一类Dirichlet边值问题多解的存在性
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Ｉ ｌ ｕ ［ Ｉ ， ＝ （ 』 ｐ （ ） Ｉ ｕ （ ） Ｉ ＋ ｑ （ ） ｌ ｕ （ ） Ｉ ｄ ｘ ） 。
定 义空 间 Ｘ＝ Ｃ ［ ０ ， １ ］ ，范数 为
ｌ Ｉ ． Ｉ Ｉ Ｙ ＝ ｍａ ｘ ｛ ｌ Ｔ ｌ ａ ｘ ． 日 Ｉ 】 ， Ｉ Ｊ Ｉ ｕ （ ｘ ） Ｉ ， ｍａ ｘ ｌ 】 ｌ Ｍ （ ） Ｉ ｝ ，显 然 稠 密嵌 入 Ⅳ。
Ｖｏ １ ． ２ ９ ． Ｎｏ ． Ｆ ｅ ｂ ２ Ｏｌ ３
文章编号： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ０ ３ — ０ ３
一
类Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 多解 的存在性
买阿丽 ’ ， 卢永红 ， 孙 国伟
（ １ ． 运城 学院应 用数 学 系 ，山西 运城 ０ ４ ４ ０ ０ ０ ；
其中 （ ， “ ） ＝Ｊ ｆ （ ｘ ， ｓ ） ｄ ｓ 。则
（ Ｍ ） ＝ １ Ｉ ｌ ｕ ｌ Ｉ ２ 一 （ Ｆ （ ， ｕ （ ） ）
南文 献 ［ ８ 】 ，问题 （ １ ） 的解 等 价 于 泛 函 的 临 界 点 ，
将研 究如 下 的一类 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题
设 Ｇ（ ｘ ， Ｓ ） １ ９ １ 是 以下 问题 的格林 函数
（ ３ ）
（ ４ ）
［ ０ ， １ ］ 。 我 们 可 以得 到 问题 （ １ ） 的 四个 解 的存 在 性
并给出了解存在的具体范围。
｛ ｆ － Ｌ ｕ ＝ Ｏ Ｍ （ ０ ） ＝ ０ ， Ｍ （ １ ） ＝ ０ ，
格林 函数 的性 质 见文献 ［ １ ］ 。
１ 预 备 知 识
设 空 问 Ｈ＝ Ｈ ［ ０ ， １ ］ 是Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ空 间 ， 定 义 Ｈ 的
内积 如下
ｒ Ｉ
定 义 １ 泛 函 ： ［ ０ ， １ ］ 一 尺是 （ １ ） 的下 解 是 指 如 果 ∈Ｃ Ｅ ｏ ， １ ］ ， Ｐ Ｃ ∈Ｃ 一 ［ ０ ， １ ］ 使得
ｏ
函 。假 设 （ １ ） ， （
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ０ — １ ０
基金项 目： 运城学 院基础研究项 日［ Ｊ ｃ 一 ２ ０ ０ ９ ０ ２ ４ ］
作者简介： 买 阿丽（ １ ９ ８ ｌ 一 ） ， 女 ，…西河 津人 ， 博士 ， 讲 师， 研 究方 向 ： 常微分方程及其应用。
山西大同大学学报 （ 自然科学版 ）
ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连 续 。
（ ６ ） 有一 列特 征值 （ Ａ １ ） ： ０ ＜ Ａ ｌ －Ａ ＜ ２ ≤… Ａ …。
对 应 的特征 函数是 。 ， ， … 。且 ＝ １ ， ｉ ＝ １ ， ２ ， …，
２ ． 山西 大 同大 学数 学与计 算机 科 学学 院 ，山 西大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 利用上下解方法结合 变分 法得到 了一类 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 四解存在 的充分条件 文献标识码 ： Ａ
关键词 ： 临 界 点 ；上 下 解 ；多解 ； Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 问题
续的 日 ． 关 于 “是 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连 续 的 ，对 所 有 的 ∈
（ （ ｕ ） ， ） ＝ １ （ ｐ （ ） Ｉ Ｕ ｔ （ ） １ ２ ＋ ｑ （ ） ｌ Ｍ （ ） Ｉ （ ｉ ｘ —
ｆ ｌ
