力学的基本理论以及Navier-Stokes 方程的已有的一些研究成果第三部分提出了本文所需的预备知识。
第四部分得到了静态解的存在性和边界层收敛性，第五部分到了解相对于静态解是局部稳定的。
最后一部分总结了本文的研究内容，提出了还需进一步研究的问题。
关键词：浅水波方程; Navier-Stokes方程; 边界层; 稳定性; 存在性AbstractThe shallow water equation is very important in partial differential equations.Though form is simple，it contains many valuable information. In the several years，many authors in different fields pay attention to the shallow water equation. There are some results on existence and stability of its solutions. For example：L. Sundbye has studied the Cauchy problem in the 2-D spaces，and obtained global existence and uniqueness of solutions. But there are lots of subjects to be studied on the initial-boundary problem in the half space. In this article，we construct boundary layer functions near the point x=0and obtain that the stationary solution is convergent to the boundary layer function. In additions，we obtain the 2L local stability of the solutions with the aid of energy estimate.This article is divided into six parts .In the first part，we introduce the origin of the shallow water equations and some of its results. In the second part，we introduce the fundamental theory in the fluid mechanics. In the third part，we give the preparation knowledge. In the fourth part，we obtain the existence and boundary layer convergence of the stationary solution. In the fifth part，we obtain the local stability of the solution. In the sixth part，we sum the results in this article and give some problems to be study in the deeper step.Keywords ：Shallow Water Equations; Navier-Stokes Equations; Boundary Layer;Stability; Existence独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
关于二阶Dirichlet边值问题教学中的一些思考
科技风2021年2月DOI：10.19392/ki.1671-7341.202105016关于二阶Dirictlet边值问题教学中的一些思考徐家发柏仕坤重庆师范大学数学科学学院重庆401331摘要：本文使用不动点指数研究二阶Dirichlet边值问题正解的存在性，并给出该问题在教学中的一些思考"关键词：二阶Dirichlet边值问题；正解；不动点指数Some consiPerations on the teactingof second order Dirictlet boundary value problemsXu Jiafa Bar ShikunSchool of Mattematical Sciences,Chongqing Normal Universite Chongqing401331 Abstract:tn this paper we use the fixed point indee a study the existence of positive solutions for the second order Dirichlet boundary value problem, and alse give some considerations for teaching this problem.Key worls：Second Dirichlet boundary value problem；Positive solutions；Fixed point index1基本知识本文主要讨论如下二阶Dirichlet边值问题正解的存在性：#二代t,u(#),011,1/(0)二/(I)二0,其中/#C([0,1]x2+,2+)(2:=[0,+!)),且满足以下条件：(H1)lic诚血处>#，对[0,1]一致成立;U(H2)lini sup代S，对t #[0,1] 一致成立；/$0+/(H3)lic>#，对£#[0,1]—致成立；(H4)lini sup代S，对t#[0,1] 一致成立。
