4.4 频域稳定性判据
合集下载
4.4 奈奎斯特稳定判据
G ( s ) H ( s ) s lim Re j
R
bm s m b1 s b0 a n s n a1 s a 0 ( lim bm ) e j ( n m ) n m R a R n nm nm
s lim Re j
2）选择 s 包围整个右半S平面： s 选择包围整个右 半S平面,如图4.6（a）所示,称为奈氏路径.因为 s 不 能通过 F(s) 的任一零点和极点，所以，当开环传递函 数G(s)H(s)在原点存在极点时，选择奈氏路径如图4.6 （b）所示。 [S ] [S ] 根据幅角原理，若 包 R R 围了F(s)的P个极点，即 0 0 r0 P有个开环极点在右半平 面，绕平面的原点圈， (a) (b) 则系统有Z个闭环极点在 图4.6 奈氏路径 右半S平面 :
R
bm an j ( n m ) 0e
(4.70)
s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的 上式表明， 映射为G(s)H(s)平面上的原点或者实轴上的一点，而这 一点与频率特性 G( j ) H ( j ) 在 的映射重合。因 此 s 在平面G(s)H(s)上的映射，就是 G( j ) H ( j ) .
下面考察 s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映 射,从而可以看出 s 在虚轴上的部分映射到G(s)H(s) 平面上就是开环频率特性 G( j ) H ( j ) 。 s 的无穷大 半圆上的点可以表达为: s lim Re j (4.69)
R
则无穷大半圆部分在平面上的映射为:
2）确定N的方法:为了确定N,将奈氏曲线从 平 面的下半部穿过负实轴的 (1,) 段,到 G( j ) H ( j ) 平面 的上半部1次,定义为1次正穿越; 反之奈氏曲线从 G( j ) H ( j ) 平面 [G ( j ) H ( j )] 的上半部穿过负实轴的 (1,) 正穿越 段,到平面 G( j ) H ( j ) -1 的下半部1次,定义为1次 0 负穿越 负穿越, 如图4.7所示。
R
bm s m b1 s b0 a n s n a1 s a 0 ( lim bm ) e j ( n m ) n m R a R n nm nm
s lim Re j
2）选择 s 包围整个右半S平面： s 选择包围整个右 半S平面,如图4.6（a）所示,称为奈氏路径.因为 s 不 能通过 F(s) 的任一零点和极点，所以，当开环传递函 数G(s)H(s)在原点存在极点时，选择奈氏路径如图4.6 （b）所示。 [S ] [S ] 根据幅角原理，若 包 R R 围了F(s)的P个极点，即 0 0 r0 P有个开环极点在右半平 面，绕平面的原点圈， (a) (b) 则系统有Z个闭环极点在 图4.6 奈氏路径 右半S平面 :
R
bm an j ( n m ) 0e
(4.70)
s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的 上式表明， 映射为G(s)H(s)平面上的原点或者实轴上的一点，而这 一点与频率特性 G( j ) H ( j ) 在 的映射重合。因 此 s 在平面G(s)H(s)上的映射，就是 G( j ) H ( j ) .