ｆ ／ （ ， ｕ （ ） ） （ ） ｄ ｓ 。
定 义泛 函 ： Ｈ－ － － ￣ Ｒ如 下
ｔ ． ４ ， ＿ ｇｘ ， ） ，
砂（ ０） ｓ０， （ １ ） －０ ＞ 。
２ 主要结果
㈩ ㈩ 一
（ ２
， ：
间使
套
Ｍ ） ： Ｍ “且 ， （ Ｍ ） 是 到 的Ｌ ｉ ｐ ｓ 一
Байду номын сангаас
Ｊ ｒ ｔ Ｆ （ ｘ ， ｕ （ ｘ ） ） ｄ ｘ ，
Ｉ ｔ — ｌ ｌ ｔ ＝ ｆ ｔ ｘ ． １ ｜ Ｍ （ ０ ） ０ ， （ １ ） ＝ ｏ ．
即（ （ “ ） ， ） ＝ ０ ， ∈ Ｈ， 其中
（ ）
其中 Ｌ ｕ ＝ （ ｐ（ ） Ｍ ） 一 ｑ （ ） Ｕ是 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ算 子 ， Ｐ， ｑ∈Ｃ 。 ［ ０ ， １ ］ ， Ｐ， ｑ ＞ Ｏ ， ｆ （ ｘ ， ｕ ） 在［ ０ ， １ ］ ｘ Ｒ上 是连
一
（ “ ， ） ＝ｌ ｎ ｐ （ ） “ （ ） ） （ ） ｕ （ ） （ ） 。
由内积 导 ｍ的 范数
Ｉ Ｉ
， Ｊ ｜ ／ 【 ， ） ，
（ ０ ） ０ ， （ １ ） ｓ０ 。
定 义 ２ 泛 函 ： ［ ０ ， １ ］ 一 ［ ０ ， １ ］ 是（ １ ） 的上解 是 指， 如 果 ∈Ｃ ［ ０ ， 】 ］ ， ｐ Ｃ ＇ ∈Ｃ ［ ０ ， １ ］ 使得
中 图分 类号： Ｏ１ ７ ５ ． ７
近几年 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 问 题 解 的存 在 性 是 学 者 们研 究 的热 点课 题 Ｉ ，其 主要研 究 方 法包 括 ：临 界
点 理论 ，不 动 点理 论 ，拓扑 度 理 论 ，二 三 临界 点 理 论
等方 法 。
第２ ９卷第 １ 朗
２ ０Ｉ ３ ２ Ｊ １
山两大 同大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｔ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｉ ｌ ｕ ［ Ｉ ， ＝ （ 』 ｐ （ ） Ｉ ｕ （ ） Ｉ ＋ ｑ （ ） ｌ ｕ （ ） Ｉ ｄ ｘ ） 。
定 义空 间 Ｘ＝ Ｃ ［ ０ ， １ ］ ，范数 为
ｌ Ｉ ． Ｉ Ｉ Ｙ ＝ ｍａ ｘ ｛ ｌ Ｔ ｌ ａ ｘ ． 日 Ｉ 】 ， Ｉ Ｊ Ｉ ｕ （ ｘ ） Ｉ ， ｍａ ｘ ｌ 】 ｌ Ｍ （ ） Ｉ ｝ ，显 然 稠 密嵌 入 Ⅳ。
Ｖｏ １ ． ２ ９ ． Ｎｏ ． Ｆ ｅ ｂ ２ Ｏｌ ３
文章编号： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ０ ３ — ０ ３
一
类Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 多解 的存在性
买阿丽 ’ ， 卢永红 ， 孙 国伟
（ １ ． 运城 学院应 用数 学 系 ，山西 运城 ０ ４ ４ ０ ０ ０ ；
其中 （ ， “ ） ＝Ｊ ｆ （ ｘ ， ｓ ） ｄ ｓ 。则
（ Ｍ ） ＝ １ Ｉ ｌ ｕ ｌ Ｉ ２ 一 （ Ｆ （ ， ｕ （ ） ）
南文 献 ［ ８ 】 ，问题 （ １ ） 的解 等 价 于 泛 函 的 临 界 点 ，
将研 究如 下 的一类 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题
设 Ｇ（ ｘ ， Ｓ ） １ ９ １ 是 以下 问题 的格林 函数
（ ３ ）
（ ４ ）
［ ０ ， １ ］ 。 我 们 可 以得 到 问题 （ １ ） 的 四个 解 的存 在 性
并给出了解存在的具体范围。
｛ ｆ － Ｌ ｕ ＝ Ｏ Ｍ （ ０ ） ＝ ０ ， Ｍ （ １ ） ＝ ０ ，
格林 函数 的性 质 见文献 ［ １ ］ 。
１ 预 备 知 识
设 空 问 Ｈ＝ Ｈ ［ ０ ， １ ］ 是Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ空 间 ， 定 义 Ｈ 的
内积 如下