一类半线性椭圆型Neumann边值问题解的存在唯一性
一类半线性椭圆型Neumann边值问题解的存在唯一性邢慧;陈红斌【摘要】半线性椭圆型方程解的性质蕴含了方程的丰富信息,对于描述各种现象的发展规律起着至关重要的作用.多物种互助模型的平衡解以及经济均衡点的存在性问题等都可以转化为Neumann边值问题解的存在性.本文研究一类半线性椭圆型方程Neumann边值问题解的存在唯一性.在假定非线性项满足渐近非一致条件的情况下,我们利用拓扑度理论和特征值比较原理得到了解的存在性,运用特征值比较原理证明了解的唯一性.推广和补充了以往的相关研究成果.作为应用,文中通过一个例子验证了所得结论.%The solutions to semilinear elliptic partial differential equations contain rich infor-mation about the equations, which is very important for describing the development of various phenomena. The existence of equilibrium solutions of multi-species mutual aid model and the economic equilibrium point can be transformed into the existence of the solutions to Neumann boundary value problems. In this paper, we study the existence and uniqueness of the solutions for a class of semilinear elliptic equations with Neumann boundary value conditions. Using the topological degree theory and the eigenvalue comparison principle, we obtain the existence of the solutions under the assumption that the nonlinear terms satisfy the asymptotic nonuniform conditions. Using the eigenvalue comparison principle, we prove the uniqueness of the solutions. The obtained results extend and complement some relevant existing works. As an application, an example is given to verify the obtained results.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2017(034)006【总页数】7页(P622-628)【关键词】Neumann边值问题;解的存在唯一性;渐近非一致条件;拓扑度理论;特征值比较原理【作者】邢慧;陈红斌【作者单位】西安工程大学理学院,西安 710048;西安交通大学数学与统计学院,西安 710049【正文语种】中文【中图分类】O175.21 引言不少数学家从不同侧面研究了如下在Dirichlet边值条件下的半线性椭圆型方程解的存在唯一性．但是，对在Neumann边值条件下半线性椭圆型方程解的相关研究还比较少见．Neumann边值问题在数学物理、经济数学和生物数学等交叉学科中有着广泛的应用背景．在研究波动方程、梁问题、热传导问题以及多物种互助模型平衡解和经济均衡点的存在性等问题时，经常会转化成研究Neumann边值问题解的存在性的问题，所以研究半线性椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性具有非常重要的理论意义和实际价值．众所周知，Duffing型方程是典型的振动微分方程，而且是方程(1)在一维时的特殊情形，解的存在性问题因涉及领域广泛而备受人们关注，此类方程在大气科学中有着非常广泛的应用．在我们的日常生活和工程实践中，振动现象普遍存在．随着科技的进步和社会生产力的发展，高强度材料、新结构形式不断出现，使得振动问题日益受到关注．当结构参数有了小变化之后，为了尽早发现和预防可能出现的有害振动，结构固有频率和固有振型的变化情况的研究就非常重要．