下面考察 s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映 射,从而可以看出 s 在虚轴上的部分映射到G(s)H(s) 平面上就是开环频率特性 G( j ) H ( j ) 。 s 的无穷大 半圆上的点可以表达为: s lim Re j (4.69)
R
则无穷大半圆部分在平面上的映射为:
2）确定N的方法:为了确定N,将奈氏曲线从 平 面的下半部穿过负实轴的 (1,) 段,到 G( j ) H ( j ) 平面 的上半部1次,定义为1次正穿越; 反之奈氏曲线从 G( j ) H ( j ) 平面 [G ( j ) H ( j )] 的上半部穿过负实轴的 (1,) 正穿越 段,到平面 G( j ) H ( j ) -1 的下半部1次,定义为1次 0 负穿越 负穿越, 如图4.7所示。
频域稳定性判据
频域稳定性判据的应用场景
频域稳定性判据广泛应用于控制系统的分析和设计。在控制系统分析和设计中，需要评估系统的稳定 性和性能指标。频域稳定性判据可以快速准确地判断系统的稳定性，为控制系统设计和优化提供依据 。
此外，频域稳定性判据还可以用于非线性系统和不确定系统的稳定性分析。通过扩展频域稳定性判据 的方法，可以对非线性系统和不确定系统的稳定性进行分析和评估。
考虑计算效率和精度
在选择合适的频域稳定性判据 时，还需考虑计算效率和精度 。
05
频域稳定性判据的应用实例
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析是频域稳定性判据 的重要应用领域之一。通过分析系统的 频率响应，可以判断系统是否稳定，以 及系统对不同频率输入的响应特性。
频域稳定性判据在控制系统设计、优 化和故障诊断中具有广泛的应用，有 助于提高系统的性能和可靠性。
对未来研究的展望
随着控制系统变得越来越复杂， 对频域稳定性判据的研究也需要 不断深入。未来的研究可以进一 步探索更高效的算法和计算方法， 提高稳定性判据的准确性和计算 效率。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的快速发展，可以考虑将这 些技术应用于频域稳定性判据中， 以实现自适应控制和智能控制。 例如，可以使用机器学习算法来 自动识别和分类系统的频率响应， 从而更快速和准确地判断系统的 稳定性。
频域稳定性判据的重要性
频域稳定性判据是控制系统设计和分析的重要工具之一。通 过频域稳定性判据，可以快速判断系统的稳定性，并优化系 统的性能。
频域稳定性判据具有直观、简便的优点，可以用于分析线性 时不变系统的稳定性和性能。在工程实践中，频域稳定性判 据广泛应用于控制系统设计和分析，如航空航天、电力、化 工等领域。
此外，随着绿色环保理念的普及， 未来的研究也可以考虑将பைடு நூலகம்域稳 定性判据应用于节能减排和可持 续发展的领域，例如通过优化控 制策略来降低能源消耗和减少排 放。
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨
Z P R P 2N
例5-7 系统开环传递函数为
K G( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
其幅频特性图如图5-44左所示。试利用Nyquist判据判断闭 环系统的稳定性。
解 当三个参数取任何正值时，系统的两个开环极点都是 负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及 其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
RP
奈氏判据：若系统的开环不稳定，即开环传递函数
G(S)H(S)在右半平面上有极点，其个数为P，则闭环系统 稳定的充分必要条件是：在GH平面上的开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)及其镜像当ω从－∞变化到＋∞时，将以逆 时针的方向围绕（－1，j0）点P圈；若系统开环稳定，即 P=0，则闭环系统稳定的充要条件是：在GH平面上的开环 频率特性曲线及其镜像不包围（－1，j0）点。 利用奈氏判据判断闭环系统不稳定，还可求出该系统在 右半s平面上的极点的个数
图5-47 K>1 和 K<1的频率特性曲线
3、Nyquist判据在Ⅰ型和Ⅱ型系统中的应用
设系统开环传递函数为
G (s) H (s)
K ( i s 1) s (T j s 1)
v j 1 i 1 n v
m
为利用Nyquist判据分析Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳定性，就需要 修改s平面上原点附近的Nyquist路径，使它不通过s=0的开 环极点又仍然能包围整个右半s平面。方法是增补一个以 原点为圆心、半径R′为无穷小的右半圆。如图5-48所示
R 2N 2( N N )
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨讲诉
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及
其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G(s)H (s) (s 2)(s2 2s 5)
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46 解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
4.4 频域稳定性判据
例题
例题
求系统的相角储备γ和幅值储备Kg(dB)（在图上量取数值，因为是几何法求取稳定性裕量，故有误
差）。
如图所示，当k=10时，系统的相角储备γ=21°，幅值储备Kg(dB)=8dB ，因此该系统虽然稳定，但γ 偏小，故系统的相对稳定性较差。 从图b可见，当k增至l00时，系统的γ=-30°，Kg(dB)=-12dB，即稳定储备皆为负值。对开环稳定的 系统而言，此时闭环系统不稳定。
γ 越小，稳定性越差，一般取 γ=30°～ 60°为宜。若γ过大，则系统灵敏度降低。
4.4.3 稳定性裕量(3)
幅值储备Kg
如图 a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲 线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。
幅值储备表明在相角穿越频率 ωg上，使系统 达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即