ｒ Ｉ
定 义 １ 泛 函 ： ［ ０ ， １ ］ 一 尺是 （ １ ） 的下 解 是 指 如 果 ∈Ｃ Ｅ ｏ ， １ ］ ， Ｐ Ｃ ∈Ｃ 一 ［ ０ ， １ ］ 使得
ｏ
函 。假 设 （ １ ） ， （
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ０ — １ ０
基金项 目： 运城学 院基础研究项 日［ Ｊ ｃ 一 ２ ０ ０ ９ ０ ２ ４ ］
作者简介： 买 阿丽（ １ ９ ８ ｌ 一 ） ， 女 ，…西河 津人 ， 博士 ， 讲 师， 研 究方 向 ： 常微分方程及其应用。
山西大同大学学报 （ 自然科学版 ）
ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连 续 。
（ ６ ） 有一 列特 征值 （ Ａ １ ） ： ０ ＜ Ａ ｌ －Ａ ＜ ２ ≤… Ａ …。
对 应 的特征 函数是 。 ， ， … 。且 ＝ １ ， ｉ ＝ １ ， ２ ， …，
２ ． 山西 大 同大 学数 学与计 算机 科 学学 院 ，山 西大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 利用上下解方法结合 变分 法得到 了一类 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值 问题 四解存在 的充分条件 文献标识码 ： Ａ
关键词 ： 临 界 点 ；上 下 解 ；多解 ； Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 问题
续的 日 ． 关 于 “是 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连 续 的 ，对 所 有 的 ∈
（ （ ｕ ） ， ） ＝ １ （ ｐ （ ） Ｉ Ｕ ｔ （ ） １ ２ ＋ ｑ （ ） ｌ Ｍ （ ） Ｉ （ ｉ ｘ —
ｆ ｌ
ｆ ／ （ ， ｕ （ ） ） （ ） ｄ ｓ 。
定 义泛 函 ： Ｈ－ － － ￣ Ｒ如 下
ｔ ． ４ ， ＿ ｇｘ ， ） ，
砂（ ０） ｓ０， （ １ ） －０ ＞ 。
２ 主要结果
㈩ ㈩ 一
（ ２
， ：
间使
套
Ｍ ） ： Ｍ “且 ， （ Ｍ ） 是 到 的Ｌ ｉ ｐ ｓ 一
Байду номын сангаас
Ｊ ｒ ｔ Ｆ （ ｘ ， ｕ （ ｘ ） ） ｄ ｘ ，
Ｉ ｔ — ｌ ｌ ｔ ＝ ｆ ｔ ｘ ． １ ｜ Ｍ （ ０ ） ０ ， （ １ ） ＝ ｏ ．
即（ （ “ ） ， ） ＝ ０ ， ∈ Ｈ， 其中
（ ）
其中 Ｌ ｕ ＝ （ ｐ（ ） Ｍ ） 一 ｑ （ ） Ｕ是 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ算 子 ， Ｐ， ｑ∈Ｃ 。 ［ ０ ， １ ］ ， Ｐ， ｑ ＞ Ｏ ， ｆ （ ｘ ， ｕ ） 在［ ０ ， １ ］ ｘ Ｒ上 是连
一
（ “ ， ） ＝ｌ ｎ ｐ （ ） “ （ ） ） （ ） ｕ （ ） （ ） 。
由内积 导 ｍ的 范数
Ｉ Ｉ
， Ｊ ｜ ／ 【 ， ） ，
（ ０ ） ０ ， （ １ ） ｓ０ 。
定 义 ２ 泛 函 ： ［ ０ ， １ ］ 一 ［ ０ ， １ ］ 是（ １ ） 的上解 是 指， 如 果 ∈Ｃ ［ ０ ， 】 ］ ， ｐ Ｃ ＇ ∈Ｃ ［ ０ ， １ ］ 使得
中 图分 类号： Ｏ１ ７ ５ ． ７
近几年 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 问 题 解 的存 在 性 是 学 者 们研 究 的热 点课 题 Ｉ ，其 主要研 究 方 法包 括 ：临 界
点 理论 ，不 动 点理 论 ，拓扑 度 理 论 ，二 三 临界 点 理 论
等方 法 。
第２ ９卷第 １ 朗
２ ０Ｉ ３ ２ Ｊ １
山两大 同大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｔ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）