所以，对于振动方程解的相关研究和特征值理论密切相关．Hammerstein[1]在研究非线性积分方程的过程中最早发现了Laplace算子第一特征值λ1的重要性，并且证明了存在γ，使得当ξ∈R 时方程(1)在条件f′(ξ)≤γ＜λ1下有唯一解．1949年，Dolph[2]得到了方程(1)有如下的结果：设λk＜λk+1是−Δ的两个相邻的特征值，如果存在ε＞0，对任意ξ∈R，当λk+ε≤ f′(ξ)≤ λk+1−ε时，方程(1)存在唯一解．在文献[3—5]中，Mawhin等学者讨论了带有不跨特征扰动的方程解的存在性和唯一性．1990年，Ruf[6]研究了半线性椭圆型Neumann边值问题解的结构，其中λ是一个正常数，h(x)是一个给定的函数，ν表示边界上的外法向量．2012年，Sfecci[7]研究了半线性椭圆型Neumann边值问题在非振动条件下径向解的存在性．徐登洲和马如云[8]对半线性微分方程的Dirichlet边值问题解的存在性和唯一性的研究进展做了详尽的介绍．在文献[2—9]的启发下，本文利用拓扑度理论和特征值比较原理研究半线性椭圆型方程的Neumann边值问题在带有不跨特征值扰动时解的存在性和唯一性，其中Ω是Rn中的有界区域，ν表示边界上的外法向量，h(x)∈C0,α(¯Ω)是有界的，f(x,u)是连续函数且满足渐近非一致条件．本文中的渐近非一致条件不同于多数文献中的形式，这个条件更精确，而且应用更广泛．2 预备知识定义1 对于半线性椭圆型方程其中Ω是Rn中的有界区域，h(x)是连续函数，如果连续函数f(x,u):Ω×R→R满足以下条件则称连续函数f(x,u)为线性方程Δu=h的不跨特征扰动，其中且严格不等式在Ω的一个正测度集上成立．类似地，也表示同样的含义．这里λk和λk+1分别表示在Neumann边值条件下的特征值问题的第k和第k+1个特征值．方程(3)的特征值为λ1=0所对应的特征子空间为span{1}，对于任意自然数k，λk所对应的特征子空间是有限维的．方程(3)等价于方程其中A表示在Neumann边值条件下算子−Δ+I的逆．引理1 对于方程(4)，如果λk≪λ≪λk+1，则存在充分大的R＞0，使得其中k是满足(λ+1)µ∈(1,+∞)的所有特征值µ的代数重数之和，µ是算子A的特征值，BR表示半径为R的球．证明显然v=0是方程(3)的解，由于λk≪λ≪λk+1，所以算子I−(λ+1)A是可逆的，由则由文献[10]中定理8.10可得关于拓扑度的计算可参见文献[10—13]．考虑下面的线性椭圆型方程其中Ω是RN中的有界区域，而且边界∂Ω是光滑的．下面给出方程(5)的H¨older估计．引理2[14,15] 对于方程(5)，下面的结论成立：(i)如果h∈L∞(Ω)，那么对于任意0＜α＜1，有且是方程(5)的一个古典解且在上面c表示一个正常数，而且依赖于Ω．引理3(特征值比较原理)设µ1(q(x))≤µ2(q(x))≤µ3(q(x))≤…是方程(ii)如果，那么的特征值．如果q1(x)≪q2(x)，那么µk(q1(x))＞µk(q2(x)),k=1,2,3,4,…成立．在本文中，对于方程(2)，假设f(x,u)满足下述条件：其中a(x),b(x)∈C(Ω)．我们把条件(H)称为渐近非一致条件，也就是说，当|u|→∞时，可与λk和λk+1任意地接近，甚至可以“接触”λk和λk+1．3 主要结果定理1 如果函数f(x,u)满足条件(H)，而且λk≪ f′(x,u)≪ λk+1，则方程(2)的解是存在的，而且是唯一的．记其中f′(x,u)表示对第二变量u的导数．证明对于任意t∈[0,1]，考虑下面的方程其中λk≪λ≪λk+1，对于充分大的R，下面证明方程(6)在∂BR上没有解．用反证法，假设存在hn∈Y，方程(6)在∂BR上存在解un∈X，且‖un‖Y→∞,tn∈[0,1]，下面把‖·‖Y记为‖·‖．令，得到令显然Un是有界的，由引理2(i)可得‖zn‖C1,α≤C，C为常数，则在空间中存在子列，使得zn→ z,tn→ t．由于‖zn‖=1，则‖z‖=1，由此得到z一定不等于0．方程(7)两边同乘以，并分部积分可得这样，令由‖un‖→∞，可得方程(8)的右边为零．当n→∞时，有(f(x,un)/un)zn→m(x)z，对方程(8)取极限并由Lebesgue控制收敛定理可得由条件(H)可得λk≪ tm(x)+(1− t)λ ≪ λk+1，记q(x)=tm(x)+(1− t)λ，那么µk(q(x))＜0,µk+1(q(x))＞0，由引理2(ii)和特征值比较原理即引理3可得方程只有平凡解z≡ 0，这与前面z必定不等于零相矛盾．因此，当R充分大时，方程(6)在∂BR上没有解．当t=1时，方程(6)的解可表示为我们将方程(2)的解的存在性转化为算子F的不动点问题．当t=0时，方程(6)的解可表示为由引理1可知，deg(I−(λ+1)A,BR,0)=(−1)k．令由同伦不变性和引理1可得因此，方程(2)至少有一个解u．下面证明方程(2)的解是唯一的．用反证法，假设v也是方程(2)的一个解．令w=u−v，由此我们得到由于λk≪f′(x,u)≪λk+1，由特征值比较原理可得由此得到方程(2)的解w≡0，从而得到u≡v．因此，方程(12)的解是唯一的．4 例子在定理1中，如果没有条件(H)，只有条件λk≪f′(x,u)≪λk+1时，并不能保证解的存在性，也就得不到解的唯一性．