kg
由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的，这样才能保 证系统实际上的稳定性是可靠的。 从奈氏判据可知，当 PR=0 ， 开环奈氏曲 线离 临 界点 (-1， j0) 越 远，则闭环稳 定性越好 ，
稳定储备越大，反之越差。它通过开环奈氏曲线对临界点的靠 近程度来表征，定量表
示为相角储备和幅值储备。
4.4.3 稳定性裕量(2)
相角储备γ
如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏 曲线与单位圆的交点C与原点O的连线与 负实轴的夹角γ称为相角储备。
相角储备表明在幅值穿越频率 ωc上，使 系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞 后量。
γ =180°+φ(ωc) 若 γ>0(图 a、 b)，则系统稳定；若 γ<0(图 c、d)，则系统不稳定。
氏判据判定 (ZR =O) ，图 a 、 b 系统的闭环稳定。
系统稳定性的频域判据1
开环传递函数
G(s)H(s) =
闭环传递函数 G (s ) 1+G(s)H(s)
= 1+
B1(s) A (s) B1(s )B
(s ) A1 (s)A2(s)
2
B1(s)A2(s) = A 1(s)A (s)+ B (s)B 2 1
2
(
闭环稳定
闭环传递函数右极点个数为0 B1(s)A2(s)
A 1(s)A2(s)+ B1(s)B2(s)
F(s)有m个零点，n个极点， 在[s]平面上的C顺时针包围了 其中z个零点和p个极点，
则在[F]平面上的C’顺时针包围原点 z – p圈。
——映射定理
反馈控制系统
B1(s) B2(s) G(s) = , H(s) = A 1(s) A2(s)
G(s)
H(s)
B1(s)B2(s) A1 (s)A2(s)
K G(s)H(s) = (s+1)(s+2)(s+6)
, K = 20
Imaginary Axis
K G(s)H(s) = (s+1)(s+2)(s+6)
Imaginary Axis
, K = 200
Imaginary Axis
G(s)H(s) =
8 (s )(s+2)(s+3) 1
例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?
判断下图系统的稳定性
例
Imaginary Axis
10 G (s) = s(0.1s+1)(0.05s+1)
Imaginary Axis 0
Nyquist Diagram 1 0.5 0 -0.5
频域分析法
（4.10） （4.11） （4.12）
因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式： （1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 G ( j ) 是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性 G( j ) 与相频特性G ( j ) 。给出不同 值，即可算出相应 G( j ) 和 G ( j )值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无 穷大时的 G ( j ) 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线，通常称它为尼奎斯特曲线或尼奎斯特图。 当然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的 实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。 （2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图
1 ，将传递函数中的复变量 用纯虚数 来代 s j 1 RCs 1 G(s ) 替，便可得到频率特性的表达式 G ( j) ，取它的模 1 jRC A( ) 和幅角 ( ) ，正是式(4.5)和式(4.6) 。这种以 j 代替 s
数为 G ( s ) 由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用 的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在
0
相位后滞近 90 。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中 的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位 滞后作用。
4.1.2 频率特性的求取方法
频率特性一般可以通过如下三种方法得到： （1） 根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求 其稳态解， 取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。 （2） 根据系统的传递函数来求取。将 s j 代入传递函数 中，可直接得到系统的频率特性。 （3） 通过实验测得。 一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据传递 函数求取系统的频率特性。仍以图4.1所示系统为例，其传递函
《工程控制基础》频域：奈氏 判据
24
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越，
2次负穿越，
N 2(N N ) 1 2 2
求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
（a）P=0 0
Im P0
0
R
Re (b)P=1
0
P 1 Im
R
K
0
Re
26
例5-12
(b)若b>1, N= 2(N+ - N–)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。
若b<1<a, N= 2(N+ - N–)=2(1-1)=0，且 P=1，所以 Z=P+N=1 系统不稳定。
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。
N=2(N+-N-) 注意：这里对应的ω变化范围 0 。
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
s平面
s=σ+jω.
F(s)
F(s) 复平面
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越，
2次负穿越，
N 2(N N ) 1 2 2
求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
（a）P=0 0
Im P0
0
R
Re (b)P=1
0
P 1 Im
R
K
0
Re
26
例5-12
(b)若b>1, N= 2(N+ - N–)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。
若b<1<a, N= 2(N+ - N–)=2(1-1)=0，且 P=1，所以 Z=P+N=1 系统不稳定。
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。
N=2(N+-N-) 注意：这里对应的ω变化范围 0 。
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
s平面
s=σ+jω.
F(s)
F(s) 复平面
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点
5-4 5-5 5-6 频率稳定判剧【12.18】
P/2圈。（P为开环传递函数位于s右半平面的极点）
（2）若开环系统稳定，即P=0时，系统的开环幅相特性 G(j)H(j)曲线不包围(-1，j0)，则闭环系统稳定。
绘制ΓGH：
例5－5
• 已知系统开环传递函数
1000 G(s) s 1s 2s 5
试应用奈氏判据判别闭环系统 稳定性。
当s 沿Γs顺时针转一圈时，其映射曲线ΓF 绕F(s)平面的原点逆时针转R 圈，且R=P-Z 。 规定：R>0 ——逆时针, R<0 ——顺时针
j
s
s zi
zi
s
j
A
F ( s )
F
B
F
z1
p1
z2
z i 1
s平面与F(s)的映射关系
在s右半平面内任作一条闭合曲线 Γs，Γs不经过F(s)的任何零、极点，且F(s)的零点zi在闭合曲线 Γs内。在 闭合曲线 Γs上任选一点 A， 使 s从 A点开始移动 ，绕 F(s)的零点 zi 顺时针沿着闭合曲线 Γs 转一周回到A点，相应的F(s)在F(s)平面上从B点出发再回到B点，也绘制了一条闭合曲线ΓF。 当s随着Γs移动时，F(s)的相角变化为Δ∠F(s)，则有： F s s z1 s z2
由开环传递函数 G s ，可确定P 0，
2)根据奈氏判据判别闭环 系统稳定性
即开环系统稳定，开环 幅相曲线包围
1，j0点，所以闭环系统不稳 定。
Z=P-2N=0-2(-1)=2, 不稳定
例5－6
• 已知系统开环传递函数
K G (s) s 1
试应用奈氏判据判别K=0.5和 K=2时的闭环系统稳定性。
试应用奈氏判据闭环系统稳定性。
《频域稳定性判据》课件
实例分析和讨论
通过实例分析具体问题，讨论如何利用频域稳定性判据解决现实生活中的功 率电子系统稳定性问题。
总结和展望
总结课程内容，并展望频域稳定性判据在未来的发展方向和应用前景。
频域稳定性分析方法
介绍不同的频域稳定性分析方法，如极点分布法和小波分析法等，以及它们 的优缺点和适用场景。
频域稳定性判据的原理
解释频域稳定性判据的原理，包括如何利用频域分析结果来判断系统的稳定 性。
频域稳定性判据的应用
提供频域稳定性判据பைடு நூலகம்实际工程中的应用案例，展示它在系统设计和控制中 的重要性。
《频域稳定性判据》PPT 课件
频域稳定性判据的PPT课件，旨在介绍频域稳定性分析方法及其应用，帮助听 众对该主题有深入的了解。
背景介绍
频域稳定性判据的背景和意义。讲述频域分析在稳定性研究中扮演的角色， 以及为何需要频域稳定性判据。
频域分析基础知识
对频域分析的基本概念进行介绍，包括傅里叶变换和频谱分析等，为后续内 容做铺垫。
第4章 线性系统的频域分析
系统的稳态输出相对于输入信号发生的幅值 和相角的变化，可以用一个关于角频率ω 的 复变函数表示，称为系统的频率特性。
G(i) | G(i) | e
iG ( )
频率特性中的模值和相角也分别称为系统的 幅频特性函数和相频特性函数。
频率特性是系统的频域模型
系统的频率特性可以用实验直接测定。 线性定常系统的频率特性与系统的传递函数 具有如下对应关系：
以RC网络为例。输入是正弦信号，则系统 的稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅值 和相角发生变化。