只有满足条件(H)，保证解是存在的情况下，才能讨论解的唯一性．为了更好地说明以上所得结果，下面给出一个例子．例1 二阶线性微分方程的Neumann边值问题在A＞2π时无解．证明在方程(13)两边同乘以cosx，并在[0,π]上积分可得由方程(13)的边值条件和方程(14)可得由方程(15)可得因此，当A＞2π时，方程(13)无解．令f(x,u)=u+arctanu，则由(17)式可以看出，当|u|→∞时，f(x,u)/u的极限等于1，而1是Neumann边值条件下的特征值问题的第二特征值，函数f(x,u)不满足渐近非一致条件．因此，当函数f(x,u)不满足渐近非一致条件(H)时，方程(13)在A＞2π时无解．以上的例子说明了定理1的渐近非一致条件(H)是精确的，如果不能保证条件(H)，方程有可能无解．参考文献：[1]Hammerstein A.Nichtlineare integralgleichungen nebst anwendungen[J].Acta Mathematica,1929,54(1):117-176[2]Dolph C L.Nonlinear integral equations of Hammersteintype[J].Transactions of the American Mathematical Society,1949,66(2):289-307[3]Mawhin J,Ward J R.Nonresonance and existence for nonlinear elliptic boundary value problems[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods and Applications,1981,5(6):677-684[4]丁同仁.在共振点的非线性振动[J].中国科学(A辑)，1982,25(1):1-13 Ding T R.Nonlinear oscillations at a point of resonance[J].Science in China(SeriesA),1982,25(1):1-13[5]Santo D D,Omari P.Nonresonance conditions on the potential for a semilinear elliptic problem[J].Journal of DifferentialEquations,1994,108(1):120-138[6]Ruf B.Singularity theory and the Geometry of a nonlinear elliptic equation[J].Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa,Class di Scienze,1990,17(1):1-33[7]Sfecci A.A nonresonance condition for radial solutions of a nonlinear Neumann elliptic problem[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods and Applications,2012,75(16):6191-6202[8]徐登洲，马如云.线性微分方程的非线性扰动(第2版)[M].北京：科学出版社，1994 Xu D Z,Ma R Y.Nonlinear Disturbances of the Linear Differential Equations(2nd Edition)[M].Beijing:Science Press,1994[9]Xing H,Chen H B,He X B.Exact multiplicity and stability of solutions of second-order Neumann 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一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在性和唯一性
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｒｃｉｎｌ ｉｅｅ ｔ ｌ ｑ ａｉ ； ｏ ｄｒ ａ ｅ ｒｂｅ ｆ ｅ ＿ ｏｎ ｅｒｍ；ｘｓ ｎ ｅａｄｕ ｉ ｅ ｅｓ ｆ ｙｗ ｒ ｓ ｆ ｔ ａ ｄｆ ｒｎ ａ ｅｕ ｔ ｎ ｂ ｕ ａｙｖ ｌ ｏ ｌｍ； ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｏｅ ｅｉ ｅｃ ｑ ｎ ｓ ｏ ａ ｏ ｉ ｏ ｎ ｕｐ ｉ ｔ ｈ ｔ ｎ ｎ ｕ
（ １ Ｉｔ ）ｆｔ ） Ｌｘ Ｙ， Ｈ ）Ｉ（ｘ－ （Ｙｌ Ｉ ｌ 对任意的 ｆ， ，ｌ － Ｉ － ＜
ｔ ０ １， ， ∈Ｘ ． Ｅ【， 】
甚 ｆ （ ）
（－ ） ｔｓ
）ｓ ｄ，
其 中 ａ＞０ ，厂（ 为 ｇｍ ・ ） ａ ｍａ函数 ． 定 义 ２ 】 连 续 函 数 ： ，＋ｏ） Ｒ 的 仅阶 ［ （ ０ ｏ Ｒｅ ｎ ｉｍａｎ—Ｌｏ ｖｌ ｉ ｉｅ分数 阶 导数 为： ｕ ｌ
利用 Ｂｎｃ ａａ ｈ不动点定 令 ｓ （ ｏ ＝ 理， ｕ Ｉ ｆ ） ｐＩ ， ｌ Ｉ
ｔｆ ． １ Ｅ０ １
，
设 ＝ ｃｌｌ， ，其中，满足 ｒ ∈ ：ｌ ． ｌ ） ｘ
其 中 Ｎ 为大 于或 等 于 。的最小 整数 ． ｃ
引 理 ２ 【
若 仅 ０， Ｕ （，） Ｌ Ｏ １ ＞ Ｅｃ ｏ １ｎ （，） ，
Ｚ ＨＡＮＧ ｕ ｚ ｅ － ＺＨＡＮＧ ｉ — ｉ ｇ ， Ｆ － ｈ ｎ ．． Ｊｎ ｌ ｎ
（． ｏｌｇ ｆ ｃ ｎ ｅ Ｃ ｉａ ｉｅｓｙｏ Ｍｉｉｇ Ｔ ｃｎ ｌ ｙ Ｘ ｚ ｏ ２ ０ ８Ｃ ｉａ １Ｃ ｌ ｅ Ｓ ｉ ｃ， ｈｎ ｖｒｉ ｆ ｎｎ ＆ ｅｈ ｏｏ ， ｕ ｈ ｕ２ １０ ， ｈｎ ； ｅ ｏ ｅ Ｕｎ ｔ ｇ
（２ Ｈ ）存在函数 （， ， ， ∈ ［ １Ｒ） 使得Ｉ（ ０】 Ｉｔ ｆ， ｘＩ （，ｆ ） ［ １ Ｘ， 行 ） ｆ （ ∈０ ］ 为 文的方 ， ： ｌ ） ， ，ｘ 便 记
一类复蒙日-安培方程Dirichlet问题数值解探讨(二)
ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｖ ｅ ｒ ｙ ｄ ｉ ｉｃ ｆ ｕ ｌ ｔ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｄｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ Ｍｏ ｎ ｇ ｅ
中图分 类号 ： ０ １ ７ ４ ． ５ ５
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ２— ３ ６ ０ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ０ １ — ０ ７
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｎ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｄｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ Ｍ二）
ＹＩ Ｎ Ｗｅ ｉ ｐ ｉ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｃ ａ ｐ ｉ ｔ ａ ｌ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ４ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
—
Ａｍｐ ｅ ｒ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ Ｃａ ｒ ｔ ａ ｎ — Ｈａ ｒ ｔ ｏ ｇ ｓ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｔ ｙ ｐ ｅ ． Ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｌ ｙ， ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ ｉ ｓ ｒ ｅ ｄ ｕｃ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ
ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｗｏ — —ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕｎ ｄ ａ ｙ ｖ ｒ ａ ｌ ｕ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ａ ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ｒ ａ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ— －ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｙ ｄ ｒ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ．Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｌ ｙ，ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ Ｄｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ ’Ｓ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｌ ａ ｃ ａ ｓ ｅ，ｔ ｈ ｉ ｓ ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｆ ｏ ｍ ｕ ｒ ｌ ａ ｃ ａ ｎ ｂｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｃ ｈ ｅ ｃ ｋ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ： ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ；Ｃｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ Ｍｏ ｎ ｇ ｅ — Ａｍｐ ｅ ｒ ｅ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ； Ｄｉ ｉｃ ｒ ｈ —ｌ ｅ ｔ ’Ｓ ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ； Ｃａ ｒ ｔ ａ ｎ — Ｈａ ｒ ｔ ｏ ｇ ｓ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ； Ｋａ ｅ ｈ ｌ ｅ ｒ—Ｅｉ ｎ ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ ｍｅ ｔ ｉｃ； ｒ ｔ ｗｏ—ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕｎ ｄ ａ ｙ ｒ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ．
2m阶Dirichlet边值问题解的存在性
第 ３ 第 ２期 Ｏ卷
２１ 年 ６ ０２ 月
江苏师 范大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｎ ｓ ｒ ｌ ｉｅｓｔ（ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＪａ ｇ ｕ Ｎｏ ｍａ ｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉｉｎ Ｕｎ Ｓ
Ｖ Ｏ ．３ Ｎｏ．２ １ ０。
ＬｉＸｉｌｎ，Ｃｕ ｑｏ ｇ ｕａ ｉＹａ ｉｎ ，Ｗａ ｇ Ｌ ｎ ｉｇ ｎ ａ ｑｎ
（ ｈ ｏ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａｉｓ＆ Ｃｏ ｕ ｅ ｉｎｃ ， ａ ｘ ｔ ｎ ｎｖ ｒｉｙ， ｔ ｎ ３ ０ ９， ｈａ ｉＣｈｎ ） Ｓｃ ｏ ｌｏ ｔ ｅ ｔ ｃ ｍｐ ｔ ｒＳｃｅ ｅ Ｓｈ ｎ ｉＤａ ｏ ｇＵ ｉｅ ｓｔ Ｄａ ｏ ｇ０ ７ ０ Ｓ ｎｘ ， ｉａ Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｕ ｓｎ ｈｅＭ ｏ ｓ ｈｅ ｒ ｆｉ ｉ ｉｅｄｉ ｅ ｉｎａ ，ｈｅ ｅ ｉｔ ｎｃ ｏｎ ｒｖｉｌｓ ｌ ｉ ｓ ｆ ｒ２ｍ— ｄ ｒｎｏ ｉ ａ ｉｇ ｔ ｒ ｅ ｔ ｏ ｙ ｏ ｎｆｎ ｔ ｍ ｎｓｏ ｌ ｔ ｘ ｓｅ ｅｏｆｎ ｔ ｉ ａ ｏ ｕｔｏｎ ｏ ｏｒ ｅ ｎｌｎｅ ｒ
Ｄｉｉｈ ｅ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ Ｔｈ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｈ ｔ ｔ ｅ ｅ ｅ ｉｔ ａ ｅ ｓ ｗｏ ｎ ｎ ｒｖａ ｏ ｕ ｉｎ ｒｃ ｌｔｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｉ ｉｃ ｓ ｅ ． ｅ ｒ ｓ ｌ ｈ ｗｓ ｔ ａ ｈ ｒ ｘ ｓ ｔ ｌａ ｔ ｔ ｏ ｔ ｉｉ ｌｓ ｌ ｔ ｓ ｏ ｗｈ ｎ ｔ ｅｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ｒ ｓ ｔ ｆ ｓ ｃ ｒａ ｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｈ ｏ ｌ ａ ｅ ｍ ａ ｉ ｉ ｅ ｔ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ ． ｎ ｓｅ ｉ
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山西大同大学学报 （ 自然科学版 ）
ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连 续 。
（ ６ ） 有一 列特 征值 （ Ａ １ ） ： ０ ＜ Ａ ｌ －Ａ ＜ ２ ≤… Ａ …。
对 应 的特征 函数是 。 ， ， … 。且 ＝ １ ， ｉ ＝ １ ， ２ ， …，
－
Ｉ ｌ ｕ ［ Ｉ ， ＝ （ 』 ｐ （ ） Ｉ ｕ （ ） Ｉ ＋ ｑ （ ） ｌ ｕ （ ） Ｉ ｄ ｘ ） 。
定 义空 间 Ｘ＝ Ｃ ［ ０ ， １ ］ ，范数 为
ｌ Ｉ ． Ｉ Ｉ Ｙ ＝ ｍａ ｘ ｛ ｌ Ｔ ｌ ａ ｘ ． 日 Ｉ 】 ， Ｉ Ｊ Ｉ ｕ （ ｘ ） Ｉ ， ｍａ ｘ ｌ 】 ｌ Ｍ （ ） Ｉ ｝ ，显 然 稠 密嵌 入 Ⅳ。
一
（ “ ， ） ＝ｌ ｎ ｐ （ ） “ （ ） ） （ ） ｕ （ ） （ ） 。
由内积 导 ｍ的 范数
Ｉ Ｉ
， Ｊ ｜ ／ 【 ， ） ，