RCu (来自 ) sin tu (t )
uc (t )
uo (t ) A( ) sin[ t ( )] A( ) 1 1 (T ) 2
i (t )
du o RC uo u dt
0
0 1 Re G
O
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
1 Re G
Im G
G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
Im G
0
1 Re G
O
O
0
1 Re G
延时环节的频率特性曲线
Im G
e
1
i
1 i / 2 1 i / 2
1 Re G
O
G(s) e s
例题4－1
已知某系统频率特性曲线，试确定传递函数。
解 该系统没有积分环节， 没有零点时为二阶系统。 设传递函数为
Kn 2 G( s) 2 s 2n s n 2
Im G
1.2
O
Re G
令s=iω =0 得到 K=1.2。
系统稳定性
2012/10/25
23
2012/10/25
24
四、控制系统稳定性的频域判据
是一种根据开环系统频率特性来判断闭环系统的稳定性方法。它不必求解闭 环极点，同时，还可以得知系统的相对稳定性以及改善系统稳定性的途径。因此 在控制工程中得到广泛应用。
最常用的两种频域判据为奈奎斯特（奈氏图）稳定判据和对数频率（波德图） 稳定判据。 4.1 奈奎斯特（奈氏图）稳定判据简介
具体地说，它是通过Gk（jw）的Nyquist图，利用图解法来判明闭环系统的 稳定性。它从代数判据脱 颖而出，是一种几何判据。
2012/10/25
25
4 奈奎斯特稳定判据
优点： zNyqusit判据不需要求取闭环系统的特征根，而应用开环频率特性Gk（jw）， 即G（jw）H（jw）曲线来分析闭环系统的稳定性。 z当系统的某些环节的传递函数无法用分析法求得时间，可以通过实验来获 得这些环节的频率特性曲线或系统的Gk（jw）。 zNyquist判据还能指出系统的稳定性储备---相对稳定性，指出进一步提高和 改善系统动态性能（包括稳定性）的途径。 z若系统不稳定，Nyquist判据还能与Routh判据那样，指出系统不稳定的闭 环极点个数，即具有正实部的特征根的个数。
2012/10/25
26
4 奈奎斯特稳定判据
4.2 函数F(s)与开环、闭环的传递函数零点和极点关系
图示闭环系统的传递函数为：
开环传递函数为：
特征方程为： 特征方程写成一般形式：
2012/10/25
27
特征方程一般形式：
式中，n为Gk(s)的分母多项式的阶数；m为Gk(s)的分子多项式的阶数，而函数F(s)的 零点数和极点数分别为n’和n。
由于F(s）沟通了GK(s)与GB(s)之间的关系，故可通过F(s),利用Gk(s) 来判明闭环系统的稳定性。
自动控制原理--控制系统的频域稳定判据
n
F ( s)
1
G(s)H(s)
1
Q(s) P(s)
P(s) Q(s) P(s)
K*
n
s
i 1
s
ri pi
i1
➢F(s)的零点就是系统的闭环极点； ➢F(s)的极点就是系统的开环极点.
Y s
Rs
Gs
Y s
H s
利用图解的方法来确定F(s)位于s右半平面的零点， 从而得到判别系统稳定性与否的奈氏判据。
那些零点和极点相应的 向量的净相角变化等于 零，
j
s 平面
s p1
s• s r1
r1
p1
p3
p2
r3
s r2
r2
被 包围的零点，
其相角变化了 2。
故 顺 时针绕坐标原点 一圈。
若 顺时针包围F(s)的1个零点，则 顺时'针包围F(s)的
原点1圈。
j
s 平面
s p1 s• s r1 r1
p1
例4 绘制如下系统的奈氏曲线，并分析其闭环系统的稳定
性。
K
G(s)H(s) sT1s 1T2s 1
解:（1）奈氏曲线的起点和终点
G( j0 )H j0 ,G( j0 )H j0 90
G( j)H j 0,G( j)H j 270
（2）与负实轴的交点
2
arctanT1
arctanT2
-0.6
-0.8
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
可见，乃氏图不包围（Re-al 1Axis，j0）点，系统稳定
例2 试绘制如下四阶0型系统的奈氏图，判别其闭环系统的稳定
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
常用的频域稳定判据
常用的频域稳定判据
频域稳定判据是用来判断线性时不变系统在频域中是否稳定的方法。
常用的频域稳定判据有以下几种：
1. Nyquist判据：对于开环传递函数G(s)，判断闭环系统是否稳定的方法是通过绘制Nyquist曲线。
当Nyquist曲线不经过点(-1,0)时，系统稳定；当Nyquist曲线经过点(-1,0)时，系统不稳定。
2. Bode判据：对于开环传递函数G(s)，通过绘制Bode图来判断系统稳定性。
Bode图是将传递函数G(s)的振幅与相位分别绘制在对数频率和对数振幅的坐标系上。
在Bode图中，当相位曲线超过-180°时，系统不稳定。
3. Nyquist稳定判据：对于开环传递函数G(s)，通过计算开环传递函数G(s)的极点和零点，可以使用Nyquist稳定判据来判断系统稳定性。
Nyquist稳定判据是通过计算开环传递函数的闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数来判断系统稳定性。
若闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数等于开环传递函数G(s)的极点个数减去零点个数，则系统稳定。
4. Routh-Hurwitz判据：对于开环传递函数G(s)，通过构造Routh-Hurwitz矩阵来判断系统稳定性。
Routh-Hurwitz矩阵是由开环传递函数的特征多项式构成的矩阵，通过判断所有主元的符号是否为正来确定系统的稳定性。
若所有主元的符号都为正，则系统稳定。
这些是常用的频域稳定判据，可以根据具体情况选择适合的方法来判断系统稳定性。
频率域稳定判据
GH1
j
[GH] GH2
G( j0)H ( j0)
GH1
n=m时C和的GH对应关系
n-m=2时C和的GH对应关系
❖G(s)H(s)有虚轴上的极点
① G(s)H(s)含有积分环节 修正围线C3在F平面上的映射为
j
[s]
C2
C1
R=∞
C3
G(s)H (s) slim e e jq e 0
K (b0sm b1sm1 s (a0sn a1sn 1
二、从控制论角度来理解幅角定理
1. 复变函数F(s)的选择
判断系统是否稳定要看闭环特征方程的特征根在s
平面上的分布情况，所以初步选择 F(s) 1 G(s)H (s) 为
研究对象。
m
n
m
K * (s zi ) (s pi ) K *(s zi )
F(s) 1 G(s)H (s) 1
i 1 n
j
C2
C4
[s]
C1
R=∞
C5
C=C1+C2+C4+C5
3. F平面闭合曲线GH的绘制
讨论在s平面当s沿奈氏围线C运动时通过复变函数 G(s)H(s)映射到F平面上曲线GH的情况。
❖G(s)H(s)无虚轴上的极点(ν=0，0型系统)
j
[s]
C1
C2 R=∞
C=C1+C2
当s沿C1顺时针移动时，在F平面上的映射为
由于C不能通过F(s)=G(s)H(s)的极点，分两种情 况讨论。
❖G(s)H(s)无虚轴上的极点
奈氏围线由两部分组成，C1：半径为∞的右半圆 s=Rejq(R→∞，-900≤q≤+900) ；C2： s平面的整个虚 轴s=j(-∞<<+∞)。
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建立数学模型时，忽略了次要因素。 列写元件运动方程时，采用了线性化的方法。 系统参数如质量、惯量、阻力、放大系数、时间常数、容积模数等难于精确获得。 若用实验方法建立数学模型，因仪器精度、数据处理、实验方法等方面的原因造成的误差。 在控制系统工作中有些参数如液体容积模数、温度等发生了变化。
L(ω )≥0时，φ (ω )曲线
N+-N-=2-1=l=PR/2，故知闭环稳定。 图 c 所 示 系 统 ， 开 环 稳 定 (PR=0) ， 在 L(m)≥0的区间，φ (ω )曲线 N+-N-=l-1=0=PR/2 ，故知闭环稳定。
4.4.3 稳定性裕量(1)
在设计一个控制系统时，不仅要求系统是稳定的，而且要求系统距临界点有一定的稳 定性储备，即具备适当的相对稳定性。 事实上线性系统的临界稳定是不存在的，非但如此，即使系统处于稳定区域的临界点 附近，实际系统也可能是不稳定的，其原因在于：
采用稳定储备作为设计准则的注意事项
稳定储备在奈氏图上，是开环奈氏曲线 G(jω)H(jω)对临界点 (-l， j0)靠近程度的度量，因此仅
用相角储备或幅值储备皆不足以说明系统的相对稳定性，必须两者同时给出。
对开环稳定的系统而言，当G(jω)H(jω)曲线不包围临界点(-1，j0)，亦即其相角储备γ和幅值储 备Kg(dB)为正值，系统稳定。
示为相角储备和幅值储备。
4.4.3 稳定性裕量(2)
相角储备γ
如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏 曲线与单位圆的交点C与原点O的连线与 负实轴的夹角γ称为相角储备。
相角储备表明在幅值穿越频率 ωc上，使 系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞 后量。
γ =180°+φ(ωc) 若 γ>0(图 a、 b)，则系统稳定；若 γ<0(图 c、d)，则系统不稳定。
PR/2(N+-N-= PR/2)，则闭环稳定，否则不稳定。
开环奈氏图不和实轴封闭
例题4.4
四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图
a～d所示。并已知各系统开环不稳定特征根的
个数PR，试判别各闭环系统的稳定性。 解：图 a 、 b 两个系统的开环幅相特性曲线不包围 (-1，j0)点，且又知两个系统的PR=0。故由奈
4.4 频域稳定性判据
奈氏判据
对数判据
稳定性裕量
4.4.1 奈氏判据(1)
奈氏稳定判据
奈氏曲线逆时针包围 (-1 ， jO) 点的圈数 N 等于开环传递函数在右半 [s]平面的极点 数PR，则系统稳定。
如果开环系统稳定，即PR=0，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围 (-1，
j0)点，即N=0。如果N不等于0，则闭环系统不稳定。右半[s]平面不稳定闭环极点
例题4.4
若 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 Gs H s
4.5 ，试用奈氏判据 s2s 1s 1
判别其闭环系统的稳定性。
解：画出开环系统幅相频率特性图，如图
所示。
由图可知，N=-1。 而由 G(s)H(s) 表达式可知， PR=0。根据 奈氏判据有 ZR=PR-2N=0-2×(-1)=2 所以系统不稳定。
由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的，这样才能保 证系统实际上的稳定性是可靠的。 从奈氏判据可知，当 PR=0 ，开 环 奈氏曲 线 离 临 界点 (-1 ， j0) 越 远，则闭环稳 定性越好 ，
稳定储备越大，反之越差。它通过开环奈氏曲线对临 界点的靠近程度来表征，定量表
4.4.2 对数判据(1)
概念
幅值穿越频率：对数幅频特性曲线L(ω )和横轴相交的交点处的频率称为幅值穿越 频率。
Байду номын сангаас
相位穿越频率：对数相频特性曲线φ (ω )和-180°线交点处的频率称为相位穿越
频率。
4.4.2 对数判据(2)
对数稳定判据
对开环稳定的系统，在 ω 从 0 变化到+∞时，在 L(ω )≥0 的区间，若相角 φ (ω ) 不 穿越-180°线，则系统稳定，如图所示，否则，系统不稳定。
氏判据判定 (ZR =O) ，图 a 、 b 系统的闭环稳定。
图c系统N=-1，PR=0，ZR=PR-2N=2，故由奈氏判 据可判定(ZR≠0)，其闭环系统不稳定。 图 d 系统 N=1 ， PR=2 ， ZR=PR-2N=2-2=0 ，故由 奈氏判据可知，闭环稳定。 由此例可见，系统开环稳定，但各部件以及受 控对象的参数匹配不当，很可能保证不了闭环 的稳定性；而开环不稳定，只要合理地选择控 制装置，完全能调试出稳定的闻环系统。
正穿越一次，对应着奈氏曲线 G(jω )H(jω ) 绕点(-1 ，jO) 转动+2π 角度；负穿越
一次，对应着奈氏曲线G(jω )H(jω )绕点(-1，jO)转动-2π 角度。 据 此 ， 奈 氏 判 据 可 改 写 成 ： 当 ω 从 0 变 化 到 ∞ 时 ， 若 开 环 幅 相 频 率 特 性 曲线 G(jω )H(jω ) ， 在 点 (-1 ， j0) 以 左 实 轴 上 的 正 穿 越 次 数 减 去 负 穿 越 次 数 等 于
对开环不稳定的系统而言，只有当G(jω)H(jω)曲线包围临界点 (-1，j0)时系统才有可能稳定，
故这类系统，若闭环稳定，其幅值储备和相角储备可能为正值，也可能为负值，这要选取离(1，j0)点最近的储备值。
对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备γ=30°～60°，即 意 味 着在 幅 值穿越 频 率 ωc 处 ， 对数 幅 值曲 线 L(ω) 的 斜 率应 大于 -40dB/dec ， 通 常要 求为 20dB/dec，如果此处斜率为 -40dB/dec，则即使系统能够稳定，相角储备也偏小。如果在 ωc处 的对数幅值曲线斜率降至-60dB/dec，系统就不稳定了。由此可见，一般I型系统稳定性好，Ⅱ 型系统稳定性较差，Ⅲ型及其以上系统就难于稳定了。
以分贝表示时，
K g 20 lg K g 20 lg G j H j
若 |G(jω)H(jω)|<1 ，则 Kg(dB)>0dB ，则系统
稳定；否则Kg(dB)<0dB ，则系统不稳定。
为了得到满意的性能，通常取 Kg(dB)>6dB ， 即Kg>2。
4.4.3 稳定性裕量(4)
4.4.3 稳定性裕量(5)
影响系统稳定性的主要因素
系统开环增益（放大系数）
由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值储备和相角储备，
从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的煨简便方法。
积分环节
由系统的相对稳定性要求可知，Ⅰ型系统(1个积分环节)的稳定性好，Ⅱ型系统稳定性较
差，Ⅲ型以上系统就难于稳定。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过2。
系统固有频率和阻尼比
在开环增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能
越大，系统的相对稳定性会越好。
延时环节和非最小相位环节
延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性，
γ 越小，稳定性越差，一般取 γ=30°～ 60°为宜。若γ过大，则系统灵敏度降低。
4.4.3 稳定性裕量(3)
幅值储备Kg
如图 a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲 线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。
幅值储备表明在相角穿越频率ωg上，使系统 达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即
Kg
1 G j H j
对开环不稳定的系统(PR≠0)，在ω 从0变化到+∞时，在L(ω )≥0的区间，若相频
特性曲线 φ (ω ) 在 -180°线上正负穿越次数之差为 PR/2(N+-N-= PR/2) ，则系统稳
定，否则系统不稳定。
例题4.5
图 a 所描述的系 统 ，开 环 不 稳 定 (PR=2) ， 在L(ω )≥0时，φ (ω )曲线 N+-N-=1-2=-l≠PR/2 ，故知 闭环 不 稳 定。 图 b 所示系 统 ，开 环 不 稳 定 (PR=2) ，在
不和实轴封闭 ， 难于说 明ω 在零附近 变 化时 的奈氏曲 线 的变 化，以及它 们是否包
围 了临 界点(-1 ，j0) ，如图 中 实线 所示 。为 此 ， 可以作 辅 助圆 ( 如图 中虚线 所示) ， 这 就很容易看出 图 中曲 线 是否包 围临 界点(-1 ， j0) 。辅 助圆 的作法是以无 穷 大为 半径，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径λ 90°圆弧至G(0+)H(0+)。
k K 5 G s H s s s ss 1 1 ss 1 1 5 5
式中开环放大系数K=k/5 当k=10时，K=2；当k=100时，K=20。 作系统开环伯德图，当ω=1时， 若K=2时，则20lgK=20lg2≈6dB；若K=20时，则20lgK=20lg20≈26dB，即系统开环放大 系数K变化10倍，L(ω)上移20dB。分别作K=2、20的系统开环伯德图，如下图所示。
因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。
例题4.6
设控制系统的开环传递函数为 Gs H s
k ss 1s 5
，试求当k=10和k=100时的相角储备γ
和幅值储备Kg(dB)，并判断系统的稳定性。
解：根据开环传递函数的特征方程可知，该系统开环稳定（PR=0），将开环传递函数化为 标准环节组成形式，即
数ZR可由下式求出，即 ZR=PR-N 为简单起见，使用奈氏判据时，一般只画出频率ω 从0变化到∞时的开环幅相频率 特性曲线即可，这时奈氏判据表达式可改写为 ZR=PR-2N