（ ０ ） ０ ， （ １ ） ｓ０ 。
定 义 ２ 泛 函 ： ［ ０ ， １ ］ 一 ［ ０ ， １ ］ 是（ １ ） 的上解 是 指， 如 果 ∈Ｃ ［ ０ ， 】 ］ ， ｐ Ｃ ＇ ∈Ｃ ［ ０ ， １ ］ 使得
续的 日 ． 关 于 “是 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连 续 的 ，对 所 有 的 ∈
（ （ ｕ ） ， ） ＝ １ （ ｐ （ ） Ｉ Ｕ ｔ （ ） １ ２ ＋ ｑ （ ） ｌ Ｍ （ ） Ｉ （ ｉ ｘ —
ｆ ｌ
ｆ ／ （ ， ｕ （ ） ） （ ） ｄ ｓ 。
设 Ｇ（ ｘ ， Ｓ ） １ ９ １ 是 以下 问题 的格林 函数
（ ３ ）
（ ４ ）
［ ０ ， １ ］ 。 我 们 可 以得 到 问题 （ １ ） 的 四个 解 的存 在 性
并给出了解存在的具体范围。
｛ ｆ － Ｌ ｕ ＝ Ｏ Ｍ （ ０ ） ＝ ０ ， Ｍ （ １ ） ＝ ０ ，
第２ ９卷第 １ 朗
２ ０Ｉ ３ ２ Ｊ １
山两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 同大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｔ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ． ２ ９ ． Ｎｏ ． Ｆ ｅ ｂ ２ Ｏｌ ３
文章编号： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ０ ３ — ０ ３
一
类Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 多解 的存在性
买阿丽 ’ ， 卢永红 ， 孙 国伟
（ １ ． 运城 学院应 用数 学 系 ，山西 运城 ０ ４ ４ ０ ０ ０ ；
定 义泛 函 ： Ｈ－ － － ￣ Ｒ如 下
ｔ ． ４ ， ＿ ｇｘ ， ） ，
砂（ ０） ｓ０， （ １ ） －０ ＞ 。
２ 主要结果
㈩ ㈩ 一
（ ２
， ：
间使
套
Ｍ ） ： Ｍ “且 ， （ Ｍ ） 是 到 的Ｌ ｉ ｐ ｓ 一
Ｊ ｒ ｔ Ｆ （ ｘ ， ｕ （ ｘ ） ） ｄ ｘ ，
ｏ
函 。假 设 （ １ ） ， （
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ０ — １ ０
基金项 目： 运城学 院基础研究项 日［ Ｊ ｃ 一 ２ ０ ０ ９ ０ ２ ４ ］
作者简介： 买 阿丽（ １ ９ ８ ｌ 一 ） ， 女 ，…西河 津人 ， 博士 ， 讲 师， 研 究方 向 ： 常微分方程及其应用。
Ｉ ｔ — ｌ ｌ ｔ ＝ ｆ ｔ ｘ ． １ ｜ Ｍ （ ０ ） ０ ， （ １ ） ＝ ｏ ．
即（ （ “ ） ， ） ＝ ０ ， ∈ Ｈ， 其中
（ ）
其中 Ｌ ｕ ＝ （ ｐ（ ） Ｍ ） 一 ｑ （ ） Ｕ是 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ算 子 ， Ｐ， ｑ∈Ｃ 。 ［ ０ ， １ ］ ， Ｐ， ｑ ＞ Ｏ ， ｆ （ ｘ ， ｕ ） 在［ ０ ， １ ］ ｘ Ｒ上 是连
格林 函数 的性 质 见文献 ［ １ ］ 。
１ 预 备 知 识
设 空 问 Ｈ＝ Ｈ ［ ０ ， １ ］ 是Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ空 间 ， 定 义 Ｈ 的
内积 如下
ｒ Ｉ
定 义 １ 泛 函 ： ［ ０ ， １ ］ 一 尺是 （ １ ） 的下 解 是 指 如 果 ∈Ｃ Ｅ ｏ ， １ ］ ， Ｐ Ｃ ∈Ｃ 一 ［ ０ ， １ ］ 使得
其中 （ ， “ ） ＝Ｊ ｆ （ ｘ ， ｓ ） ｄ ｓ 。则
（ Ｍ ） ＝ １ Ｉ ｌ ｕ ｌ Ｉ ２ 一 （ Ｆ （ ， ｕ （ ） ）
南文 献 ［ ８ 】 ，问题 （ １ ） 的解 等 价 于 泛 函 的 临 界 点 ，
将研 究如 下 的一类 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题
２ ． 山西 大 同大 学数 学与计 算机 科 学学 院 ，山 西大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 利用上下解方法结合 变分 法得到 了一类 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 四解存在 的充分条件 文献标识码 ： Ａ
关键词 ： 临 界 点 ；上 下 解 ；多解 ； Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 问题
中 图分 类号： Ｏ１ ７ ５ ． ７
近几年 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 问 题 解 的存 在 性 是 学 者 们研 究 的热 点课 题 Ｉ ，其 主要研 究 方 法包 括 ：临 界
点 理论 ，不 动 点理 论 ，拓扑 度 理 论 ，二 三 临界 点 理 论
等方